《概率论与数理统计（第二版）》第四章假设检验与回归分析

概率论与数理统计

假设检验与回归分析

由统计资料得知,2004年某地区新生儿的平均体重为3190克,现从2005年该地区的新生儿中随机地选取了100个,测得平均体重为3210克,我们的问题是,能否认为2005年的新生儿与2004年的新生儿相比体重更重了呢?20克的差异说明了什么?这个差异能否用抽样的随机性来解释?在这种情况下我们是不能通过简单的比较来下结论的,而是要有一套科学的方法。能否判定新生儿的平均体重在增加

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假设检验与回归分析第四章假设检验与回归分析4.1假设检验问题

假设检验是从样本出发,对于总体情况的某一命题“成立与否”或“是否成立”作出定性的回答,比如判断产品是否合格,分布是否为某已知分布,方差是否相等,等等.在统计中,我们称待考察的命题为假设,根据样本去判断假设是否成立,称为假设检验.

假设检验与回归分析4.1.1假设检验的概念

我们从新生儿体重的例子中引出假设检验的基本思想和基本方法.

新生儿体重的例子中的关键点是,20克的差异能否说明2005年和2004年出生的新生儿的体重有所不同?为了回答这个问题,我们采取假设的方法.

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现在我们要根据实际测得的这100个样本数据来判断我们的命题是否成立.在统计的语言中是用一个等式或不等式表示问题的原假设(或零假设),原假设的表达式为H0∶μ=μ0,这是待检验的假设.如果原假设不成立,就要拒绝原假设,就需要在另一个假设中作出选择,我们把另一个假设称为备择假设(或对立假设),备择假设的表达式为:H1∶μ≠μ0.

原假设与备择假设是互斥的,假如接受原假设,就意味着拒绝备择假设;否定原假设,意味着接受备择假设.

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假设检验与回归分析4.1.2小概率原理

假设检验依据的基本思想是小概率原理.“小概率事件在一次试验中实际上不可能发生”,这个原理称为小概率原理,也称为实际推断原理.它在实际生活中经常被人们自觉或不自觉地用着.例如,在晴朗的天空下,谁也不认为会被闪电击中,因为“晴天霹雳”发生的可能性太小了,是一个小概率事件;袋中有1000个球,其中999个白球,1个黑球,事件“从中任取一球是黑球”的概率应该是0.001,是小概率事件.

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当然小概率事件并不是不可能事件,它是有可能发生的,只不过发生的概率很小,人们就认为这种事件在一次试验中是不可能发生的.而在一次试验中发生的事件很难让人相信是小概率事件.

假设检验依据的就是小概率原理:如果在一次试验中,小概率事件发生了,则拒绝原假设H0;否则,就接受原假设H0.那么“小概率”α一般取值多少为“小”呢?α的选定是人们对小概率事件小到什么程度的一种界定,α越小,统计量的值超过临界值的概率就越小,也就是说在H0成立时,这一事件很难发生.

假设检验与回归分析一旦这一事件发生了,人们就有理由怀疑H0的正确性.实际上,α的值没有统一规定,因为这不是理论问题,而是实际问题.规定一个界限α(0<α<1),当一个事件的概率不大于α时,则认为它是小概率事件;在假设检验问题中,α称为显著性水平,通常取α=0.10,0.05,0.005,0.001等.

拒绝原假设H0的区域称为拒绝域或否定域,新生儿体重例子中的显著性水平为α=0.05,它的拒绝域是(-∞,-1.96)∪(1.96,+∞),(-1.96,1.96)称为它的相容域或接受域(见图4—1).拒绝域的有限边界(端点)点称为临界值.显然,拒绝域与α有关.

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图4—1拒绝域与接受域

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如果根据样本值计算出的统计量的值落入拒绝域,则认为假设不成立,即在显著性水平α下拒绝H0;否则认为在显著性水平α下H0与试验结果相容(或接受H0).如果问题的假设为

原假设H0∶μ=μ0,备择假设H1∶μ≠μ0的形式,这类假设检验的拒绝域位于接受域的两侧,称为双侧(双边)假设检验.

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如果问题的假设为

原假设H0∶μ=μ0,备择假设H1∶μ>μ0或

原假设H0∶μ=μ0,备择假设H1∶μ<μ0的形式,这类假设检验的拒绝域位于接受域的一侧,称为单侧(单边)假设检验.

