水利工程测量6测量误差及数据处理的基本知识（48内容丰富）

水利工程测量量第6章测量误差及数数据处理的基基本知识主讲教师：高飞10/27/20221合肥工业大学学第6章测量误差及数数据处理的基基本知识§6.1概述§6.2测量误差的种种类§6.3偶然误差的特特性及其概率率密度函数§6.4衡量观测值精精度的指标§6.5误差传播定律律§6.6同精度直接观观测平差§6.7不同精度直接接观测平差§6.8最小二乘法原原理及其应用用10/27/20222合肥工业大学学◆测量与观测值值◆观测与观测值的分分类●观测条件●等精度观测和和不等精度观观测●直接观测和间间接观测●独立观测和非独立立观测§6.1测量误差概述述10/27/20223合肥工业大学学§6.1测量误差概述述◆测量误差及其其来源●测量误差的来来源（1）仪器误差：仪器精度的局局限、轴系残残余误差等。。（2）人为误差：判断力和分辨辨率的限制、、经验等。（3）外界条件的影影响：温度变化、风风、大气折光光等●测量误差的表表现形式●测量误差（真真误差=观测值-真值）（观测值与真真值之差）（观测值与观观测值之差））10/27/20224合肥工业大学学例：误误差处处理方法钢尺尺长误差差ld计算改正钢尺温度误差差lt计算改正水准仪视准轴轴误差I操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴轴误差C操作时抵消(盘左盘右取平平均)……………2.系统误差——误差出现的大大小、符号相相同，或按规律性变化，，具有积累性。●系统误差可以以消除或减弱弱。(计算改正、观观测方法、仪仪器检校)测量误差分为为：粗差、系统误差和偶然误差§6.2测量误差的种种类1.粗差(错误)——超限的误差10/27/20225合肥工业大学学3.偶然误差——误差出现的大大小、符号各各不相同，表面看无规律律性。例：估读数、、气泡居中判判断、瞄准、、对中等误差差，导致观测值产产生误差。●准确度(测量成果与真真值的差异）●最或是值（最接近真值值的估值，最最可靠值）●测量平差（求解最或是是值并评定精精度）4.几个概念:●精（密）度（观测值之间间的离散程度度）10/27/20226合肥工业大大学举例:在某测区，，等精度观观测了358个三角形的的内角之和，得得到358个三角形闭闭合差i(偶然误差，也即真真误差)，然后对三角角形闭合差差i进行分析。。分析结果表表明，当观测次数数很多时，，偶然误差的出现现，呈现出出统计学上上的规律性性。而且，观测次次数越多，，规律性越越明显。§6.3偶然误差的的特性10/27/20227合肥工业大大学10/27/20228合肥工业大大学用频率直方图图表示的偶然然误差统计计：频率直方图图的中间高高、两边低低，并向横横轴逐渐逼逼近，对称于y轴。频率直方图图中，每一一条形的面面积表示误误差出现在在该区间的频率k/n，而所有条形形的总面积等于于1。各条形顶边边中点连线线经光滑后后的曲线形形状，表现现出偶然误误差的普遍遍规律图6-1误差统计直直方图10/27/20229合肥工业大大学◆从误差统计计表和频率率直方图中中，可以归归纳出偶然然误差的四个特性：特性(1)、(2)、(3)决定了特性性(4)，特性(4)具有实用意意义。3.偶然误差的的特性(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零

(抵偿性)：10/27/202210合肥工业大大学偶然误差具具有正态分分布的特性性当观测次数数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小(d→0)时，各矩形形的顶边就就连成一条条光滑的曲曲线，这条曲线称称为“正态分布曲曲线”，又称为“高斯误差分分布曲线”。所以偶然误误差具有正态分布的特性。图6-1误差统计直直方图10/27/202211合肥工业大大学1.方差与标准准差

