多因素试验结果的统计分析

多因素试验结果的统计分析第十三章多因素试验结果的统计分析第一节多因素完全随机和随机区组试验的统计分析一、二因素试验的统计分析二因素完全随机设计试验的统计分析方法已在第六章第五节“两向分组资料的方差分析”中介绍了，这里不再重复。二因素随机区组试验结果的分析设有A和B两个试验因素，各具a和b个水平，那么共有ab个处理组合，作随机区组设计，有r次重复，则该试验共得rab个观察值。它与单因素随机区组试验比较，在变异来源上的区别仅在于前者的处理项可分解为A因素水平间(简记为A)、B因素水平间(简记为B)、和AB互作间(简记为AB)三个部分。abr-1=(r-1)+(ab-1)+(r-1)(ab-1)总自由度=区组自由度+处理自由度+误差自由度g疽y)2=ab£(yr-y)2+rt(君-y)2+g/亍广yki+y)217]r11J『(总平《和SS,=区组平方和SSr+处理平方和SS「+误差平方和SS。其中，(ab-1)=(a-1)+(b-1)+(a-1)(b-1)处理组合的自由度=A的自由度+B的自由度+AxB自由度ri(yki-y)2=rb£(y-y)2+ra支(y-y)2+r^(舄-y-%+J)2

(处理组合平方和SS「=A的平方和SSA+B的平方和SSB+AxB平方和SSB,这里，j=1，2,…，r；k=1，2，…，a；l=1，2，…，b；_、_、_、一和一分别为第r个区组平均数、A这里，j=1，2,…，r；k=1，2，…，a；l=1，2，…，变异来源DF平方和区组r-1SS=ZT2：n-CRr处理组合ab_1SS=ZT2!r-C〔Aa—1SS=ZT2/rb-C<B<b—1<SSA=ZT2ra-CBBAxB(a-1)(b-1)SS=SS-SS-SSABtAB误差(r-1)(ab-1)SS=SS~SSO-SSaT.Df总变异rab-1SST=:Zy2-C[例13.1]有一早稻一因素试验，A因素为品种，分A1(早熟)、A2(中熟)、A3(迟熟)三个水平(a=3),B因素为密度，分B1d6.5X6.6cm2).B2(16.5X9.9cm2)、B3(16.5X13.2cm2)三个水平(b=3)，共ab=3X3=9个处理，重复3次(r=3),小区计产面积20平方米。其田间排列和小区产量(kg)列于图13.1,试作分析。区组IA1B18A2B27A3B310A2B38A3B28A1B36A3B17A1B27A2B19

区组IIA2B37A3B27A1B27A3Bi7A，5A2Bi9A2B29A3B39AiBi8区组山A3B16A1B36A2Bi8A1B26A2B26A3B39A，8A2B36A3B28图13.1早稻品种和密度两因素随机区组试验的田间排列和产量(kg/20m2)结果整理将所得结果按处理和区组作两向分组整理成表13.2；按品种和密度作两向分组整理成表13・3。表13.2处理图13.1区组I资料区组5区组II由处理产量的区组m1两向表总和4AiBi88824A1B277620A1B365617A2B199826AB2279622A2B387621A3B177620A3B287823AE10992833总和T_706863T=201表13.3表13.2资料品种0)和密度(B)的两向表Bi―B^_―B^Ai24201761A226222169A320232871_T^_706566T=2012.自由度和平方和的分解自由度的分解可按表13.1直接填入表13・4。以下分解各变异来源的平方和。T22012C=——==1496.33由表13.2"按箪囱素随机区组的分析方法可得:

SSTSSR=罗》2—C—82+82+…+92—C=4SSTSSRIjklTOC\o"1-5"\h\z£T2702+682+6322.89abrC=C=s£T2=242+202+...+282=30.00SS=AB-—C:—CSS尸SST—SS「SSr=40・67-30.00-2・89=7.78ab'由表13.3对SS=29.67进行再分解：lSSArb=612+SSArb=612+692+7123x3—C=6.23=702+652+6623x3—C=1.56SSAB=SS「SSA—SSb=30.00-6.23-1.56=22.21方差分析表和F测验将上述结果列于表13.4。这里对A和B两因素皆取固定模型，区组则取随机模型，因此各项变异来源的MS均可用对误差项MS的比进行F测验。取显著水平=0.05。表13.4的F测验说明：区组间、密度a间差异不显著，而品种间与品种X密度间的差异都显著。由此说明，不同品种有不同的生产力，而不同品种又要求有相应不同的密度。所以需进一步测验品种间与品种X密度间的差异显著性。表13.4水稻品种与密度二因素试验的方差分析变异来源DFSSMSFF005区组间22.891.452.960.053.63处理（组合）间830.003.757.65*2.59品种26.233.126.37*3.63密度21.560.781.593.63品种X密度422.215.5511.33*3.01误差167.780.49

