2020高考压轴题冲刺练习-等差数列及其前n项和大全(附答案解析)

第二节等差数列及其前n项和本节主要包括3个知识点：.等差数列的性质及基本量的计算；.等差数列前n项和及性质的应用;3.等差数列的判定与证明.突破点(一)等差数列的性质及基本量的计算基础联通 抓主干知识的“源”与“流” .等差数列的有关概念(1)定义：(2)等差中项：.等差数列的有关公式(1)通项公式：an=(2)前n项和公式：Sn=.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广： an=am+(n—m)d(n,mCN*).(2)若｛an｝为等差数列，且k+l=m+n(k,l,m,n€N*),则ak+ai=am_+an.(3)若｛an｝是等差数列，公差为d,则｛a2n｝也是等差数列，公差为 2d.(4)若｛an｝是等差数列，公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,•(k,mCN*)是公差为md的等差数列.(5)若数列｛an｝,｛bn｝是公差分别为d1,d2的等差数列，则数列｛pan｝,｛an+p｝,｛pan+qbn｝都是等差数列(p,q都是常数)，且公差分别为pd1,d1,pd1+qd2.考点一 等差数列的基本运算[例1](1)(2016东北师大附中摸底考试)在等差数列｛an｝中，a〔+a5=10,a4=7,则数列｛an｝的公差为TOC\o"1-5"\h\z( )A.1 B.2C.3 D.4(2)(2016台州调研)已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3=6,a1=4,则公差d等于( )5TOC\o"1-5"\h\zA.1 B-3C.—2 D.3考点二 等差数列的性质[例2](1)在等差数列｛an｝中，a3+a9=27-a6,Sn表示数列｛an｝的前n项和，则Sii=( )A.18 B.99C.198 D.297(2)已知｛an｝,｛bn｝都是等差数列，若a〔+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6= .能力练通.［考点一］《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何？”其意思为： “已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？” （“钱”是古TOC\o"1-5"\h\z代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（）5 5A.5钱 B.5钱4 3C.3钱 D.4钱2 3.［考点一］设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，若a1=1,公差d=2,Sn+2—Sn=36,则n=（ ）A.5B.6C.7D.8.［考点二］已知数列｛an｝为等差数列，且aI+a7+a〔3=兀，则cos（a+a0的值为（ ）A3c 3c1 1A.2B.-2 C.2D.-2.［考点一］（2016江苏高考）已知｛an｝是等差数列，Sn是其前n项和.若a〔+a2=—3,S5=10,则a9的值是 ..［考点二］设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324（n>6）,求数列｛an｝的项数及a9+a10.突破点(二)等差数列前n项和及性质的应用基础联通抓主干知识的“源”与“流” 等差数列前n项和的性质⑴数列Sm,S2m-Sm,S3m—S2m,…(mCN*)也是等差数列，公差为 m2d.(2)S2ni=(2n—1)an,S2n=n(ai+a2n)=n(an+an+i).(3)当项数为偶数2n时，S偶一S奇=门~;项数为奇数2n—1时，S奇一S偶=2中，S奇：S偶=门：(n-1).anS2n—1(4)｛an｝,｛bn｝均为等差数列且其前 n项和为Sn,Tn,则?不：TOC\o"1-5"\h\zSn 1(5)若｛an｝是等差数列，则彳也是等差数列，其首项与 ｛an｝的首项相同，公差是｛an｝的公差的2.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 考点一 等差数列前n项和的性质[例1]已知｛an｝为等差数列，若a〔+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,则a19+a2o+a21= .考点二 等差数列前n项和的最值［例2］等差数列｛an｝的首项a1>0,设其前n项和为Sn,且S5=S12,则当n为何值时，Sn有最大值?能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.［考点二］在等差数列｛an｝中，a〔=29,Sio=S2o,则数列｛an｝的前n项和Sn的最大值为( )A.S15B.S16C.S15或S16D.S172.［考点二］设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，(n+1)Sn〈nSn+1(nCN*).若『v—1,则( )a7A. Sn的最大值是 S8 B. Sn的最小值是 S8C. Sn的最大值是 S7 D. Sn的最小值是 S7.