湖南省六校联考高考数学模拟试卷(理科)(解析)

2020年湖南省六校联考高考数学模拟试卷(理科)(解析版)2020年湖南省六校联考高考数学模拟试卷(理科)(解析版)2020年湖南省六校联考高考数学模拟试卷(理科)(解析版)2020年湖南省六校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1．已知会集A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=}，A∩B=（）A．[1，+∞B．[13]C35D．[35]），．（，]，2．命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数3．若执行如图的程序框图，输出S的值为6，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜32？

B．k＜65？

C．k＜64？

D．k＜31？4．以下函数中在

上为减函数的是（

）A．y=2cos2x﹣1

B．y=﹣tanxC．

D．y=sin2x+cos2x5．采用系统抽样方法从

960人中抽取

32人做问卷检查，为此将他们随机编号为

1，2，，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7

B．9

C．10

D．156．已知某几何体的三视图以下列图，则该几何体的体积为（

）A．6πB．C．3πD．7．若的张开式中的常数项为a，则的值为（）A．6B．20C．8D．248．若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足拘束条件，则实数m的最大值为（）A．1B．C．2D．9．已知数列{an}的通项公式an=5﹣n，其前n项和为Sn，将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来序次恰为等比数列{bn}的前3，若存在m∈N*，*，总有S＜T项，记{bn}的前n项和为Tn使对任意n∈Nn+λ恒建立，则实数λ的取值范围是（）nA．λ≥2B．λ＞3C．λ≥3D．λ＞210．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排成一列而成．记，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的选项是（）A．B．C．若⊥，则Smin与||没关D．S有5个不同样的值11．设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A13B12]C．D．以上均不正确．（，）．（，12．已知A，B分别为椭圆的左、右极点，不同样两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共

4小题，每题

5分，共

20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知复数

，则|z|=

．14．在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为．222222A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足x+y=x+y，则b=．16．给出以下命题：（1）设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒建立，且f（x）为奇函数，则g（x）也是奇函数；2xxfx||gxgx|建立，且函数fx）在R（）若?1，2∈R，都有|f（x1）﹣（2）＞（1）﹣（2）（上递加，则f（x）+g（x）在R上也递加；（3）已知a＞0，a≠1，函数f（x）=，若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多，则实数a的取值会集为；（4）存在不同样的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共5小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对所有正整数n都建立．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？18．如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．19．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图以下列图，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）3018[30，40）3624[40，50）129[50，60]43（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；2）求全校教师的平均年龄；3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学希望．20．已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．21．已知函数f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k为常数，是自然对数的底数），曲线y=fx）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．1）求f（x）的单调区间；（2）设，对任意x＞0，证明：（x+1xx﹣2．）g（x）＜e+e请考生在22、23、24三题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分.22．选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线订交于点E，EF垂直BA的延长线于点（I）求证：∠DEA=∠DFA；

F．（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的一般方程；2）设点Pm0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA||PB|=1，求实数m的值．（（，?24．函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域A；（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a、b∈（B∩?RA）时，证明：|．2020年湖南省六校联考高考数学模拟试卷（理科）参照答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1．已知会集A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=}，A∩B=（）A．[1，+∞）B．[1，3]C35D．[35]．（，]，【考点】交集及其运算．【解析】分别求出会集A、B，进而求出A∩B即可．【解答】解：∵会集A={x|x2﹣6x+5≤0}={x|1≤x≤5}，B={x|y=}={x|x≥3}，AB=[35]，∴∩，应选：D．2．命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数【考点】四种命题间的逆否关系．【解析】若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，而x，y定应为x与y不都是偶数．【解答】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，因此原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数”

都是偶数的否应选

C3．若执行如图的程序框图，输出S的值为6，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜32？B．k＜65？

C．k＜64？

D．k＜31？【考点】程序框图．【解析】依照程序框图，写出运行结果，依照程序输出的结果是

S=6，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：依照程序框图，运行结果以下：Sk第一次循环log233第二次循环log23log344?第三次循环log23?log34?log455第四次循环log23?log34?log45?log566第五次循环log23?log34?log45?log56?log677第六次循环log23?log34?log45?log56?log67?log788第七次循环log3log4log5?log6log7log8log992?3?45?6?7?8第61次循环log23?log34?log45?log56??log626363第62次循环log23?log34?log45?log56???log6263?log6364=log264=664故若是输出S=6，那么只能进行62次循环，故判断框内应填入的条件是k＜64．应选：C．4．以下函数中在

