系统运动的稳定性分析

关于系统运动的稳定性分析第1页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五稳定性判别方法经典控制理论中：线性定常系统的稳定性：代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；奈奎斯特判据；对数稳定判据等。非线性定常系统的稳定性：描述函数法：要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。现代控制理论中：一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性理论。第2页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五李雅普诺夫稳定性理论。

李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：1.间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳定性，又称李雅普诺夫第一法；2.直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称李雅普诺夫第二法。

李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。第3页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五4.1李雅普诺夫稳定性定义

4.2李雅普诺夫第一法4.3李雅普诺夫第二法及其主要定理4.4线性系统稳定性分析第4页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五4.1李雅普诺夫稳定性定义

一.BIBO稳定性的概念对于一个初始条件为零的系统，如果在有界的输入u(t)的作用下，所产生的输出y(t)也是有界的，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入-有界输出稳定的。并简称为BIBO稳定。李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界。第5页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五二．平衡状态李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。1.平衡状态的定义设系统状态方程为：若对所有t，状态x满足，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有下式成立：由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。2.平衡状态的求法由定义可见，平衡状态将包含在这样一个代数方程组中。对于线性定常系统，其平衡状态为xe应满足代数方程。第6页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五

对于非线性系统，方程的解可能有多个，视系统方程而定。如：

该系统存在三个平衡状态：第7页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五三．范数的概念范数的定义

n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用表示，则：向量的距离长度称为向量x与xe的距离，写为：第8页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五

定义：对于系统，设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即若能使系统从任意初态x0出发的解在t>t0的过程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径ε的闭球域S(ε)内，即：则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。四．李雅普诺夫稳定性定义1．李雅普诺夫意义下的稳定性P169第9页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五几何意义

按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出S(ε),则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。第10页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五

2．渐进稳定性（经典理论稳定性）定义：如果系统的平衡状态xe不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量μ>0，总有则称平衡状态xe是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。

这时，从S(δ)出发的轨迹不仅不会超出S(ε)，且当t→∞时收敛于xe，可见经典控制理论中的稳定性定义与渐进稳定性对应。第11页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五几何意义：

第12页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五

定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状态xe均具有渐进稳定性，称这种平衡状态xe是大范围渐近稳定的。此时，δ→∞，S(δ)→∞。当t→∞时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于xe。3.大范围渐进稳定性

对于严格的线性系统，如果它是渐近稳定的，必定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。第13页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五

几何意义：第14页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五

定义：如果对于某个实数ε>0和任一实数δ>0，不管δ这个实数多么小，在S(δ)内总存在一个状态x0，使得由这一状态出发的轨迹超出S(ε)，则称平衡状态xe是不稳定的。4．不稳定性几何意义：

第15页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五

对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S(ε)，但并不意味着轨迹趋于无穷远处。例如以下物理系统比喻不稳定，轨迹趋于S(ε)以外的平衡点。当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上趋于无穷远。第16页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五

从上述四种稳定性定义可见，球域S(δ)限制着初始状态x0的取值，球域S(ε)规定了系统自由运动响应的边界。简单地说，1.如果有界，则称xe稳定；

2.如果不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则称xe渐进稳定；

3.如果无界，则称xe不稳定；返回第17页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五4.2李雅普诺夫第一法（间接法）

一．线性定常系统稳定性判定基本思路：1.线性系统通过判断状态方程的解来判断稳定性；2.非线性和时变系统要通过平衡点附近的线性化处理，再根据A阵判断系统的稳定性。第18页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五[定理4.1]线性定常系统（1）平衡状态xe是渐进稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部；（2）平衡状态xe是不稳定的充分必要条件是矩阵A的有些特征值具有正实部；（3）当系统用传递函数描述时，系统BIBO稳定的充分必要条件为G(s）的极点具有负实部。第19页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五[例4.2.1]

设系统的状态空间表达式为：

试分析系统平衡状态xe=0的稳定性与系统的BIBO稳定性。解：系统的特征方程为A阵的特征值为+1，-1。故系统平衡状态xe是不稳定的。系统传递函数传递函数极点位于S左半平面，故系统是BIBO稳定的。第20页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五BIBO稳定渐近稳定

结论：

1.线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的；

2.线性定常系统是BIBO稳定的，则不能保证系统一定是渐进稳定的；

3.如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定性与外部稳定性是等价。第21页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五二．非线性系统的稳定性判定对于可以线性化的非线性系统，可以在一定条件下用它的线性化模型，用定理[4.1]的方法来研究。对于非线性系统，设xe为其平衡点。第22页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五李雅普诺夫给出以下结论：（1）A的所有特征值均具有负实部，则平衡状态xe是渐进稳定的；（2）A的特征值至少有一个为正实部，则平衡状态xe是不稳定的。（3）A的特征值至少有一个实部为0，则不能根据A来判平衡状态xe的稳定性,系统处于临界状态，需要由R(x)决定。第23页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五[例4.2.2]

已知非线性系统的状态空间表达式，试分析系统平衡状态的稳定性。P173解：系统有2个平衡状态：xe1=[0,0]和xe2=[1,1]在xe1=[0,0]处线性化，A1阵的特征值为+1，-1。故系统在xe1处是不稳定的。在xe2=[1,1]处线性化，A2阵的特征值为+j，-j,其实部为0,不能根据A来判断稳定性。返回第24页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五4.3李雅普诺夫第二法及其主要定理

