计算机辅助设计教程-曲线与曲面基础知识

王朔Email:shwang@2018.9计算机机辅助助建筑筑设计计第二讲讲：曲曲线及及曲面面基础础计算机机辅助助设计计课程程简介介计算机机图形形学的的相关关知识识图形绘绘制、、图形形变换换、曲曲线/曲面、、图形形渲染染……Rhino软件及及Grasshopper参数化化设计计BIM及软件件应用用（Revit）课程主主要内内容：：计算机机图形形学部部分简简介：：计算机机图形形学的的研究究内容容庞杂杂而繁繁多，，凡是是与计计算机机绘图图相关关的内内容都都是图图形学学研究究的对对象。。本讲义义选取取有助助于建建筑专专业同同学理理解及及掌握握计算算机辅辅助设设计相相关概概念和和应用用的知知识加加以介介绍。。为什么么讲述述计算算机图图形学学知识识：类比：：模型-视图-控制器器（MVC模式））计算机机图形形学=表示+绘制+交互基本的的计算算机绘绘图知知识：：1、各类类绘图图软件件：AutoCAD,SketchUP,Rhino,3DSMax,Photoshops等。2、专用用的绘绘图语语言及及开发发包：：OpenGL、DirectX3D等。3、基于于PARASOLID、Acis几何引引擎的的商商业CAD软件。。3、各类类开发发语言言提供供的简简单绘绘图功功能。。位图(光栅图图像)图形(矢量图图)基础知知识：：位图(光栅图图像)光栅图图像(Image)与图形形（Graphics,Shape,矢量图图）对一个个视域域中的的光强强变化化以有有限的的精度度进行行抽样样，会会产生生连续续强度度表面面的一一种近近似。。在计计算机机存储储器中中可以以用整整数的的阵列列表示示，其其中每每一个个整数数表示示一个个亮度度。用用这种种方法法编码码和存存储的的图像像称为为位映映射图图像（（bitmappedimage）。图片来来源:《数字设设计媒媒体》WilliamJ.Mitchell著王王国泉泉霍霍新民民译清清华华大学学出版版社CBitmapb;CDCd;b.LoadBitmap(IDB_BITMAP1);d.CreateCompatibleDC(pDC);d.SelectObject(&b);pDC->BitBlt(0,0,768,432,&d,1,1,SRCCOPY);unsignedk;for(inti=1;i<100;i=i+5)for(intj=1;j<100;j=j+5){k=pDC->GetPixel(i,j);chars[32];sprintf_s(s,"%d",k);pDC->TextOutW(i*15,j*5+500,CString(s));}1_3_BMP图形(Graphics,Shape)矢量图图图像可可能会会被看看成是是不同同光强强和色色彩的的点的的集合合，而而对于于设计计师而而言，，他们们一般般会创创建高高度结结构化化形式式的图图，并并把他他们看看成是是诸如如直线线，圆圆弧、、封闭闭多边边形这这样一一些几几何实实体的的集合合。在在工程程制图图中，，会使使用直直尺和和圆规规一类类的绘绘图工工具精精确的的画出出几何何实体体，并并通过过几何何制图图的方方法精精确的的确定定他们们的关关系。。同样样，计计算机机图形形软件件提供供了特特定的的精确确处理理和准准确表表示几几何实实体的的工具具。图片来源源:《数字设计计媒体》WilliamJ.Mitchell著王国国泉霍霍新民译译清华华大学出出版社使用CDC类函数绘绘制基本本的图形形（不使用用任何软软件工具具，直接接写一个个运行程程序）1、绘制一一个简单单的矩形形DrawRectangleDoc*pDoc=GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);if(!pDoc)Return;CPenmyPen;myPen.CreatePen(PS_SOLID,10,RGB(255,40,0));pDC->SelectObject(myPen);intw=500;inth=300;pDC->MoveTo(50,50);pDC->LineTo(50+w,50);pDC->LineTo(50+w,50+h);pDC->LineTo(50,50+h);pDC->LineTo(50,50);1-1DrawRectangle//TODO:adddrawcodefornativedatahereCPenmyPen;myPen.CreatePen(PS_SOLID,10,RGB(255,40,0));pDC->SelectObject(myPen);pDC->Ellipse(30,20,500,300);voidCMy1_2_MouseLineView::OnLButtonDown(UINTnFlags,CPointpoint){//TODO:Addyourmessagehandlercodehereand/orcalldefaultm_StartPoint=point;CView::OnLButtonDown(nFlags,point);}voidCMy1_2_MouseLineView::OnLButtonUp(UINTnFlags,CPointpoint){//TODO:Addyourmessagehandlercodehereand/orcalldefaultCPenmyPen;myPen.CreatePen(PS_SOLID,5,RGB(255,40,0));CClientDCdc(this);dc.SelectObject(myPen);dc.MoveTo(m_StartPoint);dc.LineTo(point);CView::OnLButtonUp(nFlags,point);}for(inti=0;i<628*2;i++){inty=100*sin(float(i)/100);pDC->SetPixel(i,y+120,0);//pDC->Ellipse(i-r,y-r+120,i+r,y+r+120);Sleep(10);}voidDrawCurve(doublep[3],CDC*pDC,intp_x,intp_y){doubler=150.0,h=3;doublex[628],y[628],z[628],xe[628],ye[628],ze[628],xs[628],ys[628],zs=200,a,b,c,u,v;intm=0;a=p[0];b=p[1];c=p[2];u=sqrt(a*a+b*b+c*c);v=sqrt(a*a+b*b);for(doublet=0;t<62.8;t=t+0.1){x[m]=r*cos(t);y[m]=r*sin(t);z[m]=h*t;m++;}xe[0]=-b/v*x[0]+a/v*y[0];ye[0]=-a*c/(u*v)*x[0]-b*c/(u*v)*y[0]+v/u*z[0];ze[0]=-a/u*x[0]-b/u*y[0]-c/u*z[0]+u;xs[0]=xe[0]*zs/ze[0]+p_x;ys[0]=ye[0]*zs/ze[0]+p_y;pDC->MoveTo(xs[0],ys[0]);//pDC->Ellipse(xs[0],ys[0],xs[0]+100,xs[0]+100);for(inti=1;i<628;i++){xe[i]=-b/v*x[i]+a/v*y[i];ye[i]=-a*c/(u*v)*x[i]-b*c/(u*v)*y[i]+v/u*z[i];ze[i]=-a/u*x[i]-b/u*y[i]-c/u*z[i]+u;xs[i]=xe[i]*zs/ze[i]+p_x;ys[i]=ye[i]*zs/ze[i]+p_y;pDC->LineTo(int(xs[i]),int(ys[i]));}}在工业设设计中遇遇到的形形状，一一般可以以分为两两类：（1）定形形形状（第第一类形形状），，通常有平平面、二二次曲面面或其他他规则曲曲面所构构成。（2）自由形形状（第第二类形形状），，一般来说说，包含含了自由由曲线和和自由曲曲面，设设计时通通常由给给定的一一系列型型值点来来定义期期形状，，某些复复杂的零零件及汽汽车、飞飞机的外外形曲面面均属于于这类形形状。一般来说说用常规规的三视视图的方方法，对对第一类类形状是是适合的的，但是是将三维维形状在在二维平平面上描描述进行行形状信信息的传传递，即即使采用用多面视视图及其其它的表表达方法法，对某某些形状状来说，，也仍然然是难于于做好的的。第二类形形状所包包含的信信息更多多，用传传统的工工程图学学的方法法有一定定的困难难，在CAGD中则是用用数学方方法来定定义、描描述及传传递形状状信息[Hu1987]。[Hu1987]胡瑞安主主编.计算机辅辅助几何何设计[M].华中工学学院出版版社.1987PrototypeofthedesigntheClay&SculptureStudioDesign入口及玻玻璃幕墙墙调整方方案2入口及玻玻璃幕墙墙调整方方案2入口细布布（方案案2）入口室内内效果MuseumofContemporaryArt&PlanningExhibitionArchitecturebyCoopHimmelb(l)au生成式设设计(generativecomponents)来源:Pedit_Spline.dwg内插曲线线拟合曲线线•Mathematicalrepresentationofphysicalsplines•C2continuous•Interpolateallcontrolpoints•HaveGlobalcontrol(nolocalcontrol)NaturalSplines样条函数数是美国国数学家家I.J.Shoenberg于1946年提出的的，但当当时并未未引起人人们的重重视。直直到60年代，人人们才开开始认识识到样条条函数在在数据拟拟合、函函数逼近近、数值值微分与与积分等等重要作作用，并并广泛的的用于汽汽车、航航空、造造船等行行业的几几何外形形设计[]。最初，样样条曲线线都是借借助于物物理样条条得到的的，放样样员把富富有弹性性的细木木条(或有机玻玻璃条)，用压铁铁固定在在曲线应应该通过过的给定定型值点点处，样样条做自自然弯曲曲所绘制制出来的的曲线就就是样条条曲线。。样条曲曲线不仅仅通过各各有序型型值点，，并且在在各型值值点处的的一阶和和二阶导导数连续续，也即即该曲线线具有连连续的、、曲率变变化均匀匀的特点点。