向量组的线性相关与线性无关

向量组的线性相关与线性无关线性组合设q,•••,々eRn,k,kkgR,称kq+ka+••-+ka为a,•••,々的一1 2t 1 2t 11 22 tt12t个线性组合。（k\1【备注11按分块矩阵的运算规则，ka+kaH bka=（a,a*2o这TOC\o"1-5"\h\z11 22 tt1 2t-匕样的表示是有好处的。线性表示\o"CurrentDocument"设a,a，---,<2eRn,b&Rn,如果存在k,k,k&R,使得1 2t 1 2tb=ka+ka+••-+ka11 22 tt则称Z?可由q，•••,々线性表示。1 2t（k\1kb=ka+ka+••-+ka,写成矩阵形式，即b=（a，…2。因此，/?可11 22 tt 12t•X〕1由aq,…q线性表示即线性方程组Gs,•••,々）*2=力有解，而该方程组有解1 2t 12t•当且仅当r{a,a,•••,々）=r（a,a,•••,々，/?）。TOC\o"1-5"\h\z1 2t 1 2t向量组等价设q,•••,々，Z?,Z?,•••，eRn,如果Q,a,•••,々中每一个向量都可以由12t1 2s 1 2tb,b,•••,/?线性表7K,则称向量组ci,6/,•••,々可以由向量组，,•••,/?线性表7Ko12s 1 2t 12s如果向量组6Z,6Z,•••,々和向量组，…，可以相互线性表示，则称这两个向1 2t 12s量组是等价的。向量组等价的性质：

自反性任何一个向量组都与自身等价。⑵对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。⑶传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III等价。证明：自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。设向量组I为a,a,…,a，向量组II为b,b,…,b，向量组III为c,c,…,c。1 2r 1 2s 1 2t向量组II可由III线性表示，假设b=Eyc，j=1,2,…,s。向量组I可由向k=1i=1,2,…,r。因此，i=1,2,…,r。因此，c=Z(c=Z(Zyx)c，i=1,2,…,rkjk kjjikk=1j=1a=lLxb=lLxZy

ijjj/

j=1 j=1k=1因此，向量组I可由向量组III线性表示。向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述办法再做一次，同样可得出，向量组III可由I线性表示。因此，向量组I与III等价。结论成立！线性相关与线性无关设a,a,…,aeRn，如果存在不全为零的数k,k,…,keR，使得1 2t 1 2tka+ka+•••+ka=011 22 tt则称a,a,•••,a线性相关，否则，称a,a,•••,a线性无关。12t 12t按照线性表示的矩阵记法，a,a,•••,a线性相关即齐次线性方程组12t[k

k2a,a,•••,a线性无关，即12t有非零解，当且仅当r(a「a2,•••,a)<a,a,•••,a线性无关，即12t(a,a,•••,a)只有零解，当且仅当r(a,a,•••,a)=t。TOC\o"1-5"\h\z1 2t特别的，若t=n，则a,a,•••,aeRn线性无关当且仅当r(a,a,•••,a)=n，1 2n 1 2n当且仅当(a,a,•••,a)可逆，当且仅当|(a,a,•••,a)丰0。1 2n 1 1 2n例1.单独一个向量aeRn线性相关即a=0，线性无关即a主0。因为，若a线性相关，则。存在数k丰0，使得ka=0，于是a=0。而若a=0，由于1•a=a=0，1丰0因此，a线性相关。例2.两个向量a,beRn线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若a,b线性相关，则存在不全为零的数k,k，使得ka+kb=0。k,k不全为零，不妨12 1 2 12彳假设k主0，贝Ua=-土b，1 k1假设存在人，使得a=Xb彳假设k主0，贝Ua=-土b，1 k1假设存在人，使得a=Xb，则a-人b=0，于是a,b线性相关。)r0)r0)0,1,0〔0J0puj1pj例3.线性无关，且任意x=xx2顷3eR3都可以由其线性表示，且表示方法唯一。事实上，x「xr1)r0)r0、=x0+x1+x02123xJ30pj0pjp1jx=线性相关与无关的性质(1)若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。证明:设a,a,•••,aeRn，其中有一个为零，不妨假设a=0，则1 2t tQ-a1+0-a2+•••+0-a1+1-0=0因此，a,a,•••,a线性相关。12t