［考点一］已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且Sio=10, S2o=30,则S30= .An7n+45 an、……，.［考点一］已知两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为An和Bn,且则使得a为整数Bnn十3 bn的正整数n的个数是 ..［考点一］一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为 32:27,则该数列的公差d= .突破点（三）等差数列的判定与证明基础联通L 抓主干知识的“源”与“流”等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列｛an｝,an—an-i（n）2,nCN*）为同一常数?｛an｝是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2ani—an+an2(n>3,nCN)成立.？{an}是等差数列通项公式法an=pn+q（p,q为常数）对任意的正整数n都成立?｛an｝是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn=An2+Bn（A,B是常数）对任意的正整数n都成立？｛an｝是等差数列考点贯通 抓高考命题的“形”与“神考点 等差数列的判定与证明1［典例］已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足：an+2SnSni=0（n>2,nCN）,ai=2,判断｛an｝是否为等差数列，并说明你的理由.4.4.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若a1=-11,a3+a7=—6,则当Sn取最小值时，n等于（ ）能力练通抓应用体验的“得”与“失” .若｛an｝是公差为1的等差数列，则｛a2n—1+2a2门｝是（ ）A.公差为3的等差数列B.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列D.公差为9的等差数列.已知数列｛an｝中，ai=2,an=2--（n>2,nCN*）,设bn=」：（nCN*）.求证：数列｛bn｝是等an—1 an—1差数列..已知公差大于零的等差数列 ｛an｝的前n项和为Sn,且满足a3a4=117,a2+a5=22.（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若数列｛bn｝满足加=祟，是否存在非零实数 c使得｛bn｝为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.［课时达标检测］ 重点保分课时一一一练小题夯双基，二练题点过高考 ［练基础小题一一强化运算能力］TOC\o"1-5"\h\z（2017温州十校联考）等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若a〔=2,S3=12,则a5等于（ ）A.8B.10C.12D.142.在等差数列｛an｝中，a1=0,公差dw0,若am=a〔+a2+…+a9,则m的值为（ ）A.37 B.36C.20 D.193.（2017杭州*II拟）已知递增的等差数列｛an｝满足a〔=1,a3=a2—4.则数列｛an｝的通项公式为（ ）A.an=2n—1 B.an=—2n+3C.an=2n—1或—2n+3D.an=2nTOC\o"1-5"\h\zA.9 B.8C.7 D.65.已知等差数列｛an｝中，anW0,若n>2且an-i+an+i—a2=0,S2n1=38,则n等于 ［练常考题点一一检验高考能力］一、选择题（2017金华模拟）在等差数列｛an｝中，如果ai+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=（ ）A.95 B.100C.135 D.80（2017临安中学高三月考）已知数列｛an｝的首项为3,｛bn｝为等差数列，且bn=an+1—an（nCN*）,若b3=—2,b2=12,则a8=（ ）A.0 B. -109C.-181 D. 1213.在等差数列｛an｝中，a3+a5+an+a［7=4,且其前n项和为Sn,则$7为（ ）A.20 B. 17C.42 D. 844,设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn>0的最大自然数n的值为（ ）A.6 B.7C.12 D.135.设数列｛an｝的前n项和为Sn,若皆为常数，则称数列｛an｝为“吉祥数列”.已知等差数列 ｛bn｝的首S2n项为1,公差不为0,若数列｛bn｝为“吉祥数列”，则数列｛bn｝的通项公式为（ ）A.bn=n—1 B.bn=2n—1C.bn=n+1 D.bn=2n+1.设等差数列｛an｝满足a〔=1, an>0（nCN*）,其前n项和为Sn,若数列｛遍｝也为等差数列，则S4^的an最大值是（ ）B.212C.180 D.121二、填空题.(2017金华十校联考)等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若ai=1,S2=a3,则a2= ;Sn=.若等差数列｛an｝的前17项和S17=51,则a5—a?+ag—a〔1+aI3等于1.