总变异2640.67差异显著性测验品种间比较此处以各品种的小区平均R、目A2A3|1=H=UA】A2A3数(将表13.3的各个TA值除以rb=9)进行新复极差测验。假设为H0：p对HA：^R、目A2A3|1=H=UA】A2A3SE=\斯=\~T~查附表7，p=2时，SSR0516=3.00，SSR016=4.13；p=3时，SSR.此此=3.15,SSR0边世=4.34,因此据LSR=SEXSSR'得P=2时，LSR005,=3.00X0.233=0.70(kg口),LSR=4.13X0.01,160.233=0.96(kg)；p=3时,LS^=3.15X0.233=0.73,LSR=4.34X0.233i=51.161(kg)o其测验结果列于表011365。表13.5说明：A3和A2无显著差异，但A3和A1的差异达=0.01水平，A2和A1的差异达=0.05水平。因此，就品种的平均效应而言，A3和A2都是比较好的，但A2的生育期比A3短，对安排后作有利。故与季节矛盾不突出时，选用a3、a2皆可，否则宜选用a2。表13.5三个品种小区平均产量的新复极差测验品种_且差异显著性产量5%1%A3A27.9aA7.7aABA16.8bB(2)品种X密度的互作由于品种X密度的互作是极显著的，说明各品种所要求的最适密度可能不相同。因此，可分别计算各品种不同密度的简单效应，以分析互作的具体情形。将表13.2各个TAB值除以r=3,即得各品种在不同密度下的小区平均产量(kg/20平方米)于表13.6。品种产量-差异显著性品种产量-差异显著性品种产量-差异显著性5%1%5%1%5%1%B18.0aABi8.7aAB39.3aAB26.7bABB27.3bABB27.7bABB35.7bBB37.0bBBi6.7bBA2品种A3品种表13.6各品种在不同密度下的小区平均平均产量及其差异显著性A1品种对表13.6各个差数新复极差测验，有A1品种H0：,A2品种H0：和A3品种H:七1匕2"算得二当0立04(kg),并0目=目=目SE=MSir=v'0.49/30.01，16有：p=2时,LSR0^]6=1.21'LSR°】i6=1.67(kg)，p=3时，LSR”=T.27,LSR0'01，=1.75(kg)o用此尺度测验表，亍3.6的各个差虹结果A1、A2品种都以B1为优，并与B2、B3有显著差异；而A3品种则以B3为优，并与B2、B1有显著差异。0.01，16所以A3品种应选B3密度，而A2、A1品种则应选B密度。要比较全部9个处理组合间差异的显著性，可以将表13.6中(1)、⑵、⑶合成一张表，然后计算p=2至9的LSR值，这里从略。以上是间接地测验互作。对互作值也可进行直接测验。例如，若要测定二个产量较高品种和A2与密度的互作，则可将这两个品种在3度下各3个小区的总产量(kg)列成表13.7。然后,计算各密度下A2-A3的差数。如果A和B没有互作，则A的简单效应不因B的不同水平而异，这些差数应无显著差异。所以差数的差数即为互作值。由表13.7可算得：6-(-1)=7,表示A2的增产数在B1水平下比B2水平下多7kg；6-(-7)=13,表示A2比A3增产数在B1水平下比B3水平下多13kg；-1-(-7)=6表示A2比A3增产数在B2水平下比B3水平下多6kg。这些互作值的计算也可写成以下形式：(AB+AB)-(AB+AB)=23+26-20-22=7(kg)32213122°(AB^+A^B)-(AB,+A^B)=28+26-20-21=13(33213123kg)(AB^+A^B)-(AB,+A^B)=28+22-23-21=6(kg)33223223°i=J=i=i表13.7品种密度互作值的计算A2A3差数(A2-A3)互作值(差数的差数)B12620B22232B321286-1-77136由此，以上的各个互作值是6个小区总和为基础的差数，故在测验互作的显著性时se卞rr^=1.7（kg础的差数，故在测验互作的显著性时se卞rr^=1.7（kg）。此处n=2b，并有：p=2SE-%，nMS-\-6x0.49时，LSR=5.1，LSR=7・0（kg）,p=3时，LSR=5.4，LSR=7.4（kg）。因而上述互作值都迭到了0・0广戢60.01的显著水平。故A3品种需采用B3，才能充分利用其互作，取得最0.05,160.01,16y=口+。+A+B+(AB)+£jkljklkljklI三」试验结论本试验品种主效有显著差异，以A3产量最高，与A1有显著差异，而与A2无显著差异。密度主效无显著差异。但品种和密度的互作极显著，A3品种需用B3密度，A2品种需用B1密度，才能取得最高产量。I三」（二）二因素随机区组试验的线性模型和期望均方二因素随机区组试验的线性模型为：（13•3）其中，为总体平均数；°为区组效应，一般为随RP机模型，有P〜M。,。；4、Bl、0B»分别为A因素主效、B因素圭效及A、B交互作用效应，当它们为固定模型时，有Ea=0，二B=0，5=5=0，当它们为随机模型时，有14〜k，B〜，（AB）〜。相互独立的N（0，b2）lN（0，b2）ZklN（0，b2）ABAB随机误差事〜M0,。2）。方差分拼时三种模型的期望均方列于表13.8。表13.8二因素随机区组设计的期望均方变异来源DF固定模型随机模型混合模型（A随机，B固定）区组间L1b2+abK2b2+abb2b2+abK2或b2+abb2处理Aa-1b2+rbK2Ab2+rb2+rbb2ABAb2+rbb2A处理Bb-1b2+raK2Bb2+rb2+rab2ABBb2+rb2+raK2ABBAXB(a-1)(b-1)b2+rK2ABb2+rb2ABb2+rb2AB误差(r-1)(ab-1)b2b2b2模型不同，以后的F测验和统计推断也不同。根据F测验原理，由表13.8可见，当选用固定模型时，测验H=0，H:K2=0，H:K2=0，H:…0，其F值均是以误差均方为分母。当选用随机模型时,则测验，。和，0,应以误差项均方为分母;H:b2=0H:C2=0而测验；3。和；L时需以AB互作项均方为H:b2=0H:b2=0分母。混合模型可以类推。例13.1中的资料分析是按固定模型进行的。二、三因素试验的统计分析（一）三因素完全随机试验的统计分析在三因素试验中，可供选择的一种试验设计为三因素完全随机试验设计，它不设置区组，每一个处理组合均有若干个（n个）重复观察值，以重复观察值间的变异作为环境误差的度量，这样也可以获得各因素及其交互作用的信息。［例13.2］水稻品种、赤霉素处理、光照处

