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文档简介
2021年高中数学教师根本功比赛试题〔笔试〕用时:120分钟总分值:140分一、填空题:本大题共12小题,每题5分,共60分.把答案填写在答题纸相应位置上.1.奇函数的定义域为R.假设为偶函数,且,那么▲.大纲文改编2.设,R,,那么的取值范围是▲.随意编的题3.双曲线C的离心率为2,焦点为,,点A在C上,假设,那么▲.大纲理改编4.假设以直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,那么线段的极坐标方程为▲.江西理改编5.,变量,满足约束条件且的最小值为,那么▲.全Ⅰ文改编6.三棱锥中,,为的两个三等分点,为的中点,记三棱锥的体积为,三棱锥的体积为,那么▲.山东理改编7.正四棱锥的顶点都在同一球面上,假设该棱锥的高为3,底面边长为,那么该球的外表积为▲.大纲理改编8.假设函数在区间是减函数,那么的取值范围是▲.大纲理9.在中,,,分别表示角,,所对边的长.假设,且,那么面积的最大值为▲.全Ⅰ理10.假设是的最小值,那么的取值范围为▲.上海理改编11.菱形的边长为,,点,分别在边,上,,.假设,那么的值为▲.4天津文改编12.为抛物线的焦点,点,在该抛物线上,〔为坐标原点〕,那么与面积之和的最小值是▲.四川理改编二、解答题:..13.〔本小题总分值16分〕函数=,假设存在唯一的零点,且,求实数的取值范围.全Ⅰ文理小题解:当时,=,由图象易知不合题意.……2分当时,.……4分当时,在区间上是增函数,且,,在存在零点,不合题意.……8分当时,在上是减函数,,,故在上存在唯一的零点;……12分又在上是减函数,在上是增函数,为使在上无零点,令得,解得.综上可知,满足题意的实数的取值范围是.……16分解2:考察,两个函数图象,当时,由图象可知存在使,不合题意;当时,由图象可知存在使,此时只需当时,,即,可得.或令,应有,可得.解3:因不是原方程的解,可将原方程变为,存在唯一的解,且,由图象可得.或令,应有,存在唯一的解,且,可得.14.〔本小题总分值16分〕如图,为保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处〔OC为河岸〕,.B东北AM60mB东北AM60mO170mC〔2〕当OM多长时,圆形保护区的面积最大?解法一:江苏高考题〔1〕如图,以O为坐标原点,OC所在直线为轴,建立平面直角坐标系.由条件知,,直线BC的斜率.BxyAM60mO170mBxyAM60mO170mC设点B的坐标为,那么,.解得,.所以.因此新桥BC的长为150m.〔2〕设保护区的边界圆M的半径为m,m.由条件知,直线BC的方程为,即.由于圆M与直线BC相切,故点到直线BC的距离是,即.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以即解得.故当时,最大,即圆面积最大.所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.解法二:〔1〕如图,廷长OA,CB交于点F.因为,所以,.因为OA=60,OC=170,所以,〔第18题〕B东〔第18题〕B东北AM60mO170mCDF因为,所以.又因为,所以,从而.因此新桥BC的长为150m.〔2〕设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连结MD,那么,且MD是圆M的半径,并设MD=m,OM=m.因为,所以.故由〔1〕知,所以.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以即解得.故当时,最大,即圆面积最大.所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.15.〔本小题总分值16分〕甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有个红球和个篮球,从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.浙江理小题〔1〕放入个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为,比拟,的大小;〔2〕放入个球后,甲盒中含有红球的个数记为,求的分布列及数学期望.解:〔1〕p1=eq\f(m,m+n)×eq\f(2,2)+eq\f(n,m+n)×eq\f(1,2)=eq\f(2m+n,2〔m+n〕),……2分p2=eq\f(Ceq\o\al(2,m),Ceq\o\al(2,m+n))×eq\f(3,3)+×eq\f(2,3)+eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,m+n))×eq\f(1,3)=,……4分那么p1-p2=,于是.……6分〔2〕的分布列为……9分12的分布列为……12分123E(ξ1)=1×eq\f(n,m+n)+2×eq\f(m,m+n)=eq\f(2m+n,m+n),……14分E(ξ2)=1×eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,m+n))+2×eq\f(Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n),Ceq\o\al(2,m+n))+3×eq\f(Ceq\o\al(2,m),Ceq\o\al(2,m+n))=.……16分16.〔本小题总分值16分〕设数列的前项和为,满足,N*,且.〔1〕求,的值及的表达式;广东文理合并改编〔2〕求证:对一切正整数,有.解:〔1〕由得,整理得.……2分由可得,进而得.……4分猜测一般结论为(N*).……6分利用数学归纳法可以证明:①当时,,等式成立.②假设当时等式成立,即,那么,当时,有.这就是说当时,等式也成立.由①②两步可知,对任意N*总有.……10分或:,.于是,..猜测(N*).由,得〔〕,相减得〔〕.再利用数学归纳法证明:(N*).,,成立.假设当时成立,…也可以验证对N*成立,假设当N*)时成立,…〔2〕由〔1〕易得(N*).……12分N*,,,.……14分.原不等式成立.……16分或:.当时,对N*,因为,所以.17.〔本小题总分值16分〕在平面直角坐标系中,椭圆C:.假设点在椭圆上,点在直线上,且.北京文理揉合并改编〔1〕求线段AB长度的最小值;〔2〕试判断是否存在常数使得成立,并证明你的结论.解:设点A,B的坐标分别为,,其中.因为,所以,即,解得.……2分〔1〕因为,所以====.……6分因为,且当时等号成立,所以,故线段AB长度的最小值为.
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