由正态分布密度函数式中、为常数；

=2.72828…x=y正态分布曲曲线(a=0)令：，上式为：：§6.4衡量精度的的指标10/27/202212合肥工业大大学标准差的的数学学意义表示的离散程度x=y较小较大称为标准差：上式中，称为方差：10/27/202213合肥工业大大学测量工作中中，用中误差作为衡量观观测值精度度的标准。。中误差:观测次数无无限多时，，用标准差差表表示示偶然误差差的离散情情形：上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：i=i-

X10/27/202214合肥工业大大学10/27/202215合肥工业大大学m1小于m2,说明第一组组观测值的的误差分布布比较集中，其精度较高；相对地，，第二组观观测值的误误差分布比比较离散，其精度较低：：m1=2.7是第一组观观测值的中中误差；m2=3.6是第二组观观测值的中中误差。10/27/202216合肥工业大大学2.容许误差(极限误差)

根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：

将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|10/27/202217合肥工业大大学3.相对误差(相对中误差差)——误差绝对值值与观测量量之比。用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示示。分数值较小小相对精度度较高；分分数值较大大相对精度度较低。K2<K1，所以以距距离离S2精度度较较高高。例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=——

100500020010000解：10/27/202218合肥肥工工业业大大学学一.一般般函函数数的的中中误误差差令的系数为，(c)式为：由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得对(a)全微分：(b)设有函数：为独立观测值设有真误差，函数也产生真误差(a)§6.5误差差传传播播定定律律10/27/202219合肥肥工工业业大大学学对Z观测测了k次，，有k个式式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)对K个(e)式取总和：(f)10/27/202220合肥肥工工业业大大学学(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)由偶偶然然误误差差的的抵抵偿偿性性知知：：(g)式最最后后一一项项极极小小于于前前面面各各项项，，可忽忽略略不不计计，，则：：<<前面各项即(h)10/27/202221合肥肥工工业业大大学学(h)考虑虑，，代代入入上上式式，，得得中中误误差差关关系系式式：：(6-10)上式式为为一般般函函数数的的中中误误差差公公式式，也也称称为为误差差传传播播定定律律。10/27/202222合肥肥工工业业大大学学通过过以以上上误误差差传传播播定定律律的的推推导导，，我我们们可以以总总结结出出求观观测测值值函函数数中中误误差差的的步步骤骤：1.列出出函函数数式式；；2.对函函数数式式求求全全微微分分；；3.套用用误误差差传传播播定定律律，，写写出出中中误误差差公公式式。。10/27/202223合肥肥工工业业大大学学1.倍数函数的中误差

设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式例：量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms解：列函数式求全微分中误差式二.几种种常常用用函函数数的的中中误误差差10/27/202224合肥肥工工业业大大学学2.线性性函函数数的的中中误误差差设有函数式

全微分

中误差式例：设有某线性函数其中、、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。解：对上式全微分：由中误差式得：10/27/202225合肥工工业大大学

函数式全微分中误差式3.算术平平均值值的中中误差差式由于等精度观测时，，代入上式：得由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。

●对某观观测量量进行行多次次观测测(多余观观测)取平均均，是提高高观测测成果果精度度最有有效的的方法法。10/27/202226合肥工工业大大学4.和或差差函数数的中中误差差

函数式：

全微分：

中误差式：当等精度观测时：上式可写成：例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。

解：

10/27/202227合肥工工业大大学观测值值函数数中误误差公公式汇汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

