文稿配套课件及

考纲

1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式；2.掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c

型不等式的解法.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式.知识梳理绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤

|a|＋|b|

，

当且仅当 ab≥0

时，等号成立；性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤

|a－b|＋|b－c|

，当且仅当(a－b)(b－c)≥0

时，等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a<x<a}|x|>a{x|x>a，或x<－a}{x|x∈R，且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔

；②|ax＋b|≥c⇔

ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求

现了数形结合的思想；的思想；现了函数法二：利用“零点分段法”求

现了分类法三：通过构造函数，利用函数的图象求与方程的思想.－c≤ax＋b≤c3.基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立.定理2：如果a、b

为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b

时，等号成立.3定理

3：如果

a、b、c

为正数，则a＋b＋c≥3

abc当且仅当

a＝b＝c

时，等号成立.定理

4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果

a1a2、…、an为n个正数，则a

＋a

＋…＋a1

2

nnn1

2≥

a

a

…an当且仅当

a1＝a2＝…＝an

时，等号成立.4.不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明

a－b>0

即可，这种方法称为求差比较法.②求商比较法由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，a只要证明b>1

即可，这种方法称为求商比较法.(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的

充分条件

，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果 ”的证明方法.综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法.反证法的证骤第一步：作出与所证不等式

相反

的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出的结论，否定假设，从而证明原不等式成立.自测1.若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(

)A.5或8B.－1或5D.－4或8C.－1或－4解析

分类：当a≤2

时，f(x)＝－3x－1－a，x<－1，a2－x＋1－a，－1≤x≤－

，a3x＋1＋a，x>－2，显然2显然，x＝－a

f(x)时，min2a＝

＋1－a＝3，∴a＝－4，当a>2

时，f(x)＝a－3x－1－a，x<－2，ax－1＋a，－2≤x≤－1，3x＋1＋a，x>－1，2显然

x＝－a

f(x)时，min2a＝－

－1＋a＝3，∴a＝8.答案

D2.(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(

)A.(－∞，4)C.(1，4)B.(－∞，1)D.(1，5)解析

①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A.答案

A3.已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是

.解析

∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1.答案

(－∞，1)4.(2015·重庆卷)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝

4或－6

.解析

由于

f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|，－3x＋2a－1

（x<－1），当a>－1

时，f(x)＝－x＋2a＋1（－1≤x≤a），3x－2a＋1（x>a）.作出

f(x)的大致图象

，由函数

f(x)的图象可知

f(a)＝5，即

a＋1＝5，∴a＝4.同理，当a≤－1

时，－a－1＝5，∴a＝－6.5.若a，b

均为正实数，且a≠b，M＝

a

＋b

，N＝b

aa＋

b，则

M、N

的大小关系为

.解析

∵a≠b，∴

a

＋

b＞2

a，

b

＋b

aa＞2

b，b∴

a

＋b＋

b

＋

a＞2

a＋2

b，∴

a

＋

b

＞a

b

aa＋

b.即M＞N.答案

M＞N考点一 含绝对值不等式的解法【例1】解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.解

法一

如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然，区间[－2，1]不是不等式的解集.把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).法二

原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔或x≤－2，

－2＜x＜1，－（x－1）－（x＋2）≥5

－（x－1）＋x＋2≥5或x≥1，x－1＋x＋2≥5，解得x≥2或x≤－3，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).法三

将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.－2x－6，x≤－2，令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则

f(x)＝－2，－2＜x＜1，作出2x－4，x≥1.函数的图象，

，＋∞)时，y≥0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).规律方法形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于

c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.x【训练

1】解不等式|x＋3|－|2x－1|＜2＋1.x解

①当

x＜－3

时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜2＋1，解得

x＜10，∴x＜－3.1

x②当－3≤x＜2时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜2＋1，解得

x

2

∴－3≤x

2.＜－5，

＜－51

x③当

x≥2时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜2＋1，解得

x＞2

2∴x＞2.综上可知，原不等式的解集为xx＜－5，或x＞2.考点二

含参数的绝对值不等式问题【例

2】已知函数

f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2

时，求不等式

f(x)<g(x)的解集；

a1(2)设a>－1，且当

x∈－2，2时，f(x)≤g(x)，求a

的取值范围.解

(1)当

a＝－2

时，不等式

f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数

y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，1－5x，x＜2，1则y＝－x－2，2≤x≤1，其图象3x－6，x＞1，且仅当

x∈(0，2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}.a

1(2)∵a

＞－1

，则－2

＜2

，∴f(x)＝

|2x

－1|

＋|2x

＋a|

＝－4x＋1－a

x＜－

a2a＋1a－2≤x＜2.

14x＋a－1

x≥2.a1

1当x∈－2，2时，f(x)＝a＋1，即

a1a＋1≤x＋3

在x∈－2，2上恒成立.a

44∴a＋1≤－2＋3，即

a≤3，∴a

的取值范围为－1，3.规律方法不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.【训练2】已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中a的取值范围.不等式有解；不等式的解集为R；(3)不等式的解集为∅.解 法一

因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点

P(x)与两定点A(－1)，B(3)距离的差，即|x＋1|－|x－3|＝|PA|－|PB|.由绝对值的几何意义知，|PA|－|PB|的最大值为|AB|＝4，最小值为－|AB|＝－4，即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.(1)若不等式有解，a

只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可故a＜4.若不等式的解集为R，即不等式恒成立，

只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值还小，即a＜－4.若不等式的解集为∅，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即a≥4.法二

由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－(x－3)|＝4.|x－3|－|x＋1|≤|(x－3)－(x＋1)|＝4.可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.若不等式有解，则a＜4；若不等式的解集为R，则a＜－4；(3)若不等式解集为∅，则a≥4.考点三

不等式的证明方法【例

3】设a，b，c＞0，且

ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥3.(2)

a

＋

b

＋ c

≥bc

ac

ab3(

a＋

b＋

c).证明

(1)要证

a＋b＋c≥

3，由于a，b，c＞0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而这可以由ab＋bc＋ca≤2

2＋

＋a2＋b2

b2＋c2

c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c

时等号成立)证得.∴原不等式成立.(2)

a

＋

b

＋ c

＝bc

ac

ababc

.a＋b＋c由于(1)中已证a＋b＋c≥3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥

a＋

b＋

c.即证

a

bc＋b

ac＋c

ab≤1，即证

a

bc＋b

ac＋c

ab≤ab＋bc＋ca.ab·ac≤，b

ac≤ab＋ac

ab＋bc2

2，c

ab≤bc＋ac2.而

a

bc＝∴a

bc＋b

ac＋c

ab≤ab＋bc＋ca

3a＝b＝c＝

3时等号成立.∴原不等式成立.规律方法(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.Ⅱ卷)设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝a＋

b＞

c＋

d；d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.【训练3】(2015·c＋d，证明：若ab＞cd，则a＋

b＞

c＋证明

(＋