2015考前过电影资料1

数与式第1节实数实数的分类eq\a\vs4\al(实,数)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有理数\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(整数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正整数,,负整数)),\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正分数,))))\a\vs4\al(有限小数或无限,循环小数),\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(正无理数,负无理数))无限不循环小数))实数的有关概念1．数轴的三要素：________、________和单位长度．2．实数与数轴：实数与数轴上的点________对应．3．实数的相反数、倒数、绝对值：实数a的相反数为________；若a，b互为相反数，则a＋b＝________；非零实数a的倒数为________(a≠0)；若a，b互为倒数，则ab＝________；实数a的绝对值为|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a≥0），,（a＜0）.))4．乘方：求n个________因数a的________的运算叫做乘方．科学记数法、近似数1．科学记数法：一般形式为a×10n(________≤|a|＜________，n为整数)．2．近似数：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．类型：实数的有关概念【例1】下列说法正确的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))eq\s\up12(0)是无理数B.eq\f(\r(3),3)是有理数C.eq\r(4)是无理数D.eq\r(3,－8)是有理数熟练掌握实数的基本概念是解题的关键，对实数分类不能只看形式，能化简的应先化简，再根据结果去判断．科学记数法、近似数【例2】2013年12月15日，我国“玉兔号”月球车顺利抵达月球表面，月球离地球平均距离是384400000米，数据384400000用科学记数法表示为()A．3.844×108B．3.844×107C．3.844×109D．38.44×106用科学记数法表示有单位的数时，易把单位漏掉，导致含单位的近似数的精确度与不含单位的近似数的精确度混淆．【例3】2014年三月发生了一件举国悲痛的空难事件——马航失联，该飞机上有中国公民154名．噩耗传来后，我国为了搜寻生还者及找到失联飞机，在搜救方面花费了大量的人力物力，已花费人民币大约934千万元．把934千万元用科学记数法表示为()元．A．9.34×102B．0.934×103C．9.34×109D．9.34×1010真题热身：1．如果温泉河的水位升高0.8m时水位变化记作＋0.8m，那么水位下降0.5m时水位变化记作()A．0mB．0.5mC．－0.8mD．－0.5m2．下列实数中是无理数的是()A.eq\f(22,7)B．2－2C．5.eq\o(15,\s\up6(··))D．sin45°3．将6.18×10－3化为小数是()A．0.000618B．0.00618C．0.0618D．0.6184．点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别为－3，1，若BC＝2，则AC等于()A．3B．2C．3或5D．2或65．(1)实数－12的相反数是____；(2)计算：|－eq\r(2)|＝____．6．已知一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n个数是____．第2节实数的运算实数的运算1．在实数范围内，加、减、乘、除(除数不为0)、乘方都可以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和0总能进行开方运算，而负实数只能开立方，不能________．2．有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算．3．实数的运算顺序：先算________、开方，再算乘除，最后算________，有括号要先算括号内的，若没有括号，在同一级运算中，要从________至________依次进行运算．4．实数的混合运算经常把零指数幂、负整数指数幂、绝对值、根式、三角函数等知识结合起来，解这类问题时，应明确各种运算的含义，如：a0＝________(a≠0)，a－p＝________(a≠0，p是正整数)．实数的大小比较1．数轴比较：将两个实数分别表示在数轴上，右边的数总比________大．2．差值比较：若a，b是任意两个实数，则a－b＞0⇔a____b，a－b＜0⇔a____b，a－b＝0⇔a______b.3．绝对值比较：若a，b是两个负数，则|a|＞|b|⇔a______b，|a|＜|b|⇔a______b.4．除此之外，还有商值比较法、平方法、倒数法等.类型：实数的运算【例1】计算：eq\r(12)－4sin60°＋(π＋2)0＋(eq\f(1,2))－2.观察运算种类，确定运算顺序，把握每步的运算法则和符号，灵活运用运算律．实数的大小比较【例2】(1)若0＜x＜1，则x，eq\f(1,x)，x2的大小关系是()A.eq\f(1,x)＜x＜x2B．x＜eq\f(1,x)＜x2C．x2＜x＜eq\f(1,x)D.eq\f(1,x)＜x2＜x(2)下列无理数中，在－2与1之间的是()A．－eq\r(5)B．－eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\r(5)对于负数的符号变化理解不深刻，对实数幂的运算不熟练，导致在计算过程中出现正数变负、负数变正的情况．【例3】计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(－2)－|1－eq\r(3)|－(eq\r(2012)－1)0＋2sin60°＋eq\f(\r(8),2).真题热身1．(－2)×3的结果是()A．－5B．1C．－6D．62．下列运算正确的是()A.eq\f(1,3)×(－3)＝3B．5－8＝－3C．2－3＝6D．(－2013)0＝03．估计eq\r(5)在()A．0～1之间B．1～2之间C．2～3之间D．3～4之间4．在1，0，2，－3这四个数中，最大的数是()A．1B．0C．2D．－35．计算：(1)(－1)2014＋eq\r(3,8)－(eq\f(1,3))－1＋eq\r(2)sin45°；(2)2tan30°－|1－eq\r(3)|＋(2014－eq\r(2))0＋eq\r(\f(1,3)).6．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，……第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简：S1＋S2＋S3＋…＋S2014＝___．第3节整式整式的有关概念1．整式：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(系数：单项式中的数字,次数：单项式中所有字母指数的)),多项式))2．同类项：所含有的______相同，并且______字母的______也分别相同的项．代数式、代数式的值1．代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把______或表示______的______连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．2．代数式的值：用数值代替代数式里的________，计算后所得的结果．