2020年中考数学专题训练(三)与角平分线有关的全等证明的三种模型

专题训练（三）与角平分线有关的全等证明的三种模型模型一过角平分线上的点向角的两边作垂线如图3-ZT-1,P是zMON的平分线上一点，过点P作PA丄OM于点A,PB丄ON于点B.图3-ZT-1结论:PB=PA.1•如图3-ZT-2,z1=z2,z3=z4•求证:AP平分zBAC.2•感知:如图3-ZT-3①AD平分zBAC,zB+zC=180°,zB=90°•易知:DB=DC.探究:如图3-ZT-3②AD平分zBACzABD+zACD=180°,zABD<90°.求证:DB=DC.图3-ZT-33•如图3-ZT-4,P为zABC的平分线上的一点，点D和点E分别在AB和BC上，且BD<BEPD=PE试探究zBDP与zBEP的数量关系，并给予证明•图3-ZT-44•如图3-ZT-*ABC的夕卜角zACD的平分线CP与内角zABC的平分线BP交于点P,若zBPC=40°,求zPAC的度数.图3-ZT-5模型二截取构造对称全等（截长补短）如图3-ZT-6,P是zMON的平分线上一点,A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA连接PB.MN图3-ZT-6结论:aOPB^OPA.5•如图3-ZT-7所示，在△ABC中,AD是△ABC的夕卜角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.图3-ZT-76•如图3-ZT-8所示,AD是△ABC的内角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PC-PB与AC-AB的大小,并说明理由.7•如图3-ZT-9所示，在△ABC中,zA=100°,zABC=40°,AB=A^BD是zABC的平分线，延长BD至点E,使ED=AD求证:BC=AB+CE.图3-ZT-9模型三角平分线+垂线（延长法）如图3-ZT-10,P是zMON的平分线上的一点,AP丄OP于点P,延长AP交ON于点B.

图3-ZT-10结论:OA=OB.8•如图3-ZT-11,在aABC中,AD是zBAC的平分线,BE丄AD于点E.探究zABEzDBEzC之间的数量关系.图3-ZT-119•如图3-ZT-12，已知等腰直角三角形ABC中,zA=90°,AB=ACBD平分zABC,CE丄BD交BD的延长线于点E.求证:BD=2CE.A图3-ZT-12教师详解详析1•证明:如图过点P作PQ丄AB于点Q,PN丄BC于点N,PM丄AC于点M.vz1=z2,z3=z4,•••PQ=PNPN=PM.•••PQ=PM.又tPQ丄AB,PM丄AC,•AP平分zBAC.2证明:如图，过点D分别作DE丄AB于点E,DF丄AC于点F.•••AD平分zBAC,DE丄AB,DF丄AC,•••zF=zDEB=90°,DE=DF.A•••zABD+zACD=180°,zACD+zFCD=180°,A•zABD=zFCD.在^DFC和aDEB中，zF=乙DEB,ZFCD=ZEBD,DF=DE,•.△DFC^DEB.•DC=DB.3.解:zBDP+zBEP=180°.证明:过点P作PM丄AB于点M,PN丄BC于点N,则zPMD=zPNE=90°.•BP平分zABC；.PM=PN.在RmDPM和RMEPN中，pd=pe，PM=PN,•RfDPM呈RfEPN(HL).•zADP=zBEP.•zBDP+zADP=180°,•zBDP+zBEP=180°.4•解:如图，过点P作PN丄BD,PF丄BAPM丄AC,垂足分别为N,F,M.设zPCD=X\tCP平分zACD,•••zACP=zPCD=X\PM=PN.•••BP平分zABC,•••zABP=zPBC,PF=PN.•PF=PM.•••zBPC=40°,.•.zABP=zPBC=zPCD-zBPC=(x-40)°.•zBAC=zACD-zABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°.•••zCAF=100°.在RMPFA和RMPMA中，{PA=PA,lPF=PM,•••RfPFA^RfPMA(HL).•••zFAP=zPAC=50°.5.解:PB+PC>AB+AC.理由如下:如图，在BA的延长线上截取一点F,使AF=AC连接PF.!PC!PC在△ACP和aAFP中,AC=AF,{^CAP=^FAP,AP=AP,•••△ACP^AFP(SAS).•AC=AF,PC=PF.•PB+PF>BF,•PB+PC>AB+AC.6.解:PC-PB<AC-AB.理由如下:如图，在AC上截取一点F,使AF=AB连接PF.在^ABP和厶AFP中,AB=AF,

{ZBAP=ZFAP,

\AP=AP,•••△ABP^AFP(SAS).•••PB=PF.•.•af=ab=ac-cf•CF=AC-AB.•••PC-PF<CF•PC-PB<AC-AB.7证明:如图，在BC上截取一点F,使得FB=AB连接DF.•••BD是zABC的平分线上ABC=40°,•••zABD=zFBD=20°.在^ABD和aFBD中，rAB=FB,{ZABD=ZFBD,\BD=BD,•••△ABD^FBD(SAS).•AD=FD,ZBDF=ZBDA=180°-ZA-ZABD=60°.•ZFDC=ZBDA=ZEDC=60°.又tED=AD•ED=FD.在^EDC和*DC中,=,{z=z,=,.NEDC田£DC(SAS)..•CE=CF..•BC=FB+CF=AB+CE.8•解如图，延长BE交AC于点F.BDJ在心BE和©FE中，z=z，=，{z=z=90°，.△ABE田AFE(ASA)..•0BE=NAFE.•.NAFB=zDBE+zC,.NABE=NDBE+NC.z=z,=,

{z=z,.NBEF田A£C(ASA)..•FE=CE二