结构力学李廉锟版-位移法

第八章位位移法§8-1

概述§8-2等截面直杆的转角位移方程§8-3位移法的基本未知量和基本结构§8-4位移法的典型方程及计算步骤§8-5直接由平衡条件建立位移法基本方程§8-6对称性的利用已有的知知识：（2）静定结构构的内力力分析和和位移计计算；（1）结构组成成分析；；（3）超静定结结构的内内力分析析和位移移计算力法。已解得如如下单跨跨超静定梁梁的结果果:ABAB§8-1概述P用力法计算，9个基本未未知量如果用位移法计算,1个基本未未知量力法计算算太困难难了！1个什么样样的基本本未知量量?§8-1概述位移法法：以结点点的位位移(角位移移和线线位移移）为基基本未未知量量,运用结结点或或截面面的平平衡条条件——建立位位移法法方程程——求出未未知位位移——利用位位移与与内力力之间间确定定的关关系计计算相相应的的内力力。力法与位移法法是计算算超静静定结结构的的两种种基本本方法法。力法：：以未知知力为为基本本未知知量,运用位位移协协调条条件建建立力力法方方程,求出未未知力力,计算出出全部部的内内力和和相应应的位位移。。在一定定的外外因作作用下下，线线弹性性结构构的内内力与与位移移之间间存在在确定定的关关系。。可以以先设设定某某些位位移为为基本本未知知量。。一、位位移法法的提提出(DisplacementMethod)§8-1概述位移法法主要是是由于于大量量高次次超静静定刚刚架的的出现现而发发展起起来的的一种种方法法。由由于很很多刚刚架的的结点点位移移数远远比结结构的的超静静定次次数少少，采采用位位移法法比较较简单单。结点B只转动动一个个角度度，没没有水水平和和竖向向位移移。力法法：：六个未未知约约束力力。位移法法：一个未未知位位移（θB）。§8-1概述三次超超静定定图示示刚架架力法法：：三个未未知约约束力力。位移法法：一个未未知位位移（（θB）。§8-1概述位移法法的基基本假假定：：（1）对于受受弯杆杆件，，只考考虑弯弯曲变变形，，忽略略轴向向变形形和剪剪切变变形的的影响响。（2）变形过过程中中，杆杆件的的弯曲曲变形形与它它的尺尺寸相相比是是微小小的（（此即即小变变形假假设）），直直杆两两端之之间的的距离离保持持不变变。注意：：上述变变形假假定不不是必必要的的，这这样做做仅仅仅是为为了减减少基基本未未知量量，简简化计计算。。力法与位移移法必须满满足的条件件：1.力的平衡;2.位移的协调调;3.力与位移的的物理关系系。§8-1概述将原结构视视为两个单单跨超静定定梁的组合合。各杆的的杆端弯矩矩为：（8-1）二、位移法法思路θB为位移法基本本未知量（（规定顺时时针转向为为正）。由变形协调调条件知，，各杆在结结点B端有共同的的角位移θB。§8-1概述考虑结点B的平衡条件件,将（8-1）代入式（8-2）得于是

（8-2）由∑MB=0，有将θB回代入公式式(8-1)则各杆的杆杆端弯矩即即可确定。。然后可利利用叠加法法作出原结结构的弯矩图。再利用平衡衡条件作出出剪力图和和轴力图。。§8-1概述位移法法思路路：1、设定某些结结点的的位移移为基本本未知知量，，取单单个杆杆件作作为计计算的的基本本单元元；2、将单个杆杆件的的杆端端力用用杆端端位移移表示示,而各杆杆端位位移与与其所所在结结点的的位移相相协调调；3、由平衡条条件求出基基本位位移未未知量量，由由此可可求出出整个个结构构（所所有杆杆件））内力力。§8-1概述提出问问题：：1、单跨超超静定定梁在在杆端端发生生各种种位移移、荷荷载、、温度度等因因素作作用下下的内内力。。(用力法法可以以求得得)2、哪些结结点的的位移移作为基基本未未知量量。3、如何何确定定基本本未知知量。。§8-1概述FPxy本节主主要解解决单单跨超超静定定梁在在荷载载、温温度改改变和和支座座移动动共同同作用用下单单跨梁梁的内内力结结果。。§8-2等截面面直杆杆的转转角位位移方方程(2)杆件转转角以顺时时针为为正,反之为为负。。杆件件两端端在垂垂直于杆轴轴方向向上的的相对对线位位移ΔAB（侧移）以使使杆件件顺时时针转转动为为正,反之为为负。。位移法法中杆杆端内内力、、杆端端位移移符号号规定定：(1)杆端弯弯矩以顺时时针为为正,反之为为负。。对结点或或支座座而言,则以逆逆时针针方向向为正正。弯弯矩图图仍画画在杆杆件受受拉纤纤维一一侧。。剪力力的规规定同同前.§8-2等截面面直杆杆的转转角位位移方方程FPxy取简支支梁基基本结结构1.先求杆杆端位位移引引起的的弯矩矩作出、、

（略）解出§8-2等截面面直杆杆的转转角位位移方方程其中：：称杆件件的线刚度度。转角位位移方方程(刚度方方程)Slope-Deflection(Stiffness)Equation