整式的运算eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(整式的加减：整式的加减实际上是,整式的乘除,乘法公式\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平方差公式：（a＋b）（a－b）＝,完全平方公式：（a±b）2＝))))幂的运算性质1．am·an＝______(m，n都是正整数)．2．(ab)n＝______(n是正整数)．3．(am)n＝______(m，n都是正整数)．4．am÷an＝______(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)．因式分解1．分解因式：把一个多项式化成几个因式________的形式．2．分解因式的方法：(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝________.(2)公式法：a2－b2＝________；a2±2ab＋b2＝________.类型：代数式【例1】(1)某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则最后的单价是()A．a元B．0.99a元C．1.21a元D．0.81a元(2)体育委员带了500元钱去买体育用品，已知一个足球a元，一个篮球b元，则代数式500－3a－2b表示的意义为__．(1)列代数式的关键是明白题目给定的数或数量关系；(2)对于代数式的意义，注意每步运算结果不引起误解，同时注意符合实际意义．整式的运算【例2】(1)下列计算正确的是()A．x4·x4＝x16B．(a3)2＝a5C．(ab2)3＝ab6D．a＋2a＝3a(2)已知x－y＝eq\r(3)，求代数式(x＋1)2－2x＋y(y－2x)的值．(1)观察特点，正确运用整式的有关运算法则及幂的运算法则；(2)利用乘法公式展开化简，注意整体代入．因式分解【例3】(1)下列式子从左到右变形是因式分解的是()A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25(2)把代数式2x2－18分解因式，结果正确的是()A．2(x2－9)B．2(x－3)2C．2(x＋3)(x－3)D．2(x＋9)(x－9)因式分解是把和差形式(多项式)化为整式积的形式，因式分解是恒等变形，分解的结果：每一个多项式因式都不能再分解，相同因式写成幂的形式，不能含多重括号．对实数幂的运算理解和运用不熟易与乘法混淆；整式运算去括号，其括号前面是负号时，括号内的每一项都要变号；因式分解应分解彻底．【例4】(1)下列运算正确的是()A．2a2＋a＝3a3B．(－a)2÷a＝aC．(－a)3·a2＝－a6D．(2a2)3＝6a6(2)(分解因式：a3－a＝____．真题热身1．如果整式xn－2－5x＋2是关于x的三次三项式，那么n等于()A．3B．4C．5D．62．下列各式计算正确的是()A．(a＋b)2＝a2＋b2B．a·a2＝a3C．a8÷a2＝a4D．a2＋a3＝a53．下面的多项式在实数范围内能因式分解的是()A．x2＋y2B．x2－yC．x2＋x＋1D．x2－2x＋14．若ab＝3，a－2b＝5，则a2b－2ab2的值是___．5．化简：(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab.6．先化简，再求值：(x＋2)2＋x(2－x)，其中x＝eq\f(1,3).第4节分式分式1．分式的概念：形如eq\f(A,B)的式子叫做分式，A和B均为________，B中含有________．2．分式的性质、约分、通分：(1)性质：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是________的整式)．(2)约分：把一个分式的分子和分母的________约去，这种变形叫做约分．(3)通分：根据分式的基本性质把异分母的分式化为________的分式，这一过程叫做通分．分式的运算1．分式的乘、除法：eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝________，eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝________＝eq\f(ad,bc).2．分式的乘方：(eq\f(a,b))n＝________(n为正整数)．3．分式的加减法．4．分式的混合运算．类型：分式及其性质【例1】(1)分式eq\f(|x|－3,x＋3)的值为0，则x的值为()A．3B．－3C．±3D．任意实数(2)已知分式eq\f(x－3,x2－5x＋a)，当x＝2时，分式无意义，则a＝____；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有____个．分式有无意义，主要看分母；若分式值为0，则分子为0且分母不为0.分式的运算【例2】(1)当x＝eq\r(2)－1时，代数式eq\f(x2－2x＋1,x＋1)÷eq\f(x－1,x2＋x)＋x＝____；(2)先化简：1－eq\f(a－1,a)÷eq\f(a2－1,a2＋2a)，再选取一个合适的a值代入计算．依分式的特点，能先化简的，应先化简，再依分式混合运算的顺序进行运算，注意方法的灵活性．对于分式值的计算，所取字母的值必须使原分式有意义．分式通分要注意符号的改变，分式代值运算必须使原分式有意义．【例3】先化简(eq\f(1,a－1)－eq\f(1,a＋1))÷eq\f(a,2a2－2)，然后从1，eq\r(2)，－1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．真题热身1．计算eq\f(x2－4,x－2)的结果是()A．x－2B．x＋2C.eq\f(x－4,2)D.eq\f(x＋2,x)2．分式eq\f(2,2－x)可变形为()A.eq\f(2,2＋x)B．－eq\f(2,2＋x)C.eq\f(2,x－2)D．－eq\f(2,x－2)3．若分式eq\f(1,x－5)有意义，则实数x的取值范围是___．4．计算：eq\f(m,2m＋1)＋eq\f(m＋1,2m＋1)＝____．5．计算：(1)(a2＋3a)÷eq\f(a2－9,a－3)；(2)(a＋eq\f(1,a－2))÷(1＋eq\f(1,a－2))．6．先化简，再求值：eq\f(a－b,a＋2b)÷eq\f(a2－b2,a2＋4ab＋4b2)－1，其中a＝2sin60°－tan45°，b＝1.第5节二次根式平方根、算术平方根、立方根的定义1．平方根：一个数x的________等于a，那么x叫做a的平方根，记为±eq\r(a).2．算术平方根：一个正数x的________等于a，那么x叫做a的算术平方根，记为eq\r(a).0的算术平方根是0.3．立方根：一个数x的________等于a，那么x叫做a的立方根．二次根式的有关概念1．形如eq\r(a)(________)的式子叫做二次根式．2．最简二次根式：①被开方数中不含________；②被开方数中不含________的因数或因式．二次根式的性质1.eq\r(a)(a≥0)是________数．2．(eq\r(a))2＝________(a≥0)；eq\r(a2)＝______________.3.eq\r(ab)＝________(a≥0，b≥0)，eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a____0，b____0)．二次根式的运算1．二次根式的加减法：先将二次根式化成________二次根式，再合并________二次根式．2．二次根式的乘除法：eq\r(a)·eq\r(b)＝______(a≥0，b≥0)；eq\f(\r(a),\r(b))＝________(a≥0，b＞0)．类型：平方根、算术平方根、立方根【例1】(1)4的算术平方根是()A．－2B．2C．±2D．16(2)－8的立方根是()A．－2B．±2C．2D．－eq\f(1,2)(3)已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a是____．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，其正的平方根叫做这个正数的算术平方根，非负数a的算术平方根eq\r(a)≥0.