广东省中考二轮复习《圆综合》同步压轴练习题(解析版)

2020年广东省中考二轮复习：《圆的综合》同步压轴练习题(分析版)2020年广东省中考二轮复习：《圆的综合》同步压轴练习题(分析版)48/48薁PAGE48薅螆羅螀薀莃蚀螄羆羇莃莂蚃羂螀蚄莇膈肅薀莂薁螀薄螈蒀薃袈膁莅袀蒄腿莇芅蒁膄羄羀莄芆蚈羆虿羃薃肀莄蚆衿蒄芁螁膂膀芄肇袆膆蕿蒀螁芀膄蒈肇蚄肁薃蚄荿肅蚅芈莆荿节芃荿羅肆葿螄羁肁袂葿袅蒇蒆蒆腿肄蒂蕿袅袈蚈羄螂袃肁虿螅艿罿蚅肀蚁袄蝿蚅莅袆膃薂莀蒃衿薅螆膇袅袀蒃肂罿蒅膇莈芃莂节蚁羈莆薈蕿肅蚀羁薄肈芆罿薆蒃羈肄膃膈芆肆螇膅薀螃螃芈膆薇聿袇蝿薂莂莈肆羈羆莄莁莀羁蒈羆莈芇肆虿莃螄薈袆蒅蒈薄膁膂莃薈螆袆虿芆葿袁羂羂蚇芇蚆蚄羁羄薁肁膅蚈莅蒆袇蚃羃膁肅聿蚇袄莀蒂薂膁羅膆袈薆蚈芁膁芁袅薇袅肃膀芄螀莁薁羇肆螅蒈肂荿蒁蒁莈芇芃肀袁节薁莂薅芄羅芈薀袁蚀节羆蒅莃袀蚃蒀螀膂莇螇肅膈莂肀螀膂螈羈薃蒇膁羃袀肂腿羅芅罿膄蒂羀羂芆膆羆芇羃肁肀袂蚆莇蒄蝿螁蚀膀螂肇莄膆肇蒀艿芀蚃蒈薅蚄虿薃膂荿薃蚅螆莆袇节螁荿薃肆肈螄葿肁莁葿蒃蒇羅蒆螈肄羀蕿莃袈芆羄芀袃蕿虿芃艿蒇蚅薈蚁蒂蝿膃莅蒄膃肀莀肁衿肃螆蚅袅莈蒃蚀罿羄膇袆芃羀节艿羈羄薈膇肅芈羁肂肈袄罿肄蒃蒆肄蚂膈螄肆莆膅聿螃芁芈蚄薇薇袇莇薂袀莈薄羈薄莄衿莀葿蒈蒄莈螅肆膇莃莂薈莄蒅羆薄虿膂羁薈莅袆芇芆羇袁薀羂芅芇膄蚄蕿羄腿肁膅蚈莅蒆袇蚃羃膁肅聿蚇袄莀蒂薂膁羅膆袈薆蚈芁膁芁袅薇袅肃膀芄螀莁薁羇肆螅蒈肂荿蒁蒁莈芇芃肀袁节薁莂薅芄羅芈薀袁蚀节羆蒅莃袀蚃蒀螀膂莇螇肅膈莂肀螀膂螈羈薃蒇膁羃袀肂腿羅芅罿膄蒂羀羂芆膆羆芇羃肁肀袂蚆莇蒄蝿螁蚀膀螂肇莄膆肇蒀艿芀蚃蒈薅蚄虿薃膂荿薃蚅螆莆袇节螁荿薃