工程流体力学习题解析

V:1.0精选工程方案工程流体力学习题解析—（夏泰淳着）上海交通大学出版社工程流体力学习题解析（夏泰淳一着）_上海交通大学出版社第1章绪论选择题[] 按连续介质的概念，流体质点是指：（。）流体的分子；（6）流体内的固体颗粒：（c）几何的点;（"）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。解：流体质点是指体积小到可以看作一个几何点，但它又含有大量的分子，且具有诸如速度、密TOC\o"1-5"\h\z度及压强等物理量的流体微团。 （d）[] 与牛顿内摩擦定律直接相关的因素是：（“）切应力和压强；（））切应力和剪切变形速度；（c）切应力和剪切变形；（"）切应力和流速。dv dv dyT=/J ——解：牛顿内摩擦定律是dy,而且速度梯度⑪是流体微团的剪切变形速度由，故[]流体运动黏度u的国际单位是：（〃）m2/s；（fe）N/m2；（c）kg/m；（J）N-s/m2o解：流体的运动黏度u的国际单位是m7s。 （«）£=RT[]理想流体的特征是：黏度是常数；（b）不可压缩；（C）无黏性；（d）符合。O解：不考虑黏性的流体称为理想流体。 （C）[] 当水的压强增加一个大气压时，水的密度增大约为：（。）1/20000；（6）1/1000；（＜?）1/4000；（d）1/2000«^=M/?=0.5xl0-9xlxl05=—!—解：当水的压强增加一个大气压时，其密度增大约P 20000O（«）[]从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体：（。）能承受拉力，平衡时不能承受切应力：（6）不能承受拉力，平衡时能承受切应力；（c）不能承受拉力，平衡时不能承受切应力：（d）能承受拉力，平衡时也能承受切应力。解：流体的特性是既不能承受拉力，同时具有很大的流动性，即平衡时不能承受切应力。（c）[] 下列流体哪个属牛顿流体：（。）汽油；3纸浆；（c）血液；（d）沥青。解：满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。 （。）[] 15c时空气和水的运动黏度心气=15.2x10、%0水=1.146x1（）“nr/s,这说明：在运动中（“）空气比水的黏性力大；（匕）空气比水的黏性力小：（c）空气与水的黏性力接近：（d）不能直接比较。解：空气的运动黏度比水大近10倍，但由于水的密度是空气的近800倍，因此水的黏度反而比空气大近50倍，而黏性力除了同流体的黏度有关，还和速度梯度有关，因此它们不能直接比较。（d）[] 液体的黏性主要来自于液体：（。）分子热运动；（b）分子间内聚力；（C）易变形性；（d）抗拒变形的能力。解：液体的黏性主要由分子内聚力决定。 （（d）[] 液体的黏性主要来自于液体：（。）分子热运动；（b）分子间内聚力；（C）易变形性；（d）抗拒变形的能力。解：液体的黏性主要由分子内聚力决定。 （b）计算题[]黏度"=xlO2pa-s的黏性流体沿壁面流动，距壁面y处的流速为v=3y+V（m/s）,试求壁面的切应九。解：由牛顿内摩擦定律，壁面的切应力为dv=〃(3+2小y=0=3.92x10-2x3=u.76x10-2Pa【】在相距1mm的两平行平板之间充有某种黏性液体，当其中一板以s的速度相对于另一板作等速移动时,作用于板上的切应力为3500Pa。试求该液体的黏度。dvr=〃一解：由dy,dv 1x10-3〃=「=3500x =2.917Pa-sdv 1.2[）一圆锥体绕竖直中心轴作等速转动，锥体与固体的外锥体之间的缝隙3=lmm,其间充满〃=-s的润滑油。已知锥体顶面半径R=，锥体高度，=，当锥体转速〃=150r/min时，求所需旋转力矩。解：如图，在离圆锥顶6处，取一微圆锥体（半径为，），其这里Hv（h）=ra）=—ha）该处速度 H/、v Rhco剪切应力3 H8高为d〃一段圆锥体的旋转力矩为d/?dM(〃)=r(r)2%「cos。'习题1.12图Rhcoc2dh=Li 24r~ H3cos。其中厂=/ztan6代入uRco一h，tan20

=-- dhH8cos。总旋转力矩M=[dM(/i)=

JO2^//-/?<ytan20

H6cos0fh3dhJo2tt/jco0H48总旋转力矩M=[dM(/i)=

JO2^//-/?<ytan20

H6cos0fh3dhJo2tt/jco0H48cos0 4_g 150x2乃yr1,z/=0.IPa•s,69= =15.7rad/s其中 60tan^=—=—=0.6,cos0=0.857,H=0.5m,^=lxl03mH0.5代入上式得旋转力矩[1一圆筒形盛水容器以等角速度。绕其中心轴旋转。试写出图中A（x,y,z）处质量力的表达式。解：位于4x，y，z）处的流体知=生g%㈣X空=38.83N-m1x10-3x0.857 4质点，其质量力有力fx=a)2rcos0=co1x重力fy=<y2rsin0=a^yfz=S(z轴向上）故质量力的表达式为F=cerxi-^aryj-gkt散热器o锅加[]图示为一水暖系统，为了防止水温升高时，体积膨胀将水管胀裂，在系统顶部设一膨胀水箱。若系统内水的总体积为8m3,加温前后温差为50℃,在其温度范围内水的热胀系数＜1=5/℃»求膨胀水箱的最小容积。dVa- 解：由液体的热胀系数 VdT公式，据题意， a=0.(XX)5/-C,V=8m3,dT=5()。。故膨胀水箱的最小容积dV=aVd7=0.0005x8x50=0.2m3【】汽车上路时，轮胎内空气的温度为20C,绝对压强为395kPa,行驶后，轮胎内空气温度上升到50。(：，试求这时的压强。解：由理想气体状态方程，由于轮胎的容积不变，故空气的密度"不变，T~T其中Po其中Po=395kPa4=20+273=293K,T=50+273=323K395x323293395x323293=435.4kPa[]图示为压力表校正器。器内充满压缩系数为七xl()70m2/N的油液。器内压强为105pa时，油液的体积为200mL。现用手轮丝杆和活塞加压，活塞直径为1cm,丝杆螺距为2mm,当压强升高至20MPa时，问需将手轮摇多少转

习题1.18图dpk=2解：由液体压缩系数定义 dp,m.mmp——dp= 设V,V-AVVdpAV因此，PV-AV,其中手轮转〃转后，TT/△V=-d°H〃J体积变化了4（d为活塞直径，H为螺距）-d2Hnkdp=U V--d2Hn即 4 ,其中)l=4.75xlO-|om2/N,dp=(20x106-105)Pa得kdp=4.75x1Oiox(2Ox1O6-1O5)-xO.O12x2x1O_3x/j4习题1.19图2OOxlO-3xlO-3--xO.Ol2x2xlO习题1.19图4解得 〃=12转[]黏度测量仪有内外两个同心圆筒组成，两筒的间隙充满油液。外筒与转轴连接，其半径为力旋转角速度为。。内筒悬挂于一金属丝下，金属丝上所受的力矩M可以通过扭转角的值确定。外筒与内筒底面间隙为。，内筒高4,如题图所示。试推出油液黏度〃的计算式。解：外筒侧面的切应力为