二次根式的概念及性质【例2】(1)若代数式eq\f(\r(x＋1),（x－3）2)有意义，则实数x的取值范围是()A．x≥－1B．x≥－1且x≠3C．x＞－1D．x＞－1且x≠3(2)若eq\r(（2a－1）2)＝1－2a，则()A．a＜eq\f(1,2)B．a≤eq\f(1,2)C．a＞eq\f(1,2)D．a≥eq\f(1,2)二次根式eq\r(a)有意义，则a≥0；(eq\r(a))2＝a(a≥0)，eq\r(a2)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a＜0）.))二次根式的运算【例3】下列计算错误的是()A.eq\r(2)·eq\r(3)＝eq\r(6)B.eq\r(2)＋eq\r(3)＝eq\r(5)C.eq\r(12)÷eq\r(3)＝2D.eq\r(8)＝2eq\r(2)(2)算式(eq\r(6)＋eq\r(10)×eq\r(15))×eq\r(3)之值为何？()A．2eq\r(42)B．12eq\r(5)C．12eq\r(13)D．18eq\r(2)二次根式的加减实质是合并同类二次根式，故应先对式子中的每个二次根式化简，然后对同类二次根式合并；对于二次根式的乘除法，应灵活运用其法则，注意约分、化简．对于一个二次根式，被开方数必须为非负数，当分母中含根号时，应使分式有意义．【例4】要使eq\r(3－x)＋eq\f(1,\r(2x－1))有意义，则x应满足()A.eq\f(1,2)≤x≤3B．x≤3且x≠eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)＜x＜3D.eq\f(1,2)＜x≤3真题热身1．下列式子中，属于最简二次根式的是()A.eq\r(9)B.eq\r(7)C.eq\r(20)D.eq\r(\f(1,3))2．若(m－1)2＋eq\r(n＋2)＝0，则m＋n的值是()A．－1B．0C．1D．23．计算eq\r(8)×eq\r(\f(1,2))＋(eq\r(2))0的结果为()A．2＋eq\r(2)B.eq\r(2)＋1C．3D．54．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))；②eq\r(\f(a,b))·eq\r(\f(b,a))＝1；③eq\r(ab)÷eq\r(\f(a,b))＝－b.其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③5．计算：eq\f(\r(40)＋\r(5),\r(5))＝____．6．若y＝eq\f(\r(x－4)＋\r(4－x),2)－2，则(x＋y)y＝____．第二章方程与不等式（组）第1节一次方程与方程组等式的性质1．等式的两边都加上(或减去)同一个________(或________)，结果仍相等．2．等式的两边都乘以同一个________，或除以同一个________，结果仍相等．一元一次方程1．方程的解：使方程左右两边______的未知数的值．2．一元一次方程：含有________个未知数，且未知数的次数都是________的整式方程．3．解一元一次方程的一般步骤：(1)去________；(2)去________；(3)________；(4)合并同类项；(5)系数化为1.二元一次方程1．定义：含有________个未知数，且未知数的次数都是________的整式方程．2．二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值．二元一次方程组1．定义：含有________个未知数的两个一次方程组成的方程组．2．二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的________．3．解二元一次方程的基本方法：________消元法，________消元法．列方程(组)解应用题的一般步骤审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答．类型：一次方程(组)的有关概念【例1】(1)已知关于x的方程2x－a－5＝0的解是x＝－2，则a的值为()A．1B．－1C．9D．－9(2)二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组中不是该方程的解的是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝－\f(1,2)))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝0))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－1))利用方程解的定义代入方程→判断选项对错．一次方程(组)的解法【例2】解方程(组)：(1)eq\f(0.1x－0.2,0.02)－eq\f(x＋1,0.5)＝3；(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝8，①,3x＋y＝12.②))1．一元一次方程的分母为小数，利用分式的基本性质化小数(分数)为整数，再按解一元一次方程的一般步骤去解：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.2．解方程组的基本思想是消元，基本方法：二元一次方程组eq\o(→,\s\up7(代入或加减),\s\do5(转化))一元一次方程．一次方程(组)的应用【例3】(1)某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位．要求租用的车辆不留空座，也不能超载，有____种租车方案；(2)今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求该市今年外来和外出旅游的人数．仔细审题→找等量关系→设未知数→列方程(组)→解方程(组)→验证、作答．真题热身1．把方程eq\f(1,2)x＝1变形为x＝2，其依据是()A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质12．六一儿童节前夕，某超市用3360元购进A，B两种童装共120套，其中A型童装每套24元，B型童装每套36元．若设购买A型童装x套，B型童装y套，依题意列方程组正确的是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝120,36x＋24y＝3360))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝120,24x＋36y＝3360))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(36x＋24y＝120,x＋y＝3360))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(24x＋36y＝120,x＋y＝3360))3．方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,2x＋y＝6))的解是____．4．七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍少56人，设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为__．5．已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))是二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx＋ny＝7，,nx－my＝1))的解，则m＋3n的立方根为____．6．