向量向量组的线性相关性课件

1定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、维向量的概念第1页/共42页1定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为2例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量第2页/共42页2例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量第23二、维向量的表示方法

维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：

维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：第3页/共42页3二、维向量的表示方法维向量写成一行，称为行向4注意

１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；

３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.第4页/共42页4注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的２．行向5向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式坐标系三、向量空间第5页/共42页5向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组6空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面一一对应第6页/共42页6空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集7叫做维向量空间．

时，维向量没有直观的几何形象．叫做维向量空间中的维超平面．第7页/共42页7叫做维向量空间．时，维向量没有直观8

确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量

维向量的实际意义第8页/共42页8确定飞机的状态，需飞机重心在空间的位置参数P(x,y,9

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如四、向量、向量组与矩阵第9页/共42页9若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集10向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．第10页/共42页10向量组,,…，称为矩阵11

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.第11页/共42页11反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成12线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．第12页/共42页12线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对13定义１线性组合第13页/共42页13定义１线性组合第13页/共42页14

向量能由向量组线性表示．第14页/共42页14向量能第14页15定理1定义２向量组能由向量组线性表示向量组等价．第15页/共42页15定理1定义２向量组能由向量组线性表示向量组等价．第116第16页/共42页16第16页/共42页17从而第17页/共42页17从而第17页/共42页18第18页/共42页18第18页/共42页19第19页/共42页19第19页/共42页20第20页/共42页20第20页/共42页21第21页/共42页21第21页/共42页22注意定义３五、线性相关性的概念则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．第22页/共42页22注意定义３五、线性相关性的概念则称向量组是线性相关的，23第23页/共42页23第23页/共42页24定理向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性

设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有六、线性相关性的判定第24页/共42页24定理向量组（当时）线性相关25故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数使第25页/共42页25故因26因中至少有一个不为0，不妨设则有即能由其余向量线性表示.证毕.第26页/共42页26因中至少有一27线性相关性在线性方程组中的应用结论第27页/共42页27线性相关性在线性方程组中的应用结论第27页/共42页28定理2下面举例说明定理的应用.证明（略）第28页/共42页28定理2下面举例说明定理的应用.证明（略）第28页/共429解例１第29页/共42页29解例１第29页/共42页30解例２分析第30页/共42页30解例２分析第30页/共42页31第31页/共42页31第31页/共42页32证第32页/共42页32证第32页/共42页33第33页/共42页33第33页/共42页34定理3第34页/共42页34定理3第34页/共42页35第35页/共42页35第35页/共42页36证明说明第36页/共42页36证明说明第36页/共42页37说明第37页/共42页37说明第37页/共42页38第38页/共42页38第38页/共42页39１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；

２.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）

３.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）七、小结第39页/共42页39１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方２.40思考题第40页/共42页40思考题第40页/共42页41证明（１）、（２）略．（３）充分性必要性思考题解答第41页/共42页41证明（１）、（２）略．（３）充分性必要性思考题解答第4线性代数课件hty42感谢您的欣赏！第42页/共42页线性代数课件hty42感谢您的欣赏！第42页/共42页43定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、维向量的概念第1页/共42页1定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为44例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量第2页/共42页2例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量第245二、维向量的表示方法

维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：

维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：第3页/共42页3二、维向量的表示方法维向量写成一行，称为行向46注意

１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；

３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.第4页/共42页4注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的２．行向47向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式坐标系三、向量空间第5页/共42页5向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组48空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面一一对应第6页/共42页6空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集49叫做维向量空间．

时，维向量没有直观的几何形象．叫做维向量空间中的维超平面．第7页/共42页7叫做维向量空间．时，维向量没有直观50

确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量

维向量的实际意义第8页/共42页8确定飞机的状态，需飞机重心在空间的位置参数P(x,y,51

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如四、向量、向量组与矩阵第9页/共42页9若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集52向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．第10页/共42页10向量组,,…，称为矩阵53

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.第11页/共42页11反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成54线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．第12页/共42页12线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对55定义１线性组合第13页/共42页13定义１线性组合第13页/共42页56

向量能由向量组线性表示．第14页/共42页14向量能第14页57定理1定义２向量组能由向量组线性表示向量组等价．第15页/共42页15定理1定义２向量组能由向量组线性表示向量组等价．第158第16页/共42页16第16页/共42页59从而第17页/共42页17从而第17页/共42页60第18页/共42页18第18页/共42页61第19页/共42页19第19页/共42页62第20页/共42页20第20页/共42页63第21页/共42页21第21页/共42页64注意定义３五、线性相关性的概念则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．第22页/共42页22注意定义３五、线性相关性的概念则称向量组是线性相关的，65第23页/共42页23第23页/共42页66定理向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性

设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有六、线性相关性的判定第24页/共42页24定理向量组（当时）线性相关67故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数使第25页/共42页25故因68因中至少有一个不为0，不妨设则有即能由其余向量线性表示.证毕.第26页/共42页26因中至少有一69线性相关性在线性方程组中的应用结论第27页/共42页27线性相关性在线性方程组中的应用结论第27页/共42页70定理2下面举例说明定理的应用.证明（略）第28页/共42页28定理2下面举例说明定理的应用.证明（略）第28页/共471解例１第29页/共42页29解例１第29页/