荷载等外因引起的弯矩成为固端弯矩，同样可用力法求解，表示，。2.荷载等等外因因引起起的弯弯矩由杆端端位移移及荷荷载等等外因因共同同引起起的弯弯矩为为：§8-2等截面面直杆杆的转转角位位移方方程两端固固定梁梁一端固固定、、一端端铰支支梁一端固固定、、一端端定向向支承承梁仅由杆杆端位位移引引起的的杆端端内力力是只只与杆杆件截截面尺尺寸、、材料料性质质有关关的常常数，，一般般称为为形常数数。列于于表(8-1)。用位移移法进进行结结构分分析的的基础础是杆杆件分分析。。位移移法的的基本本结构构为以以下三种单跨超超静定定梁:仅由荷荷载产产生的的杆端端内力力称为为固端内内力。列于于表(8-1)。§8-2等截面面直杆杆的转转角位位移方方程1、两端端固定定的等截面面直杆杆记荷载单独作用引起的杆端弯矩分别为和，杆端剪力分别为和。——两端固固定等等截面面直杆杆的转转角位位移方方程。。（8-2）杆端弯弯矩的的一般般公式式：§8-2等截面面直杆杆的转转角位位移方方程杆端剪力的的一般般为由两端端固定定等截截面直直杆的的转角角位移移方程程可得得到其其他支支撑的的转角角位移移方程程。（8-3）§8-2等截面面直杆杆的转转角位位移方方程2、一端端固定定、一一端铰铰支的的等截面面直杆杆令式（8-2）的MBA=0,θB是θA和ΔAB的函数数，转角位位移方方程为为§8-2等截面面直杆杆的转转角位位移方方程可见：：杆端弯弯矩表表达式式实际际上就就是基基本结结构各各杆在在基本本未知知量和和荷载载共同同作用用下的的弯矩矩的叠叠加公公式，，它已已经把把荷载载和基基本未未知量量的作作用综综合在在一起起了。。3、一端固固定、、一端端定向向的等截面面直杆杆令式（8-3）的FSBA=0,ΔAB是θA和θB的函数，，转角位移移方程为为§8-2等截面直直杆的转转角位移移方程表8-1要求记忆忆的内容容：12§8-2等截面直直杆的转转角位移移方程349、10、11、12、17自己去画画§8-2等截面直直杆的转转角位移移方程结点角位位移基本本未知量量数目=刚结点的的数目。。注意：在在忽略的的直杆的的轴向变变形时，，受弯直直杆两端端之间的的距离保保持不变变。一、位移法基基本未知知量的确确定铰结点处处(包括铰支支座处的的铰结点点)的角位移移，在计计算杆端端弯矩时时不独立立，一般般不选作作基本未未知量。。1.独立的结结点角位位移和独独立的结结点线位位移§8-3位移法的的基本未未知量和和基本结结构2.确定独立立结点线线位移的的方法——观察法、、换铰法法。结构有1个独立的的线位移移（Z3），2个独立的的结点角角位移（Z1、Z2），共三个位位移法的的基本未未知量。。观察法§8-3位移法的的基本未未知量和和基本结结构只需增加加一根链链杆，1个独立的的线位移移对于不易易观察的的结构用用换铰法。先将原结结构的每每一个刚刚结点(包括固定定支座)都变成铰铰结点，，从而得得到一个个相应的的铰结链链杆体系系。为保保持该体体系为几几何不变变所需增增加链杆杆的最少少数目就就是原结结构独立立的结点点线位移移的数目目。§8-3位移法的基基本未知量量和基本结结构位移法的基基本未知量量的数目为为6个。需注意：对对于曲杆及及需考虑轴轴向变形的的杆件，变变形后两端端之间的距距离不能看看作是不变变的。需增加两根根链杆，2个独立的线线位移。结构有四个个刚结点——四个结点角角位移。§8-3位移法的基基本未知量量和基本结结构思考题：图图示结构独独立的结点点线位移数数目是几？？答：结点1和2的水平线位位移都是独独立的，独独立结点线线位移数目目应为2。默认状态:EI不等于无穷穷大,EA等于无穷大大。§8-3位移法的基基本未知量量和基本结结构基本未知量量:结点1的转角Z1和水平线位位移Z2。二、位移法法的基本结结构基本结构：对原结构添添加一定数数量的附加加约束所得得到的没有有结点位移移(铰结点的角角位移除外外)的单跨梁的的组合体。。1.基本结构的的概念§8-3位移法的基基本未知量量和基本结结构2.基本结构的的确定2)附加链杆，，只控制结结点沿某一一方向的移移动，不控控制结点转转动。