在等差数列｛an｝中，a9=2a[2+6,则数列｛an｝的前11项和S11等于Sn为.(2017浙江五校联考)已知等差数列｛an｝的公差dw0,且a1，a3,a13Sn为2Sn+16.„....数列｛an｝的前n项和，则 丁的取小值为an+3三、解答题.已知数列｛an｝满足a1=1,an=h电」;(nCN*,n>2),数列｛bn｝满足关系式bn=—(n€N*).2anT+1 an⑴求证：数列｛bn｝为等差数列；(2)求数列｛an｝的通项公式.1.已知数列｛an｝满足2an+1=an+an+2(nCN),它的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72,若bn=-an—30,设数列｛bn｝的前n项和为Tn,求Tn的最小值.第二节等差数列及其前n项和本节主要包括3个知识点：.等差数列的性质及基本量的计算；.等差数列前n项和及性质的应用；.等差数列的判定与证明.突破点(一)等差数列的性质及基本量的计算基础联通 抓主干知识的“源”与“流” .等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差卷等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为 an+i—an=d(nCN*,d为常数). a+b ..… (2)等差中项：数列a,A,b成等差数列的充要条件是 人=一2一，其中A叫做a,b的等差中项..等差数列的有关公式(1)通项公式：an=a［+(n—1)d.nn—1na〔+an(2)前n项和公式：Sn=na1+ 2d= 2 .3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广： an=am+(n—m)d(n,mCN*).(2)若｛an｝为等差数列，且k+l=m+n(k,l,m,n€N*),则ak+ai=am+an.(3)若｛an｝是等差数列，公差为d,则｛a2n｝也是等差数列，公差为 2d.(4)若｛an｝是等差数列，公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,•(k,mCN*)是公差为md的等差数列.(5)若数列｛an｝,｛bn｝是公差分别为d1,d2的等差数列，则数列｛pan｝,｛an+p｝,｛pan+qbn｝都是等差数列(p,q都是常数)，且公差分别为pd1,d1,pd1+qd2.考点贯通L 抓高考命题的“形”与“神”考点一 等差数列的基本运算［例1］(1)(2016东北师大附中摸底考试)在等差数列｛an｝中，a〔+a5=10,a4=7,则数列｛an｝的公差为TOC\o"1-5"\h\z( )A.1 B.2C.3 D.4(2)(2016台州调研)已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3=6,a1=4,则公差d等于( )5A.1 B-3C.-2 D.3［解析］(1)..a1+a5=2a3=10,•.a3=5,则公差d=a4—a3=2,故选B.3ai+a3(2)由S3=-2—=6,且ai=4,得a3=0,则d=U-2,故选C.TOC\o"1-5"\h\z［答案］(1)B (2)C［方法技巧］「…”7：3蕊而嬴而前而-―…—一…一…一…一一…一…一……一…一…一…一…一… …―—一—一…一…—一—| (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 ai和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程|1(组)求解. 1■ ■(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量ai,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两|i个，体现了方程的思想. I| 2.等差数列设项技巧 |若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为 a-d,a,a+d;若偶数个数成等差数列且和 |为定值时，可设中间两项为 a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.考点二 等差数列的性质［例2］(1)在等差数列｛an｝中，a3+a9=27-a6,Sn表示数列｛an｝的前n项和，则Sii=( )A.i8 B.99C.i98 D.297(2)已知{an},{bn}都是等差数列，若ai+bio=9,a3+b8=i5,则a5+b6= ［解析］(i)因为a3+a9=27—a6,2a6=a3+a9,所以3a6=27,所以a6=9,ii所以Sii=万⑻+aii)=iia6=99.(2)因为{an},{bn}都是等差数列，所以2a3=ai+a52b8=bio+b6,所以2(a3+b8)=(ai+bio)+(a5+b6),即2Xi5=9+(a5+b6),解得a5+b6=2i.［答案］(i)B(2)2i能力练通抓应用体验的“得”与“失” .［考点一］《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何？”其意思为： “已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？” (“钱”是古