假设检验与回归分析4.1.3两类错误

小概率事件不是不可能事件,也就是说,并非肯定不发生,所以假设检验的结论有可能犯错误.

在假设检验中,要检验假设H0是否正确,是根据一次试验得到的样本作出的推断,因此无论拒绝H0还是接受H0,都要承担风险.

假如H0本来是真的,因为一次抽样的结果,发生了小概率事件,而拒绝H0,这就犯了所谓的“弃真”错误(又称第一类错误),犯这种错误的概率记作α,即P{拒绝H0|H0为真}=α

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同样,假如H0本来是假的,因为一次抽样没有发生小概率事件,而接受H0,这就犯了所谓的“存伪”错误(又称第二类错误),犯这种错误的概率记作β,即

P{接受H0|H0为伪}=β

但实际上,在一定的样本容量条件下,要同时减少α和β是不可能的,减少其中一个,另一个往往就会增大.例如减少α,拒绝域变小,当H1为真时,则可能把本来有显著差异的样本点,由于它没有落入拒绝域,而当成没有显著差异的样本点接受了.

假设检验与回归分析4.1.4假设检验的步骤1.提出原假设和备择假设

根据研究的问题,提出原假设H0(零假设,待检验的命题)和备择假设H1(对立命题).如新生儿体重的例子中的问题表述为

H0∶μ=μ0,H1∶μ≠μ0

有时我们关心的是总体均值是否增大(或减小),要检验的假设是单侧假设

H0∶μ=μ0,H1∶μ>μ0或

H0∶μ=μ0,H1∶μ<μ0

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假设检验与回归分析4.2单个正态总体参数的假设检验4.2.1总体均值的检验1.检验量的确定

检验总体均值一般选用U统计量和t统计量,那么在具体的检验中如何确定使用哪一个检验量呢?这时我们需要考虑总体的标准差是否已知和样本容量n的大小来选择检验量.(1)考虑总体标准差是否已知.

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假设检验与回归分析如果|U|>Uα/2在一次检验中居然发生了,则根据小概率原理认为总体均值的真值μ与原假设给定的值μ0有显著差异,从而拒绝H0,接受H1;如果|U|≤Uα/2,则不能拒绝H0,或称H0相容.也就是说

H0的拒绝域是(-∞,-Uα/2)∪(Uα/2,+∞)H0的相容域是(-Uα/2,Uα/2)

此法因检验量常用U来表示,习惯上称其为U检验法.

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根据定理3.4知,统计量T服从自由度为n-1的t分布,于是对于给定的显著性水平α,由t分布临界值表可查得临界值tα/2,P(|T|>tα/2)=α,根据样本值算出检验量T的值,将|T|与tα/2比较,以检验假设H0∶μ=μ0是否成立:当|T|>tα/2时,拒绝H0;当|T|≤tα/2时,接受H0.即当σ2未知时,H0∶μ=μ0的拒绝域是(-∞,-tα/2)∪(tα/2,+∞);接受域是[-tα/2,tα/2].

此法因检验量常用t来表示,习惯上此检验法称为t检验法.

假设检验与回归分析(2)考虑样本量的大小.

样本量的大小也是要考虑的一个因素,由抽样分布的理论知,当n较小时,t分布和正态分布有明显的差异,随着n的增大,这种差异将逐渐缩小,最后小到可以忽略不计的地步.在n较大(大样本)时,尽管σ未知,也可以选用U统计量.

当n<30时,t分布的分散程度明显地比标准正态分布大,随着n的增大,t分布逐渐逼近标准正态分布.所以在n<30时,如果总体的σ未知,必须使用t统计量;当n>30时,可以用U统计量代替t统计量.

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选择统计量时可以按照图4—2进行.

图4—2检验统计量的确定

假设检验与回归分析2.总体均值的检验举例σ已知.例1包装机能否正常工作?

洗衣粉包装机包出的洗衣粉的重量是一个随机变量X~N(μ0,σ2),机器正常工作时,μ=500克,σ=7.5克.一天开机后,检验员随机地抽取9袋装好的洗衣粉,称得的重量分别为:

497,506,528,524,498,511,520,515,512问这天包装机是否正常工作?(α=0.05)

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假设检验与回归分析例3检验含汞的浓度

由于工业排水引起附近水质污染,测得鱼的血液中含汞的浓度(mg/kg)为:0.037,0.266,0.135,0.095,0.101,0.213,0.228,0.167,0.766,0.054从过去大量的资料判断,鱼的血液中含汞的浓度服从正态分布,并且从分析可以推断出理论上的浓度应为0.1,问从这组数据分析,实测值与理论值是否符合?