1)附加刚臂(用符号“”表示)只控制结点转动，不控制结点移动。§8-3位移法的基基本未知量量和基本结结构例：确定图a所示连续梁的基本结构。（图a）（图b）在确定基本本结构的同同时，也就就确定了基基本未知量量及其数目目。§8-3位移法的基基本未知量量和基本结结构基本未知量量，基本结结构确定举举例６＋１＝７７§8-3位移法的基基本未知量量和基本结结构§8-3位移法的基基本未知量量和基本结结构§8-3位移法的基基本未知量量和基本结结构§8-3位移法的基基本未知量量和基本结结构基本体系是指基本结结构在荷载载和基本未未知位移共共同作用下下的体系。。基本未知量量——结点B转角θB，设其为Z1。在结点B附加刚臂得得基本结构构。原结构基本结构一、位移法法的基本方方程1.无侧移刚架架基本体系§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤2)人为给予结结点B以转角θB,由于转角而而引起附加加约束的附附加反力R11。在基本结构构上分别考考虑：基本体系+=1)荷载引起的的附加约束束中的反力力R1P。由线形系统统的叠加原原理得到位位移法基本本体系.§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤设r11为单位转角角Z1=1时附加约束束反力矩，，则R11=r11Z1，将其代入公公式（8-3）得思考：基本本体系与原原结构有何何不同？原结构在结结点B处并没有附附加约束，，因而也没没有附加约约束反力矩矩。思考：如何何使基本体体系的受力力和变形情情况与原结结构完全等价？要使基本体体系与原结结构完全相相等，必须须要有R11+R1P=R1=0即：R11+R1P=0(８-3）R的下标:第一个下标标表示产生生附加反力力矩的位置置，第二个下标标表示产生生附加反力力矩的原因因。§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤r11Z1+R1P=0（８-4）------求解基本未知知量Z1的位移法方程程。求系数r11作基本结构当位移

Z1=1

时的弯矩图（图）。

i=EI/l称为该杆的线线刚度。取结点B为隔离体，由由力矩平衡条条件得

§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤求自由项R1P，作出基本结构构在荷载作用用时的弯矩图图(MP图)。利用力矩平衡衡条件∑MB=0，得注意：系数r11和自由项R1P的正负号规定定它们都与转转角Z1的正向一致时时为正，即顺顺时针为正。。取结点B为隔离体§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤将系数r11和自由项R1P代入位移法方方程式（８-4）有得叠加法绘制结构的弯矩图图。§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤2.有侧移刚架图示刚架，在荷载作用下下该刚架将发发生虚线所示示的变形。§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤结点1的转角Z1和结点1、2的独立水平线线位移Z2。(1)基本未知量：：§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤基本结构(2)基本方程基本体系转化化为原体系的的条件为：附附加约束上的的反力——R1=0、R2=0。基本体系§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤在小变形线弹弹性条件下，，根据叠加原原理可得（８-5）

第一式：反应了结点1的矩平衡条件。设Z1=1时附加刚臂的的约束反力矩矩r11，附加链杆的约约束力r21；Z2=1时附加刚臂的的约束反力矩矩r12，附加链杆的约约束力r22，则第二式：反应了原结构横梁12上柱的剪力平衡条件。

§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤将R11、R12、R21、R22代入位移法方方程式（８-5）的得位移法典型方方程(基本方程)（８-6）位移法典型方方程的物理意意义：基本结构在荷荷载和各结点点位移共同作作用下，各附附加约束中的的反力等于零零,反映了原结构构的静力平衡衡条件。§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤rij——表示基本结构构仅在附加约约束j发生单位位移移Zj=1时，在附加约约束i上产生的约束力（或约束反力力矩）。二、位移法典典型方程（８-７）对于具有n个独立结点位位移的的结构构,有n个基本未知量量,可建立n个平衡方程，，位移法典型型方程§8-4位移法法的典典型方方程及及计算算步骤骤由刚度度系数数rij组成的的矩阵阵称为为结构构刚度矩矩阵。rij反映结构的的刚度度，称称为刚度系系数。rij=rji（由反力力互等等定理理）。RiP称为自由项项，它表表示在在基本本结构构上仅仅有荷荷载作作用时时，在在附加加约束束i上产生生的约约束反反力或或反力力矩。。写成矩矩阵形形式——位移法法方程程也称称刚度方方程（８-８）§8-4位移法法的典典型方方程及及计算算步骤骤(3)求典型型方程程中的的系数数和自自由项项。1）作基本结构单独在Z1=1作用时的弯矩图取刚结结点1为隔离离体，，由平衡衡条件件得继续求求解§8-4位移法法的典典型方方程及及计算算步骤骤截取横横梁12为隔离离体，，取13杆为隔离离体，，由∑M3=0,有得由平衡条件得

注意：：杆端剪剪力FS13可根据据杆端端弯矩矩求出出。§8-4位移法法的典典型方方程及及计算算步骤骤2)作基本结构单独在Z2=1作用时的弯矩图

图取刚结结点1为隔离离体，，由平衡衡条件件得在绘出图、图后，杆端剪力（包括大小和方向）即可确定，不必专门记忆。

§8-4位移法法的典典型方方程及及计算算步骤骤截取横横梁12为隔离离体由平衡衡条件件得§8-4位移法法的典典型方方程及及计算算步骤骤3)作基本本结构构单独独在荷荷载单单独作作用时时的弯弯矩图图MP图。截取横横梁12为隔离离体,由平衡衡条件件得取刚结结点1为隔离离体，，由平衡衡条件件得§8-4位移法法的典典型方方程及及计算算步骤骤进行系系数和和自由由项计计算时时，应应注意意以下下两点点：(1)杆端剪力可根据杆端弯矩求出。在绘出图、图、后，杆端剪力（包括大小和方向）即可确定，不必专门记忆。(2）由反力力互等等定理理可知知，必必有r12=r21，计算时时可以以互相相校核核，熟熟练后后只需需计算算其中中之一一。§8-4位移法法的典典型方方程及及计算算步骤骤将系数数和自自由项项代入入典型型方程程（８-6），则则结果为为正值值，表表明所所设Z1、Z2的方向向与实实际方方向一一致。。(4)解方程程