r=/ja）r2/3这里3=弓一（故侧面黏性应力对转轴的力矩为M.= '2孙明8 （由于。是小量，H-a^H）对于内筒底面，距转轴「取宽度为“微圆环处的切应力为t=/jcorla则该微圆环上黏性力为2兀「dF=TLTimr=pco a故内筒底面黏性力为转轴的力矩”2为M,=「〃吆21/dr=—〃丝"显然即~Joa 2a显然即12ar?H-+-<-=——2。（弓一。第2章流体静力学选择题：[]相对压强的起算基准是：（。）绝对真空：（6）1个标准大气压；（c）当地大气压；（"）液面压强。TOC\o"1-5"\h\z解：相对压强是绝对压强和当地大气压之差。 （c）[]金属压力表的读值是：（。）绝对压强；（6）相对压强；（C）绝对压强加当地大气压；（"）相对压强加当地大气压。解：金属压力表的读数值是相对压强。 （6）[]某点的真空压强为65OOOPa,当地大气压为，该点的绝对压强为：（a）65000Pa；（6）55000Pa；（c）35000Pa；（d）165000Pa。解：真空压强是当相对压强为负值时它的绝对值。故该点的绝对压强p.h=0.1xl06-6.5xl04=35O（X）Pa ,、ab o （c）[]绝对压强凡b与相对压强p、真空压强心、当地大气压P"之间的关系是：（“）P^=P+PV.（*）P=Pab+Pa；9P、=P「P而;（d）P=区+%。解：绝对压强一当地大气压=相对压强，当相对压强为负值时，其绝对值即为真空压强。即TOC\o"1-5"\h\z凡b_%="=_",，，故P,，=P"_P11bo （c）[]在封闭容器上装有U形水银测压计，其中1、2、3点位于同一水平面上，其压强关系为：（。）p\>p?>P3；（b）p\=p?=/?3；（c）2Vp3；（d）解：设该封闭容器内气体压强为P。，则P2=P。，显然03>P2,而「2+7气体％ ，显[]用U形水银压差计测量水管内4、8两点的压强差，水银面高度的=10cm,PA・PB为:（。）；（b）；（C）；（rf）o解：由于Pa+7H2。〃+7H2。4=Pb+/H2oh+rHghp故以一。8=（加一加0）勺=（13.6-1）x9807x0.1=12.35kPa ⑹。在液体中潜体所受浮力的大小：（«）与潜体的密度成正比；（6）与液体的密度成正比；（c）与潜体的淹没深度成正比；（d）与液体表面的压强成反比。解：根据阿基米德原理，浮力的大小等于该物体所排开液体的重量，故浮力的大小与液体的密度成正比。 （匕）[]静止流场中的压强分布规律：（。）仅适用于不可压缩流体；（6）仅适用于理想流体；（C）仅适用于粘性流体；（"）既适用于理想流体，也适用于粘性流体。解：由于静止流场均可作为理想流体，因此其压强分布规律既适用于理想流体，也适用于粘性流体。 （d）[]静水中斜置平面壁的形心淹深％与压力中心淹深％的关系为生_包：（。）大于；（b）等于；（c）小于：（d）无规律。解：由于平壁上的压强随着水深的增加而增加，因此压力中心淹深〃。要比平壁形心淹深〃c大。（C）。流体处于平衡状态的必要条件是：（。）流体无粘性；（％）流体粘度大；（C）质量力有势；（d）流体正压。解：流体处于平衡状态的必要条件是质量力有势 （c）【】液体在重力场中作加速直线运动时，其自由面与—处处正交：（。）重力；（6）惯性力（c）重力和惯性力的合力；（d）压力。

解：由于流体作加速直线运动时，质量力除了重力外还有惯性力，由于质量力与等压面是正交的,很显然答案是计算题:【】试决定图示装置中A、8两点间的压强差。已知〃i=500mm,〃2=200mm,/i3=150mm,〃4=250mm,ft5=400mm,酒精力=7848N/H?,水银”=133400N/m?,水”=9810N/m3。解：由于Pa+%%=Pa+Y2fli而P3=P2+八%=Pb+也一儿)丫3+外%因此P2=Pb+也一+力%一外回即“A—%=%4+%(4—〃4)+ 一一泌=%(人一也)+，2〃4-7A-M=133400x0.2+9810x(0.4-0.25)+133400x0.25-7848x0.15-9810x0.5=55419.3Pa=55.419kPa[]试对下列两种情况求A液体中M点处的压强（见图）：（1）A液体是水，3液体是水银，y=60cm,z=30cm；（2）A液体是比重为的油，8液体是比重为的氯化钙溶液，y=80cm,z=20cmo[]试而pM=Pi+r而pM=Pi+rAy=yB^+rA：134000x0.3+9810x0.6=46.086kPa

(2)Pm=rBz+rAy=1.25x9810x0.2+0.8x9810x0.8=8.73IkPaTOC\o"1-5"\h\z【】在斜管微压计中，加压后无水酒精（比重为）的液面较未加压时的液面变化为y=12cm»a1 .—= sma=一试求所加的压强P为多大。设容器及斜管的断面分别为A和A100, 80习题.图4.,ya△h=—解：加压后容器的液面下降 Ayap=y(ysi殴+△〃)=yesia+—则 AW98乂始2/2=)[]设U形管绕通过AB的垂直轴等速旋转，试求当A8管的水银恰好下降到A点时的转速。解：U形管左边流体质点受质量力为惯性力为重力为一8在（r，z）坐标系中，等压面切=°的方程为rco2dr=gdz22TOC\o"1-5"\h\zcor「z= FC两边积分得 2g习题2.15图根据题意，「=°时z=0故C=0因此等压面方程为 2gU形管左端自由液面坐标为r=80cm,z=60+60=120cm22gz 2x9.81x1.2 _2co=—= ； =36.79s代入上式「 0.8-故co=J36.79=6.065rad/s【】在半径为。的空心球形容器内充满密度为"的液体。当这个容器以匀角速3绕垂直轴旋转时，试求球壁上最大压强点的位置。解：建立坐标系如图，由于球体的轴对称，故仅考虑平面球壁上流体任一点m的质量力为fy=ajly.fz=-g因此dp=/X«y2ydy_gdz)两边积分得CO1y2P=P(—^—一gz)+C在球形容器壁上丫=役皿，；z=acos0代入上式，得壁上任一点的压强为22•2八Wtrsirr夕 八、一p—p( agcos”)+C1 1 2—=p(arci1sinOcos0+agsin6)=0使压强有极值，则d，cos^=——J即4>0由于ao)- 故8>90°即最大压强点在球中心的下方。2 2、s一 2讨论：当成厂或者0时，最大压强点在球中心以下0的位置上。>1 £>a当。口2或者6r时，最大压强点在8=180°,即球形容器的最低点。【】如图所示，底面积为8xb=0.2mx0.2m的方口容器，自重g=40N,静止时装水高度力=,设容器在荷重W=200N的作用下沿平面滑动，容器底与平面之间的摩擦因数f=,试求保证水不能溢出的容器最小高度。习题图7解：先求容器的加速度设绳子的张力为丁WW-T=—aTOC\o"1-5"\h\z贝ij g («)T-(G+yb2h)f=。”7ag (bW-f(G+yb2h)a= g故解得yb2h+G+W代入数据得a=5.5898m/s2在容器中建立坐标如图。(原点在水面的中心点)质量力为手工”工=-g由dp=p(-adx-gdz两边积分 P=一Pg一Pgz+C当x=0,z=°处p=0故C=0a

