简单的线性规划 公开课一等奖课件

要点梳理1.二元一次不等式(组)表示平面区域作二元一次不等式Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)表示的平面区域的方法步骤：

(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0.(2)在直线的一侧任取一点P(x0,y0),特别地,当C≠0

时,常把______作为此特殊点.§7.3简单的线性规划原点基础知识自主学习§7.3简单的线性规划原点基础知识自主学习(3)若Ax0+By0+C>0,则包含点P的半平面为不等式

__________所表示的平面区域,不包含点P的半平面为不等式____________所表示的平面区域.2.线性规划的有关概念

(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组.(2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式.(3)线性规划问题:求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题.(4)可行解:满足_____________的解(x,y).(5)可行域:所有________的集合.Ax+By+C>0Ax+By+C≤0线性约束条件可行解(3)若Ax0+By0+C>0,则包含点P的半平面为不等式（6）最优解:使_________取得最大值或最小值的可行解.3.利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是

(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)作出目标函数的等值线.(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数等值线,从而确定_________.(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.目标函数最优解（6）最优解:使_________取得最大值或最小值的可目4.线性规划实质上是“________”数学思想方法在一个方面的体现，将最值问题借助图形直观、简便地寻找出来，是一种较快地求最值的方法.5.在求解应用问题时要特别注意题意中的________________，不可将范围盲目扩大.数形结合变量的取值范围4.线性规划实质上是“________”数学思想方法在一数形基础自测1.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域的是（）

A.（0，0）B.（-1，1）

C.（-1，3）D.（2，-3）

解析将选项A、B、C、D中的坐标代入x+y-1验证可得C符合题意.C基础自测C2.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两侧，则m

的取值范围是（）

A.m<-5或m>10B.m=-5或m=10C.-5<m<10D.-5≤m≤10

解析由题意可得(2×1+3+m)[2×(-4)-2+m]<0，即(m+5)(m-10)<0,∴-5<m<10.C2.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两3.设A={（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是（）3.设A={（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长}解析由已知得答案

A简单的线性规划公开课一等奖课件4.（2009·安徽）不等式组所表示的平面区域的面积等于（）

A.B.C.D.

解析不等式组表示的平面区域如图所示，简单的线性规划公开课一等奖课件由得交点A的坐标为（1，1）.又B、C两点的坐标为（0，4），答案

C

简单的线性规划公开课一等奖课件5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元,设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是___________________.

解析由题意可得5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木题型一二元一次不等式（组）表示的平面区域【例1】画出不等式组表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x,y的取值范围;(2)平面区域内有多少个整点?题型分类深度剖析题型分类深度剖析思维启迪

(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分,但要注意是否包含边界.(2)整点是指横、纵坐标均为整数的点.解

(1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合.x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合,x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.思维启迪(1)不等式组表示的平面区域是各个不等所以,不等式组表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得(2)由图形及不等式组知当x=3时,-3≤y≤8,有12个整点;当x=2时,-2≤y≤7,有10个整点;当x=1时,-1≤y≤6,有8个整点;当x=0时，0≤y≤5，有6个整点；当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点;简单的线性规划公开课一等奖课件当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点;∴平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=42个.

本题主要考查不等式表示的平面区域、数列求和及不等式的应用等基础知识，考查了数形结合的方法和逻辑推理能力.(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.(2)在封闭区域内找整点数目时,若数目较小时,可画网格逐一数出;若数目较大,则可分x=m逐条分段统计.探究提高当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点;探究提高知能迁移1

如图△ABC中,A(0,1),B(-2,2),C(2,6),写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组.