李雅普诺夫第二法是通过构造李雅普诺夫函数V(x)来直接判断运动稳定性的一种定性的方法。根据经典力学中的振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统的能量函数表达式并非易事。

第25页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五（1）如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，只到平衡状态时为最小，则称这个平衡状态是渐进稳定的。（2）如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移越来越大，则称这个平衡状态是不稳定的。（3）如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移维持不变，则称这个平衡状态是临界稳定的，在李雅普诺夫意义下也认为是稳定的。第26页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五李雅普诺夫提出，虚构一个能量函数，一般它与及t有关，记为V(x,t)或V(x)。V(x)是一标量函数，考虑到能量总大于0，故为正定函数。能量衰减特性用或表示。李雅普诺夫第二法利用V和的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求解系统状态方程的解，故称直接法。

第27页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五

直接法解决了一些其它稳定性判据难以解决的非线性系统的稳定性问题，但遗憾的是对一般非线性系统仍未找到构造李雅普诺夫函数V(x)的通用方法。尽管如此目前它仍然是研究系统(包括时变、非线性)稳定性的有力工具。对于线性系统，通常用二次型函数作为李雅普诺夫函数。第28页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五一．预备知识1．二次型函数的定义及其表达式①定义：设为n个变量，定义二次型标量函数为：其中，，则称P为实对称阵。第29页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五例如：

显然，二次型v(x)完全由矩阵P确定。因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。②二次型的标准型

只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，如：第30页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五

2.标量函数V(x)的符号和性质设:,且在x=0处，V(x)≡0。对于x≠0的任何向量。①V(x)>0，称V(x)为正定的。例如：②V(x)<0，称V(x)为负定的。例如：③V(x)≥0，称V(x)为半正定的。例如：④V(x)≤0，称V(x)为半负定的。例如：第31页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五设实对称矩阵

P阵的所有各阶主子行列式如下:3.赛尔维斯特(Sylvester)准则(二次型标量函数定号性判别准则))33.4(,212222111211222112112111-=D=D=DnnnnnnnppppppppppppppMMLL第32页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五矩阵P（或V(x))定号性的充要条件为：（1）（2）（3）（4）第33页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五二．李雅普诺夫第二法的判稳主要定理①系统渐进稳定的判别定理一[定理4.2]设系统状态方程为:,其状态平衡点xe=0,满足。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件1.V(x,t)是正定的；2.是负定的；

系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。1，2，3

系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。第34页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五[例4.3.1]

已知非线性系统的状态方程为:试分析其平衡状态的稳定性.解：显然，坐标原点xe=0（即x1=0,x2=0)是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为则沿任意轨迹，V(x)对时间的导数是负定的。说明V(x)沿任意轨迹是连续减小的，因此V(x)是一个李雅普诺夫函数。

而且，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的第35页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五②

系统渐进稳定的判别定理二

[定理4.3]设系统状态方程为:,其状态平衡点xe=0,满足。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件1.V(x,t)是正定的；2.是半负定的；第36页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五定理的运动分析：以二维空间为例第37页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五[例4.3.2]已知非线性系统的状态方程为:

试分析其平衡状态的稳定性。解：显然，坐标原点xe=0（即x1=0,x2=0)是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为①

②当③进一步分析的定号性：如果假设，必然要求，进一步要求。但从状态方程可知，必满足表明只可能在原点（x1=0,x2=0）处恒等于零。渐进稳定

而且，当，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的第38页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五若在该例中①选取正定标量函数为负定②

而且，当，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的

由以上分析看出，选取不同的V(x)，可能使问题分析采用不同的判别定理。第39页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五③系统李氏稳定的判别定理[定理4.4]设系统状态方程为:,其状态平衡点xe=0,满足。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件

则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐进稳定的。这时系统可保持在一个稳定的等幅振荡状态上。1.V(x,t)是正定的；2.是半负定的，且。第40页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五[例4.3.3]已知非线性系统的状态方程为:

试分析其平衡状态的稳定性。解：显然，坐标原点xe=0（即x1=0,x2=0)是系统惟一的平衡状态。①选取正定标量函数为②

由上式可见，，则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐进稳定的。第41页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五④系统不稳定的判别定理[定理4.5]设系统状态方程为:,其状态平衡点xe=0,满足。如果存在一个具有连续偏导数的标量函数V(x,t),且满足以下条件1.V(x,t)是正定的；2.是正定的；

则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。第42页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五[例4.3.4]已知非线性系统的状态方程为:

试分析其平衡状态的稳定性。解：显然，坐标原点xe=0（即x1=0,x2=0)是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为①

②

系统不稳定第43页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五四不稳定第44页，共51页，2022年，5月20日，16点33分，星期五定理的形式简单而有规律，在定理的应用中，要注意以下几点：

(1)构造一个合理的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的关键，李氏函数具有几个突出性质：

1)李雅普诺夫函数是一个标量函数。

2)李雅普诺夫函数是一个正定函数，至少在原点的邻域是如此。

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