若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。证明：设a,a,…,a,P,P,…,PeRn，a,a,…,a线性相关。存在不全为零的数1 2t1 2 s 1 2tk,k,…,k，使得12tka+ka+…+ka=011 22 tt这样，ka+ka+•••+ka+0-P+0-P+•••+0-P=011 22 tt 1 2 sk,k,•••,k不全为零，因此，a,a,•••,a,P,P,•••,P线性相关。1 2t 1 2t1 2 s后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。证明：设a,a,•••,aeRn为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量12t最后一个分量之后，成为［最后一个分量之后，成为［*"b)b,b,•••,b是同维的列向量。令12t(ka+ka+ +ka)=11 22tt=0Ikb+kb+…+kbJ11 22 tt则ka+ka+...+ka=0。由向量组a,a,•••,a线性相关，可以得到TOC\o"1-5"\h\z11 22 tt 1 2tk=k=...=k=0。结论得证！向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。证明：设a,a,•••,aeRn为一组向量。1 2t必要性若a,a,•••,a线性相关，则存在一组不全为零的数k,k,•••,k，使得12t 12tka+ka+…+ka=011 22 ttk,k,•••,k不全为零，设k主0，贝Q1 2t jkaH Fka+kaH FkaTOC\o"1-5"\h\za=—―1~1 ^=1~^=1j+1~j+1 1_t~j充分性若a,a，…,a中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设a1 2t j可以表示成a,…,a,a，…,a的线性组合，则存在一组数k,…,k,k,…,k，i j—ij+i t i j—ij+i t使得a=ka+…ka+ka+•••+kaj11 j—1j—1 j+1j+1 tt也就是ka+…ka一a+ka+…+ka=011 j—1j—1jj+1j+1 tt但k,•••,k,—1,k,•••,k不全为零，因此，a,a，…,a线性无关。1 j—1 j+1t 12t【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。(5)若a,a,•••,a(=Rn线性无关，beRn，使得a,a,•••,a,b线性相关，则b可由1 2t 1 2ta1,%,•••,at线性表示，且表示方法唯一。证明：a,a,•••,a,b线性相关，因此，存在不全为零的数k,k,•••,k,k，使得1 2t 1 2tt+1ka+ka+•••+ka+kb=011 22 ttt+1k。0，否则k=0，则ka+ka+•••+ka=0。由a,a,•••,a线性无关，我们t+1 t+1 1122 tt 12t就得到k=k=•••=k=0，这样，k,k，…,k,k均为零，与其不全为零矛盾！1 2 t 1 2tt+1这样，7ka+ka+…+ka

b=— 1kt+1因此，b可由a,a，…，a线性表示。12t彳假设b=xa+xa+…+xa=ya+ya+…+ya，贝。11 22 tt11 22 tt(x—y)a+(x—y)a+•••+(x—y)a=01 1 1 2 2 2 ttt由a,a,•••,a线性无关，有x—y=x—y=...=x—y=0，即12t 1 1 2 2 tt

