2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(辽宁卷)文

辽宁文科1.(2012辽宁,文1)已知向量a=(1,-1),b=(2,x).若a·b=1,则x=().A.-1B.-C.D.1D由a·b=1,得1×2-1×x=1,解得x=1,故选D.2.(2012辽宁,文2)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(∁UA)∩(∁UB)=().A.{5,8} B.{7,9}C.{0,1,3} D.{2,4,6}B由已知可得,∁UA={2,4,6,7,9},∁UB={0,1,3,7,9},于是(∁UA)∩(∁UB)={7,9},故选B.3.(2012辽宁,文3)复数=().A.-i B.+iC.1-i D.1+iA===-i,故选A.4.(2012辽宁,文4)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=().A.12 B.16 C.20 D.24B由等差数列的性质知,a2+a10=a4+a8=16,故选B.5.(2012辽宁,文5)已知命题p:∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则p是().A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0C全称命题的否定为存在性命题,即若p为“∀x∈M,q(x)”,则p为“∃x∈M,q(x)”,故选C.6.(2012辽宁,文6)已知sinα-cosα=,α∈(0,π),则sin2α=().A.-1 B.- C. D.1A将sinα-cosα=两端同时平方得,(sinα-cosα)2=2,整理得1-2sinαcosα=2,于是sin2α=2sinαcosα=-1,故选A.7.(2012辽宁,文7)将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是().A.x+y-1=0 B.x+y+3=0C.x-y+1=0 D.x-y+3=0C圆x2+y2-2x-4y+1=0可化为标准方程(x-1)2+(y-2)2=4,要使直线平分此圆,则直线需过圆心(1,2).因此可通过代入法,看哪一条直线过圆心(1,2)即可.经检验,选项C满足条件.故选C.8.(2012辽宁,文8)函数y=x2-lnx的单调递减区间为().A.(-1,1] B.(0,1]C.[1,+∞) D.(0,+∞)B对函数y=x2-lnx求导,得y'=x-=(x>0),令解得x∈(0,1].因此函数y=x2-lnx的单调递减区间为(0,1].故选B.9.(2012辽宁,文9)设变量x,y满足则2x+3y的最大值为().A.20 B.35 C.45 D.55D作出可行域如图所示.令z=2x+3y,则y=-x+z,要使z取得最大值,则需求直线y=-x+z在y轴上的截距的最大值,移动直线l0:y=-x,可知当l0过点C(5,15)时,z取最大值,且zmax=2×5+3×15=55,于是2x+3y的最大值为55.故选D.10.(2012辽宁,文10)执行如图所示的程序框图,则输出的S值是().A.4B.C.D.-1D初始:S=4,i=1,第一次循环:1<6,S==-1,i=2;第二次循环:2<6,S==,i=3;第三次循环:3<6,S==,i=4;第四次循环:4<6,S==4,i=5;第五次循环:5<6,S==-1,i=6.6<6不成立,此时跳出循环,输出S值,S值为-1.故选D.11.(2012辽宁,文11)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为().A. B. C. D.C此概型为几何概型,由于在长为12cm的线段AB上任取一点C,因此总的几何度量为12,满足矩形面积大于20cm2的点在C1与C2之间的部分,如图所示.因此所求概率为,即,故选C.12.(2012辽宁,文12)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为().A.1 B.3 C.-4 D.-8C如图所示,由已知可设P(4,y1),Q(-2,y2),∵点P,Q在抛物线x2=2y上,∴∴∴P(4,8),Q(-2,2),又∵抛物线可化为y=x2,∴y'=x,∴过点P的切线斜率为y'=4,∴过点P的切线为y-8=4(x-4),即y=4x-8.又∵过点Q的切线斜率为y'=-2,∴过点Q的切线为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2.联立解得x=1,y=-4,∴点A的纵坐标为-4.13.(2012辽宁,文13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.

12+π如图所示,由已知得该几何体为一组合体,上面是底面圆半径为1,高为1的圆柱,下面是长为4,宽为3,高为1的长方体,如图所示.故所求体积V=π×12×1+4×3×1=12+π.14.(2012辽宁,文14)已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=.

2∵等比数列{an}为递增数列,且a1>0,∴公比q>1.又∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an+2anq2=5anq.∵an≠0,∴2q2-5q+2=0.∴q=2或q=(舍去).∴公比q为2.15.(2012辽宁,文15)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点.若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为.

2设|PF1|=m,|PF2|=n,根据双曲线的定义及已知条件可得|m-n|=2a=2,m2+n2=4c2=8,故mn=2,(|PF1|+|PF2|)2=(m+n)2=(m-n)2+4mn=4+4×2=12,于是|PF1|+|PF2|=2.16.(2012辽宁,文16)已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形.若PA=2,则△OAB的面积为.