代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（）A.*钱 B.*钱TOC\o"1-5"\h\z4 33 4c.3钱 d.4钱解得4ai=W，

解得4ai=W，

32ai+d=3ai+9d,解析：选D设等差数列｛an｝的首项为ai,公差为d,依题意有 52ai+d=2，即甲得4钱，故选D.3.［考点一］设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，若ai=1,公差d=2,Sn+2—Sn=36,则n=（ ）A.5B.6C.7D.8解析：选D由题意知Sn+2—Sn=an+1+an+2=2ai+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.3.［考点二］已知数列｛an｝为等差数列，且a〔+a7+a〔3=兀，则cos(a2+a12)的值为( )3 3 1 1A.2B.-2 C.2D.-2解析：选D 在等差数列｛an｝中，因为a1+a7+a13=7t,所以a7=3,所以a2+a12=235,所以cos(a2一，+a12)=-2.故选D..［考点一］(2016江苏高考)已知｛an｝是等差数列，Sn是其前n项和.若a〔+a2=—3,S5=10,则a9的值是 .“一、……, 5X4解析：设等差数列｛an｝的公差为d,由S5=10,知S5=5a1+~2-d=10,得aI+2d=2,即a1=2—2d.所以a2=a〔+d=2—d,代入a〔+a2=—3,化简得d2—6d+9=0,所以d=3,a1=—4.故a9=a〔+8d=—4+24=20.答案：20.［考点二］设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n>6),求数列｛an｝的项数及a9+a10.解：由题意知a［+a2+…+a6=36,①an+an—1+an—2+…+an—5=180,②①十②得(a1+an)+(a2+an-i)+…+(a6+an5)=6(a1+an)=216,a〔+an=36,Sn=na〔+Sn=na〔+an2=324,18n=324, n=18.-a1+an=36,n=18,a1+a18=36,

从而a9+aio=ai+ai8=36.突破点(二)等差数列前n项和及性质的应用基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 等差数列前n项和的性质(1)数列Sm,S2m-Sm,S3m—S2m,…(mCN*)也是等差数列，公差为 m2d.(2)S2ni=(2n—1)an,S2n=n(ai+a2n)=n(an+an+i).(3)当项数为偶数2n时，S偶一S奇=门~;项数为奇数2n—1时，S奇一S偶=a中,S奇：S『n：(n-1).(4)｛an｝,｛bn｝均为等差数列且其前 n项和为Sn,Tn,则詈=黑二.bnI2n-1(5)若｛an｝是等差数列，则Sn也是等差数列，其首项与｛an｝的首项相同，公差是｛an｝的公差的2.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 考点一 等差数列前n项和的性质TOC\o"1-5"\h\z［例1］ 已知｛an｝为等差数列，若a〔+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,则a19+a2o+a21= .［解析］法一：设数列｛an｝的公差为d,则a7+a8+a9=a1+6d+a2+6d+a3+6d=5+18d=10,所以18d=5,故a19+a2o+a21=a7+12d+a8+12d+a9+12d=10+36d=20.法二：由等差数列的性质，可知 S3,S6-S3,S9-S6,…，S21-S18成等差数列，设此数列公差为 D.一一, 一一• 5所以5+2D=10,所以D=2.所以a19+a2o+a21=S21—S18=5+6D=5+15=20.［答案］20「考点二 等差数列前n项和的最值［例2］等差数列｛an｝的首项a1>0,设其前n项和为Sn,且S5=S12,则当n为何值时，Sn有最大值?. . … 1［解］设等差数列｛an｝的公差为d,由S5=S12得5a1+10d=12a1+66d,d=—；a1<0.8nn—1Sn=na1+ 2d=na1+nn—12=na1+nn—128a11a1a1+n—1•一&a1)。，即1a1+n•-Qa1<0,nw9,

