工程力学 第十章 应力状态和强度理论

第十章应力状态和强度理论第十章应力状态和强度理论§10–1应力状态的概念§10–2二向和三向应力状态的实例§10–3平面应力状态§10–4空间应力状态§10–5广义胡克定律§10–6强度理论一、问题的提出§10–1应力状态的概念APPpAmFlAAAAszsxs

ysxs

ysztyxtyztzytzxtxytxz二、一点处应力状态的表示方法：单元体——构件内点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。应力单元体是一点受力状态的完整表示。szsxs

ysxs

ysztyxtyztzytzxtxytxz（1）单元体单元体各面上应力均布；相互平行的面上应力相等。一点有六个独立的应力分量（2）应力分量szsxs

ysxs

ysztyxtyztzytzxtxytxz三、主平面、主应力：（1）主平面(PrincipalPlane)：

切应力为零的截面。（2）主应力(PrincipalStress

）：

主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，x

s

z

xyzsxsyszAAA任意一点都可以找到三个相互垂直的主平面。s1s2s31、单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：

一个主应力不为零的应力状态。

2、二向应力状态（PlaneStateofStress）：

二个主应力不为零的应力状态。3、三向应力状态（Three—DimensionalStateof

Stress）：

三个主应力都不为零的应力状态。四、应力状态分类sxsxs1s1s2s2s3s3s1s1s2s2PP[例1]画出图中的A点的应力单元体。Ass§10–2二向和三向应力状态的实例dxdx[例2]

画出图中A点的应力单元体。ttttttmmA如图所示为承受内压的薄壁容器。容器所承受的内压力为p，容器直径D，壁厚。[例3]pDs用横截面将容器截开，l受力如图所示,根据平衡方程lsssllssllσ'σ'σ''σ''pllσ''σ''''''''pl''''如图所示为承受内压的圆球形容器。容器所承受的内压力为p，容器直径D，壁厚。[例4]pF容器截面上的内力：半球上内压力的合力：∴[例5]

12345P1P2q画出图中各点的应力单元体。QMsMtQ12345P1P2qst123451sss1s12345P1P2qs1st123452ttss212345P1P2qst1234532tt3s112345P1P2q4st1234532ttss4s112345P1P2qs54st12345325sss1xyz§10–3平面应力状态sxtxysytyxtyxtxysxsysxtxysytyxsysx平面应力状态:单元体有一对平面上的应力为零。一、任意斜截面上的应力二、最大正应力和最小正应力三、主平面和主应力一、任意斜截面上的应力sata已知：x、y、xy求：

、sata

xysysx

yxsxsytyxtyxtxysxsytxy、yxxyxyyxdAcosdAsinsata解：设斜截面面积为dA，dA

yxsasysxtatn

xy由平衡得：由tyx=txy和三角变换，得：(1)正应力拉为正；正负号规定：

yxsasysxtanxysxsytyxtyxtxysxsytxyn(2)切应力绕研究对象顺时针转为正；(3)a逆时针为正。同理：求斜截面上的应力，单位MPa[例4]20x5030°30°30解：[例5]已知：F=180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。FAll30°z20300120108020x60°A+－90kN90kN+135kNm[例5]已知：F=180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。z20300120108020解：x60°∴FAll30°

60°

60°A

60°

60°τxysysxτyxsata二、最大正应力和最小正应力连续周期函数必有极值sxsytyxtyxtxysxsytxy二、最大正应力和最小正应力得：sminsmaxsmaxsminτxysysxτyxsata0切应力箭头所在象限就是最大正应力所在象限。圆心：半径：令

=0，可得主平面的方位：即：主应力就是最大或最小的正应力。由得三、主平面和主应力sminsmaxs1=smaxs2=smin0s1=s2=[例5]20x5030求主应力大小和主平面方位，并在单元体上画出主平面和主应力。单位MPa解：∴x在单元体上画出主平面和主应力s1s1s3s320x5030xs1s1s3s3切应力箭头所在象限就是最大正应力所在象限。分析受扭构件的应力状态。解:(1)单元体如图所示(2)主应力xytxytyx[例6]

txyAtyxmCAmmm(2)主平面所在方位xytxytyxs1=ts1s3=-ts3s1s1s3s3铸铁扭转破坏断口分析

低碳钢试件扭转时的屈服现象是材料沿横截面产生滑移的结果，最后沿横截面断开，这说明低碳钢扭转破坏是横截面上最大剪应力作用的结果即对于低碳钢这种塑性材料来说，其抗剪能力小于抗拉或抗压能力。铸铁试件扭转时，大约沿与轴线成螺旋线断裂，说明是最大拉应力作用的结果。即对于铸铁这种材料，其抗拉能力小于抗剪和抗压能力。[例7

]求圆杆表面A点的主应力及主平面。已知：P=6.28kN，m=47.1N·m，d=20mm。mmAPPστστAτσTNmmAPPσστAτσ解：Aτσxs1s1s3s3AmmAPPs1s1s3s3求C截面左侧a、b两点的主应力及主平面。[例7]+–200kN50kN+bsbasaaaz1515270120b9250kNABC1.6m2m解：az1515270120b9asaaaz1515270120basaτaxs1s1s3s3az1515270120bbsbxyzs2s1s3§10–4空间应力状态sxsztxysxs

ytyxtyztxztzytzxs

y最大切应力为：s2s1s3s1s2s3最大正应力为：斜面上的应力s求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）由单元体图知：yz面为主面5040xyz30解：503040[例11]

求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）由单元体图知：yz面为主面5040xyz30ABC解：3040∴[例11]