理的三因素完全随机试验数据的分析。试验中有3个品种（A因素），2个水平的激素处理［喷水处理（对照）和施用20ppm的赤霉素］，2水平的光照处理（增加光照C和自然光C2），共计3X2X2=12个处理组合。将水稻种子采用盆播，完全随机排列，除此三因素外，其它环境条件基本一致。试验的目的是考察三个因素及其交互作用对于苗高的影响。将试验结果列于表13・9。A因素BA因素B因素Y，口口E*、C因素、观察值（cm）Tabc(0ppm)C1（加光）16.319.620.418.319.694.2AiC2（自然光）15.517.617.318.719.188.2b2C1（加光）30.935.633.232.636.6168.92(20ppm)C2（自然光）28.423.926.024.029.2131.5(0ppm)C1（加光）18.718.415.117.917.487.5A2C2（自然光）15.615.617.817.716.783.4b2C1（加光）28.234.332.126.229.0149.8(20ppm)C2（自然光）27.727.222.318.020.3115.5(0ppm>C1（加光）18.917.718.015.915.686.1A3C2（自然光）16.110.814.715.212.669.4,B2、C1（加光）40.838.735.141.042.9198.5(20ppm)C2（自然光）27.231.327.129.125.0139.7表13.9品种、激素处理、光照三因素的水稻苗高试验结果1.结果整理将上述结果进一步整理为两向表，如表13.10,表13.11,表13・12。BATBATbA1a2A,123Bi182.4170.9155.5508.8b2300.4265.3338.2903.9J£a-482.8436.2493.7T=1412.7表13.10AB两向表表13.11BC两向表BCTbCC12Bi267.8241.0508.8b2517.2386.7903.9-J£c_785.0627.7T=1412.7表13.12AC两向表c-ATc―A—―J-^3—-Ci263.1237.3284.6785.0C2219.7198.9209.1627.7TA482.8436.2493.7T=1412.7自由度和平方和的分解试验中三因素的水平数分别为:a=3，b=2，c=2。每一个处理组合有5个重复观察值n=5。完全随机试验设计的自由度和平方和的分解，总变异可以分解为处理组合变异加上误差变异。处理组合变异又可作分解：处DF=DF+DF+DF+DF+DF+DF+DFABCABACBC^C处理SS=SSA+SS+SS+SS+SS+SS+SSA“上两式中的下标为因黑如:CF=A因素自由度,A因素自由度，…，SSabc=AXBXC的平方关于自由度和平方和的计算公式可以列于表13・13。表13.13三因素完全随机试验的平方和及自由度分解变异来源DFSS总变异abcn-1sst=穿穿y慕-c处理组合abc-1SSt=ET^BJn—CAa-1SSA=ET^bcn—CBb-1SSB=ET2/'acn—Ccc-1SSc=ET2/abn—Caxb(a-1)(b-1)SSab=ETBcn—C—SSA—SSBaxc(a-1)(c-1)SSac=ETCbn—C—SSa—SSCbxc(b-1)(c-1)SSbc=ET^Jan—C—SSB—SScaxbxc(a-1)(b-1)(c-1)ssabc=SSt-ssa—ssb—ssc—ssab—ssac—ssbc误差abc(n-1)SS户SS^SS,首先，将表13.9按单向分组进行方差分析:1412.72T2C1412.72T2C=—abcn3x2x2x533262.02SS=穿穿y2C=+25.02-C=3815.1516・32+19・62+=3540.45ss=£T2n-C=(94.22+88.22+...+139.72)/5-C'*=3815.15-3540.45=274.70ss=ss-ss由表13.10AB两向表可求得：ssAssBbcn£T；-C=482.82+436.22+493.72_C=93.28£T2八508.82+903.9ssAssBbcn——-C=::C=acnssAB-sscn182.42+170.92+.+338.22C—93.28—2601.74=208.99一、2x5....由表13.11BC两向表可求得:ssCabn£TssAB-sscn182.42+170.92+.+338.22C—93.28—2601.74=208.99一、2x5....由表13.11BC两向表可求得:ssCabn£T；-C=785.02+627.72_C=412.39£T2ssC=^~BC-C-ssB-ssC267.82+241.02+517.22+386.72_C—2601.74—412.39=179.22一.3x5由表13.12AC两向表可求得:ssACbn£T2^4C-C-ss-ssAC263.12+237.32+二+209.12-C—93.28—412.39=40.532x5因而，=3540.45-93.28-2601.74-412.39-208.99T79.22-40.53=4.30将上述计算结果列于方差分析表13.14。表13.14三因素完全随机试验的方差分析表变异来源自由度平方和均方FF0J05F0.01A293.2846.648.15**3.195.08B12601.742601.74454.85林4.047.19C1412.39412.3972.10**4.047.19AXB2208.99104.5018.27**3.195.08AXC240.5320.273.54*3.195.08BXC1179.22179.2231.33**4.047.19AXBXC24.302.15<1误差48274.705.72试验结果表明品种间差异显著，激素处理间差异显著，光照处理间差异也是显著的；两因素间的互作均是显著的，三因素间的互作是不显著的。多重比较的标准误公式A因素间比较时单个平均数的标准误睛lSE^VMS‘：bcnB因素间比较时单个平均数的标准误se^^~~C因素间比较时单个平均数的标准误「％：SE=、:MSabn根据t测验的原理，同样可以给出各个处理组合平均数的标准误。例如例13.2中，6个AB处理组合的平均数的标准误为：一-SE=飞：MScn（二）三因素随机区组试验结果的分析设有A、B、C三个试验因素，各具a、b、c