解得 即n>8,1 2 1 172289=—16a1(n2—17n)=—16a1n-22+^a1,因为a1>0,nCN*,所以当n=8或n=9时，Sn有最大值.an>0,法二：设此数列的前n项和最大，则an+1w0,8<n<9,

又nCN*,所以当n=8或n=9时，Sn有最大值.“一…c nn-1,d2,d法二：由于Sn=nai+—2d=2n2+ai-2n,一d d设f(x)=/2+ai—2x,则函数y=f(x)的图象为开口向下的抛物线,, 5+1217由S5=S12知，抛物线的对称轴为X=—2—=/(如图所示)，nCN*,所以当n=8或n=9由图可知，当1WnW8时，Sn单调递增；当n)9时，SnnCN*,所以当n=8或n=9［方法技巧］……一…一…”一——一…”一…”…”加而…丁顼而―Susimmr…―…一—一…——一—一…一…—一—TOC\o"1-5"\h\z⑴函数法： i利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求ii(2)邻项变号法： |iam>0,①a1>0,d<0时，满足a1<0的项数m使得Sn取得最大值为Sm； iamW0,②当a1<0,d>0时，满足a1>O的项数m使得Sn取得最小值为Sm. |(3)通项公式法： !求使an》0(anW0)成立时最大的n值即可.一般地，等差数列｛an｝中，若a1>0,且Sp=Sq(pwq),则：ji①若p+q为偶数，则当n=p芋时，Sn最大； |2②若p+q为奇数，则当n=P+qT或n=p+q+1时，Sn最大. |22能力练通 抓应用体验的“得”与“失”.［考点二］在等差数列｛an｝中，a1=29,S10=S20,则数列｛an｝的前n项和Sn的最大值为( )A.S15B.S16C.S15或S16D.S17解析：选A.「a1=29,S10=S20,

10X9 20X19・10ai+—2—d=20ai+—2-d，解得d=—2,TOC\o"1-5"\h\znn-1 0 0.Sn=29n+—2*(—2)=—n2+30n=—(n-15)2+225.・・当n=15时，Sn取得最大值.a8.［考点一］设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，(n+1)SnvnSn+1(nCN).若一<T,则( )a7A. Sn的最大值是 S8 B. Sn的最小值是 S8C. Sn的最大值是 S7 D. Sn的最小值是 S7解析：选D由(n+1)Sn<nSn+1得(n+1)na12"an<nn+1:+—+1,整理得an〈an+1，所以等差数列｛an｝是递增数列，又—<-1,所以a8>0,a7<0,所以数列｛an｝的前7项为负值，即Sn的最小值是S7..［考点一］已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且S10=10, S2o=30,则S30= .解析：S10,S20—S10,S30-S20成等差数列，且S10=10,S20=30,S20-S10=20, S30—30=20X2-10=30,「.S30=60.答案：60.［考点一］已知两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为An和Bn,且AnJ：：5,则使得_an为整数Bnn+3 bn的正整数n的个数是 .解析：由等差数列前n项和的性质知,anA解析：由等差数列前n项和的性质知,anA2n114n+387n+19bn B2n1= =7+2n+2n+112

n+1'故当21,2,3,5,11时,/为整数,故使得b；为整数的正整数n的个数是5.答案：5.［考点一］一个等差数列的前 12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为 32:27,则该数列的公差d= .解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，St+S偶=354, S偶=192,得 解得S禺：S奇=32:27, S奇=162.又S又S偶一S奇=6d,所以192-162

d=-6—=5.答案：5突破点（三）等差数列的判定与证明基础联通抓主干知识的“源”与“流基础联通抓主干知识的“源”与“流等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列｛an｝,an—an-1(n>2,nCN*)为同一常数?｛an｝是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2an1—an+an2(n>3,nCN)成立.？{an}是等差数列通项公式法an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立?｛an｝是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn=An考点 等差数列的判定与证明［典例］已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足：an+2SnSni=0(n>2,nCN),ai=Q,判断｛an考点 等差数列的判定与证明［典例］已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足：an+2SnSni=0(n>2,nCN),ai=Q,判断｛an｝是否为等差数列，并说明你的理由.［解］因为an=Sn-Sn1(n>2),an+2SnSn—1=0,所以Sn—Sn1+2SnSn1=0(n>2).所以千一~~=2(n>2).SnSn11又S〔=a1=2,