解由已知得直线AB、BC、CA

的方程分别为：直线AB：x+2y-2=0，直线BC：x-y+4=0，直线CA：5x-2y+2=0.∴原点(0，0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为知能迁移1如图△ABC中,A(0,1),题型二求目标函数的最值问题【例2】（2009·海南）设x,y满足则z=x+y（）

A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值

C.有最大值3，无最小值

D.既无最小值，也无最大值先作出可行域，然后作出与直线x+y=0平行的直线，通过平移，在可行域内找到最优解，从而求出最大、最小值.思维启迪题型二求目标函数的最值问题解析如下图作出不等式组表示的可行域，由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点(2,0)时，z有最小值，但z没有最大值.答案

B

解析如下图作出不等式组表示的可行域，由于探究提高

(1)首先把二元一次不等式所表示的平面区域在平面中准确地表示出来，然后求交集，就是不等式组所表示的平面区域，但要注意是否包括边界.求目标函数的最大值或最小值,必须先求出准确的可行域，作出目标函数的等值线，根据题意，确定取得最优解的点，从而求出最值.一般直线的交点是最值点，特殊的当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行时，其最优解可能有无数多个.探究提高(1)首先把二元一次不等式所表示的平面(2)目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关.若目标函数为形如可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率.若目标函数为形如z=(x-a)2+(y-b)2，可考虑(x,y)与(a,b)两点距离的平方.(2)目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线知能迁移2（2009·浙江）若实数x,y满足不等式组则z=2x+3y的最小值是_____.

解析作出不等式表示的可行域如图所示，由于2x+3y=z的斜率故z=2x+3y在点(2,0)

处取得最小值4.4知能迁移2（2009·浙江）若实数x,y满足不4题型三线性规划的简单应用【例3】某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物

8吨,现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店.从仓库A运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为3元、4元、

5元.问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？由于题目中量比较多，所以最好通过列出表格以便清晰地展现题目中的条件.

设出仓库A运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商店的货物吨数，列出可行域，即可求解.思维启迪题型三线性规划的简单应用解将已知数据列成下表：设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y）吨,从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)吨、(8-y)吨、[5-(12-x-y)]=(x+y-7)吨,于是总运费为z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7)=x-2y+126.甲乙丙A869B345商店仓库每吨运费解将已知数据列成下表：∴线性约束条件为目标函数为z=x-2y+126.作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中阴影部分所示.简单的线性规划公开课一等奖课件作出直线l:x-2y=0,把直线l平行移动,显然当直线l移动到过点(0,8)时,在可行域内，z=x-2y+126取得最小值zmin=0-2×8+126=110,即x=0,y=8时总运费最少.安排的调运方案如下:仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.

解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函数:(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)作答.探究提高作出直线l:x-2y=0,把直线l平行移动,显然当直线l移知能迁移3

（2009·四川）某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.

销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业可获得的最大利润是（）

A.12万元B.20万元

C.25万元D.27万元知能迁移3（2009·四川）某企业生产甲、乙解析设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z=5x+3y.由题意得可行域如图阴影所示.由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x=3，y=4,z=5×3+3×4=27(万元).答案

D解析设生产甲产品x吨、乙产品y吨，题型四线性规划的综合应用【例4】（12分）实数x,y满足（1）若求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；（2）若z=x2+y2，求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.(1)表示的是区域内的点与原点连线的斜率.故的最值问题即为直线的斜率的最大值与最小值.（2）z=x2+y2的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值.思维启迪题型四线性规划的综合应用

解作出可行域如图阴影部分所示.

表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，[4分]因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在）.∴zmax不存在，zmin=2,∴z的取值范围是［2，+∞）.[7分]解题示范

(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两点间距离的平方.[9分]因此x2+y2的范围最小为|OA|2（取不到），最大为|OB|2.由得A(0，1)，∴|OA|2=02+12=1，|OB|2=12+22=5.∴zmax=5，z无最小值.故z的取值范围是（1，5］.[12分](2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两探究提高

本例与常规线性规划不同，主要是目标函数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)

表示点（x,y）与原点（0，0）的距离;

表示点（x,y）与（a,b）的距离.(2)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率;

表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.理解这些代数式的几何意义,往往是解决问题的关键.探究提高本例与常规线性规划不同，主要是目标函知能迁移4在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界),若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则的最大值是()A.B.C.D.知能迁移4在如图所示的坐标平解析目标函数z=x+ay可化为由题意a<0且当直线与lAC重合时符合题意.此时kAC=1=∴a=-1，的几何意义是区域内动点与P(-1,0)连线的斜率.显然kPC=最大.答案

B解析目标函数z=x+ay可化为

1.平面区域的画法:二元一次不等式的标准化与半平面的对应性.对于A>0的直线l：Ax+By+C=0，Ax+By+

C>0对应直线l右侧的平面；Ax+By+C<0对应直线l左侧的平面.