联立求解得

，§8-4位移法法的典典型方方程及及计算算步骤骤(5)弯矩图图§8-4位移法法的典典型方方程及及计算算步骤骤对计算算结果果的正正确性性，应应进行行校核核。由由于位位移法法在确确定基基本未未知量量时已已满足足了变变形连连续条条件，，位移移法典典型方方程是是静力力平衡衡条件件，故故通常常只需需按平平衡条条件进进行校校核。。注意:§8-4位移法法的典典型方方程及及计算算步骤骤(6)根据弯矩图图可作出出简力力图和和轴力力图。。(7)校核。。结点满满足力力矩平平衡条条件。。取横梁梁12为隔离离体，，它满足足剪力力平衡衡条件件，可可以判判断所所得结结果正正确。。§8-4位移法法的典典型方方程及及计算算步骤骤三、位移法法典型型方程程计算算结构构的步步骤(1)确定基本本未知量量——即原结构构的独立立结点角角位移和和线位移移;(2)建立基本本结构——在原结构构上增设设与基本本未知量量相应的的附加约约束，限限制结点点的角位位移和线线位移，，得到位位移法基基本结构构;(3)建立位移移法典型型方程;(4)计算典型型方程中中系数和和自由项项;绘出基本本结构在在各单位位结点位位移作用用下的弯弯矩图和和荷载作作用下的的基本结结构的弯弯矩图，，由平衡衡条件求求出各系系数和自自由项。。§8-4位移法的的典型方方程及计计算步骤骤

(6)作内力图；根据，按叠加法绘制最后弯矩图，利用平衡条件求出各杆杆端剪力和轴力，作剪力图和轴力图。(7)校核。按平衡条条件进行行校核。。(5)解算典型型方程；求出作作为基本本未知量量的各结结点位移移Z1、Z2、…、Zn。思考：位位移法能能用于计计算静定定结构吗吗？能！凡是是具有未未知结点点位移的的结构,不管是静静定或是是超静定定,都可以用用位移法法求解。。位移法法比较适适宜于编编制通用用计算程程序,进行大规规模的工工程计算算。§8-4位移法的的典型方方程及计计算步骤骤例8-1用位移法法计算图图示的刚架架的内力力。EI=常数。解：(1)确定基本本未知量量，结点点C的角位移移Z1。(2)建立基本本结构，，得到基基本体系系。§8-4位移法的的典型方方程及计计算步骤骤(3)建立位移移法典型型方程。。（4）计算系数和自由项。

令，做出图

基本结构构由于支支座A产生位移移时，各各杆端的的弯矩：：§8-4位移法的的典型方方程及计计算步骤骤作出MΔ图（转角角位移方方程）(5)解算位移移法方程程，(6)作内力图图。按叠加法法根据§8-4位移法的的典型方方程及计计算步骤骤解：(1)确定基本本未知量量，结点点B的角位移移Z1。例8-2用位移法法计算图图示的连续续梁的内内力。EI=常数。(2)建立基本本结构，，得到基基本体系系。(3)建立位移法法典型方程程。§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤（4）计算系数和自由项。

令，做出图

由隔离体——结点B的力矩平衡衡条件∑MB=0，得§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤作出MP图（查表））由∑MB=0取结点B为隔离体，，将系数r11和自由项R1P代入位移法法方程，解解得(5)解算位移法法方程，§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤(6)作内力图。。注意:杆端弯矩顺顺时针为正正。但弯矩矩图仍画在在杆件纤维维受拉一侧侧。

按叠加法根据计算杆端弯矩.§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤根据M图利用平衡衡条件求出出各杆杆端端剪力,绘出剪力图图。取AB杆为隔离体体由得由得§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤取BC杆为隔离体体，由得由得绘出剪力图图(7)按平衡条校核§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤解：(1)确定基本未未知量结点点D、E的角位移Z1和Z2。(2)建立基本结结构。例8-3试用位移法法计算图示示刚架，并并绘出M图。各杆的的E为常数。§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤(3)建立位移法法典型方程程作出

图，分别取结点1和结点2为隔离体，由力矩平衡条件得：(4)计算系数和和自由项§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤作出

图分别取结点点D和结点E为隔离体，，由力矩平衡衡条件得：：§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤作MP图分别取结点点D和结点E为隔离体，，由力矩平衡衡条件得：：§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤(5)解算位移法法方程(6)作弯矩图。根据按叠加法绘制最后弯矩图。将系数和自自由项代入入位移法方方程，得(7)校核取结结点D和结点E为隔离体。。易见满足结结点的力矩矩平衡条件件,计算无误。。解之得，§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤(2)建立基本结结构。(3)建立位移法法典型方程程。刚结点B角位Z1，水平线位移移Z2解：(1)基本未知量量例8-4试用位移法法计算图示示刚架，并并绘出M图。各杆的的E为常数。§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤(4)计算系数和和自由项。。令,作出图取横梁ABC为隔离体，，由剪力平衡衡条件得由力矩平衡衡条件有取结点B为隔离体§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤取结点B为隔离体，，有（反力互等等定理）作

