201410教师基本功比赛试题(笔试)及答案

2021年高中数学教师根本功比赛试题〔笔试〕用时：120分钟总分值：140分一、填空题：本大题共12小题，每题5分，共60分．把答案填写在答题纸相应位置上．1．奇函数的定义域为R．假设为偶函数，且，那么▲．大纲文改编2．设，R，，那么的取值范围是▲．随意编的题3．双曲线C的离心率为2，焦点为，，点A在C上，假设，那么▲．大纲理改编4．假设以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，那么线段的极坐标方程为▲．江西理改编5．，变量，满足约束条件且的最小值为，那么▲．全Ⅰ文改编6．三棱锥中，，为的两个三等分点，为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，那么▲．山东理改编7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，假设该棱锥的高为3，底面边长为，那么该球的外表积为▲．大纲理改编8．假设函数在区间是减函数，那么的取值范围是▲．大纲理9．在中，，，分别表示角，，所对边的长．假设，且，那么面积的最大值为▲．全Ⅰ理10．假设是的最小值，那么的取值范围为▲．上海理改编11．菱形的边长为，，点，分别在边，上，，．假设，那么的值为▲．4天津文改编12．为抛物线的焦点，点，在该抛物线上，〔为坐标原点〕，那么与面积之和的最小值是▲．四川理改编二、解答题：．．13．〔本小题总分值16分〕函数=，假设存在唯一的零点，且，求实数的取值范围．全Ⅰ文理小题解：当时，=，由图象易知不合题意．……2分当时，．……4分当时，在区间上是增函数，且，，在存在零点，不合题意．……8分当时，在上是减函数，，，故在上存在唯一的零点；……12分又在上是减函数，在上是增函数，为使在上无零点，令得，解得．综上可知，满足题意的实数的取值范围是．……16分解2：考察，两个函数图象，当时，由图象可知存在使，不合题意；当时，由图象可知存在使，此时只需当时，，即，可得．或令，应有，可得．解3：因不是原方程的解，可将原方程变为，存在唯一的解，且，由图象可得．或令，应有，存在唯一的解，且，可得．14．〔本小题总分值16分〕如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处〔OC为河岸〕，．B东北AM60mB东北AM60mO170mC〔2〕当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解法一：江苏高考题〔1〕如图，以O为坐标原点，OC所在直线为轴，建立平面直角坐标系．由条件知，，直线BC的斜率．BxyAM60mO170mBxyAM60mO170mC设点B的坐标为，那么，．解得，．所以．因此新桥BC的长为150m．〔2〕设保护区的边界圆M的半径为m，m．由条件知，直线BC的方程为，即．由于圆M与直线BC相切，故点到直线BC的距离是，即．因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以即解得．故当时，最大，即圆面积最大．所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大．解法二：〔1〕如图，廷长OA，CB交于点F．因为，所以，．因为OA=60，OC=170，所以，〔第18题〕B东〔第18题〕B东北AM60mO170mCDF因为，所以．又因为，所以，从而．因此新桥BC的长为150m．〔2〕设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连结MD，那么，且MD是圆M的半径，并设MD=m，OM=m．因为，所以．故由〔1〕知，所以．因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以即解得．故当时，最大，即圆面积最大．所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大．15．〔本小题总分值16分〕甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．浙江理小题〔1〕放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为，比拟，的大小；〔2〕放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为，求的分布列及数学期望．解：〔1〕p1＝eq\f(m,m＋n)×eq\f(2,2)＋eq\f(n,m＋n)×eq\f(1,2)＝eq\f(2m＋n,2〔m＋n〕)，……2分p2＝eq\f(Ceq\o\al(2,m),Ceq\o\al(2,m＋n))×eq\f(3,3)＋×eq\f(2,3)＋eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,m＋n))×eq\f(1,3)＝，……4分那么p1－p2＝，于是．……6分〔2〕的分布列为……9分12的分布列为……12分123E(ξ1)＝1×eq\f(n,m＋n)＋2×eq\f(m,m＋n)＝eq\f(2m＋n,m＋n)，……14分E(ξ2)＝1×eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,m＋n))＋2×eq\f(Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n),Ceq\o\al(2,m＋n))＋3×eq\f(Ceq\o\al(2,m),Ceq\o\al(2,m＋n))＝．……16分16．〔本小题总分值16分〕设数列的前项和为，满足，N*，且．〔1〕求，的值及的表达式；广东文理合并改编〔2〕求证：对一切正整数，有．解：〔1〕由得，整理得．……2分由可得，进而得．……4分猜测一般结论为(N*)．……6分利用数学归纳法可以证明：①当时，，等式成立．②假设当时等式成立，即，那么，当时，有．这就是说当时，等式也成立．由①②两步可知，对任意N*总有．……10分或：，．于是，．．猜测(N*)．由，得〔〕，相减得〔〕．再利用数学归纳法证明：(N*)．，，成立．假设当时成立，…也可以验证对N*成立，假设当N*)时成立，…〔2〕由〔1〕易得(N*)．……12分N*，，，．……14分．原不等式成立．……16分或：．当时，对N*，因为，所以．17．〔本小题总分值16分〕在平面直角坐标系中，椭圆C：．假设点在椭圆上，点在直线上，且．北京文理揉合并改编〔1〕求线段AB长度的最小值；〔2〕试判断是否存在常数使得成立，并证明你的结论．解：设点A，B的坐标分别为，，其中．因为，所以，即，解得．……2分〔1〕因为，所以====．……6分因为，且当时等号成立，所以，故线段AB长度的最小值为．