精华学校2108-一轮精练数列、不等式概率-第1讲讲义

高中数学樊老师第一讲数列的概研究方法：定义表示性质应用.跟一般函数是相同的；另外，有些问题，如三、典型y=f(x)(x>0)，定义数列{an}an=f(n)n=1f(x)是增函数，则数列{an}②若数列{an}f(x)③若数列{an}f(x)④若函数f(x)没有最大值和最小值，则数列{an}可能存在最大值和最小值其中正确判断的个数是（ {a}

(13a)n10an6(nN{a}n

an7,n

（1 n 10（2）已知数列的通项ann nN，试问数列｛an｝有无最大项？若有，11

2n3，则an

1

29，

，2 8 32，6（1）3an5,an为奇数an1

a为偶数.其中k为使 当a111时，a100 (2)已知f(x) 各项均为正数的数列a满足a f(a)，若 1a20a11

对于数列an,定义数列{bmmbmanm成立的所有n中的最小值．设an是单调递增数列,若a34，则b4 若数列a的通项公式为a2n1,nN*，则数列b的通项 数列{an中，如果存在akakak1且akak1”成立(其中k2,kN称ak为{an}的一个峰值.(I)若an|n7|,则{an}的峰值

n2若antn

nn

且{an}存在峰值，则实数t的取值范围 已知数列{an}的前n项和Sn n(a

nn

若a5是{an}中的最大值，则数a的取值范围 周期数列，周期为T.已知数列{a满足am(m0)

=an

an1 1

n1

0

若a34，则m32若m ，则数列{an}是周期为3的数2TN*且T2，存在m1，{an}是周期为TmQ且m2，数列an是周期数列用函数的观点看待数列，是解决数列问题的重要思维方式.但一定要注意对应法则相利用Sn的表达式求an的方法anSnSn1n2)a1是否符合（1）中结果：若符合，则并入，若不符合，分段表示an；（２）１，０，1，０，1，０，1 n（1）数列｛an｝的通项公式是ann2156，则其最大项 (2)数列2n229n3中的最大项 3.（1）Sn3n22n,求an；（2）Sn3n22n1anan,当a4.已知数列ana＝m（m为正整数

a1

第二讲等差数{an为等差数列nNan1and（d为常数ana1(n1)dam(n※{an}为等差数列anpnq(p,qR)，其中p为公 前n（1）Sn(a1an)nan(n1) ※{a}为等差数列

Sdn2ad)nAn2BnAB n

单调性：等差数列{an中,公差为d，若d0,则{an是递增数列；若d0,则{an是常数列；若d0,则{an是递减数列等差数列{an中，若2qpr2aqapar一般地，若mnst(mnstN*,则aaaa 特别地，设a

a1an,则2n

.特别地,当n为奇数时,

nan12前nSmS2mSmS3mS2m,仍成等差数列,公差为m2d1（1 aa且a6那么a等 nA. B. C.

D.在各项均不为零的等差数列an中，若

aa

0(n≥2)则an a若d＜0，则数列{Sn}有最若数列{Sn}有最大项，则等差数列anSn为其前n项和S41S13 ;2若a10，则Sn取得最大值时的n的值 若{an}是等差数列，首项a10,a2003a20040,a2003.a20040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是（ A：a1a2an(n>2)，令TA={x=

ai+aj,1? ?TA中元素的个数.若ai+1

ai=c（c为常数， n-1），则card(TA设Sn为数列an的前n项和Snan1（为常数n=123,若a=a2，求 是否存在实数，使得数列an是等差数列？若存在，求出f(x)ax2bx(abRf(x)kxb(kb对于等差数列的计算题，往往是从方程的角度，建立关于a1d的方程组，来解决问题，通如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则 （A）a1a8a4a5（B）a8a1a4a5（C）a1+a8a4+a5（D）a1a8=已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm，且a11．那么a10 {a}a111nSSa a时，n 等差数列ann项和为SnS315,S657，求anSn数列a满足a1, rar（nN*,rR且r0若数列a成等差数列

数列{an}的前n项和为Sn=npan（n∈N*）且证明：数列{an}是等差数列第三讲等比数{an为等比数列nNan1qan（qq0{a

acqn(ca1 为等比数列 前nna1,q ,qSna ,q 1{an}为等比数列 SAqnA(Aa1,q q单调性：等比数列{an}中,公比为当q1时：若a10，则{an}单调递增；若a10，则{an}单调递减当0q1时：若a10，则{an}单调递减；若a10，则{an}单调递增；当q1时，为常数列；等比数列{a中，若2qpra2aa 一般地，若mnst(mnstN*,则aaaa 前n S S ①如果-1abc,-9成等比数列，则b②在各项均不为零的等差数列an中，若

a

0(n2)，则an2③若Snan2bn1(abR，则数列{an⑥等比数列{ana1a2a3是{an为单调递增数列的充要条件 数列{a}满足a2,且对任意的m,nN*都有anma则a ;{a}的前na amSn（1