肆肈螄葿肁莁葿蒃蒇羅蒆螈肄羀蕿莃袈芆羄芀袃蕿虿芃艿蒇蚅薈蚁蒂蝿膃莅蒄膃肀莀肁衿肃螆蚅袅莈蒃蚀罿羄膇袆芃羀节艿羈羄薈膇肅芈羁肂肈袄罿肄蒃蒆肄蚂膈螄肆莆膅聿螃芁芈蚄薇薇袇莇薂袀莈薄羈薄莄衿莀葿蒈蒄莈螅肆膇莃莂薈莄蒅羆薄虿膂羁薈莅袆芇芆羇袁薀羂芅芇膄蚄蕿羄腿肁膅蚈莅蒆袇蚃羃膁肅聿蚇袄莀蒂薂膁羅膆袈薆蚈芁膁芁袅薇袅肃膀芄螀莁薁羇肆螅蒈肂荿蒁蒁莈芇芃肀袁节薁莂薅芄羅芈薀袁蚀节羆蒅莃袀蚃蒀螀膂莇螇肅膈莂肀螀膂螈羈薃蒇膁羃袀肂腿羅芅罿膄蒂羀羂芆膆羆芇羃肁肀袂蚆莇蒄蝿螁蚀膀螂肇莄膆肇蒀艿芀蚃蒈薅蚄虿薃膂荿薃蚅螆莆袇节螁荿薃肆肈螄葿肁莁葿蒃蒇羅蒆螈肄羀蕿莃袈芆羄芀袃蕿虿芃艿蒇蚅薈蚁蒂蝿膃莅蒄膃肀莀肁衿肃螆蚅袅莈蒃蚀罿羄膇袆芃羀节艿羈羄薈蚆肅螆羁蚁肈莂罿蚃蒃肅肄芀膈节肆袄膅薇螃蝿芈膂薇肅袇袅薂莈莈肂羈肂莄莇莀羇蒈肂莈芃肆蚅莃袀薈羃蒅薄薄芇膂葿薈袃袆螅芆薅袁肈羂螃芇蚂蚄肇羄蚈肁蚃蚈羄蒆莆蚃薁薃薃薁膅莆袈羄膀蚃蒃蚈莆肇膆蚂蝿螃蒃肈莃薅螈螅莈袃聿葿薄芇羆薄羇羃羀袀袅蚅薈芃螀肂袀羇螂莇袆肂荿肂袀莈肃袅莈肅罿膂螀蝿芅薇蚇袄薈节蚀芀蒆肅羅蚃蒁莂薀蚁蒃螆蒇蚆肀蒂蒀螇蚄蒈螅蒄虿薂莀膈羅羆莇膃芈蚂芁蕿袂蚈薅羂袇蚁芁羀肃肆膇羅蚀螁膁肇莅螈蒅螄芀袁肁蒈薆芆羈薃衿羁羁衿薃羈芆薆蒈肁袁芀螄蒅螈莅肇膁螁蚀羅膇肆肃羀芁蚁袇羂薅蚈袂蕿芁蚂芈膃莇羆羅膈莀薂虿蒄螅蒈蚄螇蒀蒂肀蚆蒇螆蒃蚁薀莂蒁蚃羅肅蒆芀蚀节薈袄蚇薇芅蝿螀膂罿肅莈袅肃莈袀肂荿肂袆莇螂羇袀肂螀芃薈蚅袅袀羀羃羇薄羆芇薄葿聿袃莈螅螈薅莃肈蒃螃蝿蚂膆肇莆蚈蒃蚃膀羄袈莆膅薁薃2020年广东省中考二轮复习：《圆的综合》同步压轴练习题(分析版)二轮复习：《圆的综合》同步压轴练习

