【教学课件】环节二 对数函数的应用

对数函数环节二对数函数的应用复习引入上一节课我们学习了对数函数的概念、图象和性质，你能画一个表格梳理所学内容吗？问题1

概念y=logax（a＞0，a≠1）

0＜a＜1

a＞1图象

定义域（0，+∞）

值域

R性质（1）过定点（1，0）即x=1时，y=0（2）减函数

增函数（3）非奇非偶函数（4）y=ax与y=logax互为反函数xyO（1，0）yxO（1，0）例1

求下列函数的定义域：（1）y＝log3x2；（2）y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？求解的依据是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域(0，＋∞)．那么（1）中的x2和（2）中的(4－x)的取值范围就是(0，＋∞)，于是得到不等式，将定义域问题转化为解不等式问题，进而求出定义域．知识应用例1

求下列函数的定义域：（1）y＝log3x2；（2）y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．解：（1）因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．（2）因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}．知识应用例2

假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x．（1）该地的物价经过几年后会翻一番？（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．物价x12345678910年数y0

知识应用例2

假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x．（1）该地的物价经过几年后会翻一番？对于（1），先写出x关于y的函数，再根据对数与指数间的关系，转换为y关于x的函数．解：（1）由题意可知，经过y年后物价x为x＝(1＋5%)y，即x＝1.05y(y∈[0，＋∞))．由对数与指数间的关系，可得y＝log1.05x，x∈[1，＋∞)．知识应用例2

假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x．（1）该地的物价经过几年后会翻一番？对于（1），先写出x关于y的函数，再根据对数与指数间的关系，转换为y关于x的函数．解：由计算工具可得，当x＝2时，y≈14．所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番．知识应用例2

假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x．对于（2），利用计算工具，快速填好表格，探索发现，随着x的增长，y的增长在减缓．（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．物价x12345678910年数y0

知识应用例2

假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x．（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．物价x12345678910年数y0

解：（2）根据函数y＝log1.05x，x∈[1，＋∞)，利用计算工具，可得表：由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小．142328333740434547知识应用知识应用例3比较下列各题中两个值的大小：（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；（3）loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．解：（1）log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5．知识应用例3比较下列各题中两个值的大小：（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；（3）loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．解:（2）log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y＝log0.3­x是减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7．知识应用解：（3）loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．当a＞1时，因为函数y＝logax是增函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，因为函数y＝logax是减函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9．例3（3）loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．

知识应用

溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH．例4

知识应用

溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；例4

解：（1）根据对数的运算性质，有

．在(0，＋∞)上，随着[H＋]的增大，

减小，相应地

也减小，即pH减小．所以，随着[H＋]的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强．知识应用

溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．（2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH．例4

解：（2）当[H＋]＝10－7时，pH＝－lg10－7＝7．所以，纯净水的pH是7．知识应用

溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH．例4

追问

胃酸