最新高中数学好题

第11页〔共11页〕一．选择题〔共6小题〕1．〔2023•山东〕设x，y满足约束条件，假设目标函数z=ax+by〔a＞0，b＞0〕的值是最大值为12，那么的最小值为〔〕A．B．C．D．42．〔2023•江西校级模拟〕函数f〔x〕的定义域为[﹣3，+∞〕，且f〔6〕=f〔﹣3〕=2．f′〔x〕为f〔x〕的导函数，f′〔x〕的图象如下图．假设正数a，b满足f〔2a+b〕＜2，那么的取值范围是〔〕A．〔﹣，3〕B．〔﹣∞，﹣〕∪〔3，+∞〕C．〔，3〕D．〔﹣∞，〕∪〔3，+∞〕3．〔2023•宁波模拟〕过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，假设，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A．B．C．D．4．〔2023•南开区一模〕设定义域为R的函数，，关于x的方程f2〔x〕﹣〔2m+1〕f〔x〕+m2=0有7个不同的实数解，那么m的值为〔〕A．2B．6C．2或6D．﹣2或﹣65．〔2023•广东校级模拟〕f〔x〕为定义在〔﹣∞，+∞〕上的可导函数，且f〔x〕＜f′〔x〕对于x∈R恒成立，且e为自然对数的底，那么〔〕A．f〔1〕＞e•f〔0〕，f〔2023〕＞e2023•f〔0〕B．f〔1〕＜e•f〔0〕，f〔2023〕＞e2023•f〔0〕C．f〔1〕＞e•f〔0〕，f〔2023〕＜e2023•f〔0〕D．f〔1〕＜e•f〔0〕，f〔2023〕＜e2023•f〔0〕6．〔2023•和平区校级三模〕假设函数f〔x〕=xcosx在〔0，+∞〕内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，…，an，…，那么对任意正整数n必有〔〕A．π＜an+1﹣an＜B．＜an+1﹣an＜πC．0＜an+1﹣an＜D．﹣＜an+1﹣an＜0二．填空题〔共4小题〕7．〔2023•重庆一模〕正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5，假设存在两项am，an使得=4a1，那么+的最小值为．8．〔2023•天津校级二模〕假设a是1+2b与1﹣2b的等比中项，那么的最大值为．9．〔2023•崇明县一模〕在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，a=csinB+bcosC，，那么△ABC面积的最大值为．10．〔2023•崇明县一模〕f〔x〕是定义在R上周期为2的函数，在区间[﹣1，1]时，有f〔x〕=，其中a，b∈R，假设，那么a+3b的值为．一．选择题〔共6小题〕1．〔2023•山东〕设x，y满足约束条件，假设目标函数z=ax+by〔a＞0，b＞0〕的值是最大值为12，那么的最小值为〔〕A．B．C．D．4解：不等式表示的平面区域如下图阴影局部，当直线ax+by=z〔a＞0，b＞0〕过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点〔4，6〕时，目标函数z=ax+by〔a＞0，b＞0〕取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，应选A．点评：此题综合地考查了线性规划问题和由根本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．2．〔2023•江西校级模拟〕函数f〔x〕的定义域为[﹣3，+∞〕，且f〔6〕=f〔﹣3〕=2．f′〔x〕为f〔x〕的导函数，f′〔x〕的图象如下图．假设正数a，b满足f〔2a+b〕＜2，那么的取值范围是〔〕A．〔﹣，3〕B．〔﹣∞，﹣〕∪〔3，+∞〕C．〔，3〕D．〔﹣∞，〕∪〔3，+∞〕考点：函数单调性的性质；简单线性规划的应用．专题：作图题；压轴题；数形结合；转化思想．分析：先根据导数的图象可知函数是增函数，从而将f〔2a+b〕＜2=f〔6〕转化为：，再用线性规划，作出平面区域，令t=表示过定点〔2，﹣3〕的直线的斜率，通过数形结合法求解．解答：解：如下图：f′〔x〕≥0在[﹣3，+∞〕上恒成立∴函数f〔x〕在[﹣3，0〕是减函数，〔0，+∞〕上是增函数，又∵f〔2a+b〕＜2=f〔6〕∴画出平面区域令t=表示过定点〔2，﹣3〕的直线的斜率如下图：t∈〔﹣∞，﹣〕∪〔3，+∞〕应选B点评：此题主要考查函数的单调性转化不等式，还考查了线性规划中的斜率模型．同时还考查了转化思想，数形结合思想．3．〔2023•宁波模拟〕过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，假设，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先作出图形，那么易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2=，然后通过可得，再分子分母同除a2得求解．解答：解：如下图：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵，∴，∴，∴，应选C．点评：此题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识．4．〔2023•南开区一模〕设定义域为R的函数，，关于x的方程f2〔x〕﹣〔2m+1〕f〔x〕+m2=0有7个不同的实数解，那么m的值为〔〕A．2B．6C．2或6D．﹣2或﹣6考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：作出函数f〔x〕的图象，由图象判断要使方程f2〔x〕﹣〔2m+1〕f〔x〕+m2=0有7个不同的实数根，即要求对应于f〔x〕的取值即可求出m的值．解答：解：设f〔x〕=t，作出函数f〔x〕的图象，由图象可知，当t＞4时，函数图象有两个交点，当t=4时，函数图象有3个交点，当0＜t＜4时，函数图象有4个交点，当t=0时，函数图象有两个交点，当t＜0，函数图象无交点．要使原方程f2〔x〕﹣〔2m+1〕f〔x〕+m2=0有7个不同的实数根，那么要求对应方程t2﹣〔2m+1〕t+m2=0中的两个根t1=4或0＜t2＜4，且t1+t2∈〔4，8〕，即4＜2m+1＜8，解得．当t=4时，它有三个根．∴42﹣4〔2m+1〕+m2=0，∴m=2或m=6〔舍去〕，∴m=2．