图取横梁ABC为隔离体，，有§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤作MP图取结点B为隔离体取横梁ABC为隔离体，，有(5)解算位移法法方程解之得将系数和自自由项代入入位移法方方程，得有§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤(6)作弯矩图。。根据按叠加法绘制最后弯矩图。(7)校核。满足足结点的力力矩平衡条条件，由此此判定计算算无误。§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤解：(1)确定基本未未知量刚结结点C角位移Z1，结点C和结点D有相同的水水平线位移移Z2。例8-5试用位移法法计算图示示刚架，并并绘出M图。各杆的的EI为常数。(2)建立基本体体系§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤由力矩平衡衡条件∑MC=0，得(3)建立位移法法典型方程程。(4)计算系数和自由项。作出图。令。截取杆CD为隔离体，，由投影平衡衡条件∑Fx=0，得取结点C为隔离体，，§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤作图由力矩平衡衡条件∑MC=0得由投影平衡衡条件∑Fx=0得（满足r12=r21）截取杆CD为隔离体，，取结点C为隔离体，，§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤作MP图由投影平衡衡条件∑Fx=0，得由力矩平衡条件∑MC=0，得取结点C为隔离体截取杆CD为隔离体§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤将系数和自自由项代入入位移法方方程，便有有(5)解算位移法法方程。(7)校核。(6)作弯矩图。根据按叠加法绘制最后弯矩。解之得，满足结点的的力矩平衡衡条件，计计算无误。。§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤解：(1)确定基本未未知量。基本未知量量为独立的的结点线位位移Z1。(2)建立基本结结构。(3)建立位移法典型方程。例8-6试用位移法法计算图所所示排架。。§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤(4)计算系数和和自由项。作图，取横梁CD为隔离体由∑X=0,得§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤将系数r11和自由项R1P代入位移法方程，，解得(5)解算位移法法方程。由MP图，有自由由项§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤(6)作内力图。。根据按叠加法绘绘制最后弯弯矩图§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤横梁弯曲刚度度无穷大，结结点处不产生生转动，本题题只有一个线线位移未知量量。例8-7试用位移法计算算图示横梁刚度无穷穷大的刚架，，绘弯矩图。E=常数。(2)建立基本体系系。解:(1)确定基本未知知量思考：刚结点处为什什么不产生转转动？§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤(3)建立位移法方方程(4)计算系数和自自由项由图得系数§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤荷载作用在横横梁上不引起起立柱MP弯矩。自由项将系数r11和自由项R1P代入位移法方方程，解得(5)解算位移法方方程。§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤(6)用叠加法作内力图。注意:1.横梁上的弯矩按平衡条条件确定。2.由弯矩图，利利用平衡条件件，可进一步步绘出剪力图图。§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤例8-8用位移法作图图示结构的弯弯矩图。解:利用对称性取取半个结构计计算。(1)确定基本未知知量,刚结点C角位移Z1,结点A水平线位移Z2，(2)建立基本体系系。(3)建立位移法典典型方程。§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤(4)计算系数和自自由项。设i=EI/4m由M1图、M2图可得得由隔离体对O点得力矩等于于零的平衡条条件§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤将系数和自由由项代入位移移法方程式，，联立求解得得按叠加原理作作出弯矩图注意:此题斜杆的定定向支座相当当于固定端。。无侧移刚架在在结点作用下下不引起杆件件弯矩。体系系相当与桁架架结构。有R1P=0,R2P=6.67kN§8-4位移法的典型型方程及计算算步骤本章作业：8-2，8-48-5，8-68-7，8-10§8-4位移法的典典型方程及及计算步骤骤利用转角位位移方程,考虑结点和和截面的平平衡直接建建立位移法法典型方程程步骤：1.写出各杆的的转角位移方方程,用杆端位移表表示各杆件件的杆端内内力；2.考虑各刚结结点的力矩矩平衡条件件及结构某某一截面的的投影平衡衡条件建立立位移法方程程。求出各结点点位移；3.将结点位移移回代入转角位移方方程而求出各杆的的杆端弯矩矩。§8-5直接由平衡衡条件建立立位移法基基本方程例8-9试用直接平平衡条件计计算图示刚刚架，并绘绘出M图。解:(1)确定基本未未知量。基本未知量量是结点1的转角Z1和结点1、2的独立水平平线位移Z2。(2)利用转角位位移方程，，写出各杆杆端弯矩表表达式。由于杆端位位移应等于于结点位移,有§8-5直接由平衡衡条件建立立位移法基基本方程杆12对应一端固固定、一端端铰支的等等截面直杆杆，且杆端端12的相对线位位移为零，，则由式（８-１５）得杆24也对应一端端固定、一一端铰支等等截面直杆杆，且杆端端4的转角为零零，则由式式（８-１５）得同理得，，§8-5直接由平衡衡条件建立立位移法基基本方程相应于结点点1的角位移Z1，取结点1为隔离体,建立力矩平平衡方程(a)(3)建立位移法法方程。代入M13、M12的表达式有§8-5直接由平衡衡条件建立立位移法基基本方程相应于结点点1、2的水平线位位移Z2，截取横梁梁为隔离体体，建立水水平投影方方程(b)由，式(b)可写成§8-5直接由由平衡衡条件件建立立位移移法基基本方方程将有关关杆端弯弯矩代入得得综合得得位移移法方方程为为这与用用基本本结构构方法法得到到的典典型方方程完完全一一致。。(4)解联立立方程程，得得§8-5直接由由平衡衡条件件建立立位移移法基基本方方程(5)求杆端端弯矩矩。将将求出出的位位移代代回杆端弯弯矩表表达式式，可可得各各杆杆杆端弯弯矩分分别为为，，§8-5直接由由平衡衡条件件建立立位移移法基基本方方程奇数跨跨对称称刚架架、在在对称称荷载载作用用下，，变形形是对对称分分布的的，在对称称轴上上的截截面C没有转转角和和水平平位移移，但但可有有竖向向位移移。半半边结结构C处取为为滑动动支承承端。。一、受受对称称荷载载作用用§8-6对称性性的利利用偶数跨跨对称称刚架架，在在对称称荷载载作用用下，，变形形是对对称分分布的的，在对称称轴上上，截截面C没有转转角和和水平平位移移，柱柱CD没有弯弯矩和和剪力力，在在忽略略杆CD的轴向变变形，截截面C竖向位移移被忽略略，半边边结构C端为固定定支座。。在对称荷载载作用下，取一一半结构构后，利利用位移法分析比较较方便。。§8-6对称性的的利用奇数跨对对称刚架架，在反反对称荷荷载作用用下，变变形是反反对称分分布的，，在对称轴轴上的截截面C没有竖向向位移，，但可有有转角和和水平位位移。半半边结构构C处取为链杆支座。二、受反反对称荷荷载作用用在反对称荷荷载作用用下，取一一半结构构后，利利用力法分析比较较方便。。§8-6对称性的的利用偶数跨对对称刚架架，在反反对称荷荷载作用用下，变变形是反反对称分分布的，，在对称轴轴上的柱柱CD没有轴力力和轴向向位移。。但有弯弯矩和弯弯曲变形形。可将将中间柱柱分成两两根柱，，分柱的的抗弯刚刚度为原原柱的一一半，中中间柱CD的总内力力为两根根分柱内内力之和和。总弯弯矩、总总剪力分分别为分分柱弯矩矩和剪力力的两倍倍。总轴轴力为零零。§8-6对称性的的利用利用对称性取取半边结结构此半半边结构构，有一一个结点E的角位移移Z1。例8-10试用位移移法作图图示刚架架的弯矩矩图，各各杆EI为常数。。(3)计算系数数和自由由项。(2)建立位移移法方程程。解(1)确定基本本未知量量。§8-6对称性的的利用由MP图令i=EI/l，作出图图，得自由项项得系数(5)解算位移移法方程程。将系数r11和自由项项R1P代入位移移法方程程，解得得§8-6对称性的的利用