由一组直线围成的区域形状常见的有：三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域等.方法与技巧思想方法感悟提高

2.转化：求二元一次函数z=ax+by(ab≠0)的最值,将函数z=ax+by转化为直线的斜截式：通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.3.实数最优解一定在顶点或边界取得;经过区域内整数最优解的直线距实数最优解最近.4.线性规划应用题建模的思路：一般以“资源——产品——收益”为主线;设元时将产品数量设为x、y,

将收益多少设为z，资源数量为常数a、b、c等.这样

z与x、y之间的关系就是目标函数;而x、y与a、b、c

等之间的关系就是约束条件.2.转化：求二元一次函数z=ax+by(ab≠0)的最值,1.二元一次不等式与半平面的对应关系，比如：二元一次不等式Ax+By+C>0,当A>0时表示直线l:Ax+

By+C=0右侧的平面；当A<0时表示直线l:Ax+By+C=0

左侧的平面.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值式时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0

时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值.失误与防范失误与防范

一、选择题1.（2009·福建）在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）

A.-5B.1C.2D.3定时检测

解析由得A(1，a+1),由得B(1，0)，由得C(0，1).∵△ABC的面积为2，且a>-1,∴S△ABC=|a+1|=2,∴a=3.答案

D简单的线性规划公开课一等奖课件2.(2009·安徽)若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是()简单的线性规划公开课一等奖课件解析

不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y=kx+过定点因此只有直线过AB中点时,直线y=kx+能平分平面区域.因为A(1,1),B(0,4),所以AB中点答案

A解析不等式组表示的平面区域如图所示.3.若实数x,y满足条件目标函数z=2x-y,

则（）

A.zmax=B.zmax=-1C.zmax=2D.zmin=0

解析如图所示，当z=2x-y过时,CC4.已知点P（x,y）满足点Q(x,y)在圆(x+2)2+(y+2)2=1上,则|PQ|的最大值与最小值为（）

A.6,3B.6,2C.5,3D.5,2

解析可行域如图阴影部分,

设|PQ|=d，则由图中圆心

C(-2,-2)到直线4x+3y-1=0的距离最小,则到点A距离最大.

得A（-2，3）.∴dmax=|CA|+1=5+1=6，BB5.（2009·湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用

400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用

300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为（）

A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元5.（2009·湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要解析设需甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题意知作出其可行域如图所示，可知目标函数z=400x+300y在点A处取最小值，

zmin=400×4+300×2=2200(元).答案

B解析设需甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题意知6.(2008·海南、宁夏)点P(x,y)在直线4x+3y=0上,

且x,y满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值范围是（）

A.［0,5］B.［0,10］

C.［5,10］D.［5,15］

解析如图所示，可知直线

4x+3y=0分别与直线x-y=-14,x-y=7

的交点为P1(-6,8)，P2(3，-4)，易知|OP1|=10,|OP2|=5.

故|OP|的取值范围为［0，10］.B6.(2008·海南、宁夏)点P(x,y)在直线4x+3y=二、填空题7.（2009·陕西）设x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值是___,最大值是___.

解析如图所示，由题意得A（3，4）.由图可以看出，直线x+2y=z过点（1，0）时，zmin=1,过点(3,4)

时,zmax=3+2×4=11.111二、填空题8.（2009·山东）某公司租赁甲、乙两种设备生产

A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,

设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产

A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为

_______元.8.（2009·山东）某公司租赁甲、乙两种设备生产解析设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，目标函数为z=200x+300y.作出其可行域，易知当x=4,y=5时，z=200x+300y有最小值2300元.答案

2300解析设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，9.已知实数x,y满足不等式组目标函数

z=y-ax(a∈R).若取最大值时的唯一最优解是(1,3),

则实数a的取值范围是_________.

