线性代数-6-2维数、基与坐标

一、线性空间的基与维数已知：在Rn中，线性无关的向量组最多由n个向量组成，而任意n

1个向量都是线性相关的．问题：线性空间的一个重要特征——

性空间V

中，最多能有多少线性无关的向量？满足：1

,

2

,,

n线性无关;V中任一元素总可由1

,

2

,,

n线性表示,那末,1

,

2

,,

n

就称为线性空间V

的一个基,n

称为线性空间V

的维数.定义１性空间

V

中，如果存在

n

个元素1

,2

,,n维数为n的线性空间称为n

维线性空间,记作Vn

.当一个线性空间

V

中存在任意多个线性无关的向量时，就称

V

是无限维的．若1

,2

,,n为Vn的一个基,则Vn可表示为

n定义２设1

,

2

,,

n是线性空间Vn的一个基,对于任一元素

Vn

,总有且仅有一组有序数

n

,

使nn,基下的坐标,并记作

n

.Tn称为元素在1

,2

,,n这个有序数组二、元素在给定基下的坐标例1

性空间

xP4中

1

pp2

x

p

x

,1p,,,23

4x3

,p

x4

就是它的一个基.5任一不超过4次的多项式p

a4

x4

a3

x3

a2

x2

a1

x

a0可表示为p

a0

p1

a1

p2

a2

p3

a3

p4

a4

p5因此p

在这个基下的坐标为(,

,

,

,

)01234aaaaa

T注意

线性空间V的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．若取另一基q4

x,35q

x4

,则x2x

q35443

a

q

a

q31

21

221p

(a0

a1

)q

a

q

a

qTa4),21a1,,

(a2a3a0a1因此p

在这个基下的坐标为

0

1

0

0

1

00,

0

0

0

0

1,

0

0

1

0,22E

2112EEE1121,k

3

E

21k

2

E12k1

E11

k

3

k

4

k

k

k

4

E

22有例２所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域

R上的一个线性空间．对于V中的矩阵00,k1

E11

O

00k

2

E12

k

3

E

21

k

4

E

22k1

k

2

k

3

k

3

0,因此11

12a22

a21

a

a

A

V

,即E11

,E12

,E

21

,E

22线性无关.对于任意二阶实矩阵因此E11

,E12

,E

21

,E

22为V的一组基.而矩阵A在这组基下的坐标是A

a11

E11

a12

E12

a21

E

21

a22

E

22有(a11,

a12,

a,

a

)T

.21

22)

.(n1)!2!f

'(a)f

(

n

1)(a),

,(

f

(a),

f

'(a),

1

,

2

,

3

,,

n

下的坐标是T性空间R[x]n中,取一组基2

n1

2

1(x,

a),

3

x

a)(

,,

n

x

a)(公式知例3

1

则由f2!x

f

a

(f)'()a()(

x

a)

f

''()a

x

a)(2fn

1)(!n

1n

1()()a

x

a)(中的不同元素.1

1对应的

算的关系上.称这样的

是V

n

与Rn的一个.这个对应的重要性表现在它与运设

1

,

2

,,

n

是n维线性空间V

n的一组基,

在这组基下,V

n中的每个向量都有唯一确定的坐标.而向量的坐标可以看作Rn中的元素,因此向量与它的坐标之间的对应就是V

n

到Rn的一个 .由于Rn中的每个元素都有V

n中的向量与之对应,同时V

n中不同的向量的坐标不同,因而对应Rn三、线性空间的同构

a1

1

a2

2

an

n

b1

1

b2

2

bn

n即向量

,

V在基

1

,

2

,,

n

下的坐标分别为T

T(a1,a2,,an)

和(b1,b2,,bn)

,则

(a1

b1)

1

(a2

b2)

2

(an

bn)

nk

k

a1

1

k

a2

2

k

an

n于是

与k的坐标分别为T(a1b1,a2b2,,anbn)T

T

(a1,a2,,an)

(b1,b2,,bn)T

T(ka1,ka2,,kan)

k

(a1,a2,,an)设上式表明:在向量用坐标表示后,它们的运算就归结为坐标的运算,因而线性空间V

n的就归结为Rn的.下面更确切地说明这一点.定义设U、V是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间U

与V

同构.例如n维线性空间Vn

x11

x22

xnn

x1

,

x2

,,

xn

R与n维数组向量空间Rn

同构.因为(1)V

中的元素与Rn中的元素(

x

,

x

,,

x

)Tn

1

2

n形成一一对应关系；V

n

x11

x22

xnn)T2n,

,

xx

(

x1

,

xRn(2)设则有2121n

yyy)nT

Tn

)

(

(

y

,

y

,,

y

)T1

2

n,21

结论１．数域P上任意两个n

维线性空间都同构２．．同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性．３．同维数的线性空间必同构．同构的意义性空间的抽象中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，所关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．１．线性空间的基与维数；２．线性空间的元素在给定基下的坐标；坐标：（１）把抽象的向量与具体的数组向量联系起来；（２）把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来．３．线性空间的同构．四、小结求由Px3中元素1x,x,23232f3

(4

5,235x生成的子空间的基与维数.思考题思考题解答解

令k

1则得(k1

2

(4

k1因此设该齐次线性方程组的系数矩阵为A,则

00

0

1

1

0

3

4

1

2

0

00

0

0初等行变换

0A

~

有因此,f

1

(x