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D.60A解析:根据题意,要求不使同类的书分开,即同类的书相邻,先将2本不同的数学书看成一个整体,再将3本不同的物理书看成一个整体,最后将两个整体全排列,有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)=24种不同放法.故选A.5.冼太夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区.现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游.若每个景区至少有1名学生前去,且每名学生只去一个景点,则不同的旅游方案种数为()A.120 B.180C.240 D.360C解析:根据题意,分2步进行分析:①将5名学生分为4组,有Ceq\o\al(2,5)=10种分组方法;②将分好的4组全排列,安排到4个景区旅游,有Aeq\o\al(4,4)=24种安排方法.则共有10×24=240种安排方法.故选C.6.若把一句话“我爱大中华”的汉字顺序写错了,则可能出现错误的情况共有________种.119解析:根据题意,“我爱大中华”五个字排成一排,有Aeq\o\al(5,5)=120种不同的顺序,其中正确的只有1种,则可能出现错误的情况有120-1=119种.7.高考期间,某校高三年级租用大巴车送考,原则上每班一辆车,但由于高三(1)班人数较多,坐满一辆车之后还余下7名同学.现有高三(2)、(3)、(4)班的选考车辆分别剩余2,3,3个空位,要把这7名同学都安排到这三辆车中,则共有______种不同的安排方法.560解析:根据题意,余下的7人坐车,还有8个空座位,可以看成7个人再加上一个空位,安排在8个空座位上的问题,有Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)=560种安排方法8.有8名学生排成一排照相,求满足下列要求的排法的种数.(1)甲、乙两人相邻;(2)丙、丁两人不相邻;(3)甲站在丙、丁两人的中间(未必相邻).解:(1)根据题意,将甲、乙看成一个整体,与其他6人全排列即可,有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(7,7)=10080(种)排法.(2)根据题意,将8人全排列,有Aeq\o\al(8,8)种排法,其中丙、丁相邻的排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(7,7)种,则丙、丁两人不相邻的排法有Aeq\o\al(8,8)-Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(7,7)=30240(种).(3)根据题意,将8人全排列,有Aeq\o\al(8,8)种排法,甲、丙、丁三人的排法有Aeq\o\al(3,3)=6(种),其中甲站在丙、丁两人的中间有2种,则有甲站在丙、丁两人的中间有eq\f(A\o\al(2,2)×A\o\al(8,8),A\o\al(3,3))=13440(种).9.(2022·长沙月考)甲、乙、丙三位教师指导五名学生a,b,c,d,e参加全国高中数学联赛,每位教师至少指导一名学生.(1)若每位教师至多指导两名学生,求共有多少种分配方案;(2)若教师甲只指导其中一名学生,求共有多少种分配方案.解:(1)根据题意,分2步进行分析:①将5名学生分成3组,人数分别为(2,2,1),有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))=15(种)分组方法,②将分好的三组全排列,安排给三位教师,有Aeq\o\al(3,3)=6(种)情况,则有15×6=90(种)分配方案.(2)根据题意,分2步进行分析:①从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导,有5种情况,②剩下4名学生分成2组,安排其余两位教师辅导,有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))+C\o\al(3,4)))×Aeq\o\al(2,2)=14(种)情况,则有5×14=70(种)分配方案.B组新高考培优练10.某校进行体育抽测,甲与乙两名同学都要在100m跑、立定跳远、铅球、引体向上、三级跳远这5项运动中,选出3项进行测试.假定他们对这五项运动没有偏好,则他们选择的结果中至少有两项相同运动的选法种数为()A.70 B.50C.30 D.20A解析:根据题意,分2种情况讨论:①他们选择的结果中有两项相同运动,有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,3)=60种选法.②他们选择的结果中有三项相同运动,有Ceq\o\al(3,5)=10种选法,则共有60+10=70种选法.故选A.11.(多选题)(2021·重庆校级期中)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,则以下说法正确的是()A.若每人都安排一项工作,则不同的方法数为45B.若每项工作至少有1人参加,则不同的方法数为Aeq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)C.如果司机工作不安排,其余三项工作至少安排1人,则这5名同学全部被安排的不同方法数为(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)+Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))Aeq\o\al(3,3)D.