上为减函数的是（

）A．y=2cos2x﹣1

B．y=﹣tanxC．

D．y=sin2x+cos2x【考点】函数单调性的判断与证明．【解析】依照基本初等函数的图象与性质，对选项中函数的单调性进行解析、判断即可．【解答】解：关于A，y=2cos2x﹣1=cos2x，在上是先减后增，不满足题意；关于B，y=﹣tanx，在（，）和（，）上都是增函数，不满足题意；关于C，y=cos（2x﹣）=sin2x，在上为减函数，满足题意；关于D，y=sin2x+cos2x=sin（2x+），在上先减后增，不满足题意．应选：C．5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷检查，为此将他们随机编号为1，2，，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7B．9C．10D．15【考点】系统抽样方法．【解析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750求得正整数n的个数．【解答】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750解得≤n≤．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，应选：C．6．已知某几何体的三视图以下列图，则该几何体的体积为（）A．6πB．C．3πD．【考点】由三视图求面积、体积．【解析】经过三视图判断几何体的特色，利用三视图的数据求解几何体的条件即可得出答案．【解答】解：由三视图判断几何体是底面半径为1，高为6的圆柱被截掉分开，相等的2部分，2π，∴V=π×1×6=3应选：C7．若的张开式中的常数项为a，则的值为（）A．6B．20C．8D．24【考点】二项式定理的应用．【解析】利用二项式定理求得a=2，再求定积分求得要求式子的结果．【解答】解：依照

=（2+x+x2）?（1﹣

+

﹣）=2﹣

+

﹣

+x﹣3+

﹣

+x2﹣3x+3﹣

，故张开式中的常数项为

a=2﹣3+3=2，则

=

?（3x2﹣1）dx=（x3﹣x）

=8﹣2=6，应选：

A．8．若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足拘束条件，则实数m的最大值为（）A．1B．C．2D．【考点】简单线性规划．【解析】由题意作图象，进而结合图象可知2m≤1，进而解得．【解答】解：由题意作图象以下，，结合图象可知，函数y=2x图象与y=3﹣x的交点A（1，2），则2m≤1，故m≤；应选：D．9．已知数列{an}的通项公式an=5﹣n，其前n项和为Sn，将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来序次恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S＜TTnn+λ恒建立，则实数λ的取值范围是（）nA．λ≥2B．λ＞3C．λ≥3D．λ＞2【考点】数列的求和．【解析】经过an=5﹣n可求出Tn=8（1﹣）、Sn=，利用4≤Tn＜8及Sn≤10，结合题意可知10＜8+λ，进而计算可得结论．【解答】解：∵an=5﹣n，∴a1=4，a2=3，a3=2，a4=1，则b1=a1=4，b2=a3=2，b3=a4=1，∴数列{bn}是首项为4、公比为的等比数列，∴Tn==8（1﹣），∴4≤Tn＜8，又∵Sn==，∴当n=4或n=5时，Sn取最大值10，∵存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn＜Tn+λ恒建立，∴10＜8+λ，即λ＞2，应选：D．10．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排成一列而成．记，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的选项是（）A．B．C．若⊥，则Smin与||没关D．S有5个不同样的值【考点】平面向量数量积的运算．【解析】依题意，可求得S有三种结果，，，，可判断①错误；进一步解析有S1﹣S2=S2﹣S3=≥=，即S中最小为S3，再对A、B、C逐一解析得答案．【解答】解：∵xi，yi（i=1，2，3，4，5）均由2个a和3个b排列而成，∴S可能情况有以下三种：，，，故D错误；S1﹣S22﹣S3≥=，∵=S=∴S中最小为S3，若，则Smin=S3=，∴A，B错误；若⊥，则Smin=，与没关，与有关，故C正确．应选：C．11．设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A13B12]C．D．以上均不正确．（，）．（，【考点】基本不等式；简单线性规划．【解析】由基本不等式可得a≥，c≥2，再由三角形任意两边之和大于第三边可得，+2＞，且+＞2，且+2＞，由此求得实数的取值范围．【解答】解：关于正实数x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），应选：A．12．已知A，B分别为椭圆的左、右极点，不同样两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【解析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），利用斜率计算公式必定：mn=，=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），则m=，n=，∴mn==，∴=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．f′（t）=+1+t﹣=，可知：当t=时，函数f（t）获取最小值=++﹣2ln=2+1ln2．∴=．∴=．应选：D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知复数，则|z|=．【考点】复数求模．【解析】利用复数的运算法规、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数==i﹣1，则|z|==，故答案为：．14．在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为4或．【考点】余弦定理；三角形中的几何计算．【解析】利用三角形的面积公式，求出，可得cosC=±，利用余弦定理可求AB的长．【解答】解：∵BC=，AC=2，△ABC的面积为4，∴4=，∴，∴cosC=±，∴AB2==16，∴AB=4；或AB2==32，∴AB=．∴AB的长为4或．故答案为：4或15．已知圆x2+y2﹣4x+2y+5﹣a2=0与圆x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16=0订交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足x+y=x+y，则b=．【考点】圆与圆的地址关系及其判断．【解析】把点A、B的坐标分别代人圆O1，化简得2（x1﹣x2）=y1﹣y2；再把点A、B的坐标代人圆O2，整理得b（y2﹣y1）=﹣（b﹣5）（x1﹣x2）；由以上两式联马上可求出b的值．【解答】解：依照题意，把点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代人圆O1，得；﹣4x1+2y1+5﹣a2=0①，﹣4x2+2y2+5﹣a2=0②，﹣②并化简得，2（x1﹣x2）=y1﹣y2③；同理，把点A、B的坐标代人圆O2，整理得，b（y2﹣y1）=﹣（b﹣5）（x1﹣x2）④；把③代人④，化简得2b=﹣（b﹣5），解得b=．故答案为：．16．给出以下命题：（1）设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒建立，且f（x）为奇函数，则g（x）也是奇函数；2）若xxfx||gxgx|建立，且函数fx）在R（?1，2∈R，都有|f（x1）﹣（2）＞（1）﹣（2）（上递加，则f（x）+g（x）在R上也递加；（3）已知a＞0，a≠1，函数f（x）=，若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多，则实数a的取值会集为；（4）存在不同样的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为（1）、（2）、（4）．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【解析】（1）利用|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒建立，设x2=﹣x1，|f（x1）+f（﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒建立，依照f（x）是奇函数，即可得出结论；（2）利用函数单调性的定义，即可得出结论；（3）分0＜a＜1和a＞1时加以谈论，依照指数函数的单调性和一次函数单调性，结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较，求出函数在[02，]上的最大值和最小值，由此依照题意建立关于a的方程，求出满足条件的实数a的值；4）对k的值分类谈论，将方程根的问题转变为函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．【解答】解：关于（1），∵|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒建立，令x2=﹣x1，则|f（x1）+f（﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒建立，∵f（x）是奇函数，∴|f（x1）﹣f（x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒建立，∴g（x1）+g（﹣x1）=0，∴g（﹣x1）=﹣g（x1），∴g（x）是奇函数，（1）正确；关于（2），设x1＜x2，∵f（x）是R上的增函数，∴f（x1）＜f（x2），∵|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒建立，∴f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）=f（x1）﹣f（x2）+g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）＜0，∴函数h（x）=f（x）+g（x）在R上是增函数，（2）正确；关于（