解析如图所示，依题意直线x+y-4=0与x-y+2=0交于

A(1,3),此时取最大值，故a>1.(1,+∞)(1,+∞)三、解答题10.若a≥0,b≥0,且当时，恒有ax+by≤1,

求以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积.

解作出线性约束条件对应的可行域如图所示，三、解答题在此条件下，要使ax+by≤1恒成立,只要ax+by的最大值不超过1即可.令z=ax+by,则因为a≥0,b≥0,此时对应的可行域如图，所以以a,b为坐标的点P（a,b）所形成的面积为1.在此条件下，要使ax+by≤1恒成立,只要ax+by的最大11.A、B两地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨,

而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运价如下表.怎样确定调运方案,使总的运费为最小？

解设从A到D运x千吨,则从B到D运(8-x)千吨;

从A到E运y千吨,则从B到E运(6-y)千吨;

从A到F运(12-x-y)千吨,从B到F运(x+y-6)千吨,运价(万元/千吨)到D到E到F从A456从B52411.A、B两地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨,运价则线性约束条件为线性目标函数为z=4x+5y+6(12-x-y)+5(8-x)+2(6-y)+4(x+y-6)=-3x+y+100,作出可行域，可观察出目标函数在(8，0)点取到最小值，即从A到D运8千吨，从B到E运6千吨，从A到F运4千吨，从B到F运2千吨，可使总的运费最少.简单的线性规划公开课一等奖课件12.在R上可导的函数当

x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取得极小值,

求点(a,b)对应的区域的面积以及的取值范围.

解函数f(x)的导数为f′(x)=x2+ax+2b,当x∈(0,1)

时,f(x)取得极大值,当x∈(1,2)时,f(x)取得极小值,

则方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,

另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f′(x)=x2+ax+2b的图象与方程x2+ax+2b=0根的分布之间的关系可以得到12.在R上可导的函数在aOb平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为△ABD(不包括边界),如图阴影部分,其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),△ABD的面积为

(h为点A到a轴的距离).点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为

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前言

高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。前言高考状元是一青春风采青春风采青春风采青春风采北京市文科状元阳光女孩--何旋高考总分：692分(含20分加分)

语文131分数学145分英语141分文综255分毕业学校：北京二中

报考高校：北京大学光华管理学院北京市文科状元阳光女孩--何旋高考总分：来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后，她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何旋给人最班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，高考总分:711分

毕业学校:北京八中

语文139分数学140分英语141分理综291分报考高校：北京大学光华管理学院北京市理科状元杨蕙心高考总分:711分

毕业学校:北京八中

语文139分数学1班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习品质。学习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同学两三个小时才能完成的作业，她一个小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力很强，这一点在平常的考试中可以体现。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题，她能很快找到问题的原因，并马上拿出解决办法。班主任孙烨：杨蕙心是一个目标高远的学生，而且具有很好的学习孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话”两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法，肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的成绩一直稳定在年级前5名左右。孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一简单的线性规划公开课一等奖课件上海2006高考理科状元--武亦文武亦文格致中学理科班学生班级职务：学习委员高考志愿：复旦经济高考成绩：语文127分数学142分英语144分物理145分综合27分总分585分上海2006高考理科状元--武亦文武亦文格致中学理科班学生

“一分也不能少”

“我坚持做好每天的预习、复习，每天放学回家看半小时报纸，晚上10：30休息，感觉很轻松地度过了三年高中学习。”当得知自己的高考成绩后，格致中学的武亦文遗憾地说道，“平时模拟考试时，自己总有一门满分，这次高考却没有出现，有些遗憾。”

“一分也不能少”“我坚持做好每天的预习、复习

坚持做好每个学习步骤

武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习态度，坚持认真做好每天的预习、复习。“高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主任王老师对我的成长起了很大引导作用，王老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精力，看重做事的过程而不重结果。每当学生没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓励学生注重学习的过程。”

坚持做好每个学习步骤上海高考文科状元--- 常方舟曹杨二中高三(14)班学生班级职务：学习委员高考志愿：北京大学中文系高考成绩：语文121分数学146分 英语146分历史134分 综合28分总分575分 (另有附加分10分)上海高考文科状元--- 常方舟曹杨二中高三(14)班“我对竞赛题一样发怵”