由表13・15可见，三因素随机区组试验和单因素随机区组试验比较起来，仅在于前者的处理间变异被再分解为7项，其中主效3项，一级互作3项，二级互作1项。各项都有其相应的自由度个水平，作随机区组设计，设有r个区组，则该由表13・15可见，三因素随机区组试验和单因素随机区组试验比较起来，仅在于前者的处理间变异被再分解为7项，其中主效3项，一级互作3项，二级互作1项。各项都有其相应的自由度变异来源表13.15三因素随机区组试验的平方和及白由度分解DFSS区组处理ABCAXBAXCBXCAXBXC误差r-1SSr=ETr2abc-Cabc-1Si=ZCa-1SSA=ETVrbc-Cb-1SSB=ET；，rac-Cc-1SSC=ETC展rab-C(a-1)(b-1)%=—C-SSa~SSb(a-1)(c-1)SSAC=ET；c：rb-C-SSa-SSc(b-1)(c-1)SSBC=ET2C；raSSb-SSc(a-1)(b-1)(c-1)SSABc=SSrSSA-SSB-SSC-SSAB-SSAC~SSBC(r-1)(abc-1)SS=SS「SS「SSr总变异rabc-1SS=£y2-C和平方和，并且这些项的自由度之和与平方和之和一定等于处理项的自由度和平方和，即：DF=DFA+DF+DF+DFn+DF^+DFj+DFA“/txABCABACBCABC(13•4)SS=SSa+SSb+SSc+SSab+SSac+SSbc+sSabc(13•5)［例13・3］有一随机区组设计的棉花栽培试验，有A（品种）、B（播期）、C（密度）3个试验因素，各具a=2，b=2，c=3个水平，重复3次，小区计产面积25m2。其处理内容和代号见表13.16，田间排列和皮棉产量（kg）见图13.2,试作分析。表13.16棉花三因素试验的各处理A品种B播种期密度处理组合代号AiB1（谷雨前）C1(3500)T1C2(5000)T2C3(6500)T3b2（立夏播）C1(3500)T4C2(5000)T5C3(6500)T6A2B1（谷雨前）C1(3500)T7C2(5000)T8C3(6500)T9b2（立夏播）C1(3500)T10C2(5000)T11C3(6500)TT212T59T97T125T410T84T112T102T310T73T113T66区组IT127T102T211T114T14T916T66T72T83T49T39T59区组IIT39T113T115T211T127T97T58T103T67T84T74T49区组山图13.2棉花三因素随机区组试验的田间排列和产量（kg/25m2）

1.结果整理将上述结果按区组和处理两向分组整理成表13・17；再按任两个因素作两向分组整理成表13.18(1)、13.18(2)、13.18(3)。(1)AB两向表B(1)AB两向表BiB2A110173174403878J.141111T=252(2)AC两向表C1c2c3t.3AA167604717416233978-2k838386T=252表13.18二因素两向表(3)BC两向表C1c2c3tb3Bi484548141353838111838386T=252表13.17区组和处理两向表处理区组tABCA品种B播种期密度IIImAiBiCi12141339C212111134C3109928B2Ci109928C299826C366719AB1Ci3249C243411C376720B2C12237C234512C57719tr3838287T=252表中'、Tabc、Ta、Tb、Tc依次分别为各区组、处理、品种、播期、密度的总和数，T为全试验总和数。各个总和数所包含的小区数目，必为总小区数目(rabc)除以该总和数的下标所具有的水平数。例如：每个Tr包括rabc/r=abc=2X2X3=12个小区；每个TAB。包括rabc/abc=r=3个小区，每个TA包括rabc/a=rbc=3X2X3=18个小

区；等等。记住这个规则，有助于后面的分析计算。T22522……八C=rObC=3x2x2x3=SS=TZy2—C=122+T22522……八C=rObC=3x2x2x3=SS=TZy2—C=122+122+...+72—C=396.00SSZT2832+822+872R=——C=C=1.1/abc2x2x3SSa=zT；c=1742+782rbc=256.00—C3x2SSa=zT；c=1742+782rbc=256.00—C3x2x3SSn£T2八1412+1112=25.00B=云-C=3x2x3■CSSZT2八EE1012+732+402+382八=18.78AB=^ab-c-ss-ss=c-ss-ss=0.50—C3=0.50—C3x2x2SSZT2八=832+832+862C=——C——C

rbcSSAC=工-C-ss-ss=672+6°2+…+392“—ss-ss=80*17由袅13.18(3)BC茜向表可求得：SSzT2482+452+...+382=1.50BC=^C—C—ss—ss=—C—ss—ssrabc3x2bc

由（13•5）可求得:SSabc=S"SSa-SSb_SSc-SSab-SSac-SSbc=382.00-256.00-25.00-0.50-18.78-80.17-1.50=0.05至此，各项变异的平方和皆已计算得到，将它们填入表13・19。l=j3.方差分析表和F测验在此三个试验因素皆取固定模型，所以各项均方都可与误差项均方相比而得出F值于表13.19。F测验表明，在该试验中显著的项目只有主效A（品种）、B（播期）和一级互作AXB（品种X播种）、AXC（品种乂密度），其余皆不显著。由于F值的大小表示着效应或互作变异的大小，故在上述显著的效应和互作中，其对产量作用的大小次序为：A>AXC>B>AXBo表13.19棉花品种、播期、密度三因素试验的方差分析l=j变异来源j■.・，■■ULIDFSSMSFF0.05—区组间21.160.581.00处理间11382.0034.72品种A1256.00256.00441.38*4.30播期B125.0025.0043.10*4.30密度C20.500.25<1AXB118.7818.7832.38*4.30AXC280.1740.0969.12*3.44BXC21.500.751.293.44AXBXC20.050.03<1误差2212.830.58总变异35396.04.效应和互作的显著性测验~~本例以亩产量为单位进行测验。i=j(1)品种效应表13.18⑴的每个T是Arbc=3X2X3=18个小区的产量，故cf=666.67/(18X25)=1.48,A1品种的亩产量=174XCf=257.5(kg),A2品种的亩产量=78X1.48=115.4(kg),二者相差142・1kg。为测验142.1kg/亩的显著性，在此有H0\,0对HA：i=j乂0。显著水平取0.05o算得备产量的标准篡［ZE、1.48=顷商，而LSRo05,之之二4.78X2.93=14.0(kg)o所以应接受Ha，即A1品种的产量显著高于A2o实际上，当因素或互作的自由度1时"测验、q测验、SSR测验的假设和结果都完全相同,而且也和F测验的假设和结果完全相同。所以，以后遇到这种情况，都可以根据F测验结果直接作出判断，而不需再作其他测验。播期效应表13.18⑴的每个Tb值是rac=3X2X3=18个小区的产量，故cf=1.48。因此有谷雨前播亩产量=141X1.48=208.7kg-立夏播亩产量=111X1.48=164.3(kg),二者相差44.4kg，由表13.19的F测验已知，此50.0kg亦为显著，故播期应选用谷雨播。