1．【定义】满足必然条件的点所经过的路线称为这个点的轨迹．

【命题】已知平面上两个定点A，B，则所有满足＝k（k＞0且k≠1）的点P的轨迹是

一个圆．

【证明】如图①，要使需＝k，必然在直线AB上存在一点O，使△OPB∽△OAP，这时

2＝k，且OP＝OB×OA，设AB＝p，OB＝a，则OP＝ka．

请你完成余下的证明．

【应用】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，c＝2，b＝2a，求三角形

ABC面积的最大值．

【拓展】如图②，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB＝4，点P是⊙O上一个动点，求AP+DP

的最小值．2．如图，△放置在平面直角坐标系中，点（3，0），点（﹣3，0），点（0，4），ABCBCAP是射线上的动点，连接CP并延长交射线AB于点，连接，△的外接圆⊙MAODPBPBD交射线AO于另一点E，作EF⊥AE交⊙M于点F，连接PF，BE．设P（0，t）（t≠﹣4），

PF＝d．

1）求证：∠APD＝∠EPB；

2）求证：△EBP∽△EAB；

3）①求d关于t的函数关系式；

②在点P的运动过程中，直接写出⊙M面积的最小值．

3．如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连接BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连接EF．（1）求AD的长；（2）求证：△∽△；BEFBDP（3）连接，若＝3，当△为等腰三角形时，求BF的长；DEDPDEP（4）把△沿着直线翻折获取△，若落在边上，且∥，记△、△DEPDPDGPGACDGBPAPGPDG、△GDC的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3的值为．

4．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E

是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证：△DAF≌△DCE．

（2）求证：DE是⊙O的切线．

（3）若BF＝2，DH＝，求四边形ABCD的面积．

5．如图，已知AB＝10，以AB为直径作半圆O，半径OA绕点O顺时针旋转获取OC，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接BC并延长到点D，使得CD＝BC，过点D作

DE⊥AB于点E，连接AD，AC．

（1）AD＝；

2）如图1，当点E与点O重合时，判断△ABD的形状，并说明原由；

3）如图2，当OE＝1时，求BC的长；

4）如图3，若点P是线段AD上一点，连接PC，当PC与半圆O相切时，直接写出直线

PC与AD的地址关系．

6．如图，已知AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，AD＝2BD，ED与

AB的延长线订交于点F，连接AD．

1）求证：DE为⊙O的切线．

2）求证：△FDB∽△FAD；

3）若BF＝2，求⊙O的半径．

7．如图已知：MN为⊙O的直径，点E为弧MC上一点，连接EN交CH于点F，CH是⊙O的一

条弦，CH⊥MN于点K．

1）如图1，连接OE，求证：∠EON＝2∠EFC；

2）如图2，连接OC，OC与NE交于点G，若MP∥EN，MP＝2HK，求证：FH＝FE；

3）如图3，在（2）的条件下，连接EH交OC与ON于点R，T，连接PH，若RT：RE＝1：

5，PH＝2，求OR的长．

8．如图，C是上的必然点，D是弦上的必然点，P是弦上的一动点，连接，将ABCBDP线段绕点顺时针旋转90°获取线段′，射线′与交于点．已知＝6，PDPPDPDQBCcm设P，C两点间的距离为xcm，P，D两点间的距离为y1cm，P，Q两点间的距离为y2cm．

小石依照学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探

究，下面是小石的研究过程，请补充完满：

（1）依照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别获取了y1，y2与x的几组对

应值：x/cm0123456y1/cmy2/cm（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数据所对应的点（x，y1），

（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ，当△DPQ为等腰三角形时，PC的长度约为

cm．（结果保留一位小数）

9．已知：为⊙的直径，点，D在⊙O上，＝，连接，．ABOCADOC

1）如图1，求证：AD∥OC；

2）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，求证：AD＝2OE；

3）如图3，在（2）的条件下，点F在OC上，且OF＝BE，连接DF并延长交⊙O于点G，过点G作CH⊥AD于点H，连接CH，若∠CFG＝135°，CE＝3，求CH的长．

