最新高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

第一章解三角形1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，那么有：．2、正弦定理的变形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；=4\*GB3④．注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、两角和一边，求其余的量。⑤对于两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。〔一解、两解、无解三中情况〕如：在三角形ABC中，a、b、A〔A为锐角〕求B。具体的做法是：数形结合思想DbsinADbsinAAbaC当无交点那么B无解、当有一个交点那么B有一解、当有两个交点那么B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：当a<bsinA，那么B无解当bsinA<a≤b,那么B有两解当a=bsinA或a>b时，B有一解注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：．4、余弦定理：在中，有，，．5、余弦定理的推论：，，．(余弦定理主要解决的问题：1、两边和夹角，求其余的量。2、三边求角)6、如何判断三角形的形状：设、、是的角、、的对边，那么：=1\*GB3①假设，那么；=2\*GB3②假设，那么；CABD=3\*GB3③假设，那么．CABD7、正余弦定理的综合应用：如下图：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，并测得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。附：三角形的五个“心〞；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.练习题一、选择题1、在△ABC中，＝10，B=60°,C=45°,那么等于〔 B〕A． B． C． D．2、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，那么三角形的另一边长为A．52 B． C．16 D．43、在△ABC中，假设，那么〔C〕ABCD4、在△ABC中，根据以下条件解三角形，那么其中有两个解的是〔D〕A．b=10，A=45°，B=70°B．a=60，c=48，B=100°C．a=7，b=5，A=80°D．a=14，b=16，A=45°5、△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，那么A∶B∶C等于(A)A．1∶2∶3 B．2∶3∶1C．1：3：2D．3：1：26、假设△ABC的周长等于20，面积是，A＝60°，那么BC边的长是〔C〕A． 5 B．6 C．7 D．8二、填空题〔每题5分,共25分〕7、在中，，那么___________8、在△ABC中，A=60°,b=1,面积为，那么=9、在△ABC中，AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC=10、在中，角、、所对的边分别是、、，边，且，又的面积为，那么________________三．解答题〔2小题，共40分〕13、在ABC中，,sinB=.〔I〕求sinA的值；(II)设AC=，求ABC的面积.知识点稳固练习〔一〕一、选择题1．在△ABC中，假设，那么等于〔〕A．B．C．D．2．假设为△ABC的内角，那么以下函数中一定取正值的是〔〕A．B．C．D．3．在△ABC中，角均为锐角，且那么△ABC的形状是〔〕A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，那么底边长为〔〕A．B．C．D．5．在△中，假设，那么等于〔〕A．B．C．D．6．边长为的三角形的最大角与最小角的和是〔〕A．B．C．D．二、填空题1．在△ABC中，，那么的最大值是_______________。2．在△ABC中，假设_________。3．在△ABC中，假设_________。4．在△ABC中，假设∶∶∶∶，那么_____________。三、解答题在△ABC中，假设那么△ABC的形状是什么？2．在△ABC中，求证：3．在锐角△ABC中，求证：。知识点稳固练习〔二〕一、选择题1．在△ABC中，，那么等于〔〕A．B．C．D．2．在△ABC中，假设角为钝角，那么的值〔〕A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定3．在△ABC中，假设，那么等于〔〕A．B．C．D．4．在△ABC中，假设，那么△ABC的形状是〔〕A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形5．在△ABC中，假设那么()A．B．C．D．6．在△ABC中，假设，那么最大角的余弦是〔〕A．B．C．D．二、填空题1．假设在△ABC中，那么=_______。2．假设是锐角三角形的两内角，那么_____〔填>或<〕。3．在△ABC中，假设_________。4．在△ABC中，假设那么△ABC的形状是_________。5．在△ABC中，假设_________。三、解答题在△ABC中，，求。在锐角△ABC中，求证：。在△ABC中，求证：。在△ABC中，假设，那么求证：。在△ABC中，假设，那么求证：知识点稳固练习〔三〕一、选择题1．为△ABC的内角，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．2．在△ABC中，假设那么三边的比等于〔〕A．B．C．D．3．在△ABC中，假设，那么其面积等于〔〕A．B．C．D．4．在△ABC中，，，那么以下各式中正确的是〔〕A．B．C．D．5．在△ABC中，假设，那么〔〕A．B．C．D．6．在△ABC中，假设，那么△ABC的形状是〔〕A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形二、填空题1．在△ABC中，假设那么一定大于，对吗？