声学习题总答案(南京大学)

声学习题总答案(南京大学)习题11-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f,质量为m,求它的弹性系数。解：由公式fo12KmMm2得：Km(2f)m1-2设有一质量Mm用长为1的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：(1)当这一质点被拉离平衡位置时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？(2)当外力去掉后，质点Mm在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？(答：fO12gl,g为重力加速度)图习题1—2解：(1)如右图所示，对Mm作受力分析：它受重力Mmg,方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T,这两力的合力F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为，则sin受力分析可得：FMmgsinMmg11(2)外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知：FMmddt22ddt22则MmMmg1即ddt22gl0, 02gl即fO这就是小球产生的振动频率。1-3有一长为1的细绳，以张力T固定在两端，设在位置x0处，挂着一质量Mm,如图所示，试问：(D当质量被垂直拉离平衡位置时，它力由何产生？并应怎样表示？(2)当外力去掉后，质量Mm在此恢复力的振动频率应如何表示？(3)当质量置于哪一位置时，振动频率最低？解：首先对Mm进行受力分析，见右图，FxT1x0(lx0)2所受到的恢复平衡的图习题1-3作用下产生振动，它TxOx220(xO, x02 2x02,(1x0)2 2(1x0)2o)FyT(1xO)22Tx22T1xOT1xO(lxO)可见质量Mm受力可等效为一个质点振动系统，质量MMm,弹性系数kTlxO(lxO)TlxO(lxO)o(1)恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为FKMTlxO(lxO)M12m,方向为竖直向下。(2)振动频率为O(3)对分析可得，当xO时，系统的振动频率最低。1-4设有一长为1的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的xO位置处悬有一质量为M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子向下产生静位移。以保持力的平衡，并假定M离平衡位置0的振动位移很小，满足0条件。图习题1-42Tcos Mg4 0解：如右图所示，受力分析可得cos0Mg1112又0,rT,可得振动方程为2T012Mddt22即Mddt24T14T101-5有一质点振动系统，已知其初位移为0,初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。解：设振动位移 acos(0t),速度表达式为v0asin(0t)。由于t00,vt00,代入上面两式计算可得:OcosOt；v0Osin0to振动能量E12Mmva212Mm0a22o1-6有一质点振动系统，已知其初位移为0,初速度为v0,试求其振动位移、速度、和能量。解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为Km,质量为Mm,取正方向沿x轴，位移为。则质点自由振动方程为ddt220 0,(其中022KmMm,)解得acos(Ot0),vddt0asin(Ot0 ) 0acos(Ot0)acos当OaOOt0 0,vt0vO时， vO-J%《:+V；0acos(02)varctanO00质点振动位移为OtarctanvO)Jo"：+£00质点振动速度为VvOOtarctan)002质点振动的能量为Ev22Mmv2a2Mm(000)1-7假定•质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、 sint12sin2t,试问：(1)在什么时候位移最大？(2)在什么时候速度最大？解：sint12sin2tddtcostcos2td222dt2sint2sin2to令ddt0,得：t2k或t2k,经检验后得：t2k3时，位移最大。2令d0,得：tk或t2karccos(Idt24),经检验后得：t2k时，速度最大。1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示Icos(t1)2cos(t2)试证明acos(t)其中22aarctanIcos11 2212cos(Isin12sin222cos1),证明:lcos(1)2cos(t2)不同振幅振动的叠加Icostcos11cost(1cols2sitnsin12tcos2cos2tsinsinco2s)tsin(sin112sin)Icos12cos2,B(Isin12sin2)AcostyjA2+B2Bsin tt )(其中 arctan(又A2B212cos2122cos22212coslcos2 12sin2 122sin 2BA))212sinlsi2n12 22212(coslcos2sinIsin2)a)rctlAB12 22212cos(2 1)又arctaa)rctlABsin12sin2lcos12cos2)令JR；&cos(R-中)a(t)则acos1-9假设一质点振动系统的位移由下式表示Icoswlt2cosw2t(w2wl)试证明acos(wlt),其中a1 2212cos(wt), arctan222sin(wt)12cos(wt),wwlw2.解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知,a1 2212cos(w2twit)221 2212cos(wt)22其中，ww2wlo由三角形面积知，122sinwt12asin得sin2sinwta得tg2sinwta2sin22wt2sinwt(12coswt)22sinwt12coswt2sinwt故即可证。1-10有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m,并测得由此而引起的弹簧伸长U,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.证由胡克定理得mg=Km€1Km=mg/H由质点振动系统固有频率的表达式f012KmMm得，MmKm42fO2mg42fO12纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.1-11有一质点振动系统，其固有频率fO为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m,并测得由此而引起的系统固有频率变为fO',于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。解：由fO12KmMm得Km(2fO)2Mm由fOKmmm得Km(2fO)2(Mmm,)22联立两式，求得MmmfOfO2fO,Km4mffO2220fO2fO1-12设有如图1-2-3和图卜2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。