品种X播期的互作表13.18(1)在B1下A1、A2两品种的差异d=61，在B2下』=35,其差异即为互作值：AX#互作值=B〔下A1-2B下1d2d=61-35=26(kg)，用处理组合表示为:aa2AXB互气作值=(AB-AB)-(AB-AB)=AB+AB112112221122I三」B2。这里的AXB互作值=26kg,系18产量的差数。故AXB互作值的亩产量：26X1.48=38.48(kg)。因各具二水平的二个因素间互作效应的自由度1,故其显著性可由表13.13的V—F测验代表，不必另行测验。本例A与B间互作显著，以A1与B1搭配为最佳。I三」I三」品种X密度的互作表13.18(2)中各个/系rb=3X2=6区产量的差数，故这些差数的差d数系rab=3X2X3=12个小区产量的差数。I三」4=666.67/(12X25)=2.22□由此可得AXC的各个互作值于表13.20(括号内为亩产量的互作值)。求得亩产量标准误(kg)SE=712x0.58x2.22=5.9故p=2时,LSR°°,22=5・9X2.95=17.4(kg),LS&o°,22=5.9X4.52=23.7(kg)；p=3时，LSR°=5.6.0XX23.08=18.2(kg),LSR=5・6.°艾4.17=24.6(kg)。按此尺度测验表13.202的J各个互i=J

W=i作值的亩产量，都达到°0.01的水平，即品种A1比A2在C1下比在C2卞多增产35kg/亩，在C1下比C下多增产107.5kg/亩，在C下比C下多增产72.5kg/亩。A1C1表现为最优组合。i=J

W=i本例中BXC和AXBXC互作不显著，无须再作进一步的测验。表13.20品种(A)X密度(C)的互作值C水平A-A12不同C水平下(A-A)间的相差同C15112同C23714(35.0)同C3343(107.5)29(72.5)注：表中所列数字为总和值，括号内为折算成亩产量。一>»5.试验结论本试验品种和播期皆有显著效应，品种应选A1，播期应选B1(谷雨播)。但AXB互作显著，选用A1B1不仅具有A1、B的平均效应，而且具有正向的互作值；AXC的互作也显著，选用A1C1也可取得正向互作值。因此本试验的最优组合A1B1C1，即表13.16的处理(1)，它可以同时取得有益的A、B主效应和AXB、AXC的互作效应。三因素试验的线性模型和期望均方1.完全随机设计这里列出三因素完全随机试验的线性模型和期望均方，F测验的方法可依据前面讲到的F测验原理自行给出。

三因素完全随机试验每一观察值y..kl的线性模型为："其中，A、B、C分别为因素A、B和C的主效,y=^+A+B+C+(AB)+(AC)+(BC)+(ABC)其中，A、B、C分别为因素A、B和C的主效,(AB)、(AC)和(BC)k分别为A和B、A和C以及B和C的互作效应，(ABC):k为因素A、B和C三因素互作效应，若它们为固定模型时，£A=0£B=0£C=0ijk£A=0£B=0£C=0ijk=£(BC).=0，£(ABC).型时；有A•〜；(0,(AB)..〜而)，(AC)•；(0,c2)(ABC)；(0,c2ABijk；(0,c2)，ABC£(AB)=£(AB)=0，£(AC)=£(AC)=0，ij,当它们为随=£(ABC)=£(ABC)=0，—ik；(0,cAc)，ijkN(0,〜Ck〜jkN(0,c2)，CN(0,c2)，BC〜N(0,c2)变异来源DFMS期望均方EMS固定模型随机模型混合模型A、B固定，C随机Aa-1MS*Ac2+nbcK2Ac2+nc2+ncc2+nbc2+nbcc2ABCABACAc2+nbc2+nbcK2ACABb-1MSBc2+nacK2Bc2+nc2+ncc2+nac2+nacc2ABCABBCBc2+nac2+nacK2BCBCc-1MSCc2+nabK2Cc2+ncABC+nbcAC+nac2C+nab^Cc2+nabc2CAXB(a-i)b-i)MSABc2+ncK2ABc2+ncABC+nccABc2+ncABC+ncKABAXC(arl)C-l)MSacc2+nbK2ACc2+ncABC+nbcACc2+nbc2ACBXC(b-i)C-i)MSbcc2+naK2BCc2+ncABC+nac2Cc2+nac2BCAXBXC(a-1)b-1)C-1)MSabcc2+nK2ABCc2+nc2ABCc2+nc2ABC误差abc(n-l)MSec2c2c2£ijkl表13.21三因素随机试验设计的期望均方2.随机区组设计三因素随机区组试验每一观察值y”的线性模“jklm型为:y=^+P+A+B+C+(AB)+(AC)+(BC)+(ABC)+£fjklm^、jklmklkmImklmjklm(13•7)其中，b代表区组效应，固定模型时有日一。，随P乙D—0〜,N(0,q2)机模型时〜,N(0,q2)表13.22三因素随机区组设计的期望均方变异来源DFMS期望均方固定模型随机模型混合模型A、B固定，C随机区组间r-1b2+abcKpb2+ab(b2b2+abcK2或b2+ab(b2Aa-1MS*Ab2+rbcK2Ab2+rbABC+rcbAB+rbbAC+rbcbAb2+brb2+rbcK2ACABb-1SSBb2+racK2Bb2+rb2+rcb2+rab2+racb2ABCABBCBb2+rab2+racK2BCBCc-1SSCb2+rabK2Cb2+rb2^BC+rbbAC+rab%C+rab^Cb2+rabb2CAXB(a-1)b-1)SSABb2+rcK2ABb2+rbABC+rcbAbb2+rbABC+rcbAbAXC(a-1)C-1)SSACb2+rbK2ACb2+rbAbc+rbbACCb2+rbb2ACBXC(b-1)C-1)SSBCb2+raK2BCb2+rbABC+rab2Cb2+rab2BCAXBXC(a-1)b-1)C-1)SSb2+rK2ABCb2+rb2ABCb2+rb2ABC误差abc(n-1)sSBCb2b2b2根据期望均方可以确定不同模型的F测验方法。在表13.22的混合模型中仅列出了A和B固定、C随机的混合模型，还可以有A固定、B和C随机的混合模型。由表13.22可见，对于固定模型和所列混合模型，作出F测验都是不困难的。例如：在固定模型中，测验h。或h。等，都H:K2—0H:K2—0可以由该项均方对误差项均方之比得出BF。在A和B固定、C随机的混合型中亦可类推。如测验hk2—0，可借A的均方对AXC均方之比得F；0：A