小明在某商店购买商品A，B共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如下表：购买商品A的数量(个)购买商品B的数量(个)购买总费用(元)第一次购物651140第二次购物371110第三次购物981062(1)小明以折扣价购买商品是第____次购物；(2)求商品A，B的标价；(3)若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？第2节一元二次方程一元二次方程1．定义：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程．2．一般形式：________________(a≠0)．一元二次方程的解法配方法，________法，________法．一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：b2－4ac＞0⇔方程有两个________的实数根；b2－4ac＝0⇔方程有两个________的实数根；b2－4ac＜0⇔方程________实数根．一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝________，x1x2＝________.一元二次方程的应用步骤：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答．类型：一元二次方程及解法【例1】(1)已知x＝－2是方程x2＋mx－6＝0的一个根，则方程的另一个根是___．(2)解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.(1)由根的定义→代入求值→解方程，或由两根之积等于－6→求另一根；(2)化简→观察方程特点→利用配方法或公式法求解．一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系【例2】(1)如果关于x的一元二次方程kx2－eq\r(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是()A．k＜eq\f(1,2)B．k＜eq\f(1,2)且k≠0C．－eq\f(1,2)≤k＜eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)≤k＜eq\f(1,2)且k≠0(2)方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x12＋x22＝4，则k的值为____．(1)理解题意，观察方程特点→k≠0，2k＋1≥0，Δ＞0；(2)两个实数根→Δ≥0，x12＋x22＝4→(x1＋x2)2－2x1x2＝4，把x1＋x2，x1x2的结果代入，求出k的值．注意：所求k值必须使Δ≥0.一元二次方程的应用【例3】某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为___万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率x.审题确定相等关系→设未知数→列方程→求解、验证．真题热身1．一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝____．2．已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为()A．1B．－1C．0D．－23．x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝0成立？则正确的结论是()A．m＝0时成立B．m＝2时成立C．m＝0或2时成立D．不存在4．解方程：(1)x2＋4x－1＝0；(2)x2－3x－1＝0.5．已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．6．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？第3节分式方程分式方程1．定义：分母中含有________的方程叫做分式方程．2．思路、方法：(1)解分式方程的基本思路是将分式方程转化为________；(2)具体的方法是________，即方程两边同乘以________．3．解分式方程必须________．分式方程的应用分式方程的应用与整式方程的应用类似，关键要分清题目中的等量关系，不同的是要注意验根：(1)检验所求的解是否是原方程的解；(2)检验所求的解是否符合________．类型：分式方程及解法【例1】解分式方程：eq\f(2,x－2)＋3＝eq\f(1－x,2－x).去分母，转化为整式方程→解这个整式方程→验根．分式方程的应用【例2】几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．审题确定等量关系→设未知数→列方程→解方程→验根，判断根是否合理→确定根并作答．解分式方程时，注意不要漏乘不含分母的项和忘记验根．【例3】解分式方程：eq\f(2＋x,2－x)＋eq\f(16,x2－4)＝－1.真题热身：1．把分式方程eq\f(2,x＋4)＝eq\f(1,x)转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以()A．xB．2xC．x＋4D．x(x＋4)2．分式方程eq\f(5,x＋2)＝eq\f(3,x)的解为()A．1B．2C．3D．43．某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务，若设原计划每天修建道路xm，则根据题意可列方程为()A.eq\f(1200,（1－20%）x)－eq\f(1200,x)＝2B.eq\f(1200,（1＋20%）x)－eq\f(1200,x)＝2C.eq\f(1200,x)－eq\f(1200,（1－20%）x)＝2D.eq\f(1200,x)－eq\f(1200,（1＋20%）x)＝24．关于x的方程eq\f(ax＋1,x－2)＝－1的解是正数，则a的取值范围为____．5．若关于x的方程eq\f(ax,x－2)＝eq\f(4,x－2)＋1无解，则a的值是___．6．解方程：(1)eq\f(x,x－2)＝eq\f(1,2－x)；(2)eq\f(1,x－1)＋eq\f(2,x2－1)＝0.第4节一元一次不等式(组)不等式用________连接起来的式子，叫做不等式．不等式的性质1．如果a＞b，那么a±c________b±c.2．如果a＞b，c＞0，那么ac______bc(或eq\f(a,c)＞eq\f(b,c))．3．如果a＞b，c＜0，那么ac______bc(或eq\f(a,c)＜eq\f(b,c))．一元一次不等式1．定义：含有________个未知数，且未知数的次数是________的不等式．2．解集：使不等式成立的______的取值范围．一元一次不等式组1．定义：把两个含有相同的未知数的__________合起来，就组成了一个一元一次不等式组．2．解集：几个不等式解集的________叫做它们组成的不等式组的解集．3．解集的确定方法(a＜b)：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞a，,x＞b))的解集为________；(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＜a，,x＜b))的解集为________；(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞a，,x＜b))的解集为________；(4)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＜a，,x＞b))的解集为________．一元一次不等式(组)的应用1．步骤：(1)找出不等关系；(2)设未知数；(3)列不等式；(4)解不等式；(5)答．2．用不等号表示下列词语：(1)至少________；(2)最多________；(3)不低于________；(4)不大于________；(5)高于________．不等式的有关概念和基本性质【例1】(1)a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是()A．