图1-2-3S1-2-4解：串接时，动力学方程为M2dm2dt2KlmK2mKlmK2m0,等效弹性系数为KKlmK2mKlmK2mo并接时，动力学方程为Mmddt2(KimK2m)0,等效弹性系数为KKimK2m。1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0〜100mm可称0〜1kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg,然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s,试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？解：设该岩石的实际质量为M,地球表面的重力加速度为g9.8ms2,月球表面的重力加速度为Kx,又FMMgKx,又FMMg则KTxxMgxgO.110g0210.45PJM10g4109.842.5kg又贝Ijx0.04mKMx4 0.041.58ms22MgKx则g故月球表面的重力加速度约为1.58ms2,而该岩石的实际质量约为2.5kg。1-14试求证acostacos(t)acos(t2)acos(t(n1))sinnacos t(n1)2 sin2证aejtaejtj(t)aej(t2)aej(t(n1))ae(le)aejt1elejnjaejtjsincosnjsinn1cosjsinsinnjcosjcossinasinnn2sinaejt2n2jsinnaejsinj(sinsinsinnn2sinsinaejt22sin22n12nsine2en)221)22j(aeJtsinej2n12ej(t2)同时取上式的实部，结论即可得证。1-15有一弹簧Km在它上面加一重物Mm,构成一振动系统，其固有频率为fO,(1)假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接?(2)假设重物要加重一倍，而要求固有频率fO不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？解：固有频率fofO212KmMmoKm4(1)fOKm,故应该另外串接三根相同的弹簧；MmMm(2) 2fOfOKm2Km,故应该另外并接一根相同的弹簧。1-16有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为Mm,弹性系数为Km。试求该扬声器的固有频率。解：该扬声器的固有频率为fO。1-17原先有一个0.5kg的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2kg的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m,当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5kg质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：(1)这一系统的力学参数Km,Rm,fO'；(2)当0.2kg的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；(3)在经过1s后，系统具有的平均能量。解：(1)由胡克定理知，Km=mg/e所以Km=0.2X9.8/0.04=49N/me1/e 1故Rm2MmRmINs/mwO'wO2fO21122490.5111.57Hz2(2)系统所具有的能量E(3)平均能量E12Km0e2Km490.0430.0392J 2t5.3110J1T8试求当力学品质因素Qm0.5时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻 0,vv0,试讨论解的结果。解：系统的振动方程为：m2dt2RmddtKm0进一步可转化为，设Rm2Mmddt222ddt02设：e于是方程可化为：it2j0)e2jt0解得：j(2 02)e( 0)t222方程一般解可写成：e存在初始条件：t(Ae0t2BeOt220,vt0vO代入方程计算得:A2vO220,B2Ot22vO220解的结果为： eOt)其中A2vO220,B2vO2201-19有一质点振动系统，其固有频率为fl,如果已知外力的频率为f2,试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为已知f050Hz,f300Hz则(KM)M,质量抗为MM1M2KMMM0224f04f2222(50)(300)1-20有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg,弹性系数为150N/m的弹簧上，试问：(1)这系统的固有频率为多少？(2)如果系统中引入5kg/s的力阻，则系统的固有频率变为多少？(3)当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为成大？(4)相应的速度与加速度共振频率为多少？解：(1)考虑弹簧的质量，f012MmKmMs/3121500.40.3/32.76Hz.(2)考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量Mm'为Mm+Ms/3.Rm2M'm520.55,f0'120 22121500.40.3/3522.64Hz.(3)品质因素QmOMRm'm16.580.551.66,位移共振频率：frf0'12Qm22.39Hz.(4)速度共振频率：frf0*2.64Hz,加速度共振频率：frQmfO'12Qm22.92Hz.1-21有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于2Qmo解：系统每个周期损耗的能量EWFT12RmvaT21E2IE2RmvaTMmva22RmfMm,发生速度共振时，ffOoEERmfOMm2OMRmm2Qmo1-22试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率fO；（2）假定fl与f2为在fO两侧，其平均损耗功率比fO下降一半时所对应的两个频率，则有Qmf0f2fl.证明：（1）平均损耗功率为WRITTOWRdt12Rmva2（Rm为力阻，va为速度振幅）质点强迫振动时的速度振幅为va0ffO（Fa为外力振幅，0为固有频率，Mm为质量，Qm为力学品质因素，频率比z）当z=l即ffO时，发生速度共振，va取最大值，产生最大的平均损耗功率。（2）WRW12Rmva1222amaxRmaxRmv1212RmFaQm22OM122m22WR=W21Rmax则Rmv2a2RmM202m）即2vaFaQm22M202mJz2+(z2-IYQ20my ，弓rw把va2,则z(zl)Qm(2)带入式(1)222由式(2)得z(zl)Qm解得z14Qm2Qm14Qm2QmIQm22取zl14Qm2Qm2z(zDQm解得z4Qm2Qm2则z2zlIQm即f2f0f0flfOf2flfOQmf2fl1-23有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m的弹簧上，设系统的力阻为2N•s/m,作用在重物上的外力为FF5cos8tN。