Z= X自由液面方程为 gx=--,z=H-h且当2 满足方程代入(C)式得H=h+—=H=h+—=0A5+

2g5.5898x0.22x9.81=0.207m【】如图所示，一个有盖的圆柱形容器，底半径R=2m,容器内充满水，顶盖上距中心为石处开一个小孔通大气。容器绕其主轴作等角速度旋转。试问当心为多少时，顶盖所受的水的总压力为零。解：如图坐标系下，当容器在作等角速度旋转时，容器内流体的压强在顶盖的下表面，由于z=°,压强为要使顶盖所受水的总压力为零I'/?J)p2^rdr=—pco127t^^r2-jrdr=0J。2J0rdr=0积分上式4 2%= ——f=—解得V2V2[]矩形闸门48宽为，左侧油深力i=lm,水深〃2=2m,油的比重为，闸门倾角a=60o,试求闸门上的液体总压力及作用点的位置。解：设油，水在闸门AB上的分界点为E,则油和水在闸门上静压力分布如图所示。现将压力图尸分解成三部分6,8，K,而/=耳+工+居,h1AE=—^—= =1.155r其中 sinasinffO

EB=."-=——-——=2.31msinasin60°pE=Yhy=0.795x9810x1=7799PaPb=Pe+7H=7799x9810x2=27419Pa水F,=1pEAExI=lx7799x1.155=4504NF2=/?eEBxI=7799x2.31=18016N^=；(Pb-Pe)E8xI」x(27419-7799)x2.31=22661N故单压力-=K+<+==4504+18016+22661=45.18kN设总压力F作用在闸门AB上的作用点为D,实质是求水压力图的形状中心离开A点的距离。TOC\o"1-5"\h\z2 ] 7F-AD=E-AE+FA-EB+AE)+FA-EB+AE)由合力矩定理， 3 22 332 1 24504x-xl.155+18016x(-x2.31+1.155)+22661x(-x2.31+1.155)An— 3 2 3 故 45180=2.35mhD=ADsinahD=ADsina=2.35xsin60°=2.035m或者习题2.20图【】一平板闸门，高，=lm,支撑点。距地面的高度。=，问当左侧水深〃增至多大时，闸门才会绕。点自动打开。解：当水深万增加时，作用在平板闸门上静水压力作用点。也在提高，当该作用点在转轴中心。处上方时，才能使闸门打开。本题就是求当水深〃为多大，水压力作用点恰好位于O点处。

本题采用两种方法求解(1)解析法:其中yD=yo=h-aI=—bH3=—xlxHc12 12A=bH=lxH=H„ —H3tz/n12h-a=(h)+———7H2代入—xl3A-0.4=(/i-0.5)+ 或者(A-0.5)xl或者解得(2)图解法:设闸门上缘A点的压强为「人，下缘B点的压强为Pb,则Pa=S-h)yps=hy静水总压力尸(作用在单位宽度闸门上)=片+鸟其中Fl=FAAB=(h-H)yH111,F2=-(PB-PA)AB=-(yh-rh+yH)H=-yH2产的作用点在。处时，对B点取矩", 1,1 H 1 、H(h-H)Hy+-yH2a=(h-H)Hy—+-yH2—故L 2J 2 2 3(h-1+—x 1>:0.4 /i(->t)xl 0.4xx—1或者 2 2 3解得/?=1.33【】如图所示，箱内充满液体，活动侧壁OA可以绕O点自由转动，紧箱体，U形管的〃应为多少。解：测压点8处的压强Pb=~Yh则A处的压强PapA+y(H-Hd)=pBg[jPa=~Yh-y{H-H设E点处%二°,则E点的位置在pA+yAE=0故 AE=h+(H-HD)设负压总压力为6,正压总压力为8(单位宽度侧壁)1 1若要使活动侧壁恰好能贴卜口即「八大小2 26=；poEO=^y(HD-h)(HD-h)以上两总压力对。点力矩之和应等于0,即-Ft(^AE+EO)+F2x^xEO=0-^y(h+H-HD)2l(h+H-HD)+(HD-h)\+^r(HD即2 |_3 」2=02h=Hn——H展开整理后得 3-h)2^(HD-h)HD)(h+H【】有一矩形平板闸门，水压力经过闸门的面板传到3条水平梁上，为了使各横梁的负荷相等，试问应分别将它们置于距自由表面多深的地方。已知闸门高为4m,宽6m,水深H=3m。解：按题意，解答显然与闸门宽度b无关，因此在实际计算中只需按单位宽度计算即可。S=S=-yHA4OB的面积211,1,

,OF的面积£=丁7加=P。尸OF2=!”2=1x32=3TOC\o"1-5"\h\z故 3 3OF=73=1.732m2 2y.=±OF=-xl.732=1.155m13 3S2=—S=—yH'=—yOD'△COO的面积233Z2’OD2=-H2=-x32=6故3 3OD=y/6=2.45m要求梯形COFE的形心位置V，可对°点取矩y2(S2-Sl)=J：7y论=-yy-(2.453-l,7323)y2=— =2.1Im同理梯形4BOC的形心位置y3为%(S-S2)=:yy2dyJ33-(-(33-2.453)3=2.73m[]一直径。=的盛水容器悬于直径为D\=的柱塞上。容器自重G=490N,a=«如不计容器与柱塞间的摩擦，试求：（1）为保持容器不致下落，容器内真空压强应为多大。（2）柱塞浸没深度6对计算结果有无影响。解：（1）本题只要考虑盛水容器受力平衡的问题。设容器内自由液面处的压强为P（实质上为负压），则 柱塞下端的压强Pi为Pi=P+泮由于容器上顶被柱塞贯穿，容器周围是大气压，故容器上 顶和下冗Pi-D、底的压力差为4（方向t,实际上为吸力）要求容器不致下落，因此以上吸力必须与容器的自重及水 的重量相平衡即0/=G+吗D2a-:取）G+y-Dra490+9810x-x0.42x0.3p= ——= =27377Pa-D,2 -x0.22即 4 4=27.38kF（真空压强）（2）从以上计算中可知，若能保持。不变，则柱塞浸没 深度〃对计算结果无影响。若随着人的增大，导致。的增大，则从公式可知容器内的真空压强P也将增大。【】如图所示一储水容器，容器壁上装有3个直径为d=的半球形盖，设狂，H=,试求作用在每个球盖上的静水压力。

解：对于。盖，其压力体体积％，为"哈）%—0.53=0.262m3TOC\o"1-5"\h\z0.53=0.262m3=（2.5-1.0）x-x0.52--^-x4 12七=7Q=9810x0.262=2.57kN（方向f）对于b盖，其压力体体积为％1V=（H+-）-d2+—7rd3的24 12=（2.5f1呼x20x30f5 03,=7%=9810x0.720=7.063kN（方向】）对于C盖，静水压力可分解成水平及铅重两个分力，其中jr jrFr=yH-d2=9810x2.5x-x0.52=4.813kN水平方向分力 4 4 （方向一）F=yV=9810x—x0.53=0.321kN铅重方向分力" ' 12 （方向|）[]在图示铸框中铸造半径R=50cm,长L=120cm及厚6=2cm的半圆柱形铸件。设铸模浇口中的铁水（＞Fe=70630N/m3）面高//=90cm,浇口尺寸为rf]=10cm,d2=3cm,A=8cm,铸框连同砂土的重量G（）=,试问为克服铁水液压力的作用铸框上还需加多大重量Go应等于解：在铸框上所需加压铁的重量和铸框连同砂土的重量之和铁水对铸模铅垂方向的压力。应等于铁水对铸模的作用力（铅垂方向）为工=/丫其中丫为V=2（R+b）LH-^（R+b）2 -h-R-b）-^d^h