a＋x＞b＋xB．－a＋1＜－b＋1C．3a＜3bD.eq\f(a,2)＞eq\f(b,2)(2)若a＞b，则下列不等式不一定成立的是()A．a＋m＞b＋mB．a(m2＋1)＞b(m2＋1)C．－eq\f(a,2)＜－eq\f(b,2)D．a2＞b2认真理解不等式的性质，特别注意两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号需改变方向．另外不等式具有传递性，若a＞b，b＞c，则a＞c.类型：一元一次不等式(组)的解法【例2】(1)解不等式eq\f(1,2)x－1≤eq\f(2,3)x－eq\f(1,2)，并把它的解集在数轴上表示出来．(2)解不等式组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－5＞0，①,2－x＞－1.②))(1)去分母时，不要漏乘不含分母的项；(2)系数化为1时，要充分利用不等式的性质；(3)注意不等号方向的变化；(4)在数轴上表示不等式的解集时，要注意边界和方向的确定，含等号：实心圆点，不含等号：空心圆点；(5)不等式组的解集，取所有不等式解集的公共部分．一元一次不等式(组)的应用【例3】某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．(1)若小敏不购买会员卡，所购买商品价格为120元时，实际应支付多少元？(2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？确定不等关系→设未知数→列不等式→解不等式→检验．真题热身1．下列命题正确的是()A．若a＞b，b＜c，则a＞cB．若a＞b，则ac＞bcC．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b2．下列说法中，错误的是()A．不等式x＜2的正整数解只有一个B．－2是不等式2x－1＜0的一个解C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3D．不等式x＜10的整数解有无数个3．不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（x＋1）≤2，,x－3＜3x＋1))的解集在数轴上表示正确的是()4．不等式eq\f(1,3)(x－m)＞3－m的解集为x＞1，则m的值为____．5．解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来：(1)5(x－2)－2(x＋1)＞3；(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＞－5，,－x＋1≥2.))6．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少元；(2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元，则有哪几种购车方案？第三章函数及其图象第1节函数及其图象平面直角坐标系1．定义：具有公共________的互相垂直的________构成了平面直角坐标系．2．点的位置的确定：有序________可以确定平面内点的位置．3．各象限内和坐标轴上的点的坐标的规律：第一象限(＋，＋)，第二象限(____，____)，第三象限(____，____)，第四象限(____，____)；x轴上的点的____坐标为0，y轴上的点的____坐标为0.函数1．定义：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于________的每一个确定的值，________都有唯一确定的值与其对应，我们称y是x的函数，x是自变量．2．如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的________．3．函数的表示法：________法、________法、________法．函数的图象1．一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．2．画函数图象的步骤：________，________，________.类型：平面内点的坐标【例1】在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是()A．(2，3)B．(－2，3)C．(－2，－3)D．(2，－3)(2)若点M(x，y)满足(x＋y)2＝x2＋y2－2，则点M所在象限是()A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第一象限或第三象限D．不能确定各象限中点的坐标特征→结果．确定物体的位置【例2】如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点(－1，－2)，“馬”位于点(2，－2)，则“兵”位于点()A．(－1，1)B．(－2，1)C．(－3，1)D．(1，－2)坐标→直角坐标系→确定坐标．函数中自变量的取值范围【例3】函数y＝eq\f(\r(x－2),x)中，自变量x的取值范围是()A．x≠0B．x≥2C．x＞2且x≠0D．x≥2且x≠0分式、二次根式有意义→eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,x≠0.))函数的图象【例4】园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S(单位：平方米)与工作时间t(单位：小时)的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为()A．40平方米B．50平方米C．80平方米D．100平方米1．利用函数关系或图象分析解决实际问题时，必须明确变化过程是怎样的，合理分析变化过程，准确结合图象解决问题．2．养成数形结合的思考习惯，把函数和图象结合起来进行思考，互相解释，互相补充．真题热身1．函数y＝eq\f(\r(x－1),x－1)自变量x的取值范围是____．2．如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的记录：根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？()A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺C．向北直走300公尺，再向西直走400公尺D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺3．(2013·台湾)坐标平面上有一点A，且A点到x轴的距离为3，A点到y轴的距离恰为到x轴距离的3倍，若A点在第二象限，则A点坐标为何？()A．(－9，3)B．(－3，1)C．(－3，9)D．(－1，3)4．均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满，在注水过程中，水面高度h随时间的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的()5．如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是()第2节一次函数的图象和性质一次函数的定义一般地，形如y＝________(k，b为常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．特别地，当b＝________时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的________．正比例函数、一次函数的图象与性质1．正比例函数的图象是一条经过原点的________________________________________________________________________．2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条经过点(0，____)，(____，0)的直线．