测验"。，可借B的均方对BXC均方之比得F；H:K2=0测验HHB0,可借c的均方对误差均方之比得F,…琴辱。但是，在随机模型中，测验行,H:b2=0H0，。缺乏适当的被比量。一般可通过有H:b2=0H:b2=0关项均方的相加作近似测验。例如，测验H。对H:b2=0口乂0,可以先将A和AXBXC项的均方相加,H:b2得：WS^b2办2+rcb2+rbb2+rbcb2,再将AXB和A2rb2+rcb2+rbb2=0对H「:22rb2+rcb2+rbb2=0对H「:2部。AA其有效自由度为：0(13.8)上式的、MS2MS(13.8)上式的、MS2MSMS2v=11MS2MS2A+ABCVVAABCMS222MS2MS2AB+AC-ABAC依次分别为XC、A义B、AXC”项均方的平方；为上述相应项的自由度。VACMS2MS2A、AXBVVABCAB第二节裂区试验的统计分析一、裂区试验结果统计分析示例设有A和B两个试验因素，A因素为主处理，具a个水平，B因素为副处理，具b个水平，设有r个区组，则该试验共得rab个观察值。其各项变异来源和相应的自由度见表13.23。

变异来源DF平方变异来源DF平方和主区部分区组r-1SSr=£T2ab-CAa-1SSA=YT*rb-C误差a(r~1)(a-1)SSe=主区SS-SS—SSA主区总变异ra-1主区SS副区部分Bb-1SSB=£T*a—CAXB(a-1)(b-1)SSA/处理SS-SSA-SSB误差ba(r-1)(b-1)SSe=SS.主区总SSSS.S%%总变异rab-1SSt=Zy2—C由表13.23可见，二裂式裂区试验和二因素随机区组试验在分析上的不同，在于前者有主区部分和副区部分，因而有主区部分误差(误差a，简记作E)和副区部分误差(误差b，简记作E)，ab分别用于测验主区处理以及副区处理和主、副互作的显著性。如对同一个二因素试验资料作自由度和平方和的分解，则可发现随机区组的误差项自由度和平方和分别为DF、SS，而裂区设计有两个误差项，其自由度和平方和分别为df、皮和%、路。而区组、处理效应等各个变异项目的自由度和平方和皆相同。由此说明，裂区试验和多因素随机区组试验在变异来源上的区别为：前者有误差项的再分解。这是由裂区设计时每一主区都包括一套副处理的特点决定的。l=J［例13・4］设有一小麦中耕次数(A)和施肥量(B)试验，主处理为A，分A1、A2、A33个水平,

副处理为B,分B1、B2、B3、B44个水平，裂区设计，重复3次(r=3),副区计产面积33m2，其田间排列和产量(kg)见图13.3，试作分析。i=j重复IIB°-1B,B,-3B„B,B,21324l=J间排列和产量(kg)见图13.3，试作分析。i=j重复IIB°-1B,B,-3B„B,B,213243372915311313B,B,B,B,B,B°344112181716302831重复IA__A3—A2B1B32714B2B2BiBfB§B1B1BiBd(1)结果整理图13.3小麦中耕次数和施肥量裂区试验的田间排列和产量(kg/33m2(1)结果整理将图13.3资料按区组和处理作两向分组整理成表13.24，按A因素和B因素作两向分类整理成表13・25。表13.24图13.3资料区组和处理两向表主处理A副处理B-区组TABTaIIImAiBi29283289B2373231100B318141749B.171615484T1019095286A2mB128292582B231282988B313131036B.131212374T858276243A3mB130272683B231283190B315141140b4161513444T928481257Tm278256252T=786表13.25图13.3资料A和B的两向表BB3BTa

A189A1891004948286A282883637243a383904044257Tb254278125129T=786根据表13.23将各项变异来源的自由度直接填入表13.26。首先，计算总平方和，八7862富拓五=17161总SS=yy2-C=292+372+...+132-C=2355然后，根据A因素与区组两向表计算主区总SS”，并分解为区组SS。SS.和s’三部分,a主区总£T21012+852+.+812SS=m—C=C=122Mb4£T22782+2562+2522=32.67rC=CSS土abSS,A=壬-C=2862+2432+2572-C=80.17rbSSSS-SS-SSA=122-32.67-80.17=9.16MRA根据A与B两向表（表13.25）计算处理平方和SS,，并分解为SSA、SSB和SSAB三部分，处理SS=£T：B-C=892+1002+...+442“=2267fr3SSb=丑-C=2542+2782+1252+129主区总£T21012+852+.+812SS=m—C=C=122MbSS土abSS,ASSSSb=丑-C=2542+2782+1252+1292_C=2179.67_ra3x3处SSaB表13.26中，E是主区误差，表13.26中，E是主区误差，Eb为副区误差。当选用固定模型时：E可用以测验区组间和主处表13.26小麦裂区试验的方差分析变异来源DFSSMSFF0.05主区部分区组232.6716.347.14*6.94A280.1740.0917.51*6.94E49.162.29a总变异8122副区部分B32179.67726.56282.71*3.16AXB67.161.19V1Eb1846.172.57总变b异352355⑶F测验a理(A)水平间均方的显著性；E可用以测验副处理(B)水平间和AXB互作均方的显著性。由表13.26得到：区组间、A因素水平间、B因素水平间均有显著差异，但AXB互作不显著。由此说明：①本试验的区组在控制土壤肥力上有显著效果，从而显著地减小了误差；②不同的中耕次数间有显著差异；③不同的施肥量间有显著差异；④中耕的效应不因施肥量多少而异，施肥量的效应也不因中耕次数多少而异。(4)效应和互作的显著性测验在此以亩产量进行测验。①中耕次数间表13.25各个TA值为rb=3X4=12区产量之和，故cf=666.7/（12X33）=1.6835据此可算得各中耕处理的亩产量于表13・27。求得亩产量的标准误SE=\^MTXcf）混X4X2.29X1.6835=8.8（kg/亩）故有,p=2,L§R=57.3,LSR=34.6（kg/亩）；°.01，4成，4I=J

