大题保分练3　三角函数、概率与统计、解析几何、立体几何、选考2选1

6/6大题保分练(三)三角函数、概率与统计、解析几何、立体几何、选考2选11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sinC＋2eq\r(3)sin2eq\f(C,2)＝eq\r(3)，c＝2eq\r(3)，________，求△ABC的周长．从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解．条件①：2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝bc；条件②：S△ABC＝eq\r(3)a，条件③：a(acosC＋ccosA)＝eq\f(\r(3),2)b2.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[解]由3sinC＋2eq\r(3)sin2eq\f(C,2)＝eq\r(3)，得3sinC＋eq\r(3)(1－cosC)＝eq\r(3)，即3sinC－eq\r(3)cosC＝0，所以tanC＝eq\f(\r(3),3)，因为C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,6).选择条件①：由2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝bc，得2bc·cosA＝bc，所以cosA＝eq\f(1,2)，因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以B＝π－A－C＝eq\f(π,2)，所以b＝2c＝4eq\r(3)，a＝eq\r(b2－c2)＝6，所以△ABC的周长为6eq\r(3)＋6.选择条件②：由S△ABC＝eq\r(3)a，得eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)a，所以b＝4eq\r(3)，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，所以12＝48＋a2－12a，即a2－12解得a＝6，所以△ABC的周长为6eq\r(3)＋6.选择条件③：由a(acosC＋ccosA)＝eq\f(\r(3),2)b2及正弦定理得：a(sinAcosC＋sinCcosA)＝eq\f(\r(3),2)bsinB，所以asin(A＋C)＝eq\f(\r(3),2)bsinB，所以asinB＝eq\f(\r(3),2)bsinB，即a＝eq\f(\r(3),2)b，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，所以12＝eq\f(3,4)b2＋b2－eq\f(3,2)b2，所以b＝4eq\r(3)，a＝eq\f(\r(3),2)b＝6，所以△ABC的周长为6eq\r(3)＋6.2．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示．(1)估计这组数据的中位数；(2)现按分层抽样的方法从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300,350)内的概率；(3)某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所有芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定该种植园选择哪种方案获利更多？[解](1)由频率分布直方图可得，前3组的频率和为(0.002＋0.002＋0.003)×50＝0.35<0.5，前4组的频率和为(0.002＋0.002＋0.003＋0.008)×50＝0.75>0.5，所以中位数在[250,300)内，设中位数为x，则有0.35＋(x－250)×0.008＝0.5，解得x＝268.75.故中位数为268.75.(2)设质量在[250,300)内的4个芒果分别为A，B，C，D，质量在[300,350)内的2个芒果分别为a，b.从这6个芒果中选出3个的情况共有(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，D)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，D，a)，(A，D，b)，(A，a，b)，(B，C，D)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，D，a)，(B，D，b)，(B，a，b)，(C，D，a)，(C，D，b)，(C，a，b)，(D，a，b)，共计20种，其中恰有一个在[300,350)内的情况有(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，D，a)，(A，D，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，D，a)，(B，D，b)，(C，D，a)，(C，D，b)，共计12种，因此概率P＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(3)方案A：(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001)×50×10000×10×0.001＝25750元．方案B：由题意，得低于250克有(0.002＋0.002＋0.003)×50×10000×2＝7000元；高于或等于250克有(0.008＋0.004＋0.001)×50×10000×3＝19500元，总计7000＋19500＝26500元．由于25750<26500，故B方案获利更多，应选B方案．3．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为k1，直线NB斜率为k2，求证：eq\f(k1,k2)为定值．[解](1)∵虚轴长为4，∴2b＝4，即b＝2，∵直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线，∴eq\f(b,a)＝2，∴a＝1，故双曲线C的标准方程为x2－eq\f(y2,4)＝1.(2)证明：由题意知，A(－1,0)，B(1,0)，设直线l的方程为x＝ny＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,4)＝1,x＝ny＋2))，得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，∴y1＋y2＝－eq\f(16n,4n2－1)，y1y2＝eq\f(12,4n2－1)，∴ny1y2＝－eq\f(3,4)(y1＋y2)，∵直线MA的斜率k1＝eq\f(y1,x1＋1)，直线NB的斜率k2＝eq\f(y2,x2－1)，∴eq\f(k1,k2)＝eq\f(\f(y1,x1＋1),\f(y2,x2－1))＝eq\f(y1ny2＋1,y2ny1＋3)＝eq\f(ny1y2＋y1,ny1y2＋3y2)＝eq\f(－\f(3,4)y1＋y2＋y1,－\f(3,4)y1＋y2＋3y2)＝－eq\f(1,3)为定值．4.如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝AC＝2，∠ABC＝45°，E是棱PC的中点，F是平面ABE与棱PD的交点．(1)证明：平面PBC⊥平面ABE；(2)设三棱锥F­ACD的体积为V1，四棱锥C­ABEF的体积为V2，求eq\f(V1,V2)的值．[解](1)证明：因为AB＝AC，∠ABC＝45°，所以AB⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，因为AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC，由PC⊂平面PAC，所以AB⊥PC，连接AE，由PA＝AC且PE＝EC，所以AE⊥PC，又AE∩AB＝A，AB，AE⊂平面ABE，所以PC⊥平面ABE，因为PC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABE.(2)由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，因为平面ABE∩平面PCD＝EF，所以AB∥EF，所以PF＝FD，EF＝eq\f(1,2)CD＝1，所以V1＝eq\f(1,2)VP­ACD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AC×CD×PA＝eq\f(2,3)，又由(1)可知，AE⊥EF，CE⊥平面ABEF，所以V2＝eq\f(1,3)S四边形ABEF×CE＝eq\f(1,3)×eq\f(AB＋EF,2)×AE×CE＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(2,3).5．选考题：请考生在以下两题中任选一题作答．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(3)cosα,y＝\r(3)sinα))(α为参数)，直线l的方程为y＝kx.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|＋|OB|＝2eq\r(3)，求k的值．[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(3)cosα，,y＝\r(3)sinα))(α为参数)，消去参数得其普通方程为x2－4x＋y2＋1＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))得曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋1＝0.(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ∈R，θ1∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))))，其中θ1为直线l的倾斜角，代入曲线C得ρ2－4ρcosθ1＋1＝0.设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，所以Δ＝16cos2θ1－4＞0，ρ1＋ρ2＝4cosθ1，ρ1ρ2＝1＞0，因为|OA|＋|OB|＝|ρ1|＋|ρ2|＝|ρ1＋ρ2|＝2eq\r(3)，所以cosθ1＝±eq\f(\r(3),2)，满足Δ＞0，所以θ1＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)，即l的倾斜角为eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)，则k＝tanθ1＝eq\f(\r(3),3)或－eq\f(\r(3),3).[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－4a|＋|x|，a∈R(1)若不等式f(x)≥a2对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围；(2)设实数m为(1)中a的最大值，若实数x，y，z满足4x＋2y＋z＝m，求(x＋y)2＋y2＋z2的最小值．[解](1)因为f(x)＝|x－4a|＋|x|≥|x－4a－x|＝4|所以a2≤4|a|，解得－4≤a≤4.故实数a