17定积分简单应用第1课时教案

1.7定积分的简单应用第1课时精选教学设计1.7定积分的简单应用第1课时精选教学设计1.7定积分的简单应用第1课时精选教学设计1.7定积分的简单应用【课题】：定积分在几何中的应用【授课目的】：1）知识与技术：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题2）过程与方法：在解决问题中，经过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解3）感神态度与价值观：领悟事物间的相互转变、对峙一致的辩证关系，培养学生辩证唯物主义见解，提升理性思想能力．【授课重点】：1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。2）数形结合的思想方法【授课难点】：利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行合适的切割，进而把求平面图形面积的问题转变为求曲边梯形面积的问题．【课前准备】：Powerpoint或投电影【授课过程设计】：授课环节授课活动设计妄图一、（1）师：我们已经看到，定积分能够用来计算曲引入课题例题1边梯形的面积，事实上，利用定积分还可以够求比较复杂的平面图形的面积。（2）例题1计算由曲线y2x,yx2所围图形的面积S。yy=x21CBy2=xDAO1x生：思虑，谈论师（引导，总结）：例1是求由两条抛物线所围成的平面图形的面积．第一步，画图并确定图形大体形状、范围，借助几何直观，将所求平面图形面积当作位于x轴上方的两个曲边梯形面积之差；yy1y=x21By2=xBAAO1xO1x师：第二步，确定积分上、下限，即经过解方程组求出交点的横坐标，进而确定被积函数和积分上、下限(本例中需将曲线y2x的分析式进行变形，获得yx，因为所围图形在x轴上方，因此取yx)；yy=x1BAO1x2解方程组yx得交点的横坐标为x0及x1。yx2师：第三步，写出平面图形面积的定积分表达式，运用微积分基本定理计算定积分，进而求出平面图形的面积所以，所求图形的面积为SS曲边梯形OABCS曲边梯形OABD1xdx1x2dx002311313x20x03213313

板书解题详细步骤，规范学生的解题格式。师：我们解决这样问题的一般解题方法和步骤是？生（总结）：①一般先画出它的草图．②借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．③利用微积分基本定理计算定积分，进而求出平面图形的面积．师：我们把这个题目提升为一般种类：即求两条曲线所夹面积：若函数f(x)和g(x)在区间a,b上连续且在a,b上有f(x)g(x),那么由y＝f(x)，y＝g（x）,x=a,x=bb结合例题，对解所围成的有界地区面积为A[f(x)g(x)]dxabb题步骤进行归＝f(x)dx－g(x)dxaa纳总结，使学生明确利用定积分求平面图形面积的基本步骤。－yy=f(x)Ay=g(x)Oabx＝我们看到，尽管我们的证明的表示图中曲线yf(x)与yg(x)的均在x轴上方，可是，由的学习我们能够知道，曲线yf(x)或yg(x)在x轴下方也不影响我们的证明，结论依旧是正确的。师：更一般的，若函数f(x)和g(x)在区间a,b上连简单的证明可续,那么由y＝f(x)，y＝g（x）,x=a,x=b所围成的以留给学生作有界地域面积为Abf(x)g(x)dx。可是仍旧去绝a为课外联系。对值后转变为分出f(x)和g(x)的大小解决。二、例题2计算由直线yx4，曲线y2x以及x轴例所围图形的面积S。题师：模拟上题的思路，能够解决这个题目。生：能够。生：思虑，计算，比较课本的解答。师：巡视。师：本题还有其他的解法吗？生：将所求平面图形的面积看作一个曲边梯形与8840一个三角形的面积之差S2xdx(x4)dx053yyx=y+4y=2xOxOx师：本题还可以够将所求平面图形的面积当作位于y轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，所以取y为积分变量，还需要把函数yx4变形2为xy4，函数y2x变形为xy。2yyx=y+4y22OxOx这时候，把例题2转变为例题1的图形。240S44y(y4)dy2dy003师：比较这些解法，你有什么想法？生：比较这些解法能够发现．利用定积分求平面图形面积时，合适地切割图形或合适地选择积分变量能够简化解题过程．

