数理方程新-第二章分离变量法

思路：寻求齐次方程的很多特解，将这些特解做线性组合后，仍然是齐次方程的解寻求特解方法：偏微分方程转化成多个常微分方程§

1有界弦的

振动研究两端固定均匀的弦 振动.定解问题为：2ux2ìï

抖2ux=

0t=

00

<

x

<

l,

t

>

0t

>

00

<

x

<

lx=

l=

0,

u

=

0,ï-

a2

= 0,ï

抖t2ïï

uíï

ïï

uïïî特点:方程齐次,边界齐次.代入方程得XT

''

-

a2

X

''T

=

0技

技 技

（1）由

u(

x,

t

)

不恒为零，有：X

''

(x)

T

''

(t)=X

(x)

a2T

(t)T

''X

''a2T

=

X

=

-

l取参数设u(x,t)

=

X

(x)T(t),且u(x,t)不恒等于0利用边界条件)

+

l

X

(x)

=

0

（2）T

'

+

l

a2T

=

0................(3)ìï

X

(0)T

(t)

=

0技

技

(4)íï

X

(l)T

(t)=

0技ïî(4)成立?X

(0) 0,X

(l)

=

0则特征值问题参数

称为特征值.函数X(x)称为特征函数分三种情形

特征值问题的求解ìï

X

''

+

l X

=

0技

技

技

(5)íïïî

X

(0)

=

0,

X

(l)

=

0121

2ìï

C1

+

C2

=

0C1

=

C2

=

0,无意义，舍去。（ii）l

=

0时，方程通解为X

(x)

=

C1x

+

C2（i）l

<

0时，方程通解为X

(x)

=

C

e-

l

l

=

0-

l

x

+

C

e- -

l

x-

l

l

+

C

e-ï

C

eî由边值条件得到ïí1

2C1

=

C2

=

0,无意义，舍去。íïC

l

+

C

=

0ïîì

C

+

C

=

0由边值条件得到ï

1

2（i）l

>0时，方程通解为X

(x)=C1

cosl

x

+

C2

sin

l

xl2ìïï

C1

=

0由边值条件得到íïî

C2sin

l

l

=

0得C2

?

0,从而sin

l

l

0；故

l l

=

npn2p

22即

l

=

,n

=1，2,3,技l而X

(x)=C

sin

nπ

x,n

=1,2,再求解T：n2p

2l2nT

"

(t)

+

a2nT

(t)

=

0其解为n

nnl

lT

(t)

=

A

cos

np

at

+

B

sin

np

at所以u

(x,

t)

=

(

A

cos

np

at

+

B

sin

np

at

)

sin

np

xn

n

l

n

l

ln

=

1,

2,3,?叠加n=

1n

l

n

l

l¥u(x,

t)

=

å

(

A

cos

np

at

+

B

sin

np

at

)

sin

np

x

.............(6)

2llò0

f

(x)

sinl

2

npxlnpx

dx

l

ndxï

B

=ìïï

An

=

f

n

=ïíïî¥n=

1(

A

cos

np

at

+

B

sin

np

at

)

sin

np

x

n

l

n

l

lu(x,

t)

=

å定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在x＝0和x=l

处的第一类齐次边界条件决定的。偏微分方 程

揪?分离变量特征解（解2

解1）分离（特征值问题）方程1常微分方程2ìï

ïïíïï

常微分ïîüï

ïïýïïïþ齐次边界条件揪变量?条件（特征函数）®

解2®

解1所求解=

å

特征解特征值代入初始条件确定未知系数分离变量法（驻波法）图解得到解一个问题??n

nl

l

l¥(

A

cos

np

at

+

B

sin

np

at

)

sin

np

xu(x,

t)

=

ån=

1收敛吗？以上只是形式解！需要条件保证上面的级数收敛，保证形式解为真正意义上的解j

(0)

=

j

(l)

=

j

"(0)

=

j

"(l)

=

0,

y

(0)

=

y

(l)

=

0则无穷级数解n

l

n

l

l¥u(x,

t)

=

å

(

A

cos

np

at

+

B

sin

np

at

)

sin

np

xn=

1为如下混合问题的解tt

xxx=

0x=

lt=

0t

t=

0ìï

u

-

a2u

=

00

<

x

<

lïïíï

uïï

uï

u

=

0=

j

(x)=

y

(x)u

=

00

<

x

<

l0

<

x

<

lïî定理：若在区间[0,l]上，j

(x)挝C3，y

(x)

C2

，且了解内容例1

设有一根长为为零，初位移为的位移，其中与弦的材料和张力有关.的)

弦，两端固定，初速10，00求弦做微小横向振动时j

(a2

=

10000解设位移函数为u

(x,t)，则需要求解下列定解问题2u2ìï

抖2ux=

0x=

10|t=

0

=

0.ï

u

|

=u

|

=

0;x(10

-

x),1000x=

10000

2

, 0

<

x

<

10,

t

>

0;¶

u¶

tïï

抖tíïïï

u

|t=

o

=ïî(1-

cos

np

)1005n3p

3ï

5n3p

31an

=

5000

ò1024,

当

n

为奇数。dx==

ïíïìï

0,

当nî为偶数，因此，所求的解为：=u

(x,

t))(2n

+1)px

cos10(2n

+1)p

t3341sin5p10¥n=

0

(2n

+

1ål

=10,

a2

=1000,代入公式计算

1

5000np10010y

(x)

sin

npx

dx

=

0nb

=ò分步积分例2：求解下列问题t=

0t

t=

00=

j

(x)u

=

y

(x)tt

xxìï

u

-

a2u

=

0u=

l

=

0ï

uïïíïïî注意边界条件改变了ìï

j

(x)

=

x2

-

2lx,即

P36,

例2。3pxíï

y

(x)

=

3sin

2lïî例如取ï例3：研究两端t=

0ttxxt

t=

0ìï

u

-

a2uïïíïï

u=

j

(x)ïî棒的 纵振动问题.=

0

第二类边界条件=

0u

=

y

(x)分离变量：T

''

+

l

a2T

=

0ìï

X

''

+

l X

=

0ïíïî

X

'

(0)

=

X

'

(l)

=

01

21

2得C1

=

0,

C2

=

0,

舍去-

l

(C

-

C

)

=

0-

l

(C

e-

l

l

-

C

e- -

l

l

)

=

0ìïïíïïî由边值条件12(i)当l

<

0时，X

(x)

=

C

e-

l

x

+

C

e- -

l

x(ii)当l

=

0，X

(x)

=

C1

+

C2

x1X

'

(0)

=

X

'

(l)

= 0

?

X

(x)

Cl

x

+

C2

sin

l

xìï

C2

=

0（iii）当l

>

0，X

(x)

=

C1

cos由边值条件ïíïî

C1sin

l

l

=

0则C1

?

0,

sin

l

l

0

?

l

l np

(n

=

1,

2,...),n2p

2l

2从而l

=本征值l2l

=

n2p

2n=

0,1,2,本征函数T

的方程n=

0,1,T

''=

02l0n2p

2a2Tn''+Tn=

0

n?

0其解为T0(t)=

A0+

B0tn

n

nllsin

npatT

(t)=

A

cos

npat

+

Bn=

1,2,注意本征值可以取零代入初始条件:00nnA

lA

cos

n

x

(x)l

lB

n

a

B

cos

n

x

(x)n1n1将j

(x)，y展(x开)

为

余弦级数，比较系数得A

=

f

=

1

ò