(1)试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；(2)假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5N,那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？解：(1)由强迫振动方程Mmddtddt2RmddtKmFF,得0.42ddt1605cos8t则位移振幅aFa(KmwM2m)wRm2220.0369m速度振幅vawa0.296m/s加速度振幅aaw2a2.364m/s2平均损耗功率P12Rmva20.0876(w))2(2)速度共振时frf0'0.126m则位移振幅a12FaKmRm(Rm2Mm3.158Hz(KmwM2m)wRm2220.126m速度振幅vawa2.495m/s加速度振幅aaw2a49.6m/s2平均损耗功率P12Rmva26.225(w)1-24试求出图1-47所示单振子系统，在t0,v0初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论 。与当 0时解的结果。解：对于强迫振动，解的形式为:0et0两种情形下，cos(0t0)acos(t)其中aFaZm,0 2.初始条件： 0,v0,代入得：Ocos0 acos0Ocos0 0Osin0asin0解得:0aO'(cos)(sin)2cossin0(cos)Ocos(cos)(sin)2cossin(cos)2222'202'222,220arccos222,22令Ocos0 0Osin0asin0解得:0aO'(cos)(sin)2cossin0(cos)Ocos(cos)(sin)2cossin(cos)2222'202'222,220arccos222,22令G(cos)(sin)2cossin0(cos)得:a0Getcos(Ot0)acos(t)o0时，Rm0, 0arctanXmRm,0a,2)acos(t)acos(Ota(sinOtcost)o当时，a,达到位移共振。sin幅。1-25有一单振子系统，设在其质量块上受到外力sin幅。解：此单振子系统的强迫振动方程为Mm2Ot的作用，试求其稳态振动的位移振ddt22Rmd1121KmFF(t)sin(Ot)cosOtdt2221则Mmddt22ddtddt2RmddtKm2(1)MmRmKm121cosOt(2)2KmIKm) 0J令Fejt代入式(2)得F0Rmj(OMm则F112ORm2Km220Rm(OMm)0A12Km12ORm1-26试求如图所示振动系统，质量块M的稳态位移表示式.K1,R1MFaejwt解：对质量块进行受力分析，可得质量块M的运动方程为：(RR)(KK)FejwtM1212a该方程式稳态解的一般形式为 aejwt,将其代入上式可得:aFajw[(RlR2)j(MKIK2Ia|e)]j(20)其中Ia|2FaMKIK22KIK2, 0arctan(RIR2)RIR2故质量块的稳态位移表示式可以写为:a|cos(wt2 0).1-27设有如图所示的耦合振动系统，有一外力FlFaejt作用于质量Ml上。Ml的振动通过耦合弹簧K12引起M2也随之振动，设Ml和M2的振动位移与振动速度分别图1-4T为1,vl与2,vl。试分别写出Ml和M2的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时vlZ2Z12Z1Z2(Z1Z2)Z12Fl与v2Z12Z1Z2(Z1Z2)Z12Fl„其中Z1j(MlKI)RI,Z2j(M2)R2,Z12jK12o图习题1-27解：对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程:Mldldt22RIdldtKI1K12(1 2)F1Md2dt2R2d2dtK22K12(2设：1AevlViejt, 2Bejtjt,v2V2ejt于是方程可化为：A(Ml2jRIKIK12)B(M22jR2K2K12)设：Z1j(Ml1)0BK12FaAK120)RI,Z2j(MK2)R2,Z12jK122对上面的两个方程整理并求解可得vlZ2Z12Z1Z2(Z1Z2)Z12Z12Z1Z2(Z1Z2)Z12Flv2Fl1-28有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为:FaApapa为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，其中A为常数，如果传声器采用电动换能方式(动圈式)，并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：压差式传声器产生的作用力振幅为FaApa,其中A,pa为常数，则Fa随变化。电动换能方式传声器，其开路电压输出为EBlv,要使E均匀恒定，则要v恒定系统处在质量控制区时vaFaAPaMmMm,此时va与频率无关，故在一较宽的频率范围内，传声器将产生均匀的开路电压输出。1-29对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式（电容式），其他要求与上题相同，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：传声器开路输出电压E与振膜位移有如下关系：EEOD只有在力阻控制区，FaApaRmRm即在此控制区，输出电压E与频率无关。传声器的振动系统应工作在力阻控制区。1-30有一小型动圈扬声器，如果在面积为S0的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下，振膜的辐射阻变为Rr OCOSO（参见§5.5）。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为W12Rrva2=0C0S0va221其中0,CO,SO均为常数，要使W均匀，则va2应不受的W影响。故振动系统应工作在力阻控制区，此时vaFaRm（其中Fa为频率恒定的外力，Rm也恒定）。1-31有一如图所示的供测试用动圈式振动台，台面Mm由弹簧Km支撑着，范围内，在音圈上施加对频率恒定的电产生均匀的加速度，试问其振动系统应制状态？为什么？解：音圈通以I电流时，在磁场下FBI,由LFM现欲在较宽的频率流时，能使台面Mm工作在何种振动控图习题1-31产生电动力FaMa可见，只有在质量控制区am时，产生的加速度与频率无关，是均匀的。已知台面的质量Mm=l.5两只相同的弹簧串联而产生的位移3cm,试求该位移振幅为1mm、频率为『32有•试验装置的隔振台，如图所示，X103kg,台面由四组相同的弹簧支撑，每组由成。已知每只弹簧在承受最大负荷为600kg时，隔振系统的固有频率，并问当外界基础振动的20Hz时，隔振台Mm将产生多大的位移振幅？解：每只弹簧的劲度系数K=600X每组弹簧的总劲度Kl=K/2四组弹簧并联后的劲度K2=4Kl=2K=3.92X105N/m9.8/0.03=1.96X105N/m则固有频率fO12K2M2.57HzK()0,将ejwt,'ejwt代入得，由振动方程MmmOaOaKwM20.0168mm1-33设有如图所示的主动隔声系统，有一外力F0二FlOej3t作用于质量块Mm上，试求传递在基础上力F与F0的振幅比.解：对质量块进行受力分析，可得质量块Mm的振动方程为:RKFejwtMmmmlO其稳态解的一般形式为 acos(t).F10F10MKm其中IZml,arctanmKmRm2MRmm弹簧传递给基础的作用力为FKmKmacos(t),则FaaKm.