高等数学课件：6-6曲面及其方程

第六节曲面及其方程一、曲面方程的概念三、旋转曲面二、柱面四、二次曲面1三、旋转曲面定义绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的轴.此曲线称称为旋转曲面.旋转一周所成的曲面,母线.为方便,平面取作坐标面,旋转轴取作坐标轴.

常把曲线所在以一条平面曲线母线轴2旋转过程中的特征：如图将得方程代入3旋转曲面方程.旋转一周的即为同理,旋转曲面方程为旋转一周的绕z轴绕y轴4曲线方程中与旋转轴相同的变量不动,总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的一个坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以这样得到:而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、负号)替代曲线方程中另一个变量即可.5解

圆锥面方程所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,例3

两直线的夹角圆锥面的半顶角.称为试建立顶点在坐标原点O,旋半顶角为的圆锥面的方程.转轴为z轴,面上直线方程为直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周6圆锥面方程即圆锥面方程(用得较多)?绕y轴旋转所得曲面方程及图形.即面上直线方程为7将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程.旋转双曲面例4双曲线(1)分别绕x轴和z轴;绕x轴旋转绕z轴旋转8旋转椭球面旋转抛物面(2)绕y轴和z轴;(3)绕z轴.9选择题

B方程(A)xOz平面上曲线绕y轴旋转所得曲面;(B)xOz平面上直线绕z轴旋转所得曲面；(C)

yOz平面上直线绕y轴旋转所得曲面；(D)yOz平面上曲线绕x轴旋转所得曲面.表示().10四、二次曲面

1.二次曲面的定义即为二次曲面.相应地平面被称为三元二次方程所表示的曲面称为其中均为常数.球面、二次曲面.如:双曲柱面等)某些柱面(圆柱面、抛物柱面、一次曲面.都是二次曲面.11现只研究几种常见的二次曲面的标准方程.或称为二次曲面的标准方程.12研究的方法是采用截痕法.以下用截痕法讨论上面几种特殊的二次曲面.从而了解曲面即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,的全貌.132.椭球面由方程可知即这说明椭球面包含在由平面围成的长方体内.14先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：去截这个曲面,所得截痕的方程是这些截痕都是椭圆.再用平行于xOy面的平面这些截痕也都是椭圆.15椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.与平面椭圆.同理,的截痕也是16椭球面的几种特殊情况:旋转椭球面由椭圆旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面绕z轴旋转而成.的交线为圆.17球面截面上圆的方程方程可写为183.抛物面（与同号）椭圆抛物面用截痕法讨论：用平面设原点叫做椭圆抛物面的去截这曲面,顶点.(1)截痕为原点.用平面去截这曲面,截痕为椭圆.截痕退缩为原点;截痕不存在.19用坐标面截痕为抛物线.(2)去截这曲面,用平面它的轴平行于轴顶点去截这曲面,截痕为抛物线.20用坐标面同理当(3)时可类似讨论.去截这曲面,及平面截痕为抛物线.椭圆抛物面的图形如下：21旋转抛物面(由面上的抛物线用平面当变动时，这种圆的中心都在轴上.特殊地方程变为而成的)去截这曲面,截痕为圆.绕z轴旋转22（与同号）双曲抛物面用截痕法讨论：设图形如下：有两个异号的平方项,另一变量方程z=xy表示什么曲面？马鞍面特点是:是一次项,无常数项.(马鞍面)234.双曲面单叶双曲面特点是:平方项有一个取负号,另两个取正号.炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面的形状.24类似地,亦表示?想一想单叶双曲面单叶双曲面.方程以上两方程的图形是与此图形一样吗?25双叶双曲面或特点是:平方项有一个取正号,另两个取负号.它分成上、下两个曲面.注26

类似地,或亦表示双叶双曲面或方程双叶双曲面.27方程表示()(A)双曲柱面;(D)锥面.(C)双叶双曲面;(B)旋转双曲面;B椭圆抛物面双曲抛物面(马鞍面）填空设有曲面方程则方程表示的曲面为方程表示的曲面为??选择28双叶双曲面,它的对称轴在轴上.y椭圆锥练习29截痕法;

(熟知这几个常见曲面的特性)椭球面、抛物面、双曲面.曲面方程的概念旋转曲