xl.2-71 -%xl.2-=2x（0.5+0.02）x0.9-yx0.522-x0.32x（0.9-0.08-0.52）--x0.12x0.084 4=0.593m3E=ZV=70630x0.593=41,88kN（方向f）[]容器底部圆孔用一锥形塞子塞住，如图[]容器底部圆孔用一锥形塞子塞住，如图H=4r,力=3r,若将重度为大（容器内液体的重度为y）»的锥形塞提起需力多解：塞子上顶所受静水压力F'F.={H--）y7rr2=（4r—1.5r）wrr2=2.5^yr32 （方向I）塞子侧面所受铅垂方向压力KF2=yVV=（万/_J_）（”--）4-——（r2+-+Lrr^-L^r其中 4 2 32 42 4=2.3裙3F2=2375叱（方向f）G=—rhv,=nry,塞子自重3 （方向I）故若要提起塞子，所需的力尸为F=F[+G-F2=2.5^/r3+乃—2.375^/r3=（0]257+%）

V=-h(R2+r2+Rr)注.圆台体积3 ,其中〃一圆台高，r,R一上下底半径。[]如图所示，一个漏斗倒扣在桌面上，已知人=120mm, 140mm,自重G=20N。试求充水高度，为多少时，水压力将把漏斗举起而引起水从漏斗口与桌面的间隙泄出。此时为临界状态。解：当漏斗受到水压力和重力相等时,解得 H=0.1725m解：当漏斗受到水压力和重力相等时,则水线面惯【】一长为20m,宽10m,深5m的平底船，当它浮在淡水上时的吃水为3m,又其重心在对称轴上距船底的高度处。试求该船的初稳心高及横倾则水线面惯I=—LB3性矩12（取小值）排水体积v=lbt一1 32由公式初稳心高GC=-T-0.2=——0.22由公式初稳心高I ]LB' d2GM=MC+GC=—+GC=^——+GC=——+1.3VLBT12T102=-^—+1.3=4.078m12x3 （浮心在重心之上）复原力矩M=yLBTGMsin©=9810x20xl0x3x4.078xsin8°复原力矩=3340.587k

[]密度为PI的圆锥体，其轴线铅垂方向，顶点向下，试研究它浮在液面上时的稳定性（设圆锥体中心角为29）。jrw=Pig—(%tan6)2%解：圆锥体重量 3,=yPigA)tan2^Fb=p2g^h3tg20(T)当圆锥正浮时圆锥体重心为G,OG=-4则4IGC2h0OC=-h浮心为C,则4稳心为圆锥体重心为G,OG=-4则4IGC2h0OC=-h浮心为C,则4稳心为MI=-7cr圆锥水线面惯性矩44=—/?4tan40GM=CM-CG=初稳性高度-h4tan40_4圆锥体能保持稳定平衡的条件是〃>0故须有人出11-。%-，〃（1+tan~6）>为,或者〃>%cos20将（。）式代入（6）式得hsec20>h0Pl'p\cos20<1cos20<或者cos2cos20<因此当PiiI"J时圆锥体是稳定平衡cos20= -当 时圆锥体是随偶平衡cos20>f—T当 1°"时圆锥体是不稳定平衡【】某空载船由内河出海时，吃水减少了20cm,接着在港口装了一些货物，吃水增加了15cm。设最初船的空载排水量为1OOOt,问该船在港口装了多少货物。设吃水线附近船的侧面为直壁，设海水的密度为/>=1026kg/m3。解：由于船的最初排水量为1008,即它的排水体积为।000m1它未装货时，在海水中的排水体积为10001.02610001.026=974.66m3线面积'为1000线面积'为1000-974.660.20=126.7m2按题意，在吃水线附近穿的侧壁为直壁，则吃水线附近的水因此载货量W=126.7x0.15xl026=19.50t=191.3kN【】一个均质圆柱体，高H,底半径R,圆柱体的材料密度为600kg/m3。（1）将圆柱体直立地浮于水面，当R/H大于多少时，浮体才是稳定的（2）将圆柱体横浮于水面，当小于多少时，浮体是稳定的习题2.31图解：（1）当圆柱直立时，浸没在水中的高度设为儿如图（。）所示则 pg兀R,h=Peg兀R2Hh=H^-即 P式中。为水的密度，夕m为圆柱体的密度式中G为圆柱体重心，C浮心，C在G下方初稳心半径CM为CM=-V其中V=7rR2h,

其中I=-d4=-7VR464 4 (即圆面积对某直径的惯性矩)CM=——得 4〃当 CM-CG>0,浮体是稳定的即 4〃2(pJA>12Ml一㈤Jx里“1-侬］=0.6928

整理得"Volp)vloool1000；(2)当圆柱体横浮于水面时，设被淹的圆柱截面积为A,深度为人，如图(b)所示。则 0gA”=Pmg兀R2HA=万心％即 P (a)A=-0R2-R2sin—cos—或者2 2 2 (b)将(a)(b)代入数据得e=sine+1.2zr应用迭代法(见附录)解得<9=3.457406397该圆截面的圆心就是圆柱体的重心G,浮心C位置为A”=J：。12ylR--y2ydy=|(Rsin^)3A=7/?22=os兀K式中 P ,6»=3.4583881=198.25得 以=0.34056A故 CG=yc=0.34056/?由于浮面有两条对称轴，，面积惯性矩分别为I.=—BH3A=—BH3'12 ,212nB=2/?sin-式中 2因而初稳心半径分别为4及弓其中/,BH其中/,BH3V~\2AHH?=0.0873—l,HBl,HByr=—= 2V12A”「6