由此传递给基础的力F与F0的振幅比DFFaFlOKm2RmMKm1-34有一振动物体产生频率为f,加速度振幅为alO的振动，现用一动圈式加速度计去测量。假定已知加速度计振动系统的固有频率为fO,力学品质因素为Qm,音圈导线总长为1,磁隙中的磁通量密度为B。试求该加速度计的开路输出电压将为多少？解：动圈式加速度计测量由QmOMmRm得RmOMmQm由fO得Km42fo2Mm则EaBlMmalOZm=BlalOMm1Rm(Mm)1=BlalO22Km222RmMm2KmMm2BlalO14442f0216fO22228fO22Qm1-35设有•调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成FFFa(lhsinlt)sint,其中h为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。解：外力表达式为FFFa(lhsinlt)sintFacos(t用指数形式表示外力为FFFae2))12Fah[cos(1 )tcos(1 )t]j(t12Fahej(l)t12Fahej(Dt振子进行强迫振动，由式(1-5-14)得，振子系统的位移为1FaZ1cos(t21)2cos[(l)t0DZ322cos[(l)t0 2](DZ221hFaM其中：1arctanmKmRm(DMmKm2arctan1Rm(DM3arctan1RmZ1Rm(M2mKm);2Z2Rm[( 1)M2mKm1Km];Z3Rm[(DM2m1]o2tT21-36设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量匕此力可表示为FFFa(l(kTt(1k)T,k0,1,2,)试求振动系统的位移。解：质点的振动方程为Mmddt)22RmddtKmFF(t)Fa(l2tT)(1)又FF(t)AOAncosntBnsinnt,()(2)其中AOAnBn2T2TITTOF(t)dtFTOTOFF(t)cosntdtOFF(t)sinntdt2Fan式(2)也可表示为FF(t)其中JA：+B：Fnn0Fncos(ntn),narctan2F把式(3)表示成为复数形式FF(t)ddt22Fenn0j(ntn)则式(1)可写成MmRmddtKmFenn0设n,代入式(4)可得n0nn0n0FnjnZnejn(tn)其中ZnRnjXnRmj(nMmKmn)n2)取的实部得n0FnnZn2n0nZncos(ntnnn2)式中c-ir~J/?*+ _yyI" EVZnnarctnRmXKnMmmarRm1-37设有如下形式的外力Fa,Fa,1kTtkT2(k12)Tt(k1)TFF(k0,1,2,)作用于单振子的质量上，试求振动系统位移.解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得FF(t)nOncos(ntn)其中FnAnBn1T2TT22,narctanBnAn.AOAnOTFF(t)dt0,FF(t)cosnwtdt00,n为奇数n为偶数Bn2TT04FanFF(t)sinnwtdt[1(1)]nn02Fa.由此FnBn,nFl42(n为奇数)43,即45Fa,,Fn4nFa；Fa,F3Fa,F51 2,3 2a,5 2,,n 2(n为奇数).由(1-5-14)得质点振动系统得位移nOFnnZncos(nwtnn2)4FaZ3cos(3wt3 )4FanZn2cos(nwtZlcos(wt1 )4Fa9Z3cos(3wt3 )4FanZn2cos(nwtn )(n为奇数)习题22-1有一质量为m,长为1的细弦以F的张力张紧，试问：（1）当弦作自由振动时其基频为多少？（2）设弦中点位置基频的位移振幅是B,求基频振动的总能量。（3）距细弦一端14处的速度振幅为多少？解：（1）简正频率fn,且线密度ml基频fl16T0122(2)基频振动的总能量El16TB122(3)弦的位移的总和形式(t,x)(t,x)tBn1sinknxcos(ntn)速度表达式为v(t,x)(Bn1nnsinknx)sin(ntn)距一端0.25m处的速度振幅Vax14n1Bn2n21Tsin(n1ugufu诉i(UTSICu1【ZuZugIuXZA邛I叫suuguTmlsin2-2长为1的弦两端固定，在距一端为xO处拉开弦以产生0的静位移，然后释放。(1)求解弦的振动位移；(2)以xO13为例，比较前三个振动方式的能量。解：弦的振动位移形式为：(t,x)sinn1knx(CncosntDnsinnt)ncl其中knn1,n,CnBncosn,DnBnsinn0xx(1)由初始条件可得：(t0) 00(1x)1xOv(t0)(t)t00(0x1)(0xxO)(xOx1)CO(x)sinknxdxnlO又21vO(x)sinknxdxDn01n2xO则CnOxsinknxdxOxO]xO2Oln(1x)sinknxdx22sinx01xOlnxO(lxO)0Dn0贝ijsinn0BnCnnn(t,x)Cn1n2xcos(ntn)nn1201222x0(lxO)sinn1xOsin2xlcosnclt(2)En1nc41nnT4122Bn2当xO1时，BnCn32Oln22213(113sin)n1139Onsinn3则El2T9041(2sin3)2243T016122E2243T064122E302-3长为1的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。解：弦的振动位移表达式为(t,x)sinn1knx(CncosntDnsinnt)可得速度表达式为v(t,x)(t,x)tsinn1knx(nCnsinntnDncosnt)由题可得初始条件:2v 0lx,0x1t00；2tt02v2v100lx,2x1通过傅立叶变换可得：D4v0klnkl33(sinkl2sinn2)o位移表达式为(t,x)Dnsinknxsinntn1其中D4v0nkl33(sinkl2sinkin2)o2-4长为1的弦两端固定，在初始时刻以速度vO敲击弦的中心，试证明外力传给能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。解：初始条件 1x2vtOt0弦的总位移为(t,x)sinknx(CncosntDnsinnt),n1其中Cn"cnBncosn,DnBnsinn,(n1,knnc)又D2n1lsink22v01nxdx=Osinknxdx(1cosn)0n10vn2cCn0当n为偶数时，D2D4D60当n为奇数时，D4v0114v011 2c,D4v013192c,D5252c故BnDn,n0又弦振动时的总能量为ETn2n2B2)=4Tv01Inn1n1412c2(11925)4Tv2222=01TvlTvOl12c2(8)=02c2=2T=2v20(l)弦的初动=mvO2=Ek(c22IT)外力传给弦的初始动能为Ek=mv02122-5设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远(即认为没有反射波回来)，假设在离固定端距离1处，施加一垂直于弦的力FFaejt,试求在x1力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。提示：在弦的力作用点处，应有连接条件：2和TxTxFo2-6有长为1,线密度为的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂-重物M,已知弦所受的张力T,如图所示。