3），①当a＞1时，函数

f（x）=

在[0，2]上的最大值为

f（1）=a，最小值为

f（0）=1

或

f（2）=a﹣2；当a﹣1=时，解得a=，此时f（2）=＞1，满足题意，当a﹣（a﹣2）=0时，2=0不满足题意，∴a=；②当0＜a＜1时，在[0，1]上，f（x）=ax是减函数；在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是减函数，∵f（0）=a0=1＞﹣1+a，∴函数的最大值为f（0）=1；而f（2）=﹣2+a＜﹣1+a=f（1），因此函数的最小值为f（2）=﹣2+a，因此，﹣2+a+=1，解得a=∈（0，1）吻合题意；综上，实数a的取值会集为{，}，（3）错误；关于（4），关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0可化为（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+k=0（x≥1或x≤﹣1）（Ⅰ）或（x2﹣1）2+（x2﹣1）+k=0（﹣1＜x＜1）（Ⅱ）①当k=

时，方程（Ⅰ）有两个不同样的实根

±

，方程（Ⅱ）有两个不同样的实根

±

，即原方程恰有4个不同样的实根；②当k=0时，原方程恰有5个不同样的实根；③当k=时，方程（Ⅰ）的解为±，±，方程（Ⅱ）的解为±，±，即原方程恰有8个不同样的实根；④当k=﹣2时，方程化为（|x2﹣1|+1）（|x2﹣1|﹣2）=0，解得|x2﹣1|=2或|x2﹣1|=﹣1（不合题意，舍去）；因此x2﹣1=±2，解得x2﹣1=2，即x=±，方程有2个实数根；因此存在不同样的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个，命题（4）正确；综上，正确的命题是（1）、（2）、（4）．故答案为：（1）（2）、（4）．三、解答题：本大题共5小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对所有正整数n都建立．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；a0=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？（Ⅱ）设1＞，λ【考点】数列递推式；数列的函数特色；数列的求和．【解析】（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类谈论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项【解答】解（I）当n=1时，∴a1（λa1﹣2）=0若取a1=0，则Sn=0，an=Sn﹣Sn﹣1=0∴an=0（n≥1）若a1≠0，则n，，当n≥2时，2a=两式相减可得，2an﹣2an﹣1=an∴an=2an﹣1，进而可得数列{an}是等比数列∴an=a1?2n﹣1==综上可得，当a1=0时，an=0，当a1≠0时，II）当a1＞0且λ=100时，令由（I）可知∴{bn}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞＞b6=＞0当n≥7时，∴数列的前6项和最大18．如图，在多面体