总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会花太多时间做功课，常常是做完老师布置的作业就算完。“我对竞赛题一样发怵”总结自己的成功经验，常方舟认为学习的“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容，有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真，但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真，后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因正在于试题多为基础题，对上了自己的“口味”。“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕是再简单的内容，仔要点梳理1.二元一次不等式(组)表示平面区域作二元一次不等式Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)表示的平面区域的方法步骤：

(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0.(2)在直线的一侧任取一点P(x0,y0),特别地,当C≠0

时,常把______作为此特殊点.§7.3简单的线性规划原点基础知识自主学习§7.3简单的线性规划原点基础知识自主学习(3)若Ax0+By0+C>0,则包含点P的半平面为不等式

__________所表示的平面区域,不包含点P的半平面为不等式____________所表示的平面区域.2.线性规划的有关概念

(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组.(2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式.(3)线性规划问题:求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题.(4)可行解:满足_____________的解(x,y).(5)可行域:所有________的集合.Ax+By+C>0Ax+By+C≤0线性约束条件可行解(3)若Ax0+By0+C>0,则包含点P的半平面为不等式（6）最优解:使_________取得最大值或最小值的可行解.3.利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是

(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)作出目标函数的等值线.(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数等值线,从而确定_________.(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.目标函数最优解（6）最优解:使_________取得最大值或最小值的可目4.线性规划实质上是“________”数学思想方法在一个方面的体现，将最值问题借助图形直观、简便地寻找出来，是一种较快地求最值的方法.5.在求解应用问题时要特别注意题意中的________________，不可将范围盲目扩大.数形结合变量的取值范围4.线性规划实质上是“________”数学思想方法在一数形基础自测1.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域的是（）

A.（0，0）B.（-1，1）

C.（-1，3）D.（2，-3）

解析将选项A、B、C、D中的坐标代入x+y-1验证可得C符合题意.C基础自测C2.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两侧，则m

的取值范围是（）

A.m<-5或m>10B.m=-5或m=10C.-5<m<10D.-5≤m≤10

解析由题意可得(2×1+3+m)[2×(-4)-2+m]<0，即(m+5)(m-10)<0,∴-5<m<10.C2.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两3.设A={（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是（）3.设A={（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长}解析由已知得答案

A简单的线性规划公开课一等奖课件4.（2009·安徽）不等式组所表示的平面区域的面积等于（）

A.B.C.D.

解析不等式组表示的平面区域如图所示，简单的线性规划公开课一等奖课件由得交点A的坐标为（1，1）.又B、C两点的坐标为（0，4），答案

C

简单的线性规划公开课一等奖课件5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元,设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是___________________.

解析由题意可得5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木题型一二元一次不等式（组）表示的平面区域【例1】画出不等式组表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x,y的取值范围;(2)平面区域内有多少个整点?题型分类深度剖析题型分类深度剖析思维启迪

(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分,但要注意是否包含边界.(2)整点是指横、纵坐标均为整数的点.解

(1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合.x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合,x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.思维启迪(1)不等式组表示的平面区域是各个不等所以,不等式组表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得(2)由图形及不等式组知当x=3时,-3≤y≤8,有12个整点;当x=2时,-2≤y≤7,有10个整点;当x=1时,-1≤y≤6,有8个整点;当x=0时，0≤y≤5，有6个整点；当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点;简单的线性规划公开课一等奖课件当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点;∴平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=42个.

本题主要考查不等式表示的平面区域、数列求和及不等式的应用等基础知识，考查了数形结合的方法和逻辑推理能力.(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.(2)在封闭区域内找整点数目时,若数目较小时,可画网格逐一数出;若数目较大,则可分x=m逐条分段统计.探究提高当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点;探究提高知能迁移1

如图△ABC中,A(0,1),B(-2,2),C(2,6),写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组.