10．如图，A，B，C，D四点都在OO上，弧AC＝弧BC，连接AB，CD、AD，∠ADC＝45°．

1）如图1，AB是⊙O的直径；

2）如图2，过点B作BE⊥CD于点E，点F在弧AC上，连接BF交CD于点G，∠FGC＝2

BAD，求证：BA均分∠FBE；

（3）如图3，在（2）的条件下，与⊙O相切于点，交EB的延长线于点，连接，MNMNAM若2∠+∠＝135°，＝，＝26，求线段的长．MADFBAMNABENCD

11．如图1，AB为半圆O的直径，半径OP⊥AB，过劣弧AP上一点D作DC⊥AB于点C．连接

DB，交OP于点E，∠DBA＝°．

（1）若OC＝2，则AC的长为；

2）试写出AC与PE之间的数量关系，并说明原由；

3）连接AD并延长，交OP的延长线于点G，设DC＝x，GP＝y，央求出x与y之间的等量关系式．（请先补全图形，再解答）．

12．在等边△ABC中，点O在边BC上，以OC为半径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB

于点E．

1）如图1，求证：DE为⊙O的切线．

2）如图2，连接AO交DE于点F．若F为DE中点，求tan∠CAO的值．

13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD．

1）求证：AD∥BC；

2）若AD＝BC，求证：四边形ABCD为矩形；

3）在（2）的条件下，设⊙O半径为R，点E为AD弧上一点，连接BE交AD于G，EF

切⊙O于E交CD延长线于F，EF＝R，DF＝13，BG＝28，求线段BC的长度．

14．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点P，且∠PAB＝45°．

（1）如图1，求∠ACB的度数；（2）如图

2，AD是⊙O的直径，

AD交

BC于点

E，连接CD，求证：

AC+CD＝

BC；

（3）如图

3，在（2）的条件下，当

BC＝4

CD时，点F，G分别在

AP，AB上，连接

BF，

FG，∠BFG＝∠P，且

BF＝FG，若

AE＝15，求

FG的长．

参照答案

1．解：【证明】∴k2a2＝a（a+p），

∵p．k是常数，

∴a是常数，

∴点O的地址确定，且OP为ka（常量），

∴点P的轨迹是圆；

【运用】运用（1）的结论，由于p＝2，k＝2，

∴＝，

∴圆的半径为，

∴当OC⊥AB时．OABC面积最大，最大值为；

【拓展】如图，连OA，OP，OD，在OD上取一点E，使OE＝，连PE，AE．

22∵OP＝2＝4，OE?OD＝＝4，

2∴OP＝OE?OD，

∠POE＝∠DOP，

∴△POE∽△DOP，

∴，

∴PE＝PD，

AP+PD＝AP+PE≤AE，

AE＝＝，

即AP+DP的最小值为．

2．解：（1）证明：由题意，AO是BC的垂直均分线．

PC＝PB，

∴∠CPO＝∠BPO，

∵∠APD＝∠CPO，

∴∠APD＝∠EPB；

2）证明：∵∠ADP+∠PDB＝180°，∠PEB+∠PDB＝180°，∴∠ADP＝∠PEB，

∵APD＝∠EPB，∴∠EBP＝∠EAB．∵∠PEB＝∠BEA，∴△EBP∽△EAB；

3）①设点E（0，y），

∵△EBP∽△EAB；

∴，

2即EB＝EP?EA．

y2+9＝（t﹣y）（4﹣y），

y＝

PE＝t﹣y＝

∵∠F＝∠EBP＝∠EAB，

sin∠F＝，

EF⊥AE，

PF是OM的直径，

PF＝PE．

d＝；

②∵d＝＝[（t+4）+﹣8]＝[（﹣）2+2]≥当＝，即t＝1时，OM的直径d最小，∴在点P的运动过程中，面积的最小值为π×2＝．OM3．解：（1）设CD＝x，则BD＝10﹣x，

22222在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD＝AB﹣BD＝AC﹣CD，

依题意得：，

解得x＝6，

∴AD＝＝8．

2）∵四边形BFEP是圆内接四边形，∴∠EFB＝∠DPB，

又∵∠FBE＝∠PDB，

∴△BEF∽△BDP．

3）由（1）得BD＝6，

∵PD＝3，∴BP＝＝，∴cos∠PBD＝，当△DEP为等腰三角形时，有三种情况：Ⅰ．当PE＝DP＝3时，BE＝BP﹣EP＝，∴＝＝＝．BFⅡ．当DE＝PE时，E是BP中点，BE＝，∴BF＝＝＝，Ⅲ．当＝＝3时，＝2×cos∠＝＝，DPDEPEPDBPD∴BE＝3，∴BF＝＝＝，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，BF的长为、、．

