线性代数引言在实际问题中常常需要求一些未知量用字母

21

1

22

2

2n

n

2Zhanglizhuo-2015

a11x1

a12

x2as1x1

as

2

x2

a1nxn

b1，ax

a

x

a

x

b

，

asn

xn

bs，其中每个方程的左端是未知量x1,x2,…,xn的一次齐次式，右端是常数，称为常数项。与未知量相乘的数称为系数，比如aij是第i个方程未知量xj的系数(i=1,…,s,j=1,…,n)，

方程的个数s与未知量的个数n可以相等，也可以不等(s=n,

s>n,

s<n).…………(1)对于方程组(1)，如果未知量x1,…,xn分别用数c1,…,cn代入后，每个方程都变成恒等式，那么称n元有序数组(c1,…,cn)是线性方程组(1)的一个解，线性方程组

(1)的所有解组成的集合称为该方程组的解集。Zhanglizhuo-2015§1.4

克莱姆(Cramer)法则Zhanglizhuo-2015教学纲目一、克莱姆法则教学要求1、理解和掌握克莱姆法则；2、利用克莱姆法则求解线性方程组。1

2D

Dx

D1

，x

D2

。一、克莱姆法则引入二阶行列式以后，对于二元线性方程组，如果系数行列式D

0，则方程组有唯一解：1

2Zhanglizhuo-20153D

D

Dx

D1

，x

D2

，x

D3

。引入三阶行列式以后，对于三元线性方程组时，如果系数行列式D

0，则方程组有唯一解：Di是D的第i(i=1,2,3)列被常数项列替换。此结论可以推广到含n个方程的n元线性方程组的情形。+cm1+cm2+…++c21+c22+…+c2n………………nn设有mn个数相加：S=c11+c12+…+c1n

c1

jj1c2

jj

1nj

1cmn

cmjmmci1

ci

2i1

i1mcini1nnmS

c

j

1

i1

i1

j

1mij

cij

.mni1

j

1ij

c

mZhanglizhuo-2015j

1

i1

n

cij

(1)21

1

22

2

2n

n

2

a11x1

a12

x2an1x1

an

2

x2

ann

xn

bn，ax

a

x

a

x

b

，

a1nxn

b1，的系数行列式不等于零，即Zhanglizhuo-2015an1

an

2

anna1na11

a12a22D

a21a2

n

0，定理1

如果线性方程组(含n个未知元n个方程)那么方程组(1)有解，并且解是唯一的，其可以表为克莱姆(Cramer)法则bnb1an1

an

,

j

1

an

,

j

1

anna11

a1

,

j

1

a1

,

j

1

a1nDj

第j列(j=1,

2,…,

n)其中Dj

是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即D

D

D

DZhanglizhuo-20153

n1

2x

D1

,

x

D2

,

x

D3

,,

x

Dn………()【分析】(1)证明()式是方程组的解，(2)证明方程组仅有此解。【证】(1)将D

DnDD

DD

D

Dnx

,

x

,

x

2

32

311,,

x代入方程组第i个方程的左端，有i1iiinDnDiDD1

aD

D

ai1

1

ii

i

in

nD

1

(a

D

a

D

a

D

)(i=1,

2,…,n)注意方程右端为biZhanglizhuo-2015左端

a将Dj按第j列展开得an1,nanna1na2na11

b1

a21

b2

Dj

an1,1

bn1an1

bn(j=1,

2,

…,n)Zhanglizhuo-2015

b1A1

j

b2A2j

bnAnj将其代入上式，得【注】

Dj

b1A1

j

b2A2j

bnAnj

左右互推。i1

1

11

2

21

n

n1n

nnD+

aii

(b1A1i

+b2A2i++bnAni

)++b

A

)]1

i1

11D

1

[b(a

A

bi

(ai1Ai1

+ai2Ai

2

++ainAin

)

bn(ai1An1

+ai2An

2

++ainAn1

ain

(b1A1n

+b2A2n+ai

2A12

++ain

A1n

)=0=0=D左端

1

[a

(b

A

+b

A

++b

A

)D1DiDnZhanglizhuo-2015D

D

D

DZhanglizhuo-20153

n1

2x

D1

,

x

D2

,

x

D3

,,

x

Dn即为第i个方程的解，同理说明它也是其他方程的解。也即它为方程组的解，从而说明方程组有解。a21

x1

a22

x2

a11x1

a12

x2

a1nxn

b1,

a2n

xn

b2

,an1x1

an

2

x2右端相加后得

annxn

bn

,A1jZhanglizhuo-2015A2jAnj观察方程的右端，b1A1j+b2A2j+…+bnAnj=Dj，j=1,2,

…,

n,【分析】n1

1

nj

2

nn

n

njn

nj

a

x

a

x

a

x

A

a11x1

a1

j

x2

a1nxn

A1

j

b1A1

j，a21x1

a2

j

x2

a2n

xn

A2

j

b2A2

j，

b

A

，式A1j,A2j,,Anj依次(2)用D中第j列元素的代数乘n个方程再把n个方程左端依次相加，右端相加得Zhanglizhuo-2015(a11A1

j

a21A2

j

a2n

A2

j

an1Anj

)x1

(a1

j

A1

j

a2

j

A2

j

(a1nA1

j

annAnj

)xn1 1

j

2 2

j

n

nj

b

A

b

A

b

A

，由行列式按行展开法则及推论得Dxj=Dj,

j=1,

2,

,

n，=0

anj

Anj

)xjD=0==DjZhanglizhuo-2015即

Dx1=D1,

Dx2=D2,

……,

Dxn=Dn,

………

(2)当D0时，方程组(2)有唯一解，即D

D

D

D1

23

nx

D1

,

x

D2

,

x

D3

,,

x

Dn由于方程组(2)是由方程组(1)经乘数和相加两种运算

而得，故(1)的解一定是(2)的解，而今(2)仅有唯一解，且已证它是(1)的解，故该解也是(1)的唯一解。由此说明方程组(1)有解，解是唯一的，且该唯一解为D

D

D

DZhanglizhuo-20151

23

nx

D1

,

x

D2

,

x

D3

,,

x

Dn证毕【注】克莱姆法则仅适用于含有n个变量，n个方程的线性方程组。例1

用克莱姆法则解方程组(含4未知元4个方程)Zhanglizhuo-20152x2

x3

2x4

5，x1

3x2

6x4

9，

2x1

x2

5x3

x4

8，x1

4x2

7x3

6x4

0，【解】其系数行列式21

511

30

602

1214

76D

27

0，依克莱姆法则，故方程组有唯一解，181

519

30

6

52

1204

76D

81,2Zhanglizhuo-20159

0

60

5

1

21

0

7

62

8

5

1D

1D3

27,4218121

5810

329

5

62D

10

320

19

5140614

70

108,

27,1D

27

x

D1

81

3,22

4,D