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文档简介
关于线性规划凸集凸函数第1页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用,下面给出凸集和凸函数的一些基本知识。定义1
设,若对D中任意两点与,连接与的线段仍属于D;换言之,对,∈D,∈[0,1]恒有
+(1-)∈D则称D为凸集。+(1-)称为和的凸组合。nRDÍ)1(x)2(x)1(x)2(x")1(x)2(xa")1(xa)2(xa)1(xaa)2(x)1(x)2(x第2页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五例第3页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五(i)超平面为凸集。{}b==xPxTH定义为(ii)半空间为凸集。{}b£=-xPxTH定义为{}(iii)射线 为凸集,其中d为给定的非零向量,为定点。0,)0(³+==lldxxxL)0(x(iv)超球是凸集。(v)欧式空间是凸集,规定空集是凸集第4页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五凸集的性质有限个凸集的交集仍然是凸集。设是凸集,则是凸集。设是凸集,则是凸集。凸集的和集仍然是凸集。设是凸集,则是凸集。推论:设是凸集,,则也是凸集,其中。第5页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五定义3极点(顶点):设D是凸集,若D中的点x不能成为D中任何线段上的内点,则称x为凸集D的极点。设D为凸集,X∈D,若X不能用X(1)∈D,X(2)∈D两点的一个凸组合表示为X=αX(1)+(1-α)X(2),其中0<α<1,则称X为D的一个极点。定义2.凸组合:设X(1),X(2),…,X(k)是n维欧式空间中的k个点,若存在μ1,μ2,…,μk满足0≤μi≤1,(i=1,2,…,k),
使X=μ1X(1)+μ2X(2)+…μkX(k),则称X为X(1),X(2),…,X(k)的凸组合。第6页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五
多边形的顶点是凸集的极点(顶点)。圆周上的点都是凸集的极点(顶点)。第7页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五定义4
设D为R中非空凸集,若对,∈D,∈(0,1)恒有n")1(x)2(xa"f[+(1-)]≤+(1-)f(*))1(xa)2(xa)()1(xfaa)()2(x则称为D上的凸函数;进一步,若≠时,(*)式仅〝<〞成立,则称为D上严格凸函数。)(xf)1(x)2(x)(xf对凸的一元函数的几何意义为:在曲线上任取两点P1(x1,),P2(x2,)弦位于弧之上(见图)。)(xf)(1xf(x2)f21PP21PPx1x2x(x,y)p1p2)(xf凹函数,严格凹函数第8页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五+(1-)-a)(1xfa)(2xf])1([21xxfaa-+=2221)1(xxaa-+221])1([xxaa-+-=2221)1(xxaa-+-])1(2)1([21222212xxxxaaaa-+-+=212221)1(2)1()1(xxxxaaaaaa---+-=(1-)aa)2(212221xxxx-+=(1-)aa(x1-x2)≥02∴+(1-)≥a)(1xfa)(2xf])1([21xxfaa-+所以,=
x是R上凸函数。)(xf2例如,对=x,因x1,x2∈R,∈(0,1))(xf"a"2第9页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五例:证明线性函数是上的凸函数。
同理可证线性函数
也是上的凹函数。
第10页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五凸函数的性质性质1
设f1,f2为定义在凸集D上的凸函数,为非负实数,则f1,f1+f2也是D上凸函数。ll性质2
设D是R中一个凸集,f是定义在D上的一个凸函数,则f在D的内部连续。n第11页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五性质4:
f(x)是凸集D上的凹函数的充要条件是-f(x)是D上的凸函数。性质3
设D是
中一个非空凸集,f是定义在D上的一个凸函数,则水平集 是凸集。
{}aa£Î=)(,xxxfDD第12页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五定理1:设f(x)定义在凸集D上,,令则(i)f(x)是凸集D上的凸函数的充要条件是是[0,1]上的凸函数。(ii)设,若是[0,1]上的严格凸函数,则f(x)是凸集D上的严格凸函数。第13页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五
凸函数的判断n设函数存在一阶偏导数,x∈R,向量Ñ)(xf)(xf=Tnxfxfxføöççè涶¶¶¶¶,,,21为在点x处的梯度。)(xf…定义设函数存在二阶偏导数,x∈R,则称矩阵)(xfnúúúúúúúúûùêêêêêêêêë鶶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶2222122222212212212212nnnnnxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfLLL为在点x处的Hesse矩阵。)(xf)(2xfÑ=………第14页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五多元函数Taylor展开:
第15页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五定理2(一阶条件):
设D是R中非空开凸集,是定义在D上的可微函数,则是凸函数的充要条件为x,y∈D,有n)(xf)(xf")(yf≥+(
y-x) )(xfT)(xfÑ而是D上严格凸函数为x,y∈D,x≠y,上式仅〝>〞成立。)(xf"xf(x)第16页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五定理3(二阶条件):
设D是R中非空开凸集,是定义在D上的二次可微函数,则是凸函数的充要条件为对x∈D,≥0,即Hesse矩阵半正定。n)(xf)(xf")(2xfÑ)(2xfÑ若x∈D,>0,即Hesse矩阵正定,则为严格凸函数。")(2xfÑ)(xf例:证明函数是上的凸函数。第17页,共19页,2022年,5月20日,18点43分,星期五若规划ïîïíì===³ljhmigtsfji,,2,1,0)(,,2,1,0)(..)(minxxx…
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