（4）连接EG交PD于M点，

DG∥BP

∴∠EPD＝∠EDF＝∠PDG，

PG＝DG，

EP＝PG，ED＝DG，

∴四边形PEDG是菱形，

∴EM＝MG，PM＝DM，EG⊥AD，

又∵BD⊥AD，

∴EG∥BC，

∴EM＝，

∴，

∴AM＝6，

∴DM＝PM＝2，

∴PD＝4，AP＝4，

∴S△＝＝×4×3＝6，APG

S△PDG＝＝×4×3＝6，

＝＝＝4．S△GDC∴S1：S2：S3＝6：6：2＝3：3：2．

4．（1）证明：如图，连接DF，

∵四边形ABCD为菱形，

AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，

AB﹣BF＝BC﹣BE，

即AF＝CE，

∴△DAF≌△DCE（SAS）；

2）由（1）知，△DAF≌△DCE，则∠DFA＝∠DEC．∵AD是⊙O的直径，

∴∠DFA＝90°，∴∠DEC＝90°

∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；

2）解：如图，连接AH，

AD是⊙O的直径，∴∠AHD＝∠DFA＝90°，

∴∠DFB＝90°，

AD＝AB，DH＝，∴DB＝2DH＝2，

在Rt△ADF和Rt△BDF中，

222222∵DF＝AD﹣AF，DF＝BD﹣BF，2222∴AD﹣AF＝DB﹣BF，2222∴AD﹣（AD﹣BF）＝DB﹣BF，∴AD2﹣（AD﹣2）2＝（2）2﹣22，AD＝5．

∴AH＝＝＝2

∴S＝2S＝2×?AH＝BD?AH＝2×2＝20．即四边形ABCD的面积是20．四边形ABCD△ABD

5．解：（1）∵AB是圆O的直径，

AC⊥BC．

又∵BC＝CD，

AD＝AB＝10．

故答案是：10；

2）△ABD是等边三角形，原由以下：如图1，

∵点E与点O重合，

AE＝BE，∵DE⊥AB，

AD＝BD，∵AD＝AB，

AD＝AB＝DB，

∴△ABD是等边三角形；

（3）如图2，

AB＝10，

∴AO＝BO＝5，

当点E在AO上时，

则AE＝AO﹣OE＝4，BE＝BO+OE＝6，

AD＝10，DE⊥AO，

∴在Rt△ADE和Rt△BDE中，

由勾股定理得22222﹣4222，AD﹣AE＝BD﹣BE，即10＝BD﹣6解得＝2，BD∴BC＝BD＝；当点E在OB上时，同理可得2222，10﹣6＝BD﹣4解得＝4，BDBC＝2，

