2018-2019学年河南省洛阳市九年级(上)期末数学试卷

第第页（共26页）D图斗易知AC=BD=AH-CH=—综上所述，当A、C、D三点共线时，BD的长为或门；7；（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的OO上运动，过点O作OH丄AB于H,直线OH交OO于C、C〃，线段CB的长即为PC的最大值，线段C〃H的长即为PC的最小值.易知PC的最大值=3,PC的最小值=.±-1.【点评】本题考查圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题.（10分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，-3）.（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH丄x轴于点H,与线段BC交于点M连接PC.求线段PM的最大值；当APCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标.

【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案.【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得"a-b+c=0“9a+3b+c=0，工二-3'a=l解得小二-殳，工二£这个二次函数的表达式y=x2-2x-3；（2）设BC的解析式为y=kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式，得3k+b=0b=-3解得r解得rk=l:b=-3BC的解析式为y=x-3,设M(n，n-3)，P(n，n2-2n-3)，PM=(n_3)-(n2-2n-3)=-n2+3n=-3g当"=可时，PM最天孑；②解法一：当PM=PC时，(-n2+3n)2=n2+(n2-2n-3+3)2,解得n1=n2=0（不符合题意，舍），n3=2,n2-2n-3=-3，P(2，-3).第第26页(共26页)第第26页(共26页)当PM=MC时，(-n2+3n)2=n2+(n-3+3)2,解得n1=0(不符合题意，舍)，n2=3~^2,n3=3+^2(不符合题意，舍)，n2-2n-3=2-^2,P(3-<2,2-412).综上所述：P(3-I2,2-4；2)或(2,-3).解法二：当PM=PC时，•：BC：y=x-3AZABC=45°TPH丄ABAZBMH=ZCMP=45°:,PM=PC时，ACPM为等腰直角三角形，CP〃x轴设P(n,n2-2n-3),则CP=nMP=-n2+3n：.n=-n2+3n解得n=0(舍去)或n=2,:.P(2,-3)当PM=CM时，设P(n,n2-2n-3),贝卩；'门？+□?=-n2+3n;；2n2=-n2+3nVn>0：.I2n=-n2+2n解得n=3-2：・P(3-2-4.P)综上所述：P(3-72,2-4：：2)或(2,-3).【点评】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是利用待定系数法求函数解析式，解(2)①的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质；解(2)②的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏.6.（3分）如图，双曲线y=■（k>