解由已知得直线AB、BC、CA

的方程分别为：直线AB：x+2y-2=0，直线BC：x-y+4=0，直线CA：5x-2y+2=0.∴原点(0，0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为知能迁移1如图△ABC中,A(0,1),题型二求目标函数的最值问题【例2】（2009·海南）设x,y满足则z=x+y（）

A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值

C.有最大值3，无最小值

D.既无最小值，也无最大值先作出可行域，然后作出与直线x+y=0平行的直线，通过平移，在可行域内找到最优解，从而求出最大、最小值.思维启迪题型二求目标函数的最值问题解析如下图作出不等式组表示的可行域，由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点(2,0)时，z有最小值，但z没有最大值.答案

B

解析如下图作出不等式组表示的可行域，由于探究提高

(1)首先把二元一次不等式所表示的平面区域在平面中准确地表示出来，然后求交集，就是不等式组所表示的平面区域，但要注意是否包括边界.求目标函数的最大值或最小值,必须先求出准确的可行域，作出目标函数的等值线，根据题意，确定取得最优解的点，从而求出最值.一般直线的交点是最值点，特殊的当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行时，其最优解可能有无数多个.探究提高(1)首先把二元一次不等式所表示的平面(2)目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关.若目标函数为形如可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率.若目标函数为形如z=(x-a)2+(y-b)2，可考虑(x,y)与(a,b)两点距离的平方.(2)目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线知能迁移2（2009·浙江）若实数x,y满足不等式组则z=2x+3y的最小值是_____.

解析作出不等式表示的可行域如图所示，由于2x+3y=z的斜率故z=2x+3y在点(2,0)

处取得最小值4.4知能迁移2（2009·浙江）若实数x,y满足不4题型三线性规划的简单应用【例3】某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物

8吨,现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店.从仓库A运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为3元、4元、

5元.问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？由于题目中量比较多，所以最好通过列出表格以便清晰地展现题目中的条件.

设出仓库A运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商店的货物吨数，列出可行域，即可求解.思维启迪题型三线性规划的简单应用解将已知数据列成下表：设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y）吨,从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)吨、(8-y)吨、[5-(12-x-y)]=(x+y-7)吨,于是总运费为z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7)=x-2y+126.甲乙丙A869B345商店仓库每吨运费解将已知数据列成下表：∴线性约束条件为目标函数为z=x-2y+126.作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中阴影部分所示.简单的线性规划公开课一等奖课件作出直线l:x-2y=0,把直线l平行移动,显然当直线l移动到过点(0,8)时,在可行域内，z=x-2y+126取得最小值zmin=0-2×8+126=110,即x=0,y=8时总运费最少.安排的调运方案如下:仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.

解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函数:(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)作答.探究提高作出直线l:x-2y=0,把直线l平行移动,显然当直线l移知能迁移3

（2009·四川）某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.

销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业可获得的最大利润是（）

A.12万元B.20万元

C.25万元D.27万元知能迁移3（2009·四川）某企业生产甲、乙解析设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z=5x+3y.由题意得可行域如图阴影所示.由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x=3，y=4,z=5×3+3×4=27(万元).答案

D解析设生产甲产品x吨、乙产品y吨，题型四线性规划的综合应用【例4】（12分）实数x,y满足（1）若求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；（2）若z=x2+y2，求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.(1)表示的是区域内的点与原点连线的斜率.故的最值问题即为直线的斜率的最大值与最小值.（2）z=x2+y2的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值.思维启迪题型四线性规划的综合应用

解作出可行域如图阴影部分所示.

表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，[4分]因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在）.∴zmax不存在，zmin=2,∴z的取值范围是［2，+∞）.[7分]解题示范

(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两点间距离的平方.[9分]因此x2+y2的范围最小为|OA|2（取不到），最大为|OB|2.由得A(0，1)，∴|OA|2=02+12=1，|OB|2=12+22=5.∴zmax=5，z无最小值.故z的取值范围是（1，5］.[12分](2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两探究提高

本例与常规线性规划不同，主要是目标函数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)

表示点（x,y）与原点（0，0）的距离;

表示点（x,y）与（a,b）的距离.(2)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率;

