2018年秋九年级数学浙教版上册 专题提升五 相似三角形基本图形一线三等角

专题提升五相似三角形基本图形(2)一线三等角1．如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为(

)A.

B.

C.

D.第1题图2．如图，等腰直角△ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝45°，则CD的长为________．第2题图3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10.直角尺的直角顶点P在AD上滑动时(点P与点A、D不重合)，一直角边经过点C，另一直角边与AB交于点E.我们知道，结论“Rt△EPA∽Rt△PCD”成立．第3题图(1)当∠CPD＝30°时，求AE的长；(2)设DP＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式．(1)“一线三等角”型相似基本图形，通俗地讲，当一条直线上有三个相等的角时，总有两三角形相似．(2)一线三等角可以在直线的同侧(如图1)，也可在直线的两侧(如图2)．等角常见的有30°，45°，60°，90°，也可以是一般的角．(3)“一线三等角”＋中点，如图3，已知∠1＝∠2＝∠3，BD＝DC，则有△BED∽△DEF∽△CDF.例1在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．(1)如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BPE∽△CFP；(2)将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.△BPE与△CFP还相似吗？(只需直接写出结论)(3)在(2)的情形下，连结EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？请说明理由．例2如图，已知抛物线的对称轴是直线x＝4，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A、C点的坐标分别是(2，0)、(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上有一点P，满足∠PBC＝90°，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，问在y轴上是否存在点E，使得以A、O、E为顶点的三角形与△PBC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．1．(连云港中考)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为________．第1题图2．如图，点A在反比例函数y＝－(x<0)的图象上，点B在反比例函数y＝(x>0)的图象上，且∠AOB＝90°，则的值为(

)第2题图A．6

B．3

C.

D．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．第3题图4．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF.(1)证明：EF＝CF；(2)若AD＝3AE，求CF的长．第4题图专题提升五相似三角形基本图形(2)一线三等角【课前热身】1．B2．3．(1)AE＝10－12；(2)y＝＝－x2＋x.【典型例题】例1(1)证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°.∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，∴∠BPE＋∠BEP＝135°，∵∠EPF＝45°，又∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°，∴∠BPE＋∠CPF＝135°，∴∠BEP＝∠CPF，又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CFP(两角对应相等的两个三角形相似)．(2)还相似；(3)动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，证明：同(1)，可证△BPE∽△CFP，得CP∶BE＝PF∶PE，而CP＝BP，因此PB∶BE＝PF∶PE.又因为∠EBP＝∠EPF，所以△BPE∽△PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)．例2(1)设抛物线的解析式是y＝a(x－4)2＋b，根据题意得：解得：则函数的解析式是：y＝x2－2x＋3；(2)过P作PF⊥x轴，则△PBF∽△BCO，∴＝＝＝2，∴设点P的坐标为(m，n)，则n＝2(m－6)①，又点P在抛物线上，∴n＝m2－2m＋3②，①②联立解得m1＝10，m2＝6(舍去)，∴n＝2(10－6)＝8，∴点P的坐标为P(10，8)．(3)∵PF⊥x轴，∴在Rt△PBF中，PB＝＝4，在Rt△OBC中，BC＝＝3，设点E坐标为(0，y)，∵△AOE与△PBC相似，∴①若AO与PB是对应边，则＝，解得|y|＝1.5，∴y＝±1.5，②若AO与BC是对应边，则＝，解得|y|＝，∴y＝±，∴在y轴上存在点E，使得△AOE与△PBC相似，点E坐标为E，E(0，±)．【针对练习】1.2.C3.(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∴AB·CD＝CP·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴＝.∵AB＝10，BC＝12，∴＝，∴BP＝.第4题图4．(1)证明：过D作DG⊥BC于G，由已知可得四边形ABGD为正方形，∵DE⊥DC，∴∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠GDC＋∠EDG，∴∠ADE＝∠GDC.又∵∠A＝∠DGC且AD＝GD，在△ADE和△GDC中，∴△ADE≌△GDC，∴DE＝DC且AE＝GC.在△EDF和△