10/27/202228合肥工工业大大学误差传传播定定律的的应用用用DJ6经纬仪仪观测测三角角形内内角时时，每每个内内角观观测4个测回回取平平均，，可使使得三三角形形闭合合差m15。例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ƒ=(1+2+3)-180解：由题意：2m=15,则m=7.5每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：10/27/202229合肥工工业大大学误差传传播定定律的的应用用例2：试用用中误误差传传播定定律分分析视视距测测量的的精度度。解:(1)测量水水平距距离的的精度度基本公公式：：求全微微分：：水平距距离中中误差差：其中：：10/27/202230合肥工工业大大学误差传传播定定律的的应用用例2：试用用中误误差传传播定定律分分析视视距测测量的的精度度。解:(2)测量高高差的的精度度基本公公式：：求全微微分：：高差中中误差差：其中：：10/27/202231合肥工工业大大学误差传传播定定律的的应用用例3:(1)用钢尺尺丈量量某正正方形形一条条边长长为求该正正方形形的周长S和面积A的中误误差.解:(1)周长,(2)用钢尺尺丈量量某正正方形形四条条边的的边长长为其中:求该正正方形形的周长S和面积A的中误误差.面积,周长的的中误误差为为全微分分:面积的的中误误差为为全微分分:10/27/202232合肥工工业大大学解:(1)周长和和面积积的中中误差差分别别为例3:(2)用钢尺尺丈量量某正正方形形四条条边的的边长长为其中:求该正正方形形的周长S和面积A的中误误差.(2)周长;周长的中误差差为面积得周长的中误误差为全微分:但由于10/27/202233合肥工业大学学▓观测值的算术术平均值(最或是值)▓用观测值的改改正数v计算观测值的的中误差(即:白塞尔公式)§6.6同（等）精度度直接观测平平差10/27/202234合肥工业大学学一.观测值的算术平均值(最或是值、最最可靠值)证明算术平均值为该量的最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x==1+2+···+nnn上式等号两边分别相加得和：L=10/27/202235合肥工业大学学当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测次数无限限多时，观测测值的算术平平均值就是该该量的真值；当观测次数有限限时，观测值值的算术平均值最接近真值值。所以，算术术平均值是最或是值。L≈X10/27/202236合肥工业大学学观测值改正数数特点二.观测值的改正正数v：以算术平均值值为最或是值值，并据此计计算各观测值值的改正数v，符合[vv]=min的“最小二乘原则则”。Vi=L-i(i=1,2,···,n)特点1——改正数总和为零：对上式取和：以代入：通常用于计算检核L=nv=nL-

nv

=n-=0v

=0特点2——[vv]符合“最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-=0x=n10/27/202237合肥工业大学学精度评定

比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：精度评定——用观测值的改改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：10/27/202238合肥工业大学学证明如下：真误差：改正数：证明两式根号号内相等对上式取n项的平方和由上两式得其中:10/27/202239合肥工业大学学证明两式根号号内相等中误差定义:白塞尔公式:10/27/202240合肥工业大学学解：该水平角真值未知，可用算术平均值的的改正数V计算其中误差：：例：对某水平角等等精度观测了了5次，观测数据据如下表，求其算术平均均值及观测值值的中误差。。算例1:次数观测值VVV备注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245[V]=0[VV]=60764245±1.7410/27/202241合肥工业大学学距离丈量精度度计算例算例2：对某距离用精精密量距方法法丈量六次，，求①该距离的算算术平均值；；②观测值值的中误差；；③③算术平均均值的中误差；；④④算术平均均值的相对中中误差：：凡是相对中误误差，都必须须用分子为1的分数表示。。10/27/202242合肥工业大学学§6.7不同精度直接接观测平差一、权的概念念权是权衡利弊弊、权衡轻重重的意思。在在测量工作中中权是一个表表示观测结果果可靠程度的的相对性指标标。1权的定义：设一组不同精精度的观测值值为li,其中误差为mi(I=1,2…n)，选定任一大于于零的常数λ，则定义权为：称Pi为观测值li的权。10/27/202243合肥工业大学学1权的定义：对于一组已知知中误差mi的观测值而言言，选定一个个大于零的常常数λ值，就有一组组对应的权；；由此可得各各观测值权之之间的比例关关系：2权的性质（1）权表示观测测值的相对精精度；（2）权与中误差差的平方成反反比，权始终终大于零，权权大则精度高高；（3）权的大小由由选定的λ值确定，但测测值权之间权权的比例关系系不变，同一一问题仅能选选定一个λ值。10/27/202244合肥工业大学学二、测量中常常用的定权方方法1同精度观测值值的权对于一组同