若是发现其他解法，记录显现。授课中．能够引导学生得出不同的解法并进行比较．选择x作为积分变量则作为x－型计算，选择y作为积分授课环节授课活动三、练习：1.计算曲线xy2和x4y2所围的图形面实践积。新知yx=4－y22O14x2x=y2解法一（按x－型计算）：联立xy2x2x2x4y2，解得,。y2y2

变量则作为y－型计算。设计妄图领悟如何灵便办理x－型地区问题与y－型区域问题如图，由对称性S2S1,S14x,0x2f(x)dx，此中被积函数f(x)04x,2x4∴S12xdx44xdx0231312x2'x2,2此中4x2'(4x)233324∴S12x2234x23032

82，∴S2S116233解法二（按y－型计算）：联立xy2，解得x2x2x4y2y,。2y2S2(4y2)y2dx22y2)dx2(42∴2y3224y163322．求抛物线y2x与直线x2y30所围成的平面地域的面积。yx－2y－3=0O19x2=x解法一：所给的地区不是一个规范的x-型地区，如图，为了便于计算需将其图形进行切割,即可化成两个x-形地区的面积问题。yx－2y－3=0O19xy2=x联立方程组得y2x，解得x11,x29，x2y30∴S1[x(x)]dx4，1039x328S21[x()]dx32∴总面积SS1S2323解法二：以y为积分变量，地区当作是y－型地区求解。2x联立方程组得y，解得y11,y23，2y3x03y2dy32∴S(2y3)13四、1.P65练习(1)(2)稳固新知总结归纳

利用定积分求平面图形面积的基本步骤：①一般先画出它的草图．②借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．③利用微积分基本定理计算定积分，进而求出平面图形的面积．2．若函数f(x)和g(x)在区间a,b上连续,那么由y＝f(x)，y＝g（x）,x=a,x=b所围成的有界地区面b积为Aaf(x)g(x)dx利用定积分求平面图形面积时，合适地切割图形或合适地选择积分变量能够简化解题过程．选择x作为积分变量则作为x－型计算，选择y作为积分变量则作为y－型计算。1．P67习题1.7A组1部署2．P68习题1.7B组1、2、3作业若是特色班在学习例题1的时候，能够由学生总结规律。例题2以及练习，教师特别应该重申清设计楚依照曲线的交点划分图形（分块）以及依照曲反省线的特色（解出变量x仍是y简单）选择x－型地区或y－型地区。这个地方能够由老师帮助学生归纳。同步练习（基础题）yO

y=x2y=2x+3x1.如右图，求直线y2x3与抛物线yx2所围成的图形面积。y2x3解：由方程组yx2，可得x11,x23，故所求面积为S(2x3)x2dxx23x332313132.以下列图，阴影部分面积是（）yy=2x(1,2)Oxy=3-x2(-3,-6)(A)23(B)23(C)32(D)3533答案：C讲解：(3x22x)dx3x1x3x2132133333.由曲线yex1和x轴、直线x0、x3所围成图形的面积为3答案：e1eyy=ex-11x=3O13x讲解：33以下列图，Sex1dxex132e1e100eex由曲线y6和x轴所围成的图形面积为4答案：144yxy=4-61O1x讲解：以下图，曲线yx6与x轴交点为(24,0，)与y轴交点为(0,6，)∴4S124(24)614425.由曲线ylnx和直线x2,y2所围成的图形面积为答案：9222e2eyx=2y=lnx11Oxy=-2讲解：以下列图，曲线ylnx与y2的交点为(e2,2)，2212e2(lnx∴Se2lnx(2)dx2)dx2xe2x9222ee2（中等题）6.求由曲线ysin1和y1上的面积。xsinx所围成的图形在区间0,22答案：1yOx讲解：以下列图，Ssin1111xsinxdx0sinxsinxdx022221112cosxcosx2207.求曲线xy1及直线yx,y3所围成的平面图形的面积y1

y=xy=3xy=1O1x讲解：先求交点坐标，由xy1得交点A(1,1)，以y为积分变量，求面积yx311y23dylny4ln3Sy1y21（难题）8.24x2dx的值为（）0(A)2(B)1(C)(D)以上都不对答案：C讲解：由定积分的几何意义可知，所求的为圆x2y24的第一象限的面积S12249.在曲线yx2(x0)上某一点A处作所有线使之与曲线以及x轴所围的面积为1，试求：12（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程。yy=x21ABOC1x解：如右图，设切点A(x0