Splines•Popularizedinlate1960sinUSAutoindustry(GM)–R.Riesenfeld(1972)–W.Gordon•Origin:thethinwoodormetalstripsusedinbuilding/shipconstruction•Goal:defineacurveasasetofpiecewisesimplepolynomialfunctionsconnectedtogetherSplines样条PierreBezierforhisfundamentalcontributionRobinForrestforhisinsightBillGordonforhismathematicalcontributionsCarldeBoorandMauriceCoxfortheCox-deBooralgorithmSteveCoonsforhismathematicalgeniusRichRiesenfeldforB-splinesElaineCohen,TomLycheandRichRiesenfeldfortheOsloAlgorithmsLewieKnappforrationalB-splinesKenVersprieforNURBSDr.PierreB´´ezier.B´´ezierwasanengineerwiththeRenaultcarcompanyandsetoutintheearly1960’’stodevelopacurveformulationwhichwouldlenditselftoshapedesign.贝塞尔曲曲线于1962年，由法法国工程程师皮埃埃尔·贝塞尔（（PierreBézier）所广泛泛发表，，他运用用贝塞尔尔曲线来来为汽车车的主体体进行设设计。贝贝塞尔曲曲线最初初由PauldeCasteljau(保尔·德·卡斯特里里奥)于1959年运用deCasteljau算法开发发，以稳稳定数值值的方法法求出贝贝塞尔曲曲线。Bezier曲线和曲曲面Bezier曲线定义给出型值值点P0，P1，…，Pn，它们所所确定的的n次Bezier曲线是：：涉及到的的0!及00，按约定定均为1。当n=1时是Bernstein多项式，，调和函数数在n=2时在n=3时①②③④Bezier曲线几何何作图方方法两个控制制点(LinearBezierSpline)只有两个个控制点点P、Q的Bezier曲线是什什么样子子的？不不难想像像是线段段PQ，如下图图：所以由控控制点P、Q产生的Bezier曲线的方方程是：：C(u)=(1-u)P+uQ0<=u<=1曲线上参参数为u的点是通通过P和Q的线性组组合得到到的。Bezier二次曲线线(QuadraticBezierSpline)如果想得得到一条条弯曲的的曲线，，两个控控制点是是不够的的，加上上一个控控制点R，那么由由控制点点P、Q和R生成的Bezier曲线又是是什么样样子的了了？假设生成成的曲线线为C(u)，其中0<=u<=1，对应于于某个特特定的u，C(u)如何计算算出来了了？我们先在在PQ上求一点点A(u)A(u)=(1-u)P+uQ在QR上求一点点B(u)B(u)=(1-u)Q+uR再在生成成的线段段上求C(u)C(u)=(1-u)A(u)+uB(u)对应于下下图，用用这种迭迭代的方方法求出出的点C(u)就是Bezier曲线上参参数为u的点！将A(u)和B(u)的公式代代入C(u)得到：C(u)=(1-u)A(u)+uB(u)=(1-u)[(1-u)P+uQ]+u[(1-u)Q+uR]=(1-u)^2P+2u(1-u)Q+u^2R(0<=u<=1)上面的公公式给出出了从三三个控制制点P、Q和R，求取参参数u对于的曲曲线上点点的方法法，如果果u=0，则C(0)=P；如果u=1，则C(1)=R，说明曲曲线通过过P和R，与上图图的观察察是一致致的；如果有四四个控制制点P、Q、R和S，给定一一个参数数值u，0<=u<=1，如何求求u对应的Bezier曲线上的的点？还还是用上上述迭代代的方法法，最后后得到的的方程是是：C(u)=(1-u)^3P+3u(1-u)^2Q+3u^2(1-u)R+u^3S绘制出来来的曲线线如下图图所示：：Bezier曲线(CubicBezierSpline)deCasteljau算法描述述Bezier曲面若在空间间给定(m+1)(n十1)个控制点点，Vij，i=0，1，…，m，j=0，1，…，n，令上式曲面为为m×n次的Bezier曲面当m=n=1，公式成为为：设v00，v01，v10，v11四点依次是是(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，则可得得P1,1(u，w)的坐标形形式的参参数方程程为：消去参数数，就得得马鞍面方程：当m=n=3，曲面成成为：Bezier曲线的次次数（degree）是有控控制点的的个数决决定的（（n+1个控制点点），如如果增加加曲线的的变化就就需要在在这个曲曲线的附附近增加加控制点点，这会会增加曲曲线的次次数。也可以把把不同的的Bezier曲线连接接起来，，只要第第一条曲曲线的尾尾端与第第二条曲曲线的首首端连接接起来并并具有相相同的切切线方向向，至少少可以获获得G1的连续性性。B-Spline需要一系系列的控控制点，，一系列列的节点点和一系系列的系系数，每每个系数数对应一一个控制制点，从从而构造造一系列列的曲线线段连接接在一起起，满足足某个连连续条件件。Hermite曲线Hermite曲线Hermite曲线为给给定两端端点及两两端点切切向量所所得的三三次曲线线。已知曲线线的两个个端点坐坐标P0、P1，和端点点处的切切线R0、R1，确定的的一条曲曲线。