数学模型：20-波传播_第1页
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文档简介

达朗贝尔公式这里我们将介绍一类典型的双曲型方程----波动方程，它可用来描述弹性体的振动、声波、电磁波等波动的传播。在这里我们主要研究一维波动方程----弦振动方程的柯西问题。考察自由弦振动方程（1）（2）方程（1）的特征线是两族直线：其中c1，c2为任意常数，取这两族特征线为新的坐标曲线，即作自变数变换：（3）方程（1）立即变为只含二阶混合偏导数的下述标准形式：（4）（5）回到原来的变数x及t，立即得到方程（1）的解的一般形式即其通解为（6）由（6）式可见，自由弦振动方程（1）的解可以表示为形如F(x-at)与G(x+at)的两个函数之和。其中u=F(x-at)表示一个在初始时刻t=0时为u=F(x)的波形，以速度a>0向右（即x轴正向）传播，而波形保持不变，它称为右传播波；而u=

G(x+at)则表示以速度a向左传播的波，称为左传播波。其中F及G为任意的单变数的二阶连续可微函数。方程（1）的形如u=F(x-at)或u=

G(x+at)的解称为行波。弦振动方程的通解表达式（6）式说明:弦上的任意扰动总是以行波的形式向左右两个方向传播出去。下面我们可以看到，通过把方程（1）的解表示为向两个方向传播的行波之和，即表示为右传播波和左传播波的迭加，可用来求一些定解问题的解。这个方法称为行波法。（7）（8）现在我们用行波法来求解弦振动方程的柯西问题。为此，要适当选取函数F及G，使由（6）式给出的解满足初始条件（8）。将（6）代入（8），立即可得（9）（10）将（9）式两端关于x求导一次得（11）由（10）、（11）两式解得再将以上两式关于x积分一次就得到（12）（13）其中c1与c2是常数。由（9），应有c1+c2=0.（14）将（12）、（13）式代入（6），并注意到（14），就得到（15）这个公式称为达朗贝尔公式。于是我们就得到如下定理定理下面，我们举例求解弦振动方程的柯西问题例1解由达朗贝尔公式可得其解为：下面的三维图形给出了解的直观表达颜色的深浅代表u(x,t)的高度由侧面图可以清楚地看出弦的振动范围当t=0时，u=

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