表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.理解这些代数式的几何意义,往往是解决问题的关键.探究提高本例与常规线性规划不同，主要是目标函知能迁移4在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界),若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则的最大值是()A.B.C.D.知能迁移4在如图所示的坐标平解析目标函数z=x+ay可化为由题意a<0且当直线与lAC重合时符合题意.此时kAC=1=∴a=-1，的几何意义是区域内动点与P(-1,0)连线的斜率.显然kPC=最大.答案

B解析目标函数z=x+ay可化为

1.平面区域的画法:二元一次不等式的标准化与半平面的对应性.对于A>0的直线l：Ax+By+C=0，Ax+By+

C>0对应直线l右侧的平面；Ax+By+C<0对应直线l左侧的平面.

由一组直线围成的区域形状常见的有：三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域等.方法与技巧思想方法感悟提高

2.转化：求二元一次函数z=ax+by(ab≠0)的最值,将函数z=ax+by转化为直线的斜截式：通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.3.实数最优解一定在顶点或边界取得;经过区域内整数最优解的直线距实数最优解最近.4.线性规划应用题建模的思路：一般以“资源——产品——收益”为主线;设元时将产品数量设为x、y,

将收益多少设为z，资源数量为常数a、b、c等.这样

z与x、y之间的关系就是目标函数;而x、y与a、b、c

等之间的关系就是约束条件.2.转化：求二元一次函数z=ax+by(ab≠0)的最值,1.二元一次不等式与半平面的对应关系，比如：二元一次不等式Ax+By+C>0,当A>0时表示直线l:Ax+

By+C=0右侧的平面；当A<0时表示直线l:Ax+By+C=0

左侧的平面.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值式时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0

时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值.失误与防范失误与防范

一、选择题1.（2009·福建）在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）

A.-5B.1C.2D.3定时检测

解析由得A(1，a+1),由得B(1，0)，由得C(0，1).∵△ABC的面积为2，且a>-1,∴S△ABC=|a+1|=2,∴a=3.答案

D简单的线性规划公开课一等奖课件2.(2009·安徽)若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是()简单的线性规划公开课一等奖课件解析

不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y=kx+过定点因此只有直线过AB中点时,直线y=kx+能平分平面区域.因为A(1,1),B(0,4),所以AB中点答案

A解析不等式组表示的平面区域如图所示.3.若实数x,y满足条件目标函数z=2x-y,

则（）

A.zmax=B.zmax=-1C.zmax=2D.zmin=0

解析如图所示，当z=2x-y过时,CC4.已知点P（x,y）满足点Q(x,y)在圆(x+2)2+(y+2)2=1上,则|PQ|的最大值与最小值为（）

A.6,3B.6,2C.5,3D.5,2

解析可行域如图阴影部分,

设|PQ|=d，则由图中圆心

C(-2,-2)到直线4x+3y-1=0的距离最小,则到点A距离最大.

得A（-2，3）.∴dmax=|CA|+1=5+1=6，BB5.（2009·湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用

400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用

300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为（）

A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元5.（2009·湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要解析设需甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题意知作出其可行域如图所示，可知目标函数z=400x+300y在点A处取最小值，

zmin=400×4+300×2=2200(元).答案

B解析设需甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题意知6.(2008·海南、宁夏)点P(x,y)在直线4x+3y=0上,

且x,y满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值范围是（）

A.［0,5］B.［0,10］

C.［5,10］D.［5,15］

解析如图所示，可知直线

4x+3y=0分别与直线x-y=-14,x-y=7

的交点为P1(-6,8)，P2(3，-4)，易知|OP1|=10,|OP2|=5.

故|OP|的取值范围为［0，10］.B6.(2008·海南、宁夏)点P(x,y)在直线4x+3y=二、填空题7.（2009·陕西）设x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值是___,最大值是___.

解析如图所示，由题意得A（3，4）.由图可以看出，直线x+2y=z过点（1，0）时，zmin=1,过点(3,4)

时,zmax=3+2×4=11.111二、填空题8.（2009·山东）某公司租赁甲、乙两种设备生产

A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,

设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产

A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为

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