50§10–5

广义胡克定律sxsztxysxs

ytyxtyztxztzytzxs

y一、一点的变形

(线应变和角应变)xyz设单元体的三个边长分别为lx、ly、lz受力后三个边长分别伸长Δx、Δy、Δz线应变角应变二、单向拉（压）时的胡克定律xyzsxPPA三、纯剪的应力--应变关系ttttmmAγxyz

x

y四、复杂应力状态下的应力—应变关系依叠加原理,得:

xyzszsytxysxsxxsxsysyszsztxytyxtzytyztxytxz

xyzszsytxysxsxsxsysyszsz上式称为广义胡克定律sxxsxsysyszsztxytyxtzytyztxytxz

xyzszsytxysx上式称为广义胡克定律主应力---主应变关系s1s3s2sxsytyxtyxtxysxsytxy对于平面应力状态问题：∵[例题已知：E=200GPa,μ=0.3，应力单位为MPa，求对角线AC的改变量ΔlACA15C30°3025[例题]已知：E=200GPa,μ=0.3，应力单位为MPa，求对角线AC的改变量ΔlACA15C30°30251530°σ30°xσ-60°60o(30,-15)(0,15)120o1530°σ30°xσ-60°解：A15C30°30251530°σ30°xσ-60°图示28a工字钢梁，查表知，IZ/SZ=24.62cm,腹板厚d=8.5mm，材料的E=200GPa，

=0.3，在梁中性层处粘贴应变片，测得与轴线成45°方向的线应变为=－2.6×10－4，求载荷P的大小。[例14]zyPAB2m1m45°ts3s1s1=ts3=－t解：ts3s1=ts1s3=－t∵∵压力容器应力测量工程实例如图所示为承受内压的薄壁容器。材料的弹性常数E=200GPa，

=0.3，在容器表面处粘贴两个应变片，测得线应变为1=6.36×10－4，2=1.5×10－4，求测点的应力大小。[例4]p解：应力单元体如图所示A1212习题7-47-57-91、拉(压)时的强度条件ssFF塑性材料：脆性材料：ss§10–6强度理论2、扭转时的强度条件塑性材料：脆性材料：ttttttmm3、弯曲时的强度条件ttttsmaxMtmaxss4、复杂应力状态下的强度条件s2s1s3最理想的强度条件：由于三个主应力间的比例有无限多种可能性，要在每一种比例下都通过对材料的直接试验来确定其极限应力值，将是难以做到的。解决这类问题，经常是依据部分实验结果，观察其破坏现象，经过推理，提出一些假说，推测材料在复杂应力状态下破坏的主要因素，认为当这个因素达到一定值时，材料发生破坏，由此来建立强度条件。我们把这类假说称为强度理论。材料的破坏形式：屈服（塑性）和断裂（脆性）。强度理论是关于“构件发生强度失效（failurebyloststrength）起因”的假说，它是否正确，适用于什么情况，必须由生产实践来检验。相应地，强度理论也分成两类：一类解释断裂失效：另一类解释屈服失效。最大拉应力是引起材料脆断破坏的因素。不论在什么样的应力状态下，一、最大拉应力理论（第一强度理论）

四种常用强度理论时断裂。强度条件：使用范围：适用于脆性材料断裂σ1=σbσ1PPs2s1s3最大伸长线应变是引起材料脆断破坏的因素。不论在什么样的应力状态下，二、最大伸长线应变理论（第二强度理论）

时断裂。σ1=σbσ1PPs2s1s3断裂强度条件：使用范围：适用于脆性材料σ1=σbσ1PPs2s1s3断裂最大切应力是引起材料屈服的因素。不论在什么样的应力状态下，三、最大切应力理论（第三强度理论）σ1=σsσ1时材料发生屈服。PPs2s1s3Tresca屈服准则强度条件：使用范围：适用于塑性材料屈服σ1=σsσ1PPs2s1s3四、形状改变比能理论（第四强度理论）

1、轴向拉伸或压缩的应变能ΔllF已知:F、A、l、E杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存在杆内，这种能称为应变能（StrainEnergy），用“V”表示。不计能量损耗时，外力功等于应变能。EAFll=D

F2、应变比能v

——单位体积的应变能∴应用应变能，可以求解结构的变形和强度问题。∵

PP3、体积改变比能和形状改变比能s2s1s3smsmsms1s

3s

2体积改变，形状不变形状改变，体积不变形状改变比能形状改变比能是引起材料屈服的因素。不论在什么样的应力状态下，4、形状改变比能理论（第四强度理论）

σ1=σsσ1时材料发生屈服。s2s1s3强度条件：使用范围：适用于塑性材料VonMises屈服准则屈服s2s1s3屈服其中，eq—相当应力。s2s1s3

eq

eq相当强度条件：相当应力：强度条件：如图所示为承受内压的薄壁容器，材料Q235钢，[]=160MPa。容器所承受的内压力为p=3MPa，容器内径D=1m，壁厚=10mm。校核其强度。[例10-11]p1122安全解：安全sts[例7]解：写出典型二向应力状态的解：危险点A的应力状态如图直径为d=50mm的圆杆受力如图，m=1.4kN·m，P=100kN，材料为Q235钢，[]=140MPa，试校核杆的强度。∴安全。PmPmA[例8]ATN工字形截面梁，材料为Q235钢，s=235MPa，b=380MPa，P=476kN，取安全系数n=2.5，试全面校核梁的强度。[例3]PAB3m3.9mz202050030020PAB3m3.9mA截面左侧内力最大，是危险截面。解：许用应力+–366kN110kN内力图如图所示，2、弯曲切应力强度1、弯曲正应力强度3、腹板与翼板交界处的强度z202050030020abc+F为什么要考虑腹板与翼板交界处的强度？stz202050030020AAcsctccPAB3m3.9mz202050030020安全。abτas1、弯曲正应力强度