令：则：给定边界界条件：：结论：只只要给定定Gh，就可以以在[0,1]范围内求求出Q(t)，即可绘绘制出Hermite曲线，对对于不同同的初始始条件，，Gh是不同的的，而T、Mh均是相同同的。Hermite.gh曲线与曲曲面基础础知识\B_Spline_Grasshopper\Bezier01_3P.gh曲线与曲曲面基础础知识\B_Spline_Grasshopper\Bezier01_4P.ghB样条曲线线B样条曲线线（构造造具有局局部性的的调和函函数）给定n+1个控制点点P0，P1，…，Pn，它们所所确定的的p阶B样条曲线线是：其中Ni，p(u)递归定义义如下：：这里u0，u1，…，un+p，是一个个非递减的序列，，称为节节点，(u0，u1，…，un+p)称为节点向量量。定义中中可能出出现，，这这时约定定为0。贝塞尔基基函数用用作权重重。B-样条基函函数也一一样，但但更复杂杂。但是是它有两两条贝塞塞尔基函函数所没没有的特特性，即即(1)定义域被被节点细细分（subdivided）；(2)基函数不不是在整整个区间间非零。。实际上上，每个个B样条基函函数在附附近一个个子区间间非零，，因此，，B-样条基函函数具有有局部支撑撑性。1）设U是m+1个非递递减数的的集合，，u0<=u1<=u2<=u3<=…<=um,u0称为节点点（knots），集合合U称为节点点向量（（Knotsvector），半开开区间[ui,ui+1)称为第i个节点区区间。2）节点可可以被认认为是分分隔点，，区间[u0,um]被细分为为节点区区间，所所有的B样条基函函数被定定义在[u0,um]上。3）为了定定义B-Spline基函数，，还需要要一个参参数，基基函数的的次数（（degree），第i个P次的B-Spline基函数记记为Ni,p(u)。Cox-deBoor递归公式式Cox-deBoor递归公式式U={0,1,2,3}1)0次基函数数是N0,0(u)=1在[0,1)，在其它它区间是是0；N1,0(u)=1在[1,2)上，在其其它区间间是0；N2,0(u)=1在[2,3)上，其它它区间是是0。为了计算算Ni,1(u)，需要Ni,0(u)和Ni+1,0(u)。因此，，我们可可以计算算N0,1(u),N1,1(u),N2,1(u),N3,1(u)等等。所所有这些些Ni,1(u)写在第三三列。一一旦所有有Ni,1(u)计算完毕毕，我们们可以计计算Ni,2(u)并将其放放在第四四列。继继续这个个过程直直到所有有需要的的Ni,p(u)的计算完完毕。例：现在计算算N0,1(u)和N1,1(u)。要计算算N0,1(u)，因为i=0和p=1，从定义义出发有有因为u0=0,u1=1和u2=2,上式变为为因为N0,0(u)在[0,1)上非零且且N1,0(u)在[1,2)上非零，，如果u在[0,1),只有N0,0(u)对N0,1(u)有贡献。。因此，，如果u在[0,1)上,N0,1(u)是u，N0,0(u)=u。而如果果u在[1,2)上,N0,1(u)是(2-u)，N1,0(u)=(2-u)。相似的的计算得得到N1,1(u)=(u–1)N1,0(u)+(3-u)N2,0(u)，如果u在[1,2)上,而N1,1(u)=u-1，如如果u在[2,3)上，N1,1(u)=3––u。下图图中，，黑色色和红红色线线分别别是N0,1(u)和N1,1(u)。注意意N0,1(u)在[0,1)和[1,2)上是非非零的的，N1,1(u)在[1,2)和[2,3)上是非非零的的。一旦获获得N0,1(u)和N1,1(u)，可以以计算算N0,2(u)。由定定义得得到下下式:代入节节点值值得到到注意N0,1(u)在[0,1)和[1,2)上非零零而N1,1(u)在[1,2)和[2,3)上非零零。因因此，，我们们有三三种情情况要要考虑虑：1.u在[0,1)上：2.u在[1,2)上3.u在[2,3)上2.u在[1,2)上:这种情情况，，N0,1(u)和N1,1(u)都对N0,2(u)有贡献献。因因此N0,1(u)=2-u且N1,1(u)=u-1在[1,2)上,得到1.u在[0,1)上:这种情情况，，只有有N0,1(u)对N0,2(u)的值有有贡献献。因因此，，N0,1(u)是u,得到3.u在[2,3)上:这种情情况，，只有有N1,1(u)对N0,2(u)有贡献献。因因此N1,1(u)=3-u在[2,3)上，得得到,曲线与与曲面面基础础知识识\B_Spline_Grasshopper\B_Spline01.ghfor(intj=0;j<N;j++){if(_u>=ui&_u<=ui1){_result=1;}else{_result=0;}resultList.Add(_result);_u=_u+step;}A=resultList;for(intj=0;j<N;j++){_result=(_u-ui)/(ui2-ui)*_N01[j]+(ui3-_u)/(ui3-ui1)*_N11[j];resultList.Add(_result);_u=_u+step;}A=resultList;带重复复度的的节点点如果ui是重复复度k的节点点(即ui=ui+1=...=ui+k-1),那么节节点区区间[ui,ui+1),[ui+1,ui+2),...,[ui+k-2,ui+k-1)不存在在，结结果是是，Ni,0(u),Ni+1,0(u),...,Ni+k-1,0(u)都是零零函数数。u0