ABCDE

中，DB⊥平面

ABC，AE∥DB，且△ABC

为等边三角形，

AE=1，BD=2，CD

与平面

ABCDE

所成角的正弦值为

．1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判断．【解析】（1）依照线面垂直的判判定理进行证明即可．（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（1）证明：取BC的中点为M，连接FM，则可证AM⊥平面BCD，四边形AEFM为平行四边形，因此EF∥AM，因此EF⊥平面DBC；（2）解：取AB的中点O，连接OC，OD，则OC⊥平面ABD，∠CDO即是CD与平面ABDE所成角，，设AB=x，则有，得AB=2，取DE的中点为G，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OG为z轴，建立如图空间直角坐标系，则，由（1）知：设平面BCE2），

BF⊥平面DEC，又取平面DEC的一个法向量的一个法向量=（1，y，z），由，由此得平面

=（BCE

，﹣1，2），的一个法向量

=（1，

，则cos＜，＞=

=

=

=因此二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为19．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图以下列图，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）3018[30，40）3624[40，50）129[50，60]43（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；2）求全校教师的平均年龄；3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学希望．【考点】失散型随机变量的希望与方差；频率分布直方图；失散型随机变量及其分布列．【解析】（1）由频率分布直方图能求出从年龄段[20，30）抽取的人数．（2）由频率分布直方图能求出全校教师的平均年龄．（3）由题设知X的可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和数学希望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，×40=14．2）由频率分布直方图得：全校教师的平均年龄为：25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35．（3）∵在年龄段[20，30）内的教师人数为120×0.35=42（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为，∵在年龄段[30，40）内的教师人数为120×0.4=48（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为由题设知X的可能取值为0，1，2．∴，，∴X的概率分布为X012PX的数学希望为20．已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．【考点】抛物线的简单性质．【解析】（1）设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和点满足直线方程，由向量的数量积的坐标表示，化简即可获取所求值；（2）求得切线的斜率和切线的方程，运用弦长公式，可得|AB|，|CD|，求得四边形ABCD的面积，运用对勾函数的性质，解方程可得k的值．【解答】解：（1）设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程，得x2﹣2pkx﹣p2=0，则x1+x2=2pk，x1x2=﹣p2，可得=x1x2+y1y2=x1x2=x1x2+（kx1+）（kx2+）=（1+k2）x1x2++（x1+x2）=（1+k2）（﹣p2）++?2pk=﹣p2；（2）由x2=2py，知，可得曲线在A，B两点处的切线的斜率分别为，即有AM的方程为，BM的方程为，解得交点，则，知直线MF与AB相互垂直．由弦长公式知，|AB|=?=?=2p（1+k2），用代k得，，四边形ACBD的面积，依题意，得的最小值为，依照的图象和性质得，k2=3或，即或．21．已知函数f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k为常数，是自然对数的底数），曲线y=fx）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．1）求f（x）的单调区间；（2）设，对任意x＞0，证明：（x+1xx﹣2．）g（x）＜e+e【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【解析】（1）求出f（x）的导数，经过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转变为证建立，进而证明，设F（x）=1﹣xlnx﹣x，依照函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）由于，由已知得，∴．因此，设，则，在（0，+∞）上恒建立，即k（x）在（0，+∞）上是减函数，由k（1）=0知，当0＜x＜1时k（x）＞0，进而f'（x）＞0，当x＞1时k（x）＜0，进而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递加区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）（2）由于x＞0，要证原式建马上证建立，现证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2恒建立，当x≥1时，由（1）知g（x）≤0＜1+e﹣2建立；当0＜x＜1时，ex＞1，且由（1）知g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F′（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F′（x）＜0，因此当x=e﹣2时，F（x）获取最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．因此g（x）＜F（x）≤1+e﹣2，即0＜x＜1时，g（x）＜1+e﹣2．综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．①令G（x）=ex﹣x﹣1（x＞0），则G'（x）=ex﹣1＞0恒建立，因此G（x）在（0，+∞）上递加，G（x）＞G（0）=0恒建立，即ex＞x+1＞0，即．②当x≥1时，有：；当0＜x＜1时，由①②式，，综上所述，x＞0时，建立，故原不等式建立请考生在

22、23、24三题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分

.22．选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA（I）求证：∠DEA=∠DFA；

的延长线订交于点