sin—

——2-/?=0.34056/?0.9乃当浮体稳定时，应满足H? h、” 0.0873一>0.34056/? —>1.9754>CG, R 得Rr2>CG,0.34056/?>0.34056R不等式恒满足因此使圆柱体横浮时稳定应满足TOC\o"1-5"\h\zLI R—>1.975 — < 0.506R,或者H第3章流体运动学选择题：d2r dv[]用欧拉法表示流体质点的加速度。等于：（。）d/；（6）St.（c）（v-V）v.（d）—+（v-V）vSto。=业=包+（同）解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为 drdtvv⑷[1恒定流是：（“）流动随时间按一定规律变化；（^）各空间点上的运动要素不随时间变化；（。）各过流断面的速度分布相同；（d）迁移加速度为零。解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动. （b）[]一元流动限于：（。）流线是直线；（^）速度分布按直线变化；（。）运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数：（d）运动参数不随时间变化的流动。解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。 （c）[]均匀流是：（a）当地加速度为零；（力）迁移加速度为零；（。）向心加速度为零：（d）合加速度为零。解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动（6）[]无旋运动限于：（。）流线是直线的流动；（方）迹线是直线的流动；（。）微团无旋转的流动；（d）恒定流动。解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。（d）[]变直径管，直径4=320mm,出=160mm,流速匕=L5m/s。%为：（。）3m/s.（b）4m/s.（c）6m/s；（d）9m/soV,-d^=V2-dl解：按连续性方程，4一4,故[]平面流动具有流函数的条件是：（«）理想流体；（b）无旋流动：（C）具有流速势；（d）满足连续性。解：平面流动只要满足连续方程，则流函数是存在的。 （d）[1恒定流动中，流体质点的加速度：（。）等于零；（b）等于常数：（C）随时间变化而变化；（d）与时间无关。解：所谓恒定流动（定常流动）是用欧拉法来描述的，指任意一空间点观察流体质点的物理量均不随时间而变化，但要注意的是这并不表示流体质点无加速度。（d）[]在 流动中，流线和迹线重合：（。）无旋；（力）有旋；（。）恒定；（d）非恒定。解：对于恒定流动，流线和迹线在形式上是重合的。 （C）[]流体微团的运动与刚体运动相比，多了一项运动：（。）平移；（力）旋转；（C）变形；（d）加速。解：流体微团的运动由以下三种运动：平移、旋转、变形迭加而成。而刚体是不变形的物体。 （c）【1一维流动的连续性方程E4=C成立的必要条件是：（。）理想流体；（力）粘性流体；（。）可压缩流体；（d）不可压缩流体。解：一维流动的连续方程％=C成立的条件是不可压缩流体，倘若是可压缩流体，则连续方程为夕忆（d）[]流线与流线，在通常情况下：（。）能相交，也能相切；（6）仅能相交，但不能相切；（C）仅能相切，但不能相交；（d）既不能相交，也不能相切。解：流线和流线在通常情况下是不能相交的，除非相交点该处的速度为零（称为驻点），但通常情况下两条流线可以相切。[1欧拉法一描述流体质点的运动：（〃）直接；（力）间接；（°）不能；（d）只在恒定时能。解：欧拉法也称空间点法，它是占据某一个空间点去观察经过这一空间点上的流体质点的物理量，因而是间接的。而拉格朗日法（质点法）是直接跟随质点运动观察它的物理量 （力）[J非恒定流动中，流线与迹线：（。）一定重合；（力）一定不重合；（0）特殊情况下可能重合；（d）一定正交。解：对于恒定流动，流线和迹线在形式上一定重合，但对于非恒定流动，在某些特殊情况下也可能重合，举一个简单例子，如果流体质点作直线运动，尽管是非恒定的，TOC\o"1-5"\h\z但流线和迹线可能是重合。 （。）[]一维流动中，“截面积大处速度小，截面积小处速度大”成立的必要条件是：（«）理想流体；（"）粘性流体；（。）可压缩流体：（d）不可压缩流体。解：这道题的解释同题一样的。 （d）[]速度势函数存在于流动中：（。）不可压缩流体；（6）平面连续；（°）所有无旋；（d）任意平面。解：速度势函数（速度势）存在的条件是势流（无旋流动） （C）[]流体作无旋运动的特征是：（。）所有流线都是直线；（力）所有迹线都是直线；（C）任意流体元的角变形为零；（d）任意一点的涡量都为零。解：流体作无旋运动特征是任意一点的涡量都为零。 （d）[]速度势函数和流函数同时存在的前提条件是：（“）两维不可压缩连续运动；（b）两维不可压缩连续且无旋运动；（c）三维不可压缩连续运动；（d）三维不可压缩连续运动。解：流函数存在条件是不可压缩流体平面流动，而速度势存在条件是无旋流动，即流动是平面势流。 （力）计算题[]设流体质点的轨迹方程为x=Ge'—t—1y=C2ez+r-l>z=C、其中G、C2>C3为常数。试求（1）r=0时位于x=a,y=b,z=c处的流体质点的轨迹方程；（2）求任意流体质点的速度；（3）用Euler法表示上面流动的速度场；（4）用Euler法直接求加速度场和用Lagrange法求得质点的加速度后再换算成Euler法的加速度场，两者结果是否相同。解：（1）以t=0,x=a,y=b,Z=c代入轨迹方程，得

a=c,-1(人=G-1c/q=。+1“2=6+1故得1。3=。当，=°时位于(a,b,c)流体质点的轨迹方程为x=(a+l)er-r-1<y=S+l)e'+/-1z=cI (〃)v=—=c2e/+1（2）求任意质点的速度（3）若用Euler法表示该速度场由（。）式解出凡4ca=—(x+f+1)—1b="(y-r+l)-l”)（。）式对，求导并将（。）式代入得u=—=(a+l)er-1=x+zv=^-=(Z?+l)e/+l=y-/+2(d)w=—=0(d)（4）用Euler法求加速度场TOC\o"1-5"\h\zdudu du duar=—+—〃+—v+—wdtdx dy dz=1+(x+，)=x+，+ldvdv dv dvav=—+—〃+—v+—wdtdx dy dz=—l+(y—，+2)=y—，+ldwdw dw dw 八= 1 uH vd vv=()'dtdx dy dz由（。）式Lagrange法求加速度场为fd2x4=常=（。+1）占32v\ay=-=（b+1）e'd2zna.=—=0将（c）式代入（e）式得ax=x+r+l<ay=y-t+ia,二0两种结果完全相同[J已知流场中的速度分布为u=yz-htv=xz-t>w=xy（1）试问此流动是否恒定。（2）求流体质点在通过场中（1,1,1）点时的加速度。解：（1）由于速度场与时间，有关，该流动为非恒定流动。avav=—(2)dt+——〃+—v+——w

dxdydz=1+z(xz—，)+y(xy)TOC\o"1-5"\h\zdvdv dv dv呢= 1 u-\ v-\ wdtdx dy dz=-1+z(yz+/)+x(xy)dwdw dw dwa,= 1 u-\ vh w'dt dx dy dz=y(yz+f)+x(xz—t)将x=l,y=l,z=代入上式，得ax=3—t<%,=l+fa.=2[1一流动的速度场为v=(x+l)ri+(y+2)rj试确定在r=l时通过（2,1）点的轨迹线方程和流线方程。解：迹线微分方程为—=u=(x+1)产即drIn仅+1）=-/+g以上两式积分得 3两式相减得x+1=c(y+2)将x=2,y=i代入得c=i

故过(2,1)点的轨迹方程为x-y=l流线的微分方程为dxdyuvdr_dyg|J (》+1)/-(丁+2)产消去,,两边积分得ln(x+l)=ln(y+2)+Inc或者x+l=c(>2)以x=2,y=i代入得积分常数 C=\故在r=l,通过(2,I)点的流线方程为x-y=l[1已知流动的速度分布为若无旋,u=ay(y2-x2)

v=ax(y2—x2)