综上所述，的长为或2；BC

（4）PC⊥AD．原由以下：

如图3，连接OC．

∵点C是BD的中点，点O是AB的中点，

OC是△ABD的中位线，

OC∥AD．

又∵PC与半圆O相切，

PC⊥OC，

PC⊥AD．

6．（1）证明：连接OD，以下列图：

AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

E是AC的中点，

EA＝ED，

∴∠EDA＝∠EAD，

OD＝OA，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠EDO＝∠EAO，

AB⊥AC，

∴∠EAO＝90°，∴∠EDO＝90°，

OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；

（2）解：∵DE为⊙O的切线，

∴∠ODF＝∠FDB+∠ODB＝∠FAD+∠OBD＝90°，

OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠FDB＝∠FAD，

又∵∠F为公共角，

∴△FDB∽△FAD；

（3）∵△FDB∽△FAD，

∴＝＝，且＝．

BF＝2．

∴＝＝．

DF＝4，AF＝8．

AB＝8﹣2＝6．

∴⊙O的半径是3．

7．解：（1）如图1，连接EM．

MN为圆O的直径，∴∠MEN＝90°，

CH⊥MN于K，

∴∠MKF＝90°，

∴∠MEF+∠MKF＝180°，∴∠EFC＝∠EMO，

OE＝OM，

∴∠EON＝2∠EMO＝2∠EFC．

（2）如图2，连接ME、EH、PN、EC、CN、HN．

∵MN为圆O直径，

∴∠MPN＝∠MEN＝90°，

MP∥EN，

∴∠PMN＝∠ENM，

∴△MPN≌△ENM（AAS），

MP＝EN，

MN⊥CH于K，

KH＝CK＝CH，HN＝CN

CH＝2KH，∠HEN＝∠CEN＝∠NHC，∵MP＝2KH，

CH＝MP＝EN，

∴∠HEC＝∠NHE，

∴∠HEN＝∠EHC，

FH＝FE．

（3）如图3，连接EM、PN、PE、CE、CN、HN、OH．

PM＝EN且MP∥EN，∠MPN＝90°，∴四边形MENP是矩形，

∴PE为圆O直径，∴∠PHE＝∠PNE＝90°

∵∠ENC＝∠EHC＝∠HEN＝∠HCN＝∠NHC＝∠CEN，∴CE＝CN，

OE＝ON，

OC垂直均分EN，

∴∠EOC＝∠NOC，

由角均分线比率定理可知：＝＝，

∴设OT＝x，则ON＝OM＝OP＝OC＝OE＝5x，

MT＝6x，TN＝4x，∵CE＝CN＝HN，∴∠EOR＝∠HOT，∵OH＝OE，

∴∠OEH＝∠OHE，

∴△OER≌△OHT（ASA），

OR＝OT＝x，TH＝RE，

设RT＝y，则ER＝HT＝5y，ET＝6y，

由订交弦定理有：MT?TN＝ET?TH，

6x?4x＝6y?5y，

4x2＝5y2，

∴＝，∴y＝x，

∴EH＝ER+RT+TH＝11y＝x，

222在Rt△PHE中：PE＝PH+EH，∴100x2＝8+x2，

∴x2＝8，

∴x＝，

∴OR＝．

8．解：（1）观察图象发现规律可知：

表格数据为：；

2）以下列图：

即为两个函数y1，y2的图象；

（3）观察图象可知：

两个图象的交点的横坐标即为△

两个交点的横坐标为和

故答案为：或．

DPQ为等腰三角形时，．

PC的长度，

9．解：（1）如图1，连接OD，

BC＝CD，

∴∠COD＝∠COB＝∠BOD，

∵∠DAB＝∠BOD，

∴∠DAB＝∠COB，

AD∥OC．

（2）如图2，延长CO交圆O于F，延长CE交圆O于G，连接FG，BD，

则∠CGF＝∠BDA＝90°，

CE⊥AB于E，

CG＝2CE，∠OEC＝90°，∴∠COE+∠OCE＝90°，

∵∠COE＝∠DAB，∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠OCE＝∠DBA，

AD＝FG

CO＝FO，

∴OE＝FG，

AD＝2OE．

（3）如图3，延长CO交圆O于P，连接BD交OC于N，作PM⊥AD于M，连接BC、BF．

则∠ADB＝90°，

AD∥OC，∴OC⊥BD，∴DN＝BN，

CE⊥AB于E，

∴∠OEC＝∠ONB＝90°，

OB＝OC，∠COE＝∠BON，∴△COE≌△BON（AAS），∴BN＝CE＝3，ON＝OE，

∴DN＝BN＝3，CN＝BE＝OF，

∵∠CFG＝135°，

∴∠DFC＝∠PFG＝45°，

∴FN＝DN＝3，DF＝DN＝3，

设BE＝x，则OC＝3+2x，OE＝3+x，

在Rt△OCE中：2+2＝2，所以（3+）2+9＝（3+2）2，解得x＝1，OECEOCxxCF＝4，OC＝OB＝5，AB＝CP＝10，PF＝6，∵FM⊥AD，

∴∠FMD＝∠FMH＝90°，∵OC∥AD，

∴∠MDF＝∠DFC＝45°，

MF＝DM＝DF＝3，

设CP交HG于R，

HG⊥AD，∴CP⊥HG，

∴∠GRF＝∠HRF＝90°，

∴RF＝RG，FG＝RF，HR＝MF＝3，又∵CF?PF＝DF?FG，

∴24＝6RF，∴RF＝4，

CR＝CF+RF＝8，

222在Rt△CHR中：CH＝HR+CR＝9+64＝73，

∴CH＝．

10．解（1）如图1，连接BD．

∵＝，

∴∠BDC＝∠ADC＝45°，

∴∠ADB＝90°，

∴AB是圆O的直径．

（2）如图2，连接OG、OD、BD．

则OA＝OD＝OB，

∴∠OAD＝∠ODA，∠OBD＝∠ODB，

∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，

∵∠FGC＝2∠BAD，

∴∠DOB＝∠FGC＝∠BGD，

B、G、O、D四点共圆，∴∠ODE＝∠OBG，

∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，∴∠EBD＝45°＝∠EDB，

∴∠OBE＝∠ODE＝∠OBG，

BA均分∠FBE．

（3）如图3，连接AC、BC、CO、DO、EO、BD．

AC＝BC，

AC＝BC，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，

延长CO交圆O于点K，则∠DOK＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝2∠OBE＝2∠FBA，连接DM、OM，则∠MOD＝2∠MAD，