根据按叠加法可绘制半边结构的弯矩图，由对称性可绘出原结构的弯矩图。(6)作弯矩图图。(7)校核。取M图中结点点E为隔离体体，验算知知其满足足平衡条条件，可可知计算算无误。。§8-6对称性的的利用一般荷载载可分解解为对称称荷载和和反对称称荷载。。当对称结结构上作作用一般般荷载时时，可先先将荷载载分解为为对称荷荷载和反反对称荷荷载两组组，让它它们分别别作用于于结构上上。然后后分别取取半边结构构用位移法法进行汁汁算，最最后将两两组计算算结果叠叠加绘出出原结构构的弯矩矩图。§8-6对称性的的利用力法基本未知量：多余力基本结构：一般为静定结构，能求M的超静定结构也可。作单位和外因内力图由内力图自乘、互乘求系数，主系数恒正。建立力法方程（协调）解方程求独立结点位移迭加作内力图用变形条件进行校核位移法基本未知量：结点独立位移基本结构：无位移超静定次数更高的结构作单位和外因内力图由内力图的结点、隔离体平衡求系数，主系数恒正。建立位移法方程（平衡）解方程求独立结点位移迭加作内力图用平衡条件进行校核§8-6对称性的的利用混合法基本思路

联合法是一个计算简图用同一种方法，联合应用力法、位移法。

混合法则是同一个计算简图一部分用力法、另一部分用位移法。超静定次数少，独立位移多的部分取力为未知量。超静定次数多，独立位移少的部分取位移作未知量。§8-6对称性的的利用8-11用混合法法计算图图示刚架架。并作作弯矩图图。EI=常数。§8-6对称性的的利用§8-6对称性的的利用§8-6对称性的的利用一、位移移法的基基本思路路位移法的的基本思思路是：：先分别考考虑原结结构在荷荷载和结结点位移移作用下下产生的的内力，，再根据据平衡条条件建立立位移法法方程，，求出未未知位移移，然后后再计算算出杆端端弯矩，，最后用用分段叠叠加法绘绘制整个个结构的的弯矩图。二、位移移法方程程及解题题步骤用位移法法求解时时需建立立位移法法方程，，根据分分析的对对象不同同，建立立方程有有两种方方法——转角位移移方程法法和基本体系系法。转角位移移方程法法是直接接利用平平衡条件件来建立立位移法法典型方方程的方方法。(1)利用转角角位移方方程和位位移协调调条件，，写出用用结点位位移表示示的各杆杆的杆端端弯矩表表达式；；步骤：1.转角位移移方程法法第八章位位移法总结(4)将结点位位移代入入杆端力力方程从从而求出出杆端内内力。(2)利用与位位移相应应的隔离离体的平平衡条件件建立平平衡方程程；(3)解方程求求出结点点位移；2.基本体系系法基本体系系法是利利用附加加约束的的基本原原理建立立位移法法典型方方程。(1)确定基本本未知量量。将原原结构有有角位移移和线位位移的结结点分别别加上阻阻止转动动的刚臂臂和阻止止移动的的支座链链杆，附附加刚臂臂和附加加支座链链杆数之之和即为为位移法法的基本本未知量量；(2)由附加约约束上约约束力为为零的条条件，建建立位移移法方程程kijj+Fip=0(i,j=1,2,…,n)；