其中。为常数。(1)试求流线方程，并绘制流线图；(2)判断流动是否有旋,

则求速度势。并绘制等势线。若无旋,y解：对于二维流动的流线微分方程为dx_dy

uvdr_dyay(y2-x2)ax(y2-x]a(y2-x2)得xdx=ydy-x2=-y2+c积分得2 2若c取一系列不同的数值，可得到流线族一双曲线族，它们的渐近y=x如图有关流线的指向，可由流速分布来确定。u=ay(y2-x2)v=ax(y2-x2)对于y>°,当时，«>o当lylVxi时,u<o对于y<°,当时，«<o当lyKUI时，u>o据此可画出流线的方向判别流动是否有旋，只要判别roty是否为零，彦一曾=A["(V-"2)]一早[3(V-dxoyox dy=a(y2-x2)-2ax2-a(y2-x2)+lay2=-2ax2+2ay200所以流动是有旋的，不存在速度势。[1一二维流动的速度分布为u=Ar4-Byv=Cx+Dy其中A、B、C、。为常数。(1)A、8、C、。间呈何种关系时流动才无旋;(2)求此时流动的速度势。解：(1)该流动要成为实际流动时，须满足divv=°,dudv八即&dy或者 4+0=0,得a=「D该流动无旋时，须满足rotv=0,dvdu_ =0即dx②或者C-8=0,得C=B

ju-Ar+By(2)满足以上条件时，速度分布为lv=Bx-Ayd(p.D-!-=u=Ax+Bydx(p=^-Ax2+Bxy+f(y)积分得2竺=Bx+f'(y)=v=Bx-Ay由于外故f'(y)=-Ayf(y)=~Ay2(p=—A(x2-y2)+Bxy因此速度势 2【】设有粘性流体经过一平板的表面。已知平板近旁的速度分布为.nyv=v0sin— v门2a(%，”为常数，y为至平板的距离)试求平板上的变形速率及应力。解：流体微团单位长度沿*方向的直线变形速率为dx，现 2aSu£^=—=°故 8xK同理沿丁方向直线变形速率为dv .£四=一 =0»dyJ7y=0沿z方向直线变形速度为dw 八e.—— =0GZy=o在xOy平面上的角变形速率.dvdu.=T(T-+V-)dxdyv=0（为x轴方向）,Try.n %%=%cos（丁）一 =—2aav=02adu .,4y、= 〃=%sin(-^)在y°z平面上的角变形速率.dwdv至)=°在zOx平面上的角变形速率.dudw.八匕=（法+菽）=°牛顿流体的本构关系为（即变形和应力之间关系）P-2〃在z5vdux—甘加),du3卬、r=r=〃( 1 )XZZX尸'△c/dzOX.dwdv.

dydz故在平板上，PLP”=PLPduT=LI qdy而 “,ny.n=//v0cos(—)—“ 2。2ay=o二4W)2a[1设不可压缩流体运动的3个速度分量为u-ax口=缈w=-2az其中a为常数。试证明这一流动的流线为y2z=const,解：由流线的微分方程）'consf两曲面的交线。dx_dy_dzuvwdx_dy_dzaxay—2az(«)9)(«)9)axay<一dy_dz即ay—2az积分（。）得x一=。y积分（b）得y2z=X_即证明了流线为曲面y%=常数与曲面y常数的交线。并画出[]己知平面流动的速度场为v=（4y-6x）”+（6y—9x））。求/=1时的流线方程,1WXW4区间穿过*轴的4条流线图形。并画出解：流线的微分方程为dx_dyuv，=1时的流线为dxdy4y-6x6y—9xdx_dy或者2（2y-3无）3（2y-3x）即3dx=2dy积分得3x-2y=c为流线方程设°=3,6,9,12时可画出14工44穿过*轴的4条流线[1已知不可压缩流体平面流动，在y方向的速度分量为v=y2-2x+2y。试求速度在x方向的分量〃。解：此平面流动必须满足divv=°对于二维流动即dudv. 4 =0 、&Sy以□='-2x+2y代入du-八—+2y+2=0dx

3〃CC——=-2y-2故8故u=-2xy-2x+f(y-t)【】求两平行板间，流体的单宽流量。已知速度分布为式中y=0为中心线，丁=±”为平板所在位置，"max为常数。U=U解：如图，由U=U解：如图，由r[1- ]，平板间的速度分布为抛物线分布。通过dy截面的体积流量dQ为de=Mdy=Mmax[l-（1）2]dy则平板间的流量 ％[. 〃」。2b4=2Wmax-=-^Wmax[1下列两个流动，哪个有旋哪个无旋哪个有角变形哪个无角变形（]）u=-ayv=axtw=0cy exu= L-rv= r八（2）x+y,x+）'，w=o式中。、c是常数。解：（1）判别流动是否有旋，只有判别rotu是否等于零。dv--=0-0=0dz一生=0-0=0dxdu/ 、c =a-(-a)=2aSy

ooO

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^7\—/

-++

々(0(0

1-21-21-2

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加¥av-az而一小所以ooO

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々(0(0

1-21-21-2

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加¥av-az而一小1,加du=~(T-2dz所以流动无角变形。dwdv. =((2)dydz包一电=0一0=0dzdxdvduc(x2+y2)—2cx2[—c(x24-y2)+2cy2] — —।■dxdy(x2+y2)2 (x2+y2)2故流动为无旋_~c(x2-y2)同理.一，+打ryz=o%=°[1已知平面流动的速度分布“=丁+2%一”，v=-2xy-2ya试确定流动：(1)是否满足连续性方程：(2)是否有旋：(3)如存在速度势和流函数,求出。和解：(1)由divv是否为零得包+包=2*+2-2*-2=0dxdy故满足连续性方程(2)由二维流动的dvdu_ ,八 =-2y-(—4)H0得5xdy故流动有旋(3)此流场为不可压缩流动的有旋二维流动，存在流函数群而速度势。不存在

--=w=x2+2x-4ySy积分得y=x2y+2xy-2y2+f(x)=-v=2xy+2ydx故2xy^-2y+f\x)=2xy+2y/'(x)=0,/(x)=C因此^=x2y+2xy-2y2(常数可以作为零)^^arctan221 x求其流函数。^^arctan221 x求其流函数。(p=——InrTOC\o"1-5"\h\z已知速度势为：(1) 24 ；(2)解：(1)在极坐标系中v=的=dw'drrdOd(p 3材Vn= = rdO dr°Qi(p=——Inr当 2兀的的Q=Vr="一rot)2乃厂dJQ=d〃即dO2乃d。取乒6+/(r)因此2万故f(r)=Cry(p=——arctan—(2)当2%x时将直角坐标表达式化为极坐标形式r(p=e2乃丝=0drvo=d(pvo=rdO2nr空一=0rd0dr，（「）=一故r]——Inr，（「）=一故r,W= Inr得2n【】有一平面流场，设流体不可压缩，X方向的速度分量为〃=e-'coshy+l（1）已知边界条件为y=°,v=o,求v（x，y）；（2）求这个平面流动的流函数。解：（1）由不可压缩流体应满足di"=0dudv7 .—= =-ecoshy即dx②v=e-xfcoshydy=e-xsinhy故Jodl// -ji—=u=-ecoshy+1（2）小W=e-'sinhy+y+/(x)di// _x.. =—v=—esinhydx即-e-xsinhy+f\x)=-e-xsinhyr(x)=0,/(x)=C得-=e-xsinhy+y[]己知平面势流的速度势°=武)'2-3/)，求流函数以及通过(0,0)及(1,2)两点连线的体积流量。丝=_丝=一6盯解：由于小②^=-3xy2+/(x)丝=_也=3八3/由于dydx

3y2-f'(x)=3y2-3x2/'(x)=3x2,f(x)=x3故流函数为c2 3I//=—3xy+xQ=”「2)=1j2及0。) (取绝对值)第4章 理想流体动力学选择题Ji J?Z[+ =z2+ pgpg.[4.1]如图等直径水管，Ji J?Z[+ =z2+ pgpg.点的运动参数有以下关系：（。）Pi=〃2；（b）Pi=Pa.（C）+以=分+以PgPS+以=分+以PgPS。解：对于恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的分布规律，即P P， %z+—=c Z）+—=Z2+—丫 ,故在同一过流断面上满足 pg -pg （。）paV2Z+ F []伯努利方程中Pg2g表示（。）单位重量流体具有的机械能；（/,）单位质量流体具有的机械能；（。）单位体积流体具有的机械能；（d）通过过流断面流体的总机械能。Pav~Z+ d 解：伯努利方程 Pg2g表示单位重量流体所具有的位置势能、压强势能和动能之和或者是总机械能。故 （。）[] 水平放置的渐扩管，如忽略水头损失，断面形心的压强，有以下关系：（。）Pl>22；（b）P\=Pl.（c）P1<22；（d）不定。解：水平放置的渐扩管由于断面1和2形心高度不变，但匕因此P1<P2（0）[] 粘性流体总水头线沿程的变化是：（。）沿程下降：（人）沿程上升；（。）保持水平；（d）前三种情况都有可能。解：粘性流体由于沿程有能量损失，因此总水头线沿程总是下降的 （”）[] 粘性流体测压管水头线沿程的变化是：（。）沿程下降；（b）沿程上升；（C）保