x-y,x-y,…,x-y1 12 2tt因此，表示法唯一。【备注3】刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组a「…,彳线性表示，则表示法唯一。事实上，向量b可由线性无关向量组a1，…,a,线性表示，即线性方程组(a,…,a)x-b有解。而a,…,a线性无关，即r(a,…,a)-1。因此，TOC\o"1-5"\h\z1t 1t 1t若有解，当然解唯一，即表示法唯一。(6)若线性无关向量组a,a,…,a可由向量组b,b,…,b线性表示，则t<s。1 2t 1 2s证明:假设结论不成立，于是t>s。a,a,…,a可由b,b,…,b线性表示。假设t 1 2s「11'xa-xb+xbH b1 111 212a-xb+xbH b1 111 212-(b,b,…，b)12sa—xb+xbb b2 121 222-(b1，b2,…，bkXs1^'J'X22a—xb+xbb bxb—(b,b,…,b)t1t1 2t2"1X2tst2s任取k,k,…,k，则1 2tka+kab ka+kab bka—(a,a,…,a)11 22 tt1 2trk1rxxx1rk1111121t1kxxxk・2-(b,b,…,b)2122•••・2t2••1 2s•・••••::.k/〔xxx/.k/s2s1tstt由于(X11X21X12X22X1「X由于(X11X21X12X22X1「X21为一个sxt阶矩阵，而t>s，因此，方程组kXls1(X11X21x12X22X「X21必有非零解，设为kXls1，于是ka+ka11 22+...+kaf=0。因此，存在一组不全为kkJ零的数k,k,...,k，使得ka+ka+..・+ka=0。因此，向量组a,a,…,a线性相1 2t 11 22 tt 1 2t关，这与向量组a,a,...,a线性无关矛盾！因此，t<s。12t⑺若两线性无关向量组a,a,...,a和b,b,…,b可以相互线性表示，则t=s。1 2t1 2s证明:由性质(6)，t<s，s<t，因此，s=t。【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。a,a,...,a线性无关当且仅当12t⑻设a,a,…,aeRn，Pa,a,...,a线性无关当且仅当12t1 2tPa,Pa,…,Pa线性无关。1 2 tb可由a1,aPa,Pa,…,Pa线性无关。1 2 tPa,Pa,Pa,…，Pa线性表示。若可以线性表示，表示的系数不变。证明:ka+kaka+kaH—bka11 22=0oP(ka+kaH—Hka)=0tt 11 22 ttok(Pa)+k(Pa)H—Hk(Pa)=011 22 ttka=boP(ka+kaH—bka)=b

tt 11 22 ttok(Pa)+k(Pa)H—Hk(Pa)=Pb11 22 tt如此，结论得证!极大线性无关组定义1设a,a,…,ae死，如果存在部分向量组a,a,…,a，使得12f L匕ir⑴a,a,…,a线性无关;ii⑵a,a,…,a中每一个向量都可以由a,a,…,a线性表示;TOC\o"1-5"\h\z12f «i2 ir则称a,a,…,a为a,a,…,a的极大线性无关组。i'1‘2 i12f【备注5】设a,a,…,aeRn，a,a,…,a为其极大线性无关组。按照定义，12f ‘‘2 ira,a,…,a可由a,a,…,a线性表示。但另一方面，a,a,…,a也显然可以由12f ii i ii i12 r 12 ra,a,…,a线性表示。因此，a,a,…,a与a,a,…,a等价。也就是说，任何一12f 12f ‘1‘2 ir个向量组都与其极大线性无关组等价。向量组的极大线性无关组可能不止一个，但都与原向量组等价，按照向量组等价的传递性，它们彼此之间是等价的，即可以相互线性表示。它们又都是线性无关的，因此，由之前的性质（7），向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数。这是一个固定的参数，由向量组本身所决定，与其极大线性无关组的选取无关，我们称其为向量组的秩，即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数。【备注6】按照定义，向量组a,a,…,a线性无关，充分必要条件即其秩为f。12f定义2设a,a,…,aeRn，如果其中有r个线性无关的向量a,a,…,a，但没有12 f ‘1‘2 ‘r更多的线性无关向量，则称a,a,…,a为a,a,…,a的极大线性无关组，而r为‘1‘2 ‘r 12fa,a,…,a的秩。12f【备注7】定义2生动地体现了极大线性无关组的意义。一方面，有r个线性无关的向量，体现了“无关性”，另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现了“极大性”。【备注8】两个定义之间是等价的。一方面，如果a,a,…,a线性无关，且TOC\o"1-5"\h\z‘1‘2 ‘ra,a,…,a中每一个向量都可以由a,a,…,a线性表示，那么，a,a,…,a就没12f ‘1‘2 ‘r 12f有更多的线性无关向量，否则，假设有，设为久b,…,b，s>r。b,b,…,b当然1 2s 1 2s可以由a,a,…,a线性表示，且还线性无关，按照性质(6),s<r，这与假设矛ii2 i盾！另一方面，假设a,a,...,a为a,a,...,a中r个线性无关向量，但没有更多i i12七的线性无关向量，任取a,a,...,a中一个向量，记为b，则a,a,…,a,b线性相1 2 f «Z2关。按照性质(5)，b可有a,a,...,a线性表示(且表示方法唯一)。iii【备注9】设向量组a,a,...,a的秩为r，则其极大线性无关向量组含有r个向量。1 2t反过来，其中任何r个线性无关向量所成的向量组也是a,a,…,a的一个极大线12 t性无关组。这从定义即可得到。6.向量组的秩的矩阵的秩的关系称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A的行秩。定理1任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩。证明：设A=(a)eRmxn，r(A)=r。将其按列分块为A=(a,a,…,a)。存在m阶ij 1 2n可逆矩阵P，使得PA为行最简形，不妨设为(100bb1,r+11,n10bb•••2,r+1••• 2,n•••••.••••••••••1bbr,r+1r,n00000•••••••••v0•••0•••0••••••0•••0••••••PA=(Pa,Pa2,...,Pa)=线性无关，且PA中其余列向量都可以由其线性表示，因此,