试求(1)该弦作自由振动时的频率方程：(2)假设此重物M比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。图2—6解：(1)由题意可知其初始条件和边界x002条件为 MTx12xtx1弦(t,x)(AcosucxBsinucx)cos(ut)(其中un2nfn)ucxcos(ut)的振动位移为当X00时，得A。则(t,x)Bsin带入边界条件可得： TBUCUCUBusixsinut( )2u2Busixcosut( )cBuucoxcosut( )cc2XcosucIcos(ut ) MBusinucIcos(ut )即taiucltanucTMcululTIMcMcuc1MMMSlr（其中c令rucl,MMS弦的质量为Ms,线密度为）,则rtanr,这就是弦作自由振动时的频率方程。(2)当Mm«m时«1,故可近似为tan33则rtanr 可简化为243.求解这一代数方程，可得近似关系为21311xXXX23(x21)且«1113则r2113MMS1IMsMsIMM3s3M又ruc1，cIMMs1TIMM3s则fO12clMsM3s12MsTIMsMsIMM3s12KmMM3s(其中KmT12-7长为1的棒一端固定一端自由，如果在初始时刻有沿棒的轴向力作用于自由端，使该端产生静位移€0,然后释放.试求棒作纵振动时各次振动方式的位移振幅.解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为(t,x)(AcoskxBsinkx)cos(t).由棒一端固定一端自由的边界条件得|x00⑴⑵由(1)式Acos(wt)0A=0.由(2)式kBcosklcos(wt)0coskl0kn(n)211(n1,2,3,)由此各阶简正频率对应的位移表达式为n(t,x)Bnsinknxcos(ntn).棒的总位移为各简正频率位移之和，即(t,x)Bnsinknxcos(ntn).n1棒的初始条件为0Ixt010tt0由(4)sinn0nn,由⑶Bncos(n)Bn(1)n(x)sinknxdx211x01sinknxdx20(n2)22-8有一长Im、截面为1X10-4m2的铝棒(P=2.7X103kg/m3),两端自由.(1)试求棒作纵振动时的基频，并指出在棒的哪一个位置位移振幅最小？(2)如果在一端负载着0.05妹g的重物，试问棒的基频变为多少？位移振幅最小的位置变到何处？解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为(t,x)(AcoskxBsinkx)cos(t).由棒两端自由的边界条件得x00x1由(1)式Bkcos(wt)0B=0.由⑵式kAsinklcos(wt)0sinkl0knfnn1(n1,2,3,)n2knc2nc21c211216.85102.710(1)棒作纵振动的基频为fl2520Hz.该简正频率下的位移表达式为：l(t,x)Alcosklxcos(It1).当cosklx0,即x(n)1时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0,1],得知x21120.5m的点位移振幅最小.(2)当在一端负载时，由(2-2-25)得kl=2.65.tanklklMmm0.2,即tank0.2k.利用数值方法可以求得该简正频率下的位移表达式为：1(t,x)Alcosklxcos(It1).(n122.65)当cosklx0,即x的点位移振幅最小.时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0,1],得知xl=0.59m2-9有一长为1的棒一端固定一端有一质量负载Mm。(1)试求棒作纵振动时的频率方程；(2)如果棒的参数与2-8相同，试求其基频，并指出在棒的哪一位置位移振幅最大？解：(1)棒的位移方程为(t,x)(AcoskxBsinkx)cos(wt)由边界条件得：(x0)0A02Mmctgkl ES()x1Mm(2)x1mkxt 故频率方程为：ctgkl(2)将2-8参数代入得ctgkl0.2k1,(MMmmklmm0.2)ctgk0.2k由牛顿迭代法知：kl=1.3138则flklc21.0510(Hz)3基频振幅为：1Bsinklx,(0x1)当x=l时，sinklx达到最大，即振幅最大。2-10试分别画出两端自由和两端固定的棒，作n=l,2模式的自由纵振动时，它们的位移振幅随位置x的分布图。解：两端自由的棒：两端固定的棒：2-11设有一长为1,两端自由的棒作纵振动。假孽其初始时刻的位移分布为0xcos度v0x0o求该棒振动位移表示式。解：棒做纵振动时，其方程的解为：(AcoskxBsinkx)cos(t)两端自由，即不受应力作用,X00B0n1fnnc210klnkn所以，Ancosknxcos(nn)n1ncosknx[nsin(ntn)]0(x)n1Ancosknxcos(n)cosvO(x)Ancosn1n110xcoskxdxn1101Annsinn0Annsinn0xAncosncoscos1,xdx110,sinn0nnxcosnnIn2,3,即Alcos11Al1,所以cosIxcos(An0,(n2,3, )1t)2-12设有一端自由，一端固定的细棒在作纵振动，假设固定端取在坐标的原点，即x0处，而自由端取在x1处。试求该棒作自由振动时的简正频率，并与(2-2-20)式作一比较。附：fn(2n1)c41(n1,2,3,)o(2-2-20)解：棒的振动位移表达式(t,x)(AncosknxBnsinknx)cos(t)边界条件：0；x0代入位移表达式解得：An0；kn于是可推出fn(2n1)c412n121a(n1,2,3,)o若将自由端置于原点，固定端置于x1处，同样能得出与(2-2-20)相同的结论。2-13长为1的棒一端固定一端受沿棒轴方向的简谐力作用(FFacost)。 (1)试求棒作纵振动时的位移表达式；(2)证明当频率较低或棒较短时此棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为Km解：棒纵振动位移的一般表达式为： (AcoskxBsinkx)cos(t)满足边界条件：ES()xESIx1x00A0FAESkcosklcos(t)costFAcostB所以，FAESkcosklcos(t)costsinklcos(t)FESkcosklsinkx当频率较低或棒很短时，即kl1时，coskl1,sinkxkxkl有FESk1klFES1FESIESI即棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为。2-14长为1的棒一端钳定一端自由在进行横振动，设已知基频时自由端的位移振幅为0,试求以0来表示的棒的基频位移。解：设棒在x0端钳定，x1端自由，于是边界条件可写为:X2x120,x0x3x00,0,x3x10o代入横振动方程(t,x)[AchxBshxCeosxDsinx]cos(t)可得AC,BD,并有如下关系A(ch1cos1)B(shsin1)0A(sh1sin1)B(chcos1)0设,并用简正值(n=l,2,3,…)代表的一系列根值。