持水平：（Q）前三种情况都有可能。解：粘性流体测压管水头线表示单位重量流体所具有的势能，因此沿程的变化是不一定的。（d）计算题计算题如图，设一虹吸管a=2m,/i=6m,d=15cm。试求：（1）管内的流量；（2）管内最高

点S的压强；（3）若〃不变，点S继续升高（即a增大，而上端管口始终浸入水其中Vj=0上+上

2g内），问使吸虹管内的水不能连续流动的a值为多大。解：（1）以水箱底面为基准，对自由液面上的点1和虹吸管下端出口处2建立1-2其中Vj=0上+上

2gv2=y[2gh=V2x9,81x6=10.爽0=v,-J2=10.85x-x0.152=0.192管内体积流量 一4 4 /(2)以管口2处为基准，对自由液面1处及管内最高点S列1-S流2 2,.P..V>一7+2+匕Z. 1 _Zs十 1 线伯努利方程。则 y2gY2g其中z,=hzs=h+yPi=°K=0»，匕=.=10.85m/s亿=7(-y-*)= x(-2--10-85-)=-78.46kPa即 2g9807 2x9.81即S点的真空压强P、=78.46kPa（3）当〃不变，S点y增大时，当S点的压强Ps等于水的汽化压强时， 此时S点发生水的汽化，管内的流动即中止。查表，在常温下（15 ℃）水的汽化压强为1697Pa（绝对压强）以管口2为基准，列S-2点的伯努利方程，

,2,27 +匕-7+22+色_,2,272g- 72g=1697Pap2=101325Pa（大气绝对压强）p,—p、. 101325-1697 /s4一/y=1697Pap2=101325Pa（大气绝对压强）p,—p、. 101325-1697 /s4一/y=—~--h= 6=10.16-6=4.16my 9807本题要注意的是伯努利方程中两边的压强计示方式要相同，由于P，为绝对压强，因此出口处也要绝对压强。[] 如图，两个紧靠的水箱逐级放水，放水孔的截面积分别为4与42，试问加与比成什么关系时流动处于恒定状态，这时需在左边水箱补充多大的流量。解：以右箱出口处4为基准，对右箱自由液面3到出口处4列流线伯努利方程!■13A27列流线伯_.A+_i_7,,21y2g72g其中z3=h-,z4=0I3 _，_0V3=0A,则 匕=42gH[以左箱出口处2为基准，对左箱自由液面1到出口处2努利方程其中 Z|=z+4,z2=00=0,Pz=P3+Yz=yzVj=0故 ^2=\l^当流动处于恒定流动时，应有右箱出口处的流量和左水箱流入右 水箱的流量及补充入左水量的流量均相等，即为4=匕4即4=（4）2或者也A且左水箱需补充的流量为 。=4匕=4>/荻本题要注意的是左水箱的水仅是流入右水箱，而不能从1-4直接列一条流线。[] 如图，水从密闭容器中恒定出流，经一变截面管而流入大气中，己知4=7m,，=at,Ai=A3=50cm2,A2=100cm2,A4=25cm2,若不计流动损失，试求：（1）各截面上的流速、流经管路的体积流量：（2）各截面上的总水头。解：（1）以管口4为基准，从密闭容器自由液面上0点到变截面管出口处4列0-4流线伯努利方程，其中7+P0+*_7+P4+VZnH 1 -Zdn 1 y2gY2gz0=H,z4=0即7又由于Po=P，.4=0%=o2x9.8k(7-3>%2g2x9.81由连续性原理由于=10m,由于4=43故匕=匕4匕=v3=^-v4=—xl4=7m/s

A3450a75v2=^-v4=—xl4=3.5n}故244100 7、云以皿g./士如'大豆Q=A4v4=25x104x14=0.035流经管路的体积流量44（2）以管□为基准，该处总水头等于10m,由于不计粘性损失，因此各截面上总水头均等于10m。如图，在水箱侧壁同一铅垂线上开了上下两个小孔，若两股射流在O点相交，试证明%Z[= .解：列容器自由液面0至小孔1及2流线的伯努利方程，可得到小孔处出流速度”丽。此公式称托里拆利公式（Toricelli）,它在形式上与初始速度为零的自由落体运动一样，这是不考虑流体粘性的结果。由y~28公式，分别算出流体下落丁距离所需的时间，其中经过A及‘2时间后，两孔射流在某处相交，它们的水平距离相等,甲尸V2l,其中匕=而序匕=/^^,即匕%=%是[] 如图，Venturi管A处的直径4=20cm,B处的直径d2=2cm。当阀门。关闭，阀门C开启时测得U型压力计中水银柱的差〃=8mm,求此时Venturi管内的流量。又若将阀门C关闭，阀门。开启，利用管中的射流将真空容器内的压强减至100mm（水银柱）时，管内的流量应为多大。解：由于本题流体是空气，因此忽略其重力。从A至8两过流断面列总流伯努利方程 1 - 1 - 1 Ya2gYa2g若A,8处的截面面积各为4及Ab,由连续方程AV=AVa0o2得4 0.022*A将上式代入（。）式2g（Pa-Pb2g（Pa-Pb）Ya1一a2gp「PqYa2x9.81xl3.6xl000x9.81x0.008

1.2x9.81=1779得匕=42.1m/Q=A„Vfi=-x0.022x42.1=0.0132mV则文丘里管中的流量 4 /s倘若阀门C关闭，阀门D开启时，真空容器内的压强减至l（X）mm水银柱时，2x9.81x13.6x1000x9.81x0.1»…ra匕=149ra匕=149双1.2x9.81Q=ARVR=-x0.01x149T0.04B%此时流量 4 人

[] 如图，一呈上大下小的圆锥形状的储水池，底部有一泄流管，直径d=,流量因数〃=,容器内初始水深〃=3m,水面直径£>=60m,当水位降落后，水面直径为48m,求此过程所需时间。解：本题按小孔出流，设某时刻f时，水面已降至z处，则由托里拆利公式，泄流管处的出流速度为v=J2g(〃-z)=J2g(3-z)60-48「二5储水池锥度为2x1.2 ,因此当水面降至z处时，水面的直径为D-2x5z=60-10z由连续方程在由时间内流出的水量等于液面下降的水量//V—=—x(60-10z)2dz4 4(60-102),dt=—i———dz故 2g(3-Z)/12(60-14)/T。无匠矿TOC\o"1-5"\h\z100r>2(6-z)2J