每项工作至少有1人参加,甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)+Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)AD解析:根据题意,依次分析选项:对于A,若每人都安排一项工作,每人有4种安排方法,则有45种安排方法,A正确;对于B,分2步进行分析:先将5人分为4组,再将分好的4组全排列,安排4项工作,有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)种安排方法,B错误;对于C,分2步分析:需要先将5人分为3组,有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))+\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))种分组方法,将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作,有Aeq\o\al(3,3)种情况,则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))+\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)种安排方法,C错误;对于D,分2种情况讨论:①从丙,丁,戊中选出1人开车,②从丙,丁,戊中选出2人开车,则有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)+Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)种安排方法,D正确.故选AD.12.(多选题)现有3名男生和4名女生,在下列不同条件下进行排列,则()A.排成前后两排,前排3人后排4人的排法共有5400种B.全体排成一排,甲不站排头也不站排尾的排法共有3600种C.全体排成一排,女生必须站在一起的排法共有576种D.全体排成一排,男生互不相邻的排法共有1440种BCD解析:根据题意,依次分析选项:对于A,将7名学生排成前后两排,前排3人后排4人的排法,有Ceq\o\al(3,7)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)=5040种排法,A错误;对于B,甲不站排头也不站排尾,有5种情况,将剩下的6人全排列,有Aeq\o\al(6,6)种排法,则有5×Aeq\o\al(6,6)=3600种排法,B正确;对于C,将4名女生看成一个整体,有Aeq\o\al(4,4)种排法,将这个整体与3名男生全排列,有Aeq\o\al(4,4)种排法,则有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(4,4)=576种排法,C正确;对于D,先排4名女生,有Aeq\o\al(4,4)种排法,排好后有5个空位,在5个人空位中任选3个,安排3名男生,有Aeq\o\al(3,5)种排法,则有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(3,5)=1440种排法,D正确.13.(2021·湖南模拟)某公司销售六种不同型号的新能源电动汽车A,B,C,D,E,F.为了让顾客选出自己心仪的电动汽车,把它们按顺序排成一排,A必须安排在前两个位置,B,C不相邻,则不同的排法有()A.144种 B.156种C.160种 D.178种B解析:根据题意,分2种情况讨论:①A排在第一位,先将D,E,F排好,再将B,C安排在空位中,有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)=72种排法.②A排在第二位,若B或C中有1个排在第一位,有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(4,4)=48种排法;若D,E,F中有1个排在第一位,有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)=36种排法,则此时有48+36=84种排法.则共有72+84=156种排法.14.(2022·杭州模拟)某省派出由4名医生、5名护士组成的医疗小组前往疫区支援,要求将这9名医护人员平均派往某地的A,B,C3家医院,且每家医院至少要分到一名医生和一名护士,则不同的分配方案有________种.(用数字作答)1080解析:由题意可知,4名医生要分配到3家医院,且每家医院至少有一名医生,则必有一家医院有2名医生,其余2家医院各有1名医生.假设A医院分配的是2名医生1名护士,则B,C医院均分配1名医生2名护士,则分配方案有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)=360(种),故不同的分配方案有360×3=1080(种).15.学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班,每天安排2人,每人值班1天;若6位老师中的甲不值12日,乙不值14日且甲、乙不在同一天值班,则不同的安排方法共有________种.36解析:根据题意,分2步进行分析:①将6人分为3组,要求甲、乙不在同一组,有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))-eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))=12种分组方法.②若甲所在的组在14日值班,有Aeq\o\al(2,2)=2种安排方法;若甲所在的组在13日值班,则乙所在的组必须在12日值班,有1种安排方法.则有3种值班安排方法.故共有12×3=36种安排方法.16.现有5本书和3位同学,将书全部分给这三位同学(要求用数字作答).(1)若5本书完全相同,求共有多少种分法;(2)若5本书都不相同,每个同学至少有一本书,求共有多少种分法;(3)若5本书仅有两本相同,按一人3本另两人各1本分配,求共有多少种分法.解:(1)根据题意,5本书完全相同,将这5本书和2个挡板排成一排,利用挡板将5本书分为3组,对应3位同学即可,则有Ceq\o\al(2,7)=21(种)不同的分法.(2)根据题意,分2步进行分析:①将5本书分成3组,若分成1,1,3的三组,有eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))=10(种)分组方法.若分成1,2,2的三组,有eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))=15(种)分组方法,从而分组方法有10+15=25(种).②将分好的三组全排列,对应3名学生,有Aeq\o\al(3,3)=6(种)情况,根据分步乘法计数原理,故共有25×6=150(种)分法.(3)记这5本书分别为A,A,B,C,D,5本书取其3本分配时,①不含A时仅有一种分组,再分配给3人,有3种方法;②仅含一个A时,分组的方法有Ceq\o\al(2,3)种,再分配给3人,共有Ceq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(3,3)=18(种)方法;
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