sinnshncosnchnBnAn,cosnshn1自由端基频位移振幅0AlYl(l)Al[(ch1cos1)sin1shIcos1ch1(sh1sin1)]Al2sinIsh12cos1ch1Al0(cosichl)2(shlsin11)基频位移1(t,x)AlYl(x)cos(It 1),其中:Yl(x)(chXcos11X)sin1shIcos1ch1(sh11xsin11x)O(cos1chl)2(shIsin11)0lx2T5长为1的棒一端钳定一端自由，如果初始时刻使棒具有位移t0移表达式。解：初始条件和边界条件为：x00(1);2 32 0(3); 3 0(4)xx1xx10(2)xx0,试解棒作横振动的位t001x(5);0(6)tt0棒作横振动的总位移位为：(t,x)Acohx把(1)、(2)代入(7)得则(t,x) A(chx把(5)、(6)代入(8)得Bnhxcosx(sixnctos7())ACBD8)xsin)tc(os()osxB)sixn0 A(coshxcosx)B(sinhxsinx)cosx 1A(cosx sxB)inxhxins) (sin)0即sin即0A(coshXcos(t,x)0lx)B(sinhxcos(txsin)x)Olxn2-16长为1的棒两端自由，求棒作横振动的频率方程。解：棒作横振动的位移方程为：(t,x)[AchwvxBshwvxCcoswvxDsinwvx]cos(wt) 2x2由边界条件得：22xAC,BD0,x0x3x33x030, 00,xlx1A(chA(shwvwvlcoslsinwvwvl)B(shl)B(chwvwvlsinlcoswvwvl)01)0要使方程有解，则chshwvwvlcoslsinwvwvllshchwvwvlsinlcoswvwvlwvwv=0chllcosl12-17长为1的棒两端钳定，求棒作横振动的振动频率方程.解：由(2-2-57)式得棒的横振动一般表达式为(t,x)AcoshxBsinhxCcosxDsinxcos(wt)其中ck.由棒两端钳定的边界条件得|x00I0x1xxxlx00(1) 0(2)由⑴A=-CB=-D由(2)Asinh1sin1 Bcoshlcosl0AcoshlcoslBsinhlsinl0这是一个二元一次方程组，若A,B为非零解，则它们的系数行列式应等于零，即

sinhcoshsinlcoscoshsinh1coslsin101由此可化得coshcosck211,这是一频率方程，可用图解法求解。设n1表示方程的•系列根，此时简正频率fn列根，此时简正频率fnn.2-19已知铝能承受最大张应力为P,密度为，如果现在用这种材料制成厚度为h的膜，试求膜能承受的最大张力为多少？如果将其绷在半径为r的框架上，试问这种膜振动的基频最高能达到多少？解：膜能承受的最大的张力TPh,当半径为r时，膜的基频达最大，大小为fl2.4052rT2.4052rPh2.4052rPh2-21求解周界固定的矩形膜作自由振动时的简正频率以及简正振动方式，如果膜的边长为1：2,试计算最小四个泛频与基频的比值。解：膜的振动方程为：x22y221c(*)设：(x,y;t)a(x,y)ejt代入方程(*)得:a(x,y)x2a(x,y)y222a(x,y)2-23设有一圆环形膜，其在外周ra与内周rb处固定，试证明该圆环膜自由振动的频率方程为J0(y)NO(y)JO(y)NO(y)0其中yka,ykbo证明：圆环形膜的振动方程为：(t,r)R(r)ejt其中R(r)AJO(kr)BJ0(kr)o由外周ra与内周rb处固定得边界条件rarb0,代入方程得AJO(ka)BNO(ka)0,AJO(kb)BNO(kb)0,整理得JO(ka)NO(kb)NO(ka)JO(kb)0。从而可得该圆环膜自由振动的频率方程为J0(y)NO(y)JO(y)NO(y)0其中yka,ykb。习题33-1如图3-4-2所示的隔振系统，试画出其阻抗型类比线路图，并运用线路图来讨论此系统的隔振性能。图3-4-2解：阻抗型类比线路图如(c)图所示。下面分析一下系统的隔振性能，利用克希霍夫电路定律，在Mm路径中有vFlFjMm在Mm后面的分支点有jCmFlRmjCmFRmF合并两式即得FlFjMmjCmFRmF经整理得3-3试画出如图(a)所示的弹簧并联相接的力学系统的导纳型类比线路图，并从线路图求出系统的等效弹性系统。图习题3-3解：导纳型类比线路图如(b)图所示。下面分析一下系统的隔振性能，利用克希霍夫电路定律，在Mm路径中有vFlFjMm在Mm后面的分支点有vF1jCmFIRmjCmFRmF合并两式即得FlFjMmjCmFRmF经整理得3-5试画出如图(a)所示力学系统的导纳类比线路图(力阻都忽略不计)。

图习题3-53-7(a)图中示意画出了自行车的简化力学模型，如果由于路面不平整，使一只轮胎得到一垂直方向的速度vvacost,试画出该系统的导纳型力学类比线路图。3-9有一简单的护耳罩结构如图(a)所示，耳罩与人头之间形成一体积为V的空腔，耳罩的质量为Mm图习题3-7,有效面积为S,它与人头之间以弹性系数为Km的软垫接触，假设耳罩外有一声压为P的声波作pv

P用，在耳罩内产生的声压为pv,试求出耳罩的传声比，并分析护耳罩的传声规律。⑥ (b)图习题3-9fl,测试时将耳机压紧3-11有一耳机，其振膜的固有频率原设计在在一个模仿人耳体腔体积为V的小盒子上进行，如固有频率，设振膜有效质量为m,有效面积为S。图习题3T1图所示。求这时系统的3-14试画出如图(a)所示带通声滤波器的类比线路图，并求出其截止频率。3T6如图为一压强式电容传声器打有许多小孔，构成声阻尼元件Mal,图。3-18号筒式扬声器的简单结构如换能得到的交变力F作用在振膜上，振膜的别为Mm,Cm和S,Cal和Ca2分别为前室和筒吼部面积，假设已知吼部的声辐射阻抗为号筒式扬声器的类比线路图。图习题3-18图习题3T6结构示意图，背电极上试画出其类比线路Rai,图(a)所示，有动圈式质量、力顺及面积分后室的声容，SO为号RraOCOSO,试画出习题44-1试分别在一维及三维坐标里，道德质点速度v的波动方程。解：小振幅声波一维波动方程：vp,(1)0ttv ,(2) 0xt2pcO,(3)由⑶得IcO2p代入(2)得0VXpcO(4)(4)对x求导，得OcO2VX22pxt2, (5)(1)对t求导，得0vt22pxt22, (6)1vc022(5)与(6)相加,得三维波动方程： vx2t2v0tgradp,div(v), 0t2pcO推导方法与一维相似，得grad(div(v))1vc022t24-2如果媒质中存在体积流源，单位时间内流入单位体积里的质量为POq(x,y,z,t),试导出有流源分布时的声波方程(v)x(v)xdxxdx解：由于媒质中存在体积流源，媒质的连续性方程发生改变.首先考虑在一维X方向上的连续性方程m流入(vx)xS(vx)xdxSOqxSdxTOC\o"1-5"\h\z( (vx)xt Oqx)Sdxm增加Sdx由质量守恒可得( (vx)xOqx)Sdx tSdx.即(vx)xOqx t.将其扩展到三维的情况div(0)Oq t*(1)再由媒质的运动方程和物态方程得0tgradp(2)'pcO(3)对(1)式两边同时求导得div(0)div(0qt)t22t将(2)式和(3)代入上式得div(gridp)div(0qt)1pcO22t2可记为P2pcOdiv(0qt).上式即为有流源分布时的声波方程.4-3如果媒质中有体力分布，设作用在单位体积媒质上的体力为F(x,y,z,t),试导出有体力分布时的声波方程。解：体力影响运动方程：首先考虑一维情况，取一足够小体积元X X田Fl=(PO+p)S+FxSdx,F2=-(PO+p+dp)S-Fx+dxSdx则合力为((pxpxSdxFxFxSdx),由牛顿第二定律，得vtVt(PXFx))SdxSdx再推广至三维情况，并考虑小振幅声波，得

