解读IEEE标准754浮点数定义

解读IEEE标准754：浮点数表示

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20060623-06:44增加了求最大非规格数的公式

20060622-23:40修改了几处笔误，换掉了实验部分的那张大图，改用代码显示。

一、背景

在IEEE标准754之前，业界并没有一个统一的浮点数标准，相反，很多计算机制造商都设计自己的浮点数规则，以及运算细节。那时，实现的速度和简易性比数字的精确性更受重视。

直到1985年Intel打算为其的8086微处理器引进一种浮点数协处理器的时候，聪明地意识到，作为设计芯片者的电子工程师和固体物理学家们，也许并不能通过数值分析来选择最合理的浮点数二进制格式。于是Intel在请加州大学伯克利分校的WilliamKahan教授──最优秀的数值分析家之一来为8087FPU设计浮点数格式;而这个家伙又找来两个专家来协助他，于是就有了KCS组合（Kahn,Coonan,andStone）。他们共同完成了Intel的浮点数格式设计，而且完成地如此出色，以致于IEEE组织决定采用一个非常接近KCS的方案作为IEEE的标准浮点格式。目前，几乎所有计算机都支持该标准，大大改善了科学应用程序的可移植性。

二、表示形式

从表面上看，浮点数也是一串0和1构成的位序列(bitsequence)，并不是三头六臂的怪物，更不会咬人。然而IEEE标准从逻辑上用三元组{S,E,M}表示一个数N,如下图所示：N的实际值n由下列式子表示：其中：

★n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。

★S(sign)表示N的符号位。对应值s满足：n>0时，s=0;n<0时，s=1。

★E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。对应值e值也可正可负。

★M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）,甚至被称作“小数”。

三、浮点数格式

IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。

★单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。★双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。

值得注意的是，M虽然是23位或者52位，但它们只是表示小数点之后的二进制位数，也就是说，假定M为“010110011...”,在二进制数值上其实是“.010110011...”。而事实上，标准规定小数点左边还有一个隐含位，这个隐含位通常，哦不，应该说绝大多数情况下是1，那什么情况下是0呢？答案是N对应的n非常小的时候，比如小于2^(-126)(32位单精度浮点数)。不要困惑怎么计算出来的，看到后面你就会明白。总之，隐含位算是赚来了一位精度,于是M对应的m最后结果可能是"m=1.010110011...”或者“m=0.010110011...”

四、计算e、m

首先将提到令初学者头疼的“规格化(normalized)”、“非规格化(denormalized)”。噢，其实并没有这么难的，跟我来！掌握它以后你会发现一切都很优雅,更美妙的是，规格化、非规格化本身的概念几乎不怎么重要。请牢记这句话：规格化与否全看指数E！

下面分三种情况讨论E，并分别计算e和m:

1、规格化：当E的二进制位不全为0,也不全为1时，N为规格化形式。此时e被解释为表示偏置（biased）形式的整数,e值计算公式如下图所示：上图中，|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为"10000100",则|E|=132,e=132-127=5。k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。

此时m的计算公式如下图所示：

标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。如M="101"，则|1.M|=|1.101|=1.625,即m=1.625

2、非规格化：当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式。此时e，m的计算都非常简单。

注意，此时小数点左侧的隐含位为0。

为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。后文我们还会继续讨论。

有了非规格化形式，我们就可以表示0了。把符号位S值1,其余所有位均置0后，我们得到了-0.0;同理，把所有位均置0,则得到+0.0。非规格化数还有其他用途，比如表示非常接近0的小数，而且这些小数均匀地接近0,称为“逐渐下溢(graduallyunderflow)”属性。

3、特殊数值：当E的二进制位全为1时为特殊数值。此时，若M的二进制位全为0，则n表示无穷大，若S为1则为负无穷大，若S为0则为正无穷大;若M的二进制位不全为0时，表示NaN(NotaNumber)，表示这不是一个合法实数或无穷，或者该数未经初始化。

五、范例

仔细研读第四点后，再回忆一下文章开头计算n的公式，你应该写出一个浮点编码的实际值n了吧？还不能吗？不急，我先给你示范一下。我们假定N是一个8位浮点数，其中，S占1位，E占4位，M占3位。下面这张表罗列了N可能的正数形式，也包含了e、m等值，请你对照着这张表，重温一下第四点，你会慢慢明白的。说实在的，这张表花了我不少功夫呢,幸好TeX画表格还算省事！

这张表里头有很多有趣的地方，我提醒一下：

★看N列，从上到下，二进制位表示是均匀递增的，且增量都是一个最小二进制位。这不是偶然，正是巧妙设计的结果。观察最大的非规格数，发现恰好就是M全为1,E全为0的情况。于是我们求出最大的非规格数为：上面的公式中，h为M的位数(如范例中为3)。注意，公式等号右边的第一项同时又是最小规格数的值（如范例中为8/512）;第二项则正是最小非规格数的值(如范例中为1/512)即该浮点数能表示的最小正数。

★看m列，规格化数都是1+x的形式，这个1正是隐含位1;而非规格化数隐含位为0,所以没有"1+"。

★看n列，非规格化数从上到下的增量都是1/512,且过渡到规格化数时，增量是平滑的，依旧是1/512。这正是非规格化数中e等于(1-bias)而不是(-bias)的缘故，也是巧妙设计的结果。再继续往下看，发现增量值逐渐增大。可见，浮点数的取值范围不是均匀的。

六、实战

我们用一小段汇编来测试一下，浮点数在内存中是如何表示的。测试环境：GentooLinux2006.0/GNUassemblerversion2.16.1/GNUgdb6.4/AMDXP1600+。如下所示

代码:

~/coding/assemble$

gdb

(gdb)list

1

.section.data

2

f1:

3

.float

5

4

f2:

5

.float

0.1

6

.section.text

7

.global_start

8

_start:

9

nop

10

(gdb)x/f&f1

0x80490a4<f1>:

5

(gdb)x/xw&f10x80490a4<f1>:

0x40a00000

(gdb)x/f&f20x80490a8<f2>:

0.100000001

(gdb)x/xw&f20x80490a8<f2>:

0x3dcccccd

(gdb)从上面的gdb命令结果可以看出，浮点数5被表示为0x40a00000，二进制形式为(0100000010100000...00000000)。红色数字为E，可以看出|E|=129>0,则e=129-bias=129-127=2；蓝色数字为M,且|E|>0，说明是规格化数，则m=|1.M|=|1.01000..000|=1.25;由n的计算公式可以求得n=(-1)^0*1.25*2^2

=5，结果被验证了。

同样，你也可以验证一下十进制浮点数0.1的二进制形式是否正确，你会发现，0.1不能表示为有限个二进制位，因此在内存中的表示是舍入(rounding)以后的结果，即0x3dcccccd,十进制为0.100000001，误差0.000000001由此产生了。

七、未完成

关于浮点数，还有很多东西（比如舍入误差、除零异常等等）值得我们深入探讨，但已经无法在此继续。这篇文章的目的仅在初步解释IEEE标准754对浮点数的规定以及一些奇妙的地方。写这篇文章花掉了我整天的时间，但也使我彻底记住了以前让我胆怯的东西──最重要的是，希望这篇文章对大家有点用处，也算我为计算机科学基础理论版以及L做的一点贡献。

参考书目：

①:RandallHyde,TheArtofAssemblyLanguage,Vol.1,4.2.1

②:RandalE.Bryant,DavidR.O’Hallaron,ComputerSystemsAProgrammer’sPerspective(BetaDraft),PartⅠ，Chapt.Ⅱ，2.4

③:

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