(3)在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单位位移Δj=1下的弯矩图及荷载作用下的弯矩图MP步骤：第八章位位移法法总结由平衡条件件求出系数数kij和自由项FiP；注意：一切切计算都是是在基本结结构上进行行!三、几个值值得注意的的问题(4)从材料性质质看，只能能用于弹性性材料。1.位移法的适适用条件(1)位移法既可可以求解超超静定结构构，也可以以求解静定定结构；(2)既可以考虑虑弯曲变形形，也可以以考虑轴向向和剪切变变形；(3)可以用于梁梁、刚架、、桁架、拱拱、组合结结构等各种种类型的结结构；(5)按叠加原理理计算杆端端弯矩。(4)解方程求Δj；第八章位位移法法总结位移法的基基本未知量量的数目等等于独立结结点角位移移数加上独独立结点线线位移数。。2、位移法基基本未知量量的选取原原则(1)独立的结点点角位移数数目的确定定：为使结点不不发生角位位移，需要要在结点施施加附加刚刚臂，附加刚臂数数等于全部刚刚结点和半半铰结点的的结点转角角数目。但需注意：：铰结点的的角位移不不作为基本本未知量。。例如图a中，A为刚结点，，B为半铰结点点，故有两两个独立角角位移；而而图b中B为刚结点，，A为铰结点，，故只取B点转角为独独立角位移移。第八章位位移法法总结与刚度无穷穷大的杆相相连的刚结结点的转角角是否取为为基本未知知量，应根根据具体情情况区别对对待。图a中AB杆刚度无穷穷大，A=B=0，因此基基本未未知量量只有有一个个线位位移；而图图b中有一一个角角位移移未知知量。。第八章章位位移法法总结(2)独立的的结点点线位位移的的确定定较复杂杂，基基本可可以根根据以以下原原则确确定：：①附加链链杆法法。在结点点施加加附加加链杆杆，使使其不不发生生线位位移，，则附附加链链杆数数即为为独立立结点点线位位移数数。应应用此此法时时应注意意，自由由端、、滑动动支承承端或或滚轴轴支承承端的的与杆杆轴垂垂直方方向的的线位位移不不作为为基本本未知知量。。②铰化法法。将刚架架中的的刚结结点（（包括括固定定端））变成成铰结结点，，成为为铰接接体系系，其其自由由度数数即为为独立立线位位移数数。第八章章位位移法法总结如，忽忽略轴轴向变变形的的情况况下，，当竖竖柱平平行时时，无无论梁梁是水水平的的还是是倾斜斜的，，梁都都产生生平动动，因因而各各柱顶顶有相相同的的水平平线位位移。。图a中A、C点的水水平位位移相相同，，结构构只有有一个个位移移未知知量⊿。第八章章位位移法法总结3.静定部部分的的处理理例如，，图a中AB为静定定部分分，很很容易易画出出该部部分的的弯矩矩图，，将MBA=Fa反作用用于B点，再再计算算B点以右右部分分即可可（图图b）。第八章章位位移法法总结如图a所示，，可把与与悬臂臂部分分相连连的杆杆件BA看作是是在A端铰接接B端固定定的单单跨超超静定定梁（（图b）。4.半铰悬悬臂的的情况况第八章章位位移法法总结图示结结构，，计算算时常常易出出错之之处是是误认认为基基本未未知量量只有有一个个B。实际上上B结点处处，梁梁端与与柱端端转角角均不不同，，C支杆由由于弹弹性也也可水水平向向移动动，故故基本本未知知量应应为B'、B"及⊿C。5.当有弹弹性支支座和和弹性性刚结结点时时，基基本未未知量量的确确定第八章章位位移法法总结如图，，将BD杆分为为BC和CD两根杆杆件，，则本本题有有三个个未知知量B，C，⊿C。6.一根直直杆的的刚度度不同同时,位移基基本未未知量量的确定第八章章位位移法法总结例：作图a所示结结构弯弯矩图图，各各杆EI=常数。。

7.有的超静定结构也有基本部分和附属部分,求解时先解附属部分,再解基本部分解：本题中中刚架架ECFHG是基本本部分分，CBA是附属属部分分。首首先求求附属属部分分：由由于C点无水水平和和竖向向线位位移，，故可可将CBA化为图图b的结构构，用用位移移法计计算，，弯矩矩图如如图c所示。。第八章章位位移法法总结再求基基本部部分：：将附附属部部分的的C点支座座反力力反作作用于于基本本部分分。最后的的M图如图图d所示。。思考：：为什么么基本本部分分各杆杆的弯弯矩为为零？？第八章章位位移法法总结8.斜刚架架的计计算。。例：作图a所示斜斜刚架架的M图。解：本题有有两个个未知知量，，B点的转转角⊿1和C点的侧侧移⊿2，两个个附加加约束束如图图b所示，由M1图和MP图易得得F1P=0,F2P=-F,k11=10i计算k12，k22:第八章章位位移法法总结(1)求⊿B和⊿2之间的的几何何关系系。取BC杆研究（（图e），发生侧移移后，B点移至B1，C点移至C1。⊿B在BC杆上的水水平投影影为BB2=⊿Bcos45°。仅从水平平方向观观察可以以看出BC杆由原来来的位置置平移至至B2C1的位置，，由于杆杆件不伸伸长，因因此有BB2=CC1即又由于BB3是BB1在垂直BC杆方向的的投影，，因此⊿Bcos45°=⊿2BB3=⊿Bsin45°=⊿2当C点有水平平向右的的侧移⊿2时，B点将沿垂垂直于AB杆的方向向运动（图d），其中⊿2和⊿B之间具有有一定的的几何关关系。第八章位位移法总结而AB杆两端的的相对侧侧移为BB3，因此(2)作M2图。由以上叙叙述可知知BC杆两端有有相对侧侧移BB3，因此在图图f中第八章位位移法总结(3)求k21=k12，k22。由M2图易得，能求出轴力FN。求k22时取图f中的BC杆为隔离离体（图图g），由再由