grad(pF)

t另两个方程仍为：div(Ov)2pcO由以上三式可推出：(pF)2pcO2t24-4如果在没有声扰动时媒质静态密度是不均匀的，即0 O(x,y,z),试证明这种情况下的声波方程为P2pc20tgradpgrad(In0)o证明：在密度不均匀的条件下的三维声波方程为：gradp(1)dt(2)[div(v)vgrad]tdvpco(3)2在小振幅的情况下，经线性规划，(1)式和(2)式的三维线性方程可化为0dvdtgradp[div(Ov)vgrad0]t(3)式不变，其中的系数c02是决定于媒质平衡态参数的一个常数。将(3)式对t求导并代入(5)式得：P[div(Ov)vgrad0]2c0t(6)式对t求导得：[div(0Vt)Vtgrad0]pcOt222(4)式代入上式，且div(gradp)pgradplppgrad022OcOt222即ppcOt24-5一无限长圆柱形声源沿半径方向作均匀胀缩振动时，其辐射声波波阵面是圆柱形的，设径向半径为小单位长度圆柱形波阵面面积为S2r,试求出这种声场里声波方程的具体形式。解：因为为无限长圆柱，产生无限的均匀圆柱声场(即波振面的形状在传播过程中保持一定，且传播方向不变沿r方向)，所以仅取单位长度的被一很小的立体角所割出的空间作为研究对象。在r处，其波振面面积为S2r,单位时间内流入质量为vSo在rdr处，，v,S发生变化，单位时间内流出质量为(vS)rdr(vS)r(vS)rdr(vS)rdr所以单位时间流入体积元的质量为(vS)r(vS)rdr,因为传播仅在r方向，而且仅考虑小振幅情形，此时运动方程为0vtpr(Sdr)t又因为该体积元内质量近似等于Sdr,单位时间内质量变为由质量守恒定律有(vS)rdr(Sdr)t(vS)rSt,所以①式可以写为0②式两边同乘,所以①式可以写为0②式两边同乘cOS2②,变为0Pt2cOS2(S2vrvSr)cO又物态方程为Pc02由③和④推出,PtcOvr20t④r]0c0[2V2(InS)两边对t求导得，Pt20c[2vrtv(InS)]⑤tr由运动方程得，0pr22vtr2pr2，代入⑤式，得，2c[2pr22p(InS)]rr整理得prrpcOt4-6如果声波的波阵面按幕指数规律变化，即SSO(1anx)n,其中SO为x0处的面积，an为常数，试导出这时声波方程的具体形式。解：特殊形式的声波方程为：pr22p(InS)rrpc2t2由于SS0(lanx)n,代入上面的方程得：pr22p[lnS0(lanx)]rpc20t2整理得这时声波方程的具体形式为pr22nanPanxrpcOt224-7试问夏天（温度高达400C）空气中声速比冬天（设温度为00C）时高出多少？如果平面波声压保持不变，媒质密度也近似认为不变，求上述两种情况下声强变化的百分率及声强级差。解：（1）对于空气 1.402,标准大气压P01.013105Pa,TO273t3291Okgm/o,1R8.31J/kmol则声速为cOPO0R0,c(0℃)=273331.6m/s则cO(t℃)331.60.6tc0(400C)(m/s).s331.60.640m/355.6 c0=c0(400C)cO(OOC)24m/sWScOpe22(2)声强I又平面波声压不变，媒质密度也不变，则c0(40C)cO(0C)cO(OC)IIref0OcO不变00则I%=0100%7.24%又SILlOloglO(dB)I(40C)IrefO则SILSIL(40C)SIL(0C)=101ogl00lOloglOI(OC)IrefO=101ogl0I(40C)I(OC)00=101ogl0c0(40C)cO(OC)00=0.3dB4-8如果两列声脉冲到达人耳的间隔时间约在(20)s以上时，听觉上可以区别出来，试问人离一垛高墙至少要多远的距离才能听到自己讲话的回声？解：设高墙距人L米， 2LcO120LcO208.6(m)因此人离一垛高墙至少要8.6m的距离才能听到自己讲话的回声。4-9(1)试导出空气中由于声压p引起的绝对温度的升高T的表达式。(2)试问在200C、标准大气压的空气里，80dB的平面声波引起的温度变化幅值为多少？解：(1)对理想气体有POVPMRTOTTMR(TOT)则(POP)VPOPOPTOTOT即TpeprefPPOTO(2)SPL201ogl0(dB)由题得80201ogl0则TPPTOpepref则pe0.2Pa即Pa1.01105(27320)8.2104K4-10在200c的空气里，求频率为1000Hz、声压级为OdB的平面声波的质点位移幅值，质点速度幅值，声压幅值及平均能量密度各为多少？如果声压级为120dB,上述各量又为多少？为了使空气质点速度有效值达到与声速相同的数值，借用线性声学结果估计需要多大的声压级？解：由SPL201ogl0peprefSPL(pref2105pa)得pepref1020,则：声压幅值pava2pe；质点速度幅值vape2pa0c0；质点位移幅值a(1)SPL=OdBpa2.828105；平均能量密度0c02.pa；va6.815108m/s；a1.085101Im；2.8131015J/m3.(2)SPL=120dBpa28.28pa；va0.0682m/s；a1.085105m； 2.813103J/m3.pecOpe0c02(3)veOcO.则SPL201ogpel0pref197dB.4-11在20℃的空气里，有一平面声波，已知其声压级为74dB,试求其有效声压、平均声能量密度和声强。解：声压级SPL201gpepref74(dB),有效声压pe0.1(Pa),平均声能量密度pe2pe22O0c0.124153446.9108(Jm3),声强I0OcO2.4105(Ws2)。4-12如果在水中与空气中具有同样的平面波质点速度幅值，问水中声强将比空气中声强大多少倍？解：水中平面波质点速度幅值为val,声压为Pal,声强为11空气中平面波质点速度幅值va2,声压为Pa2,声强为12则valva2,又Palvallcl,Pa2va22c2则Pa2Pal12Il2c2lcl又I2c2lcll2PavaPa2Pal1.4801041563566倍4-13欲在声级为120dB的噪声环境中通电话，假设耳机再加一定电功率时在耳腔中能产生UOdB的声压，如果在耳机外加上的耳罩能隔掉20dB噪声，问此时在耳腔中通话信号声压比噪声大多少倍？解：耳机内信号声压P信=Pref•10110/20,到达耳机的噪声声压P噪=Pref•10所以P信/P噪=10110/20(120-20)/20/10100/20=3.164-14已知两声压级幅度之比为2,5,10,100,求它们声压级之差.已知两声压级之差为IdB,3dB,6dB,10dB,求声压幅值之比.解：已知声压幅值比，则声压级之差为SPL201ogpellOpref201ogpe210pref201ogpell0pe2201ogpal10pa2.已知声压级之差，则声压幅值比为palpa2SPL1020.(1)当声压幅值比分别为2,5,10,100时，声压级之差分别为6.02dB,14.0dB,20dB,40dB.(2)当声压之差分别为IdB,3dB,6dB,10dB时,声压幅值之比分别为1.1220,1.4125,1.9953,3.1623.4T520c时空气和水的特性阻抗分别为RI415Pasm及R21.48106Pasm,计算平面声波由空气垂直入射于水面上时反射声压大小及声强透射系数。解：声压反射系数rpItIiR2R1R2R121,声强透射系数ripta22c2pia2lcl2RlR2tp24R1R2(RIR2)21.21103。