3．直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移得到．4．对于一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当k＞0时，y随x的增大而________；当k＜0时，y随x的增大而________．一次函数与方程、不等式的关系(1)任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的________的值．反过来，一元一次方程可以看成函数在________时的特例．从图象上看，这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴交点的________的值．(2)任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作是当一次函数值大于(或小于)0时，求相应的________的取值范围．(3)二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝c1，,a2x＋b2y＝c2))的解可以看成是两个一次函数y＝－eq\f(a1,b1)x＋eq\f(c1,b1)和y＝－eq\f(a2,b2)x＋eq\f(c2,b2)的图象的________．类型：一次函数的图象与性质【例1】(1)对于一次函数y＝－2x＋4，下列结论错误的是()A．函数值随自变量的增大而减小B．函数的图象不经过第三象限C．函数的图象向下平移4个单位长度是y＝－2x的图象D．若实数a，b满足ab＜0，且a＜b，则函数y＝ax＋b的图象可能是()一次函数y＝kx＋b的图象与性质应注意：(1)图象分布与k，b符号之间的关系；(2)增减性与k的符号关系；(3)图象与两坐标轴的交点及围成的图形面积等．一次函数的解析式【例2】如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是()A．y＝2x＋3B．y＝x－3C．y＝2x－3D．y＝－x＋3两点坐标→列方程组→直线解析式．一次函数与方程、不等式的关系【例3】如图，直线l1：y＝x＋3与直线l2：y＝ax＋b相交于点A(m，4)．(1)求出m的值；(2)观察图象，请你直接写出关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝ax＋b))的解和关于x的不等式x＋3≤ax＋b的解集．解答这类题时，一要明确一次函数、一次方程和一元一次不等式的内在联系；二要在观察图象时特别关注直线与x轴的交点，若两直线相交，其交点也是关键点．不能明确x，y取值范围的几何意义，如：不清楚与题目相关那部分图象的位置．【例4】一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则kx＋b＞x＋a的解集是____．kx＋b＞x＋a的解集即为y1图象位于y2图象上方部分的x的取值范围．真题热身：1．将函数y＝－3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为()A．y＝－3x＋2B．y＝－3x－2C．y＝－3(x＋2)D．y＝－3(x－2)2．直线y＝kx＋b不经过第四象限，则()A．k＞0，b＞0B．k＜0，b＞0C．k＞0，b≥0D．k＜0，b≥03．若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝cx＋a的图象可能是()4．已知一次函数y＝(1－m)x＋m－2，当m____时，y随x的增大而增大．5．点A(－1，y1)，B(3，y2)是直线y＝kx＋b(k＜0)上的两点，则y1－y2____0.(填“＞”或“＜”)6．已知直线y＝2x－b经过点(1，－1)，求关于x的不等式2x－b≥0的解集．第3节一次函数的应用一次函数图象的应用一次函数图象的应用是指用一次函数的图象来表示题中的数量关系的应用题，解这类题的关键在于要弄清纵、横轴各表示什么量，图象上每一点表示什么实际意义，以及图象的变化趋势、倾斜度大小各表示什么含义等．实际问题中的一次函数步骤：1.分析问题：(1)借助图表等手段分析题目中的数量关系，从而确定函数关系式；(2)根据函数图象获取信息，分析数量关系．2．确定模型：根据所获取的信息，建立一次函数模型．3．解决问题：根据题中数量关系或函数模型解决问题．类型：一次函数图象的应用【例1】如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的路程y1，y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象．(1)填空：A，B两地相距__千米；(2)求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；(3)客、货两车何时相遇？(1)从图中可读出A，B两地距离；(2)从图中读出货车离C站路程与时间点，从而求出y2解析式；(3)从图中求y1解析式，由y1＝y2求相遇时间．实际问题中的一次函数【例2】某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB(元)．请解答下列问题：(1)分别写出yA，yB与x之间的关系式；(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．(1)由题意写出yA，yB与x的关系式；(2)在(1)的基础上，分类讨论求出自变量取值范围；(3)在(2)的基础上再次分类讨论，经计算、比较，得到结果．没弄清一次函数与实际问题的关系以及不分类讨论而出错．【例3】汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)的函数关系的大致图象是()真题热身1．出租车的计价器中编入了一个程序如图所示，其中x表示乘客乘坐计程车行驶的路程(千米)，当你打的去8.8千米处的体育场看足球比赛，请问你要付计程费(单位：元，精确到1元)()A．8元B．9元C．10元D．11元2．张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系如图所示，以下说法错误的是()A．加油前油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)的函数关系是y＝－8t＋25B．途中加油21升C．汽车加油后还可行驶4小时D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升3．目前，我国大约有1.3亿高血压病患者，占15岁以上总人口数的10%－15%，预防高血压不容忽视．“千帕kPa”和“毫米汞柱mmHg”都是表示血压的单位，前者是法定的国际计量单位，而后者则是过去一直广泛使用的惯用单位．请你根据下表所提供的信息，判断下列各组换算正确的是()千帕kPa101216…毫米汞柱mmHg7590120…A.13kPa＝100mmHgB．21kPa＝150mmHgC．8kPa＝60mmHgD．22kPa＝160mmHg4．小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y(米)与时间t(分)的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行____米．5．今年我市水果大丰收，A，B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件．(1)设从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w，并写出x的取值范围；(2)若总运费不超过18300元，且A基地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费．第4节反比例函数反比例函数的定义形如________(k≠0，k为常数)的函数，叫做反比例函数．反比例函数的图象与性质1．