= ] :I-I dz0.8x0.62xV2x9.81Jo由于 (6—z)2=[3+(3-z)F=9+6(3-z)+(3—z)2♦=78.391 ♦=78.399©z.2)+a/+)-(32).=1 29余本题从总的过程是非恒定流，若应用非恒定流的伯努利方程很复杂，为此将整个过程微分，每个微分时间内作为恒定流来处理，然后应用积分的方法来求解。[] 如图，水箱通过宽B=,高”=的闸门往外泄流，闸门开口的顶端距水面〃=。试计算(1)闸门开口的理论流量；(2)将开口作为小孔处理时所引起的百分误差。H„=h+—=0.6+—=l.2m解：(1)由图 2 2H>H。11〉 由于10,故本题应按大孔出流来处理，将大孔口，沿水平分割成许多小孔，然后对于每一小孔按Torricelli定理

出流速度V=J丽，小孔面积dA=5d/?理论出流量为dQ=Vd4=By{2ghdh总出流量O总出流量O=JdQ=J：B师…网;h2dh出2 - -=出2 - -=-x0.9xV2x9.81x(1.8i-0.62)43=2.66x(2.41-0.46)=5.19”（2）当按小孔出流处理时,出流+Q'=Aj2g”0=0.9xl.2x72x9.81x1.2=5.24mq两者引起的相对误差为习题4.13图今想利用水箱两者引起的相对误差为习题4.13图今想利用水箱A中水的流动来吸出水槽8中的水。水箱及管道各部分的截面积及速度如图所示。试求（1）速度如图所示。试求（1）使最小截面处压强低于大气压的条件；（2）从水槽8中把水吸出的条件。（在此假定A,vvAoA.vvAo以及与水箱a中流出的流量相比，从B中吸出的流量为小量。）解：（1）在4<<4及4«4的假定下，本题可看作小孔出流由Torricelli定理匕=以4处为基准，对水箱A自由液面及最小截面A，建立总流伯努利方程力+也由at/2gy2g其中％=°,P“=°h-JL+YL故 72gV-要使最小截面处压强P，低于大气压即为负值必须使_ 匕=a匕由连续方程4X=am得 4v2

e<2g=YL2g2V-要使最小截面处压强P，低于大气压即为负值必须使_ 匕=a匕由连续方程4X=am得 4v2

e<2g=YL2g2I2gh五(2)A得此时的条件应为A，Pe若从水槽中吸出水时，需具备的条件为凡＜一74,或者¥代入由于如高解,V2h———<-he— s或者V将上述不等式代入V2…法，匕＞向国图，一消防水枪，向上倾角a=30"水管直径£）=i50mm,压力表读数p=3m水柱,喷嘴直径d=75mm,求喷出流速，喷至最高点的高程及在最高点的射流直径。：不计重力，对压力表截面1处至喷咀出口2处列伯努利方程+殳2g匕2-%=2gx3=6g(«)另外，由连续方程d_75丫d_15()J,V,2,、 V,2一一乙=6x9.81上式代入（公式得 16因此匕=7.92m/s设最高点位置为Nmax,则根据质点的上抛运动有(匕sina)2=2^^-30J。8m•a2x9.81射流至最高点时，仅有水平速度匕=匕cos3°,列喷咀出口处2至高点处3的伯努利方程（在大气中压强均为零）。V2V2K2殳=0.8+上2g2g得V3=依-08x2g=a/7.922-0.8x2x9.81=6.86m/s或者水平速度始终是不变的％=%cos30=7.92x0.866=6.86m/s由连续方程，最高点射流直径为为4故792=75xJ—=4故792=75xJ—=80.6mmV6.86[] 如图，水以V=10m/s的速度从内径为50mm的喷管中喷出，喷管的一端则用螺栓固定在内径为100mm水管的法兰上，如不计损失，试求作用在连接螺栓上的拉力。V—d1=解：由连续方程'41 42vi/",丫in(50? ...V.=V—=10x =2.5m/s故I""booj对喷管的入口及出口列总流伯努利方程Pl+YL=p+YL72g72g其中P=。px=-|(V2-^2)=O.5xl000x(102-2.52)=46875N/m2取控制面，并建立坐标如图，设喷管对流体的作用力为F。定理为定理为定理定理-F+p^d^=\OOOxJVQK.dj+iooovVad；F=46875x-x0.12+1000x2.52x-x0.12-1OOOxlO2x-x0.052故 4 4 4=220.8N则作用在连接螺栓上的拉力大小为N方向同F方向相反.y[] 将一平板伸到水柱内，板面垂直于水柱的轴线，水柱A,被截后的流动如图所示。已知水柱的流量。=$,水柱的来流速度V=30m/s,若被截取的流量。=$,试确定水柱作用在板上的合力R和水流的偏转角。（略去水的重量及粘性）。解：设水柱的周围均为大气压。由于不计重力，因此由伯努利方程可知V=V；=V2=30m/s由连续方程0=。|+。2Q2=Q-Qt=0.036-0.012=0.024m3/s取封闭的控制面如图，并建立工作坐标，设平板对射流柱的作用力为 F（由于不考虑粘性，仅为压力）。由动量X方向：_F=P（-0）y+0Q2%cosa即F=1（XX）x0.036x30-l（XX）x0.024x30xcostz （a）,方向：0=/?Q2Vsina+pQ（—匕）

.Q,0.012sina=―L= =—00.024代入（公式产=456.5N即作用在板上合力大小为456.5N,方向与尸方向相反一水射流对弯曲对称叶片的冲击如图所示，试就下面两种情况求射流对叶片的作用力：（1）V 解：（1）射流四周均为大气压，且不计重力，由伯努利方程，各断面上的流速均相同。取封闭控制面如图，并建立x分坐标，力为F力为F由动量定理2工=»口,产公X方向： A-F=p（-Q）v+2p—v1-cos（7r-a）］即 2=pQv(coa_F=p^J2v2(l-costz)p—J2v2（l-cosa）叶片受到射流对其作用力大小为4 ,方向与尸方向相反。（2）当控制体在作匀速运动时，由于固结于控制体上的坐标系仍是惯性 系,在动量定理中只要将相对速度代替绝对速度即可。现当叶片以〃速度后退，此时射流相对于固结于叶片上的控制面的相 对速度为匕=丫一"，因此叶片受到的力大小为F'=p—J2(v—«)2(1—cosa)4… .v=19.8n/,M=12n/,J=100mm,a=135例如，当人/s' '时,F'=\000x-x0.12x(19.8-12)2x(1-cos135)则 4=815.3习题4.18图

[] 如图，锅炉省煤气的进口处测得烟气负压〃/=,出口负压/i2=20mmH2。。如炉外空气p=n?,烟气的密度“=kg/m3,两测压断面高度差”=5m,试求烟气通过省煤气的压强损失。解：本题要应用非空气流以相对压强表示的伯努利方程形式。由进口断面1至出口断面2列伯努利方程”2 ,P\+-+（/o-/）（Z2-Zl）=P2+]■匕2+"式中Pi=-00105x9807=-102.97Pap2=-0.02x9807=-196.14PaV=%故-102.97+9.81x(1.2-0.6)x(0-5)=-196.14+即得Ap=63.74Pa[] 如图,直径为4=700mm的管道在支承水平面上分支为d2=500mm的两支管，A—A断面的压强为70kN/m2,管道流量。=s,两支管流量相等。（1）不计水头损失，求支墩受的水平推力；（2）若水头损失为支管流速水头的5倍，求支墩受的水平推力。（不考虑螺栓连接的作用）V=-^―=°'6=1.56m/s工"21x072解：（1）在总管上过流断面上平均