3如图所示,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC.故可知PC为球O直径,则PC的中点为O,取AC的中点为O',则OO'=PA=,又∵AC==2,PA=2,∴PC==4,∴球半径R=2,故OC=OA=OB=2,又∵AB=2,∴△OAB为等边三角形.∴S△OAB=×2×2×sin60°=3.17.(2012辽宁,文17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.(1)求cosB的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值.解:(1)由已知2B=A+C,A+B+C=180°,解得B=60°,所以cosB=.(2)方法一:由已知b2=ac,及cosB=,根据正弦定理得sin2B=sinAsinC,所以sinAsinC=1-cos2B=.方法二:由已知b2=ac,及cosB=,根据余弦定理得cosB=,解得a=c,所以B=A=C=60°,故sinAsinC=.18.(2012辽宁,文18)如图,直三棱柱ABC-A'B'C',∠BAC=90°,AB=AC=,AA'=1,点M,N分别为A'B和B'C'的中点.(1)证明:MN∥平面A'ACC';(2)求三棱锥A'-MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)(1)证法一:连结AB',AC',由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,所以M为AB'中点.又因为N为B'C'的中点,所以MN∥AC'.又MN⊄平面A'ACC',AC'⊂平面A'ACC',因此MN∥平面A'ACC'.证法二:取A'B'中点P,连结MP,NP.而M,N分别为AB'与B'C'的中点,所以MP∥AA',PN∥A'C',所以MP∥平面A'ACC',PN∥平面A'ACC'.又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A'ACC'.而MN⊂平面MPN,因此MN∥平面A'ACC'.(2)解法一:连结BN,由题意A'N⊥B'C',平面A'B'C'∩平面B'BCC'=B'C',所以A'N⊥平面NBC.又A'N=B'C'=1,故VA'-MNC=VN-A'MC=VN-A'BC=VA'-NBC=.解法二:VA'-MNC=VA'-NBC-VM-NBC=VA'-NBC=.19.(2012辽宁,文19)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性.(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女合计(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有2名女性.若从“超级体育迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.附:χ2=.P(χ2≥k)0.050.01k3.8416.635解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”为25人,从而完成2×2列联表如下:非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算,得χ2===≈3.030.因为3.030<3.841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为5人,从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)}.其中ai表示男性,i=1,2,3.bj表示女性,j=1,2.Ω由10个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“任选2人中,至少有1人是女性”这一事件,则A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},事件A由7个基本事件组成,因而P(A)=.20.(2012辽宁,文20)如图,动圆C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆C2:+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点.(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积;(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.解:(1)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0||y0|.由+=1得=1-,从而==-+.当=,=时,Smax=6.从而t=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为6.(2)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知直线AA1的方程为y=(x+3),①直线A2B的方程为y=(x-3),②由①②得y2=(x2-9).③又点A(x0,y0)在椭圆C上,故=1-.④将④代入③得-y2=1(x<-3,y<0).因此点M的轨迹方程为-y2=1(x<-3,y<0).21.(2012辽宁,文21)设f(x)=lnx+-1,证明:(1)当x>1时,f(x)<(x-1);(2)当1<x<3时,f(x)<.(1)证法一:记g(x)=lnx+-1-(x-1),则当x>1时,g'(x)=+-<0.又g(1)=0,有g(x)<0,即f(x)<(x-1).证法二:由均值不等式,当x>1时,2<x+1,故<+.①令k(x)=lnx-x+1,则k(1)=0,k'(x)=-1<0.故k(x)<0,即lnx<x-1.②由①②得,当x>1时,f(x)<(x-1).(2)证法一:记h(x)=f(x)-.由(1)得h'(x)=+-=-<-=.令g(x)=(x+5)3-216x.则当1<x<3时,g'(x)=3(x+5)2-216<0,因此g(x)在(1,3)内是递减函数.又由g(1)=0,得g(x)<0,所以h'(x)<0,因此h(x)在(1,3)内是递减函数.又h(1)=0,得h(x)<0.于是当1<x<3时,f(x)<.证法二:记h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1),则当1<x<3时,由(1)得h'(x)=f(x)+(x+5)f'(x)-9<(x-1)+(x+5)-9=[3x(x-1)+(x+5)(2+)-18x]<=(7x2-32x+25)<0,因此h(x)在(1,3)内单调递减.又h(1)=0,所以h(x)<0,即f(x)<.22.(2012辽宁,文22)选修4-1:几何证明选讲如图,☉O和☉O'相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连结DB并延长交☉O于点E.证明:(1)AC·BD=AD·AB;(2)AC=AE.证明:(1)由AC与☉O'相切于A,得∠CAB=∠ADB,同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB,从而=,即AC·BD=AD·AB.(2)由AD与☉O相切于A,得∠AED=∠BAD.又∠