为PA为PA的极大线性无关组，其个数为因此，a,a,…,a线性无1 2r关，且A中其余列向量均可由其线性表示(且表示的系数不变)。因此，A的列秩等于A的秩。 W1 将A按行分块，A=:，则Ar=(b「b2,…,b)，因此，按照前面的结论，AV” 1彻*m'的行秩为Ar的秩，而Ar的秩等于A的秩。至此，结论证明完毕!【备注10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。扩充定理定理2设a,a,…,aeRn，秩为r，a,a,…,a为其中的k个线性无关的向量，1 2 ， «匕ikk<r，则能在其中加入a,a,…,a中的(r-k)个向量，使新向量组为a,a,…,a的TOC\o"1-5"\h\z1 2t 1 2t极大线性无关组。证明：如果k=r，则a,a,…,a已经是a,a,…,a的一个极大线性无关组，无须再«i2 ik 12 t添加向量。如果k<r，则a,a,…,a不是a,a,…,a的一个极大线性无关组，于是，«i2 ik 12 ta,a,…,a必有元素不能由其线性表示，设为a，由性质(5)，向量组12 t ik+1a,a,…,a,a线性无关。«i2 ikL+1如果k+1=r，则a,a,…,a,a已经是a,a,…,a的一个极大线性无关组，ii2 ikik+1 12 t无须再添加向量。如果k+1<r，则a,a,..,.a,a不是a,a,...,a的一个极大线性无关组，于ii ikik+ 12t是，a,a,...,a必有元素不能由其线性表示，设为a，由性质(5)，向量组1 2 t ik+2

a,a,...,a,a,a线性无关。i'1i2 iik+1七2同样的过程一直进行下去，直到得到r个线性无关的向量为止。【备注11】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是，这方法并不好实现。求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示求向量组a,a,…agRn的极大线性无关组，可以按照下面的办法来实现。1 2 ?⑴将a,a,•-a合在一起写成一个矩阵A=(a,a,…a)；1 2t 1 2t(2)将A通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为(b110b12b22(b110b12b22b1rb2rbr+1br+1b1，nb2,nbrr0br,n0=B，b壬0,i=1,2,…,r，r=r(A)⑶在上半部分找出r个线性无关的列向量，设为j,j,…,j列，则j,j,…,j为