填_________〔对或错〕2．在△ABC中，假设那么△ABC的形状是______________。3．在△ABC中，∠C是钝角，设那么的大小关系是___________________________。4．在△ABC中，假设，那么______。5．在△ABC中，假设那么B的取值范围是_______________。6．在△ABC中，假设，那么的值是_________。三、解答题1．在△ABC中，假设，请判断三角形的形状。如果△ABC内接于半径为的圆，且求△ABC的面积的最大值。△ABC的三边且，求4．在△ABC中，假设，且，边上的高为，求角的大小与边的长答案知识点稳固练习〔一〕一、选择题1.C2.A3.C都是锐角，那么4.D作出图形5.D或6.B设中间角为，那么为所求二、填空题1.2.3.4.∶∶∶∶∶∶，令三、解答题解：或，得或所以△ABC是直角三角形。证明：将，代入右边得右边左边，∴3．证明：∵△ABC是锐角三角形，∴即∴，即；同理；∴知识点稳固练习〔二〕一、选择题1.C2.A，且都是锐角，3.D4.D，等腰三角形5.B6.C，为最大角，二、填空题1.2.，即，锐角三角形为最大角，为锐角5.三、解答题1.解：，而所以2.证明：∵△ABC是锐角三角形，∴即∴，即；同理；∴∴3.证明：∵∴4．证明：要证，只要证，即而∵∴∴原式成立。5．证明：∵∴即∴即，∴知识点稳固练习〔三〕一、选择题1.C而2.B3.D4.D那么，，5.C6.B二、填空题对那么直角三角形3.4．那么5.6．三、解答题解：∴等腰或直角三角形解：另法：此时取得等号解：解：，联合得，即当时，当时，∴当时，当时，。解三角形单元测试题选择题：1、在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于〔 〕A． 30° B．45° C．60° D．120°2、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,那么c等于〔 〕A． B． C． D．3、在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，那么A等于〔 〕A．30° B．60° C．30°或120° D．30°或150°4、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是〔 〕A．无解 B．一解 C． 二解 D．不能确定5、在△ABC中，，那么角A为〔 〕A． B． C． D．或6、在△ABC中，假设，那么△ABC的形状是〔 〕A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形7、锐角三角形的边长分别为1，3，a，那么a的范围是〔 〕A． B． C． D．8、在△ABC中，,那么△ABC一定是( )A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形9、△ABC中，60°，如果△ABC两组解，那么x的取值范围()A． B． C． D．10、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,以下结论：①②③④其中成立的个数是()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11、在△ABC中，,,∠A＝30°，那么△ABC面积为〔〕A． B． C．或 D． 或12、△ABC的面积为，且，那么∠A等于〔〕A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°13、△ABC的三边长，那么△ABC的面积为〔〕ACB30米20米A． B． C． D．ACB30米20米14、某市在“旧城改造〞中方案内一块如下图的三角形空地上种植草皮以美化环境，这种草皮每平方米a元，那么购置这种草皮至少要〔〕A． 450a元 B．225a元 C． 150a元 D． 300a元15、甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是〔〕A． 分钟 B．分钟 C．21.5分钟 D．2.15分钟16、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为〔〕A． 5000米 B．5000 米 C．4000米 D．米17、在△ABC中，°，°，∠C＝70°，那么△ABC的面积为〔〕A． B． C． D．18、假设△ABC的周长等于20，面积是，A＝60°，那么BC边的长是〔〕A． 5 B．6 C．7 D．819、锐角三角形的边长分别为2、3、x，那么x的取值范围是〔〕A． B．C． D．20、在△ABC中，假设，那么△ABC是〔〕A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一内角为30°的等腰三角形 D．等边三角形二、填空题21、在△ABC中，假设∠A:∠B:∠C=1:2:3,那么22、在△ABC中，150°，那么b＝23、在△ABC中，A＝60°，B＝45°，，那么a＝；b＝24、△ABC中，121°，那么此三角形解的情况是25、三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，那么三角形的外接圆半径为.26、在△ABC中，，那么△ABC的最大内角的度数是三、解答题27、在△ABC中，，A＝45°，在BC边的长分别为20，，5的情况下，求相应角C。28、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数；(2)AB的长度。29、在△ABC中，证明：。30、在△ABC中，，cosC是方程的一个根，求△ABC周长的最小值。解三角形单元测试答案一、选择题1-5.CBCBC6-10.DBBCC11-15.BDBDA16-20.ACCBB二、填空题21、22、723、,24、无解25、126、120°三、解答题27、解：由正弦定理得〔1〕当BC＝20时，sinC＝；°〔2〕当BC＝时，sinC＝；有两解或120°〔3〕当BC＝5时，sinC＝2>1；不存在28、解：〔1〕C＝120°〔2〕由题设：29、证明：由正弦定理得：30、解：又是方程的一个根