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

0000.30.50.50.6111计算Ni,0(u)。注注意因因为m=9且p=0(0次基函函数),我们有有n=m-p-1=8。如下下表所所示，，只有有四个个0次非零零基函函数：：N2,0(u),N3,0(u),N5,0(u)和N6,0(u).

基函数

范围

方程

备注

N0,0(u)所有

u

0因为

[u0,u1)=[0,0)不存在N1,0(u)所有

u

0因为

[u1,u2)=[0,0)不存在N2,0(u)[0,0.3)1

N3,0(u)[0.3,0.5)1

N4,0(u)所有

u

0因为

[u4,u5)=[0.5,0.5)不存在N5,0(u)[0.5,0.6)1

N6,0(u)[0.6,1)1

N7,0(u)所有

u

0因为

[u7,u8)=[1,1)不存在N8,0(u)所有

u

0因为

[u8,u9)=[1,1)不存在继续计计算1次基函函数。。因为为p为1,n=m-p-1=7.下表显显示了了结果果：基

函

数

范

围

方

程

N0,1(u)所有

u

0N1,1(u)[0,0.3)1-(10/3)u

N2,1(u)[0,0.3)(10/3)u

[0.3,0.5)2.5(1-2u)N3,1(u)[0.3,0.5)5u-1.5N4,1(u)[0.5,0.6)6-10u

N5,1(u)[0.5,0.6)10u-5[0.6,1)2.5(1-u)N6,1(u)[0.6,1)2.5u-1.5N7,1(u)所有

u

0计算所所有的的Ni,2(u)。因为为p=2,我们有有n=m-p-1=6。下表表包含含了所所有的的Ni,2(u):