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假设检验与回归分析例4果汁装瓶机是否达标?某厂商生产一种新型的果汁装瓶机,按设计要求,该机器装一瓶1000mL的果汁上下误差不超过1mL.如果达到设计要求,表明机器的稳定性好.现从该机器装好的产品中随机抽取25瓶,分别进行测定(用样本减1000mL),得到的结果如表4—1所示.问该机器的性能是否达到设计要求?(α=0.05)表4—10.3-0.4-0.71.4-0.6-0.3-1.50.6-0.91.3-1.30.71-0.50-0.60.7-1.5-0.2-1.9-0.51-0.2-0.61.1

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假设检验与回归分析4.3两个正态总体参数的假设检验4.3.1检验统计量的确定

与一个总体参数的检验讨论的问题类似,两个正态总体的参数检验也涉及检验统计量的选择问题,选择什么统计量取决于被检验参数的抽样分布,而抽样分布与样本量大小和总体方差σ2有关系.

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上述讨论可以归结为图4—3.

图4—3

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假设检验与回归分析例2经常食用谷物获取的热量会较少

尽管存在争议,但大多数科学家认为,食用含有高纤维的谷物有助于降低癌症发生的可能性.有科学家提出,如果人们在早餐中食用高纤维的谷物食物,那么平均而言,与早餐没有食用高纤维谷物食物的人群相比,食用者在午餐中摄取的热量将会减少.如果这个观点成立,谷物食品的生产商又将获得一个很好的机会,他们会大加宣传说:“多吃谷物吧,早上也吃,这样将有助于减肥.”为了验证这个观点,随机抽取35人,询问他们早餐和午餐的通常食谱,

假设检验与回归分析根据他们的食谱将其分为两类:一类为经常的谷物食用者(总体1);另一类为非经常的谷物食用者(总体2).然后测每人午餐的热量摄取量.经过一段时间的实验,得到如表4—2的数据(单位:大卡).试以α=0.05的显著水平检验.表4—2总体1568681636607555

496540539529562

589646596617584总体2650569622630596

637628706617624

563580711480688

723651569709632

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假设检验与回归分析例3心理环境会影响大脑思考问题的能力吗?

心理因素真的会对大脑思考问题的能力产生影响吗?为了探索这个问题,科学家们设计了一个有趣的实验,实验的对象是70只纯种老鼠.科学家们把这70只老鼠随机地分配到处理组(简记为T)和对照组(简记为C),每组35只.2组老鼠的食物和饮料完全相同,供应量满足每只老鼠的所需.差别在于:处理组的老鼠同住在一个大笼子里,提供玩具并每天更换;而对照组中的老鼠孤独地生活,没有玩具.一个月后杀掉实验老鼠并进行解剖,测得老鼠大脑的皮质(大脑的思考部分)的质量(mg)的数据如表4—3所示.

假设检验与回归分析从数据中不难发现,与对照组老鼠相比,处理组的老鼠的皮质似乎普遍偏重.现在,我们关心的问题是:采取的处理措施(即多只老鼠共住并提供玩具)是否真的造成了两组老鼠在大脑能力上的显著差异呢?研究这个问题,看看心理因素是否会对大脑思考问题的能力产生显著的影响.表4—3TCTCTCTC689657690668640641656623701667655589668652685647624603660654751693682642679658647635687612663646647644653603664600720665653593647640718689660672694605718642668612633635693673679678653642658675638593649602680641

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假设检验与回归分析4.4一元线性回归分析

回归分析方法是处理变量之间相互关系的有力工具,一方面它提供了建立变量之间的数学表达式(通常称为经验公式)的一般方法,另一方面又给出了对建立的经验公式的有效的检验方法,同时还给出了如何利用经验公式进行预测和控制的方法.因而回归分析方法的应用越来越广泛,在经济领域内也得到普遍应用.

一元回归分析研究两个变量之间的相关关系,多元回归分析研究多个变量间的相关关系.在本节只讨论一元线性回归.

假设检验与回归分析4.4.1散点图与回归直线

当自变量和因变量都一对一时,称作1→1回归,我们通过实例介绍相关的概念.例1以家庭为单位,某种商品年需求量与该商品的价格之间的一组调查数据如表4—4所示.