4T6水和泥沙的特性阻抗分别为1.48106Pas/m及3.2106Pas/m,求声波由水垂直入射于泥沙时，在分界面上反射声压与入射声压之比及声强透射系数。解：水的特性阻抗为Rl=1.48106Pas/m泥沙的特性阻抗为R2=3.2106Pas/m当声波由水垂直入射于泥沙时，在分界面上反射声压与入射声压之比为rpprapiaR2R1R2RI0.374R1R2(RIR2)2声强透射系数为tlItlil0.864-17声波由空气以i30斜入射于水中，试问折射角为多大？分界面上反射波声压于入射波声压之比为多少？平均声能量流透射系数为多少？解：c2clsinisintclc2,查表知cl344m/s,c21483m/s又sini1483344sin30 2.161,所以发生全反射现象反射波声压于入射波声压之比为rpPrPi1平均声能量流透射系数为twtlcostcosi04-18试求空气中厚为1mm的铁板对200Hz及2000Hz声波的声强透射系数tl(考虑垂直入射).解：由(4T0-41)知声强透射系数为tl44cosk2D(R12R21)sin0.2889222k2D.(1)f=200Hz时，k2c2 2004350,k2D2.889104.由于k2D1,则cosk2D1,sink2D0,tl1.(2)f=2000Hz时，分析过程同上，tl1.4-19空气中有一木质板壁，厚为h,试问频率为f的声波的隔声量有多少？解：隔声量TL42201gf201gM42201gf201gh其中表示木质板壁的密度。4-20一骨导送话器的外壳用厚1mm的铁皮做成，试求这外壳对1000Hz气导声波的隔声量。解：对于铁，其厚度为D1mm103m, 7.70103kg/m3,c3.70103m/sRc28.49106Ns/m3,MD7.7kg/m2对于空气ROOcO415Ns/m3贝IJR21ROR1,2D2DcO0.5( 2f2000Hz)2M 则所求隔声量为TLlOloglO1 35.3dB2R04-21房间隔墙厚度20cm,密度=2000kg/m3,试求100Hz及1000Hz声波的隔声量分别为多少？如墙的厚度增加一倍，100Hz声波的隔声量为多少？如不是增加厚度，而是用相同材料切成双层墙，中间距10cm,这时对100Hz声波的隔声量为多少？解：由质量定律TL=-42+201gf+201gM2,得TLl=-42+201gl00+201g(0.2X200)=50dBTL2=-42+201gl000+201g(0.2X200)=70dB墙厚度增加一倍，即D=0.4m,故此时TLl=-42+201gl00+201g(0.4X200)=56dB双层墙时,TL201g201gl0020000.21.21344wMRl201gwM2RlkD1003440.1) 201g(10020000.221.21344=43dB4-23试导出三层媒质的声强透射系数(4-10-43)式。I II m/ uPa,aPh O解：设一厚度为D,特性阻抗为R22c2的中间层媒质置于特性阻抗为RI 1C1与R3 3c3中，如图所示。(tlkx)pipiaejp则；j(tklx)eiaiplraelrplraelrj(tklx)j(tklx)Pp2tae2tp2tae2tj(tk2x)j(tk2x)P2r2rp2raepiaRl2raj(tk2x)j(tk2x)ej[tk3(xD)]ptptae；j[tk3(xD)]taep2raR2ptaR3其中ia,lraplraRl,2tap2taR2,2ra,taklcl,k2c2,k3c3piaplrap2tap2rappppiaIra2ta2ra当x0时，即piaplrap2tap2ra(1)ialra2ta2raRR1R2R21p2tae-jk2Dp2raejk2Dptap2tp2rpt当xD时，即p2ta-jk2Dp2rajk2Dpta(2)e2t2rtReRR32(R由(1)得2R2pia(RIR2)pt2alR)2rp3)R3R2jk2Dppe2tata2R3由(2)得(4)pR3R2pe-jk2D2rata2R3把(4)代入(3)得2R2pia(RIR2)2R3R22R3ptaejk2D(RIR2)R3R22R32-jk2Dptae-jk2D则ptapia4R2R3(RIR2)(R3R2)ejk2D(RIR2)(R3R2)e24R2R3(RIR2)(R3R2)(RIR2)((RIR2)(R3R2)(RIR2)(R3R2)cosk2Dj(RIR2)(R3R2)(RIR2)(R3R2)sink2D4R2R322222222R2(R1R3)cosk2Dj2(R2RlR3)sink2D4R2R32222R(R1R3)cosk2D(RRlR3)sink2D4R3222(RIR3)cosk2D(R2R1R3R2)sink2D22则tl|pta||pia22R1R3224R1R3(RIR3)cosk2D(R2R1R3R2)sink2D224-24有不同频率的两列声波，它们的声压可分别表示为plplacos(Itklx1),p2p2acos(2tk2x2),这里初相位角61及62为常数，试求它们的合成声场的平均能量密度.解：由题意可知，这两列声波是不相关的，由(4T2-11)可知合成声场的平均能量密度为1 2plap2a2OcO2224-25试计算入射声波与反射声波振幅相等的平均驻波声场中的平均能量密度。解：入射声波与反射声波频率相同，设入射声波为pipaej(tkx),反射声波为pipaej(tkx)o合成的声场为ppipr2pacoskxe平均声能量密度(2pacoskx)2Oc2cos22pa2200ckx4-26设有沿x方向的平面驻波，其驻波声压可表示为ppiaej(tkx)praej(tkx),若已知prapiae2,试求该驻波声场的平均声能量密度和平均声能量流密度(声强)Ioj(tkx)解：由题意得ppiaepiaepraej(tkx)piae))j(tkx)piaej(tkx)j(tkx)piaej(t(kx2plp2两列波的相位差 (kx2)kx2kx2,2pia2Oc202两列波的平均声能量密度分别为 1pia2Oc202该驻波声场的平均声能量密度12piapiaOcO2pia2OcO22++pia2OcO2cos(2kx2)=piapia=(1sin2kx)1cos(2kx)22 2OcOOcO22该驻波声场的平均声能量流密度IcOpia2OcO(lsin2kx)4-27某测试环境本底噪声声压级40dB,若被测声源在某位置上产生的声压级70dB,试问置于该位置上的传声器接收到的总声压级为多少？如本底噪声也为70dB,总声压级又为多少？解：(1)LP101g22PePref222LPPePref40222107010所以PePieP2ePref(10101010)总声压级LP101gPePref224070101g(10101010)70dB(2)总声压级LP101gPePref227070101g(10101010)73dB4-28房间内由n个人各自无关地朗读，假如每个人单独时在某位置均产生Lj(dB)的声音，那么n个人同时朗读时在该位置上总声压级应为多少？解：n各人同时朗读的声音是互不相关的，满足能量叠加原理.由(4T2-14)得该位置上总声压级为LjLjLjSPLlOlogLjlOdOlO1010 1010)lOlog101ogl0(n1010)(n)Lj(dB)10.习题55-1有一声管在末端放一待测吸声材料，现用频率为500Hz的平面声波,测得管中的驻波比G等于10,并确定离材料表面0.25m处出现第一个声压极小值.试求该吸声材料的法向声阻抗率以及法向吸声系数.解：由公式(5-1-9)得0.25