基

函

数

范

围

方

程

N0,2(u)[0,0.3)(1-(10/3)u)2N1,2(u)[0,0.3)(20/3)(u-(8/3)u2)[0.3,0.5)2.5(1-2u)2

N2,2(u)[0,0.3)(20/3)u2

[0.3,0.5)-3.75+25u-35u2

N3,2(u)[0.3,0.5)(5u-1.5)2

[0.5,0.6)(6-10u)2

N4,2(u)[0.5,0.6)20(-2+7u-6u2)[0.6,1)5(1-u)2

N5,2(u)[0.5,0.6)12.5(2u-1)2

[0.6,1)2.5(-4+11.5u-7.5u2)N6,2(u)[0.6,1)2.5(9-30u+25u2)在节点点0.5(2)处，因因为它它的重重复度度是2且这些些基函函数的的次数数是2,基函数数N3,2(u)在0.5(2)处是C0连续的的。这这就是是为什什么N3,2(u)在0.5(2)处有个个尖锐锐的角角。对对不在在两个个端点点处的的节点点，例例如0.3,保持了了C1连续性性因为为它们们都是是简单单节点点。曲线与与曲面面基础础知识识\B_Spline_Grasshopper\b-Spline_BaseFunction02.gh1.Ni,p(u)是一个个在u上的p次多项项式2.非负性性--对所有有的i,p和u,Ni,p(u)是非负负的3.局部支支撑（（LocalSupport）--Ni,p(u)是在[ui,ui+p+1)上的非非零多多项式式。。4.在任一一区间间[ui,ui+1),最多有有p+1个p次的基基函数数非零零，即即:Ni-p,p(u),Ni-p+1,p(u),Ni-p+2,p(u),...,和Ni,p(u)5.单位分分解（（PartitionofUnity）--所有非非零的的p次基函函数在在区间间[ui,ui+1)上的和和（sum）是1。6.如果节节点数数是m+1,基函数数的次次数是是p,而p次基函函数的的数目目是n+1,，那么么m=n+p+1。7.基函数数Ni,p(u)是p次多项项式的的复合合曲线线，连连接点点在[ui,ui+p+1)上的节节点处处。8.在一个个有重重复度度k的节点点处，，基函函数Ni,p(u)是Cp-k连续的的。增增加加重复复度减减小连连续性性的层层次（（level），增增加次次数增增加连连续性性。上上述2次基函函数N0,2(u)在节点点2和3处是C1连续的的，因因为它它们是是简单单节点点。NURBS(Non-UniformRationalB-Splines):DefinitionNURBS曲线可可以由由任意意数量量的控控制点点来定定义（（就是是说，，任何何大于于3的数）），这这样反反过来来就意意味着着这整整个曲曲线是是由很很多相相连的的片段段所组组成的的。下下面的的图释释展示示了一一个有有10个控制制点的的D3曲线。。所有有独立立的片片段都都给予予了一一个不不同的的颜色色。你你可以以看到到，每每一个个片段段都有有一个个非常常简单单的形形状；；一个个你可可以看看作近近似于于一条条传统统的4点贝塞塞尔曲曲线的的形状状。片段与与片段段之间间的小小圆圈圈代表表着这这个曲曲线的的节点点向量量。这这条D3曲线拥拥有10个控制制点和和12个节点点（0~11）。这这并非非一个个巧合合，节节点的的数量量直接接取决决于点点的数数量和和度数数：K=P+(D-1)非均匀匀有理理B样条曲曲线(NURBS)，是一一种用用途广广泛的的样条条曲线线，它它不仅仅能够够用于于描述述自由由曲线线和曲曲面，，而且且还提提供了了包括括能精精确表表达圆锥曲曲线曲面在在内各各种几几何体体的统统一表表达式式。自自1983年，SDRC公司成成功地地将NURBS模型应应用在在它的的实体体造型型软件件中，，NURBS已经成成为计计算机机辅助助设计计及计计算机机辅助助制造造的几几何造造型基基础，，得到到了广广泛应应用。。NURBSaresimplyanotherfaceofB-splinecurves.ConsidercontrolpointsPwi=(wixi,wiyi,wizi,wi).Thispointhasfourcomponentsandcanbeconsideredasapointinthefour-dimensionalspace,and,consequently,C(u)belowbecomesaB-splinecurveinthefour-dimensionalspace:曲线的的连续续性（（Continuity）样条曲曲线是是由多多项式式曲线线段连连接而而成的的曲线线，在在具体体的应应用中中，要要求连连接线线段的的连接接处满满足特特定的的连续续性条条件，，来保保证曲曲线整整体的的光顺。组合参参数曲曲线在在连接接处具具有直直到n阶的连连续导导矢，，这类类光顺顺性称称之为为Cn或n阶参数数连续续性（（parametriccontinuity）；几何连连续性性（geometriccontinuity）是指指组合合曲线线在连连接处处满足足不同同于Cn的某一一组约约束条条件称称之为为具有有n阶的几几何连连续性性，简简称为为Gn。曲线的的连续续性（（Continuity）（1）0阶连续续两个相相邻线线段S1(t1)和S2(t2)在连接接处的的位置置连续续，即即S1(1)=S2(0)。记为为C0连续。。（2）1阶连续续相邻的