wi=Jl=j

wp=3,LSRo=71.5,LSR。4=44.4（kg/亩）0.01，4E'4以上述LSR值测验表13.27中A因素各水平的差数，得知A1与a3间的差异达0.05水平，A1与A2间的差异达0.01水平，故以A1为最优。卜②施肥量间表13.25各个TB值为〃=3X3=9区产量之和，故表13.27三种中耕处理亩产量的新复极差测验中耕次数亩产量5%1%A481.5aAA3432.7bABA409.1bBi=j

wCf=666.7/（9X33）=2.2448,SE=（raMSx'Ebcf，3x3x2.57x2.2448=10.8（kg/亩）p=2，LSR0.01，p=2，LSR0.01，=44.0，LS^和=32.1180.0LSr0.01，=50.8，LSR=39.0180.0LSr0.01，=43.2新复极差测验施肥量亩产量5%1%B2624.1aAB1570.2bBB4289.6cC—B—280.6cC表13.28四种施肥量处理亩产量的=54.9,LSRi=j

w18以上述LS^"5^验表13.28各个亩产量的差数，得知施肥量以B2最好，它与B1、B4、B5都i=j

w比较本例中副处理（施肥量）与主处理（中耕次数）的相应LSR值，前者小，因而鉴别差数的显著性将更灵敏些。究其原因，在于E具有较大的自由度而较小的SSR值。如果试验能进一步降低E，，则灵敏性将更高，这里说明裂区设计对副b处理具有较高精确性的优点。③中耕次数x施肥量的互作经F测验为不显著，说明中耕次数和施肥量的作用是彼此独立的，最佳A处理与最佳B处理的组合将为最优处理组合，如本例中的A1B2，所以不需再测验互作效应。如果该互作的F测验显著，则需象表13.6那样将试验结果分裂成各中耕次数下施肥的简单效应或各施肥量下中耕的简单效应，进行测验。其标准误的公式为：A相同B不同时,

SE=&MSex寸■（比较亩产量）TOC\o"1-5"\h\zM>或SE=,—Er（比较小区产量）（13•9）rJ任何二个处理或B相同A不同时,SE=\：r(1)MSEb+MSeo]xcf(比较亩产)IbSE=:［°_1）MSEb+Me］（比较小区产量）或（13SE=:［°_1）MSEb+Me］（比较小区产量）或（13•10）（5）试验结论本试验中耕次数的A1显著优于A2、A3量的B2极显著优于B1、4。由于AXB不存在，故A、B效应相加，最优组合必—Erb施肥互作裂区试验的每一个主区处理都可看作是一个具有b个副区处理的独立试验，各具r次重复；因而每一主区处理内的误差（鸟）也是独立的。故在裂区试验中，如有副区缺失，可采用与随机区组相同的原理估计之。［例13.5］设表13.24资料A1B1在区组I缺失，其结果如表13.29。试作估计。很明显，表13.29中的缺区y仅对A1处理有影响，而对A2和A3无关。但是A1下的这4个副处

60+60+j72+j257+j_0"-+12^-表13.29缺失1区产量的裂区试验主处理A副处理B-区组-TabIIIIIIAiBiy2832y+60B2373231100B318141749B417161548T丸+729095y+257之一-所以，尸33.3或_4x60+3x72-257_333如果另土区在鼬主区处理内出现，可同样估计。如果在同一主区处理内出现两个以上缺区，则仍可应用采用解方程法。［例13.6］设表13.24资料缺失y1、y2、y33区产量，其结果如表13.30，试作估计。表13.30缺失3区产量的裂区试验主处理A副处理B区组TABTaIiiIIIAiBiy12832y1+60B2373231100B318141749B.171615484Ty1+729095y1+257A2mB128292582B231282988B313131036B4131212374T858276243A3mB130272683B23128七状59B3y31411七+25B416151344Tmy+n84y2+50以+y3+211