设数列{an2为首项，1为公差的等差数列，{bn1为首项，2为公的等比数列，则ababab C．20 已知等比数列{a}满足a0,n1,2,，且a 22n(n3)，则当n1 log2a1log2a3log2a2n1 A.n(2n B.(n C. D.(n4．设数列{an满足an2an1n(n2,3,)若{an}是等差数列，求{an}{an}是否为等比数列？若可能，求出此数列的通项公式；若不可能，说明理由65．已知数列{an}满足a17，1a1a2anan10(λ≠06N*)Sn为数列{an}的前n项和若a2aa3，求 求数列{an}的通项公式an当1时，数列{an}3f(x)ax2bx(abRf(x)kxb(kbR)f(x)cqx(q0)f(x)AqxAA0x0对于等差（比）数列的计算题，往往是从方程的角度，建立关于a1da1q的方程组，来

}中 ca（c为非零常数前n项和 3nk则实数k为 C． n在数列anN*an2an1k（k为常数，则称a为“等差比数列”.nn

①k不可能为 公差不为零的等差数列{an}nSn.a4a3与a7的等比中项,S832,等于 xn1ynP

(nNP(x，y

(x yn

n1n 华变换得到的一列点设an|PnPn1|数列{an}的前n项和为Sn，那么S10的值 22A.31(2 B.31(2 C. D． 22设等比数列{an的公比为q，其前n项的积为Tna11，a99a10010a9910.a100①0q ②a99a10110T100的值是TnTn1成立的最大自然数nA. B. C. D.已知公差不为０的等差数列{an}的前n项和为SnS3=a4+6，且a1a4a13成等比数列求数列{an}1求数列 }的前n项和公式已知数列a的前n项和为S，且满足：aa(a0), rS(nN,r 求数列an的通项公式；

若存在kNSk1SkSk2mNm2am1,amam2是否成等差数第四讲递推数列与数1

f(n2an1

f(n型：叠乘法；3

1（1）{an}的首3，{bn}为等差数列，且bnan1an，若b32,b1012，则an.n（2）数列{a}中，a1（1若an1 ，则a （若 2an 则an

n 数列an中a11,a22，当n3时Sn2an，则an ,52（1） 1,9 ,5

,的前n项和 4n21数列{4n2}的前n项和 1 已知数列a满足a1，且a 2n(n2，nN an求证：数列n

2 求数an}的n项之Sn n a1,当n2时，其前n项和SS2a n 2 （Ⅰ）求a （Ⅱ）令b ，求数列{b}的前项和T 2n 数列an是首项aa（a0a1）的等比数列，数列bn满足bnanlg求bnn已知数列a满足a16, a2n,则an的最小值为 A B已知数列a}a1，且a

C D1 1 2，且nN*则数列a}()n公式为

n

3 nA.ann B.an C.ann D.an(n 2数列{an}的前n项和为Sn，Sn an ,设bnlog3(an)，则数列{ 2 bn

an,当a 已知数列a满足：a＝m（m为正整数，n1

a11 已知数列{ana1a2a3annan,(n1,a1a2a3的值 令b2n)(a1)（n1,2,3）nN*b1tt2，求 数t的取值范围-(n求证：数列{ n设数列{2nan}nTn，An=11

1

.试比较

与

第五讲不等式的性2（1）aba2a(1)a2b2≥_2ab_(a、bR (2)ba≥ (a、b同号 ab a2 ab(3)ab2

(a、bR (4) 2

3.P如果a、bR，且abP(P为常数),则ab存在最大值 ；如果a、bR，SabS(S为常数)，则ab存在最小值 S已知a,bcd若ac2bc2则a若ab0,则a2abb2ad若ab0,cd0, badc若0a

b，则 a 若a0,b0,则不等式b1a等价于 x1x0,或0x C.x1或x

1x D.x1或x 1x（1）x 1x

x252;(3)abRab111 x2 （4）ba2；（5）若xyRxy4111 14（1）

x

x(x3)的最小值 设x,y为正数,则(xy)( )的最小值 x,yR,2xy20,则lgxlgy的最大值 x,yR,821,则xy的最小值 设a,bR,a22b26,则ab的最小值 x25．设xR，不等式2x2 30恒成立，求实数x2平均值不等式使用的条件是：一正二定三成立，，否则就会发生错误。若a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是 2 C．2 D．2

的最大值是 若 1xa，b∈R，A＝fa＋b)，B＝f(ab)，C＝f(2ab)，则A、B、C

)

用为4x万元要使一年的总运费与总费用之和最小则xR,abab3，则ab的最大值 （2）a,bR,8a3b1，则11得最小值 若a,b,c0且a22ab2ac4bc12，则abc的最小值 1

+y)≥9对任意正实数x,y恒成立 实数a的最小值第六讲解不等式及二次函yax2bxyOxyOx1x2yOy方程ax2bxc0(a0)的根ax2bxc0(a0){xxx1,或x{xR|xbRax2bxc0{xx1xAxByc0表示直线哪一,足线性约束条件的解(xy叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．分别使目标1.（1）2x23x20 （2）3x26x2（3）4x24x10 （4）x22x32．（1）不等式ax2xc0的解为-2<x<1，则yax2xc的图象大致为 y y y y 2y-12 ax2bx20的解为1x1，则a,b的值分别 a21x2a1x10a的范围x21a)x2a0在[0,2]上恒成立，求a的取值范围2

x2a2axa3（1）xax40 ax2-4（

kx4y3）若3x5y 表示的平面区域为三角形，则k的范围 xx4yxy满足3x5y25zaxy(a0),zx点有无数个，则a值 2xyxy满足yyxxy11

且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值 x设不等式组3xy35x3y9