应选A．点评：此题主要考查复合函数的根的取值判断，利用数形结合作出函数f〔x〕的图象是解决此题的关键，综合性较强．5．〔2023•广东校级模拟〕f〔x〕为定义在〔﹣∞，+∞〕上的可导函数，且f〔x〕＜f′〔x〕对于x∈R恒成立，且e为自然对数的底，那么〔〕A．f〔1〕＞e•f〔0〕，f〔2023〕＞e2023•f〔0〕B．f〔1〕＜e•f〔0〕，f〔2023〕＞e2023•f〔0〕C．f〔1〕＞e•f〔0〕，f〔2023〕＜e2023•f〔0〕D．f〔1〕＜e•f〔0〕，f〔2023〕＜e2023•f〔0〕考点：导数的运算．专题：计算题；压轴题．分析：构造函数y=的导数形式，并判断增减性，从而得到答案．解答：解：∵f〔x〕＜f'〔x〕从而f'〔x〕﹣f〔x〕＞0从而＞0即＞0，所以函数y=单调递增，故当x＞0时，=f〔0〕，整理得出f〔x〕＞exf〔0〕当x=1时f〔1〕＞e•f〔0〕，当x=2023时f〔2023〕＞e2023•f〔0〕．应选A．点评：此题主要考查函数的单调性与其导函数的关系，函数单调性的关系，考查转化、构造、计算能力．6．〔2023•和平区校级三模〕假设函数f〔x〕=xcosx在〔0，+∞〕内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，…，an，…，那么对任意正整数n必有〔〕A．π＜an+1﹣an＜B．＜an+1﹣an＜πC．0＜an+1﹣an＜D．﹣＜an+1﹣an＜0考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：求出函数的导数，利用函数导数和极值之间的关系，结合图象，确定an…，的关系即可求．解答：解：f′〔x〕=cosx﹣xsinx，由f′〔x〕=0得x=，设x0＞0是f′〔x〕=0的任意正实根，那么存在一个非负整数k，使x0∈〔+kπ，π+kπ〕，即x0在第二或第四象限内，那么满足f′〔x〕=0的正根x0都是f〔x〕的极值点．设函数f〔x〕在〔0，+∞〕内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1＜a2＜…＜an…，那么+〔n﹣1〕π＜an＜π+〔n+1〕π，+nπ＜an+1＜π+nπ，那么＜an+1﹣an＜∵an+1﹣an=﹣==﹣〔1+tanan+1•tanan〕tan〔an+1﹣an〕，∵tanan+1﹣tanan＞0，∴tan〔an+1﹣an〕＜0，∴an+1﹣an必在第二象限，即an+1﹣an＜π，综上＜an+1﹣an＜π．应选：B．点评：此题主要考查函数零点个数的判断，以及函数极值和导数之间的关系，综合性较强，难度较大．二．填空题〔共4小题〕7．〔2023•重庆一模〕正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5，假设存在两项am，an使得=4a1，那么+的最小值为．考点：等比数列的性质；根本不等式．专题：等差数列与等比数列．分析：由中正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，我们易求出数列的公比，再结合存在两项am、an使得，我们可以求出正整数m，n的和，再结合根本不等式中“1〞的活用，即可得到答案．解答：解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵a7=a6+2a5，那么a1•q6=a1•q5+2a1•q4即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1〔舍去〕假设，那么m+n=6那么6〔〕=〔m+n〕〔〕=5+〔〕≥5+4=9那么故答案为点评：此题考查的知识点是等比数列的性质，根本不等式，其中根据中正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5假设存在两项am、an使得，将问题转化为用根本不等式求最值是解答此题的关键．8．〔2023•天津校级二模〕假设a是1+2b与1﹣2b的等比中项，那么的最大值为．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：由a是1+2b与1﹣2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由根本不等式法求得的最大值．解答：解：a是1+2b与1﹣2b的等比中项，那么a2=1﹣4b2⇒a2+4b2=1≥4|ab|．∴．∵a2+4b2=〔|a|+2|b|〕2﹣4|ab|=1．∴≤=∵∴≥4，∴的最大值为=．故答案为：．点评：此题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．〔2023•崇明县一模〕在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，a=csinB+bcosC，，那么△ABC面积的最大值为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入并利用根本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．解答：解：〔1〕由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣〔B+C〕]=sin〔B+C〕，∴sin〔B+C〕=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈〔0，π〕，sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈〔0，π〕，∴B=，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即2=a2+c2﹣ac，∴2+ac=a2+c2≥2ac，即ac≤=2+，当且仅当a=c，即a=c=时取“=〞，∵S△ABC=acsinB=ac，∴△ABC面积的最大值为．故答案为：．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解此题的关键，属于中档题．10．〔2023•崇明县一模〕f〔x〕是定义在R上周期为2的函数，在区间[﹣1，1]时，有f〔x〕=，其中a，b∈R，假设，那么a+3b的值为﹣10．