反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象是________，且关于________对称．2．反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象和性质：函数图象所在象限性质y＝eq\f(k,x)(k≠0)k＞0第一、三象限(x，y同号)在每个象限内，y随x增大而减小k＜0第二、四象限(x，y异号)在每个象限内，y随x增大而增大反比例函数的应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的________．类型：反比例函数的图象与性质【例1】如图，是反比例函数y＝eq\f(k－2,x)的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围k＞2；②另一分支在第三象限；③在函数图象上取点A(a1，b1)和点B(a2，b2)，当a1＞a2时，则b1＜b2；④在函数图象的某一分支上取点A(a1，b1)和点B(a2，b2)，当a1＞a2时，则b1＜b2.其中正确的是____．(填序号)利用反比例函数的图象和性质及图象上点的坐标特征来确定正确答案，注意A，B两点不一定在图象的同一分支上．反比例函数y＝eq\f(k,x)中k的几何意义【例2】如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝eq\f(k1,x)和y＝eq\f(k2,x)的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：①eq\f(AM,CN)＝eq\f(|k1|,|k2|)；②阴影部分面积是eq\f(1,2)(k1＋k2)；③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若四边形OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是____．(把所有正确的结论的序号都填上)由平行四边形的性质和三角形面积公式可得OM＝ON，再利用反比例函数的性质和k的几何意义及矩形、菱形的性质得出相关结论．反比例函数的解析式及应用【例3】一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系t＝eq\f(k,v)，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(m，0.5)．(1)求k和m的值；(2)若行驶速度不得超过60km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？(1)由点的坐标→求得函数解析式→m的值；(2)自变量取值范围→不等式→解不等式．真题热身：1．如图，点P(－3，2)是反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象上一点，则反比例函数的解析式为()A．y＝eq\f(3,x)B．y＝－eq\f(12,x)C．y＝－eq\f(2,3x)D．y＝－eq\f(6,x)2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m与y＝eq\f(m,x)(m≠0)的图象可能是()3．已知矩形的面积为8，则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为()4．如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点重合，在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的双曲线y＝eq\f(k,x)(k≠0)中，k的值的变化情况是()A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大5．如图，直线x＝2与反比例函数y＝eq\f(2,x)和y＝－eq\f(1,x)的图象分别交于A，B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是____．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D(0，4)，B(6，0)．若反比例函数y＝eq\f(k1,x)(x＞0)的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F.设直线EF的解析式为y＝k2x＋b.(1)求反比例函数和直线EF的解析式；(2)求△OEF的面积；(3)请结合图象直接写出不等式k2x＋b－eq\f(k1,x)＞0的解集．第5节二次函数的图象和性质二次函数的定义形如y＝________________(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．二次函数的图象及性质1．图象：二次函数的图象是________．2．抛物线的开口与最值：当a＞0时，抛物线的开口向________，顶点的纵坐标是函数的________值；当a＜0时，抛物线的开口向________，顶点的纵坐标是函数的________值．3．性质：当a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而________，在对称轴的右侧，y随x的增大而________；当a＜0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而________，在对称轴的右侧，y随x的增大而________．4．抛物线y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝ax2通过平移得到的，平移后的顶点坐标为(h，k)．二次函数的解析式1．一般式：y＝________________.2．顶点式：y＝________________.3．交点式：y＝________________.二次函数与一元二次方程b2－4ac＞0⇔抛物线与x轴有______个交点；b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴有且只有______公共点；b2－4ac＜0⇔抛物线与x轴________公共点．类型：二次函数的图象和性质【例1】对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是()A．开口向下B．对称轴是x＝－1C．顶点坐标是(1，2)D．与x轴有两个交点(2)已知二次函数y＝－eq\f(1,2)x2－7x＋eq\f(15,2).若自变量x分别取x1，x2，x3且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是()A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1将二次函数的解析式化成顶点式，作出草图，根据二次函数的性质即可解答，数形结合是解决此类问题的常用方法．二次函数与一元二次方程【例2】已知y关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2.①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根．确定二次函数的解析式【例3】如图，已知直线l的解析式为y＝eq\f(1,2)x－1，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(m，0)，B(2，0)，D(1，eq\f(5,4))三点．(1)求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；(2)已知点P(x，y)为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E，延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；(3)将(2)中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．