∵2∠MAD+∠FBA＝135°，∴∠MOD+∠FBA＝135°，

2∠MOD+2∠FBA＝270°，

2∠MOD+∠DOK＝270°，

∵∠AOM+∠DOM+∠KOK＝270°，

∴∠AOM＝∠DOM，

AM＝DM，

连接MO并延长交AD于H，则∠MHA＝∠MHD＝90°，AH＝DH，

设MH与BC交于点R，连接AR，则AR＝DR，∵∠ADC＝45°，

∴∠ARD＝∠ARC＝90°，△ADR是等腰直角三角形，∴∠BRH＝∠ARH＝45°

∵∠ACR+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACR＝∠CBE，

∴△ACR≌△CBE（AAS），∴CR＝BE＝ED，

作EQ⊥MN于Q，则∠EQN＝∠EQM＝90°，连接OE，则OE垂直均分BD，

∴OE∥AD∥MN，

∴四边形OEQM是矩形，∴OM＝EQ，OE＝MQ，

延长DB交MN于点P，∵∠PBN＝∠EBD＝45°，∴∠BNP＝45°，

∴△EQN是等腰直角三角形，

∴EQ＝QN＝EN＝13，

OA＝OB＝OC＝OD＝OM═13，AB＝2OA＝26，

BC＝OC＝26，

MN＝AB＝20，

OE＝MQ＝MN﹣QN＝20﹣13＝7，

∵∠ORE＝45°，∠EOR＝90°，∴△OER是等腰直角三角形，

RE＝OE＝14，

设BE＝CR＝x，则CE＝14+x，

222在Rt△CBE中：BC＝CE+BE，

262＝（x+14）2+x2，解得x＝10，

CD＝CR+RE+DE＝10+14+10＝34．

11．解：（1）．

∵∠DBA＝°

∴∠DOC＝45°

OC＝2

OD＝

AC＝OA﹣OC＝

2）连接AD，DP，OD，过点D作DF⊥OP，垂足为点F．

∵∠DCA＝∠DFP＝90°，AD＝DP，CD＝DF

Rt△ACD≌Rt△DFP（HL）

AC＝PF

∵∠A＝∠CDB＝∠OEB＝∠DEF，∠ACD＝∠DFE＝90°，CD＝DF

Rt△ACD≌Rt△DEF（HL）

AC＝EF

PE＝2AC

（3）以下列图，

由∠DCO＝90°，∠

DOC＝45°得

OD＝

＝

∵∠ADB＝90°，点O是AB中点

AB＝2OD＝

∵∠A＝∠GED，∠GDE＝∠ADB，AD＝DE

∴△DGE≌△DBA（ASA）

GE＝AB＝x

PE＝2AC

∴PE＝2（）

GP＝GE﹣PE＝

即：y＝2x

12．（1）证明：连接OD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，

∴∠DOC＝∠C＝∠ODC＝60°，

OD∥AB，∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，∴∠ODE＝90°，

OD⊥DE，

DE为⊙O的切线；

（2）解：过O作OG⊥AC于G，

在Rt△OCG中，OG＝CG＝DG，

由（1）知，OD⊥DE，

∴∠AEF＝∠ODF＝90°，

F为DE中点，∴EF＝DF，

∵∠AFE＝∠OFD，

∴△FEA≌△FDO（ASA），∴AE＝OD＝2CG＝2DG，

AD＝2AE，

AD＝4DG，

∴tan∠CAO＝tan∠OAG＝．

13．（1）证明：连接BD，

AB＝CD，

∴＝，

∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC；

（2）解：连接BD，

AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∴∠ADB+∠CDB＝∠ABC+∠CBD，

即∠ABC＝∠ADC，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝180°＝90°，

∴四边形ABCD是矩形；

3）解：连接DE，EO，连接GO并延长交BC于K，∵EF切⊙O于E，

∴OE⊥EF，

∴∠OEF＝90°，