总和234+y1ty3256总和234+y1ty3256221fy260+七72+七*257+七_0七+121—71=33.3A3主处理在各区组缺失y2和七两区，故据7.17对v有2+59y+50211+y+y12土1——y-^3+25-^^+'2”3+211=0整理上述方荏组:46v2+V3=175,七+6七=121，解之得，七=26.5，v=15.7+5912将近似数v、33,v=27,v=16代入表13.30的相应位置，即1可按常法分析。3E项的自由度为b[“(r-1)(bT)-3],总变异项的自由度为(rab-1-3)=(rab-4)。具缺区的处理与其他处理小区平均数比较时各种平均数标准误SE的公式如下：主处理间的比较：SE”竺芸笔副处理间的比较：SE=\一一湛ra同一主处理不同副处理间的比较：SE="：—J湛同一或不同副处理时主处理间的比较：SE=了%+MSe,[°—D+挣2](13•11)其中,在缺一个副区时，'1;若缺失副区J=在2或2个以上，k一。'是缺失副区数,J=c=有缺区的重复数，艾=缺区最步的处理组合中缺失的副区数。三、裂区试验的线性模型和期望均方y=u+B+A+5+B+(AB)+£jkijkjkikijki在裂区试验中，对于j(=1,2,…，r)区组、k(=1,2,…,幻主处理和1(=1,2,…，方)副处理观察值yjkl的线性模型为：(13•12)其中，，和分别为主区误差和副区误差并分别具5£有N(0j和N(0,)；b为区组效应，随机模b2b2y=u+B+A+5+B+(AB)+£jkijkjkikijki£A=0,£B=0，£(AB)=£(AB)=0，随机模型时有，^〜gb2)，lklklAMo)。三种模型的期望均N(0,b2)ABB广M0C尸^B)Mo)。三种模型的期望均N(0,b2)AB变异来源DF固定模型随机模型A固定、B随机区组r-1b2+bb2+abb2b2+bb2+abb2b2+bb2+abb288P88P88P主处理Aa-1b28+bb*+rbKAb：+bb*+rbAB+rbbab2+bb*+rbAB+rbK；Ea(r-1)(a-1)b28+bb28b2+bb*b2+bb*副处理Bb-1b28+raK2Bb|+rbAB+rabBb8+rabBA、B互作(a-1)(b-1)b28+rK2ABb2+rbABb2+rb2B__Eb__a(r-1)(b-1)b28_b2£b2£表13.31给出了正确进行F测验所必须的依据。由表13・31可见，在随机模型和A固定、B随机的混合模型中，如果交互项显著，则h。和H:b2=0=0难以作出直接测验。这时仍需象表1A3.22H:K2那样，对有关项的均方相加以作近似测验。例如在随机模型中，为测验'。对，乂0。可先将H:b2=0H:b2A和E项相加得://；A，再将AXBbMS=2b2+bb2+rb2+rbb2和E项相加得:\；于是，由aMS=2b2+bb2+rb2F=MS,/MS。可测验'2。对，字0，其自由度12H:b2=0H:b2估计仍可参考(13•8)OAAA四、再裂区设计的分析若参加试验的因素有三个，可以在裂区中再划分小区称为再裂区试验。设A、B、C三因素分别具有a、b、c个水平，重复r次，主区、裂区、再裂区均为随机区组式排列，则其自由度的分解

列如表13・32。表13.32各处理均为随机区组式的再裂区设计自由度分解变异来源DF主区部分区组L1Aa-1误差A(a-1)(r-1)主区总变异ra-1裂区部分Bb-1AXB(a-1)(b-1)误差Ba(b-1)(r-1)副区总变异rab-1再裂区部分副副处理Cc-1主X副副AC(a-1)(c-1)副X副副BC(b-1)(c-1)主X副X副副ABC(a-1)(b-1)(c-1)误差ECab(c-1)(r-1)总变异abcr-1再裂区试验中各项比较的平均数标准误SE公式如下：\MSIMSA处理间：SE=v1—；B处理间：SE=V—£vrbcVrac\MSA相同不同B间：SE=.一VVrc[。-1)MS+MS]同B或异B的A处理间：SE=上『\rbc\msC处理间：SE=y\—/Vrab'ms同A的C处理间：SE=.1—』Vrb同B的C处理间：SE=}\—%VraIms同A同B的C处理间：SE=1,1—%i'[(c-1)MS+MS]TOC\o"1-5"\h\z同C或异C的B处理间：SE=}\上『rac'[(c-l)MS_+MS]同A同C的B处理间：SE=vlJ『Vrcl[(c-l)MS_+MS]同C或异C的A处理间：SE=.1乩『rbc\\b{c-Y)MS+(Z?-1)MS+MS]同B同C的A处理间：SE=vl气上『Vrbc(13•13)以上比较是以小区（再裂区）平均数为对象的。再裂区试验观察值的线性模型为:y=|1+P+A+。+8+(A8)+8+C+(AC)+(BC)+(ABC)+£/jkkna\kjkIkljklmkmImklmjklm(13•14)(13•14)中.〜N(0,,)；.〜N(0,)；〜(|)(72o(52EN(0,)oA,C,(AB),(Xt),(BC)；(A为C)(J2通常为固定模型，其限制条件为由。E°F。；klm

KAB)=1(AB)=0；KAC)=KAC)=0；Z(BC)=Z(BC)=0；TOC\o"1-5"\h\zklklkmkmImImklkmlmOZ(ABC)km=KABC)km=KABC»=0klm五、条区设计的分析在多因素试验中由于实施试验处理的需要，希望每一因素的各水平都有较大的面积，因而在裂区设计的基础上将同一副处理也连成一片。这样A、B两个因素互为主，副处理，两者的交叉处理为各该水平的处理组合。这种设计称为条区设计。条区设计的排列方法参见第六章。若A、B两因素各具“、b个水平，重复r次，则A、B两因素均为随机区组式的条区设计自由度分解列于表13・33。区组IA1A3AB2376455区组IA1A3AB2376455480B1386476496区组IIAA1A3Bi549396492B3533388482A2A1A3B2500347468B3482337435区组m变异来源tW£>、Ur>3yilEDFSS区组r-1SSr=ET*b-CA处理a-1SSA=ET2rb-CEa(a-1)(r-1)SS=ET2..'b-C-SS-SSaB处理b-1SS广ET?ra-CEb(b-1)(r-1)SSe产以-C赤我AXB(a-1)(b-1)SS=ET2r-C-SS-SSDABABABEc(a-1)(b-1)(r-1)SSe=SSt~SSr~(E'r-C)总变异abr-1cSST=Ey2-CB3355433446B2540406512Bi513387476A2区组WA3A1A3区组VAiA2A2区组WA3A1B3413334201B1458366474B3490447348B1469436298B3413333425B2509473356B2436398280B2434356465B1520487397图13.4甘薯垄宽、栽插期条区试验的田间排列和产量结果（kg/80m2）［例13.7］设一甘薯垄宽和栽插期