(1)将B，D两点坐标代入，可求出a，b的值；(2)由S四边形PAFB＝eq\f(1,2)AB·PF可得S与x关系式，确定最大值；(3)求直线PB解析式，再将对称点的坐标代入检验，得出结论．真题热身1．将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是()A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A．a＞0B．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根C．a＋b＋c＝0D．当x＜1时，y随x的增大而减小3．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B(0，－2)，它与反比例函数y＝－eq\f(8,x)的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的解析式为()A．y＝x2－x－2B．y＝x2－x＋2C．y＝x2＋x－2D．y＝x2＋x＋24．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋eq\f(1,2)m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为()A．0B．0或2C．2或－2D．0，2或－25．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.其中，正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．36．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2＋mx＋n经过点A(0，－2)，B(3，4)．(1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．第6节二次函数的应用利用二次函数解决实际问题步骤：1.分析问题，建立模型．2．设自变量，求函数的解析式．3．确定自变量的取值范围．4．根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值(在自变量取值范围内)．类型：实物抛物线【例1】如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数关系h＝－eq\f(1,128)(t－19)2＋8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？利用二次函数解决实物抛物线形问题，一般是根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后再把求出的结果转化为实际问题的答案．二次函数在销售利润中的应用【例2】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量)读懂题目，理解题意→找出合适的等量关系→列函数关系式→求出函数的最大值．注意：结合图象由利润确定销售单价的范围．二次函数在几何图形中的应用【例3】如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A(1，－1)，B(3，－1)，动点P从O点出发，沿x轴正方向以2个单位/秒的速度运动．过P作PQ⊥OA于Q.设P点运动的时间为t秒(0＜t＜2)，△OPQ与四边形OABC重叠的面积为S.(1)求经过O，A，B三点的抛物线的解析式并确定顶点M的坐标；(2)用含t的代数式表示P，Q两点的坐标；(3)将△OPQ绕P点逆时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；(4)求S与t的函数解析式；解几何图形最值问题常用的方法是要先求出面积的表达式，发现是二次函数就可以利用配方法或利用顶点公式求最值，但要注意x的取值范围．一次函数、反比例函数与二次函数的选用【例4】某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表：价格x(元/个)…30405060…销售量y(万个)…5432…同时，销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元．(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式；(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？(3)该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x(元/个)的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？(1)建立平面直角坐标系，通过描点，连线等方法观察函数图象的大致形状→函数类型；(2)一般式→顶点式即可；(3)观察图象→销售的价格．真题热身1．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米．当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为()A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．36厘米2．2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)，若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y＝－eq\f(2,9)x2＋eq\f(8,9)x＋eq\f(10,9)，则羽毛球飞出的水平距离为____米．3．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－eq\f(1,9)(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是___。4．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的售价应为____元．5．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度t/℃－4－2014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为___℃.6．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A，B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过xmin时，A，B两组材料的温度分别为yA℃，yB℃，yA，yB与x的函数关系式分别为yA＝kx＋b，yB＝eq\f(1,4)(x－60)2＋m(部分图象如图所示)，当x＝40时，两组材料的温度相同．(1)分别求yA，yB关于x的函数关系式；(2)当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？(3)在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？第四章图形的认识与三角形第1节图形的认识初步与相交线、平行线几何图形1．几何图形分为________图形和________图形．2．点、线、面、体：点动成________，________动成面，面动成________．直线、射线、线段1．性质：两点________一条直线；两点之间________最短．2．线段的中点：如图，若AC＝BC，则点C是________的中点.3．两点之间的距离：连接两点的________的________．角1．定义：具有公共________的两条________组成的图形．2．周角、平角、