2023年安徽宿州市时村中学高三第六次模拟考试数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（）A．36 B．21 C．12 D．62．已知集合，，，则（）A． B． C． D．3．已知椭圆的中心为原点，为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．4．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（）A． B． C． D．5．已知函数，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是()A．1 B．2 C． D．7．已知为等差数列，若，，则()A．1 B．2 C．3 D．68．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的标准方程可能为（）A． B． C． D．9．记为数列的前项和数列对任意的满足.若，则当取最小值时，等于（）A．6 B．7 C．8 D．910．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值11．已知且，函数，若，则（）A．2 B． C． D．12．已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（）A．30 B． C． D．62二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点，是上一点(不与重合)，若以线段为直径的圆恰好经过，则点到抛物线顶点的距离的最小值是__________.14．若复数满足，其中是虚数单位，是的共轭复数，则________.15．已知实数，且由的最大值是_________16．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为，则随机变量的期望为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,底面,是的中点.（1）.求证:平面平面;（2）.若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．20．（12分）[选修45：不等式选讲]已知都是正实数，且，求证:．21．（12分）某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A个数91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A个数12241515151215151524从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数．（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）22．（10分）已知函数，函数.（Ⅰ）判断函数的单调性；（Ⅱ）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【答案解析】

先找到与平面平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.【题目详解】考虑与平面平行的平面，平面，平面，共有，故选：B.【答案点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.2．D【答案解析】

根据集合的基本运算即可求解.【题目详解】解：，，，则故选：D.【答案点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．3．B【答案解析】由题意可得c=，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以椭圆的方程为．故选B．点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在．4．C【答案解析】

取中点，连接，，根据正棱柱的结构性质，得出//，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果.【题目详解】解：如图，取中点，连接，，由于正三棱柱，则底面，而底面，所以，由正三棱柱的性质可知，为等边三角形，所以，且,所以平面，而平面，则，则//，，∴即为异面直线与所成角，设，则，，，则，∴.故选：C.【答案点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.5．B【答案解析】

对分类讨论，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【题目详解】函数，由得或解得.故选:B.【答案点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.6．C【答案解析】

画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.【题目详解】不等式表示的平面区域如图：直线的斜率为，直线的斜率为，所以两直线垂直，故为直角三角形，易得，，，，所以阴影部分面积.故选：C.【答案点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.7．B【答案解析】

利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．【题目详解】∵{an}为等差数列，,∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+11＝1．故选：B．【答案点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．A【答案解析】

直线的方程为，令，得，得到a,b的关系，结合选项求解即可【题目详解】直线的方程为，令，得.因为，所以，只有选项满足条件.故选：A【答案点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.9．A【答案解析】

先令，找出的关系，再令，得到的关系，从而可求出，然后令，可得，得出数列为等差数列，得，可求出取最小值.【题目详解】解法一：由，所以，由条件可得，对任意的，所以是等差数列，，要使最小，由解得，则.解法二：由赋值法易求得，可知当时，取最小值.故选：A【答案点睛】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题.10．B【答案解析】

根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【题目详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【答案点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.11．C【答案解析】

根据分段函数的解析式，知当时，且，由于，则，即可求出.【题目详解】由题意知：当时，且由于，则可知：，则，∴，则，则.即.故选：C.【答案点睛】本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.12．B【答案解析】

根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【题目详解】设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，因此.故选：B【答案点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案解析】

根据抛物线，不妨设，取，通过求导得，，再根据以线段为直径的圆恰好经过，则，得到，两式联立，求得点N的轨迹，再求解最值.【题目详解】因为抛物线，不妨设，取，所以，即，所以，因为以线段为直径的圆恰好经过，所以，所以，所以，由，解得，所以点在直线上，所以当时，最小，最小值为.故答案为：2【答案点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系直线的交轨问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【答案解析】

设，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得的值.【题目详解】设，由，得，所以，所以.故答案为：【答案点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数相等的条件，属于基础题.15．【答案解析】

将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值【题目详解】由化简得，又实数，图形为圆，如图:，可得，则由几何意义得，则，为求最大值则当过点或点时取最小值，可得所以的最大值是【答案点睛】本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然后求出最值问题，本题有一定难度。16．0.380.9【答案解析】

考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率，随机变量的可能取值为，计算得到概率，再计算数学期望得到答案.【题目详解】第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：.甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：，，.故随机变量的可能取值为，故；；；.故.故答案为：0.38；0.9.【答案点睛】本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）见解析；（2）.【答案解析】试题分析：（1）根据平面有，利用勾股定理可证明，故平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在点建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值为建立方程求得，在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）平面平面因为,所以,所以,所以,又，所以平面.因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）如图，以点为原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则.设，则取，则为面法向量．设为面的法向量，则，即，取，则依题意，则．于是．设直线与平面所成角为，则即直线与平面所成角的正弦值为．18．（1）（2）【答案解析】

（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；（2）不等式转化为，求出在上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值．【题目详解】解：（1）或或解得或或无解综上不等式的解集为．（2）时，，即所以只需在时恒成立即可令，由解析式得在上是增函数，∴当时，即【答案点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．19．(1);(2).【答案解析】试题分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以．进而得到角A；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到，联立两式得到．解析：（I）因为，所以，由正弦定理，得．又因为，，所以．又因为，所以．（II）由，得，由余弦定理，得，即，因为，解得.因为，所以.20．见解析【答案解析】试题分析：把不等式的左边写成形式，利用柯西不等式即证．试题解析：证明：∵，又，∴考点：柯西不等式21．（Ⅰ）分布列见解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.【答案解析】

（Ⅰ）求出X的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅱ）当P（a≤X≤b）取到最大值时，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．（Ⅲ）利用前两问的结果，判断至少增加2人．【题目详解】(Ⅰ)X的取值为：9，12，15，18，24；,,,,，X的分布列为：X912151824P故X的数学期望；(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,a,b的值可能为：,或,或.经计算,,，所以P(a≤X≤b)的最大值为.(Ⅲ)至少增加2人.【答案点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题.22．(1)故函数在上单调递增，在上单调递减;(2).【答案解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意得到的解析式和定