求出第八章位位移法总结将系数带带入位移移法方程程解得最后弯矩矩图如图图h所示。本题在求求解斜杆杆时应注注意以下下几点：：第八章位位移法总结①由于刚架架是斜的的，BC杆不仅发发生平动动，还有有一定的的转动，，因此BC杆两端有有相对线线位移。。③求FN时，对C点取矩，，不应漏漏掉刚臂臂上的力力，因为为只有加加上该力力，隔离离体才可可保持平平衡。②计算M2时，由于于剪力和和轴力都都是倾斜斜的，因因此建立立平衡方方程时两两者都要要考虑。。第八章位位移法总结例：图a所示结构，，EI=常数，求结结点K的转角。四、对称性性的利用解：（1）作M图此结构沿45°角斜线mn对称，过C点的45°方向斜线mn,为此结构的的对称轴（（图b），结点C的转角为零零。取半个个结构如图图c所示。第八章位位移法法总结再将图c荷载分解为为为正对称称与反对称称的叠加，，取半结够够如图d（正对称））、图e(反对称）所所示。由叠叠加得：（上拉）（上拉）（左拉）（右拉）第八章位位移法法总结结构M图如图f所示。第八章位位移法法总结2.求K截面的转角角取图g所示的静定结构，在K处加单位力作图。

（

）

另：取图h所示的静定定结构，图图乘时则更更简便。第八章位位移法法总结例:用位移法作作图a所示单跨梁梁弯矩图，，k=i=EI／l。解：基本结构如如图b所示，基本本未知量为为A端角位移。。将系数k11=3i+i=4i，,代入位移法方程

五、弹性支支撑超静定定结构的计计算第八章位位移法法总结得按叠加原理理作出弯矩图图，如图d所示。第八章位位移法法总结六、用位移移法求超静静定结构的的位移例：图a所示单跨梁梁，左端发发生角位移移，求梁中点点竖向位移移（向下为为正）。解：直接画出出MP图如图b所示，求C点的竖向位位移时只需需要在对应应的静定结结构中点加加单位力（（图c），用图乘法可可得第八章位位移法法总结例:求图a所示结构C点的竖向位位移⊿CV。解:该结构可以以分解为正正对称和反反对称两部部分（图b、图c）。正对称部分

两者相加得反对称部分分⊿CV=0，第八章位位移法法总结七、力法与与位移法的的比较1．相同之处二者都要考考虑力系的的平衡条件件和结构的的变形协调调条件。2．不同之处从基本未知知量看，力力法取的是是力——多余未知力力；位移法法取的是位位移——独立的结点点位移，因因此求超静静定结构的的位移时，，通常用位位移法较方方便。从基本体系系看,力法是去约约束，位移移法是加约约束。从基本方程程看，力法法是位移协协调方程，，方程的系系数是位移移，位移法法是力系平平衡方程，，其系数是是力。力法法只能分析析超静定结结构，位移移法则通用用于分析静静定和超静静定结构。。第八章位位移法法总结八、思考题题2.在用位移法法分析刚架架中若不考考虑杆件的的轴向变形形时，是否否相当于不不存在轴向向力?1.位移法的基基本结构为为超静定结结构?3.在不考虑杆杆件的轴向向变形时，，图a与图b的内力、位位移是否相相同?第八章位位移法法总结3.位移法的基基本结构为为超静定结结构。()4.位移法中角角位移未知知量的数目目恒等于刚刚结点数。。（））1.位移法仅适适用于超静静定结构，，不能用于于分析静定定结构。()2.位移法未知知量的数目目与结构的的超静定次次数有关。。()╳√(一、判断题提示：与刚度无穷穷大的杆件件相连的结结点不取为为角位移未未知量。╳╳自测题6.力矩分配法法中的分配配系数、传传递系数与与外来因素素（荷载、、温度变化化等有关。。）（（））5.转动刚度（（杆端劲度度）S只与杆件线线刚度和其其远端的支支承情况有有关。（））√╳自测题7.图示刚架可可利用力矩矩分配法求求解。()8.图a所示对称结结构可简化化为图b所示结构来计算算。()√√自测题提示：只有有一个线位位移未知量量。二、选择填填空1.力矩分配法法计算的直直接结果是是（)。CA.多余未知力力B.结点弯矩C.杆端弯矩D.结点角位移2.下图中哪一一种情况不不能用力矩矩分配法计计算。（)D9.图示结构的的结点位移移基本未知知量为1()。√FFFF（A）（B）（