1所以专是以2为首项，2为公差的等差数列.Sn所以5=2+(n—1)X2=2n,故Sn=J.Sn 2n所以当n>2时，an=Sn-Sn1=?；- 1 =- 1―,2n2n—12nn—1所以an+1=~二，而an+1一an=~ 二一— =~r\-id--d= ~ -.2nn+1 2nn+1 2nn—12nn+1n—1 nn—1n+1所以当n>2时，an+1—an的值不是一个与n无关的常数，故数列｛an｝不是等差数列.能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.若｛an｝是公差为1的等差数列，则｛a2n-1+2a2口｝是( )A.公差为3的等差数列.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列考点贯通 抓高考命题的“形”与“神

D.公差为9的等差数列解析：选C令bn=a2n—1+2a2n,则bn+1=a2n+1+2a2n+2,故bn+1—bn=a2n+1+232n+2—(a2n—1+2a2n)=(a2n+1—a2n1)+2(a2n+2—32n)=2d+4d=6d=6X1=6.即｛32n-1+2a2n｝是公差为6的等差数列.2.已知数列｛an｝中，a1=2,an=2--(n>2,nCN*),设bn=」~j(nCN*).求证：数列｛bn｝是等an1 an—1差数列.证明：an=2— , an+1=2—丁.an—1 an1 1•bn+1—bn= 1一11 1•bn+1—bn= 1一1=,, -一，1 ,•｛bn｝是首项为b1=77=1，2I3.已知公差大于零的等差数列(1)求数列｛an｝的通项公式；2_——1an—即存在一个非零实数 c=—2,使数列｛bn｝即存在一个非零实数 c=—2,使数列｛bn｝为等差数列.an公差为1的等差数列.｛an｝的前n项和为Sn,且满足a3a4=117,a2+a5=22.(2)若数列｛bn｝满足加=晨，是否存在非零实数 c使得｛bn｝为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.解：(1):数列｛an｝为等差数列，a3+a4=a2+a5=22.又a304=117,•.a3,a4是方程x2—22x+117=0的两实根,又公差d>0,••a3〈a4,/.a3=9,a4=又公差d>0,a1+2d=9,a1+2d=9,a1+3d=13,解得a1=1,d=4.•・.数列｛an｝的通项公式为 an=4n—3.(2)由(1)知a1=1,d=4,- nn—1Sn=na〔+ 2 *d=2n2—n,b Sn_2n2-nn—n+cn+c',,b1=1,,b1=11+c'联大T，其中"°.;数列｛bn｝是等差数列，2b2=b〔+b3,2c2+c=0,1 1c=-2或c=0(舍去),故c=-2.

［课时达标检测［课时达标检测］ 重点保分课时[练基础小题一一强化运算能力]TOC\o"1-5"\h\z(2017温州十校联考)等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若ai=2,S3=12,则a5等于( )A.8B.10C.12D.14解析：选B因为a〔=2,S3=12,所以S3=3a1+3d=6+3d=12,解得d=2.所以a5=2+4d=10.2.在等差数列｛an｝中，a1=0,公差dwo,若am=a〔+a2+…+a9,则m的值为( )A.37 B. 36C.20 D. 19加举「 9 9X8斛析：选Aam=a〔+a2+…+a9=9a1+-2-d=36d=a37,即m=37.3.(2017杭州*II拟)已知递增的等差数列｛an｝满足a〔=1,a3=a2—4.则数列｛an｝的通项公式为( )A.an=2n—1 B.an=—2n+3C.an=2n—1或一2n+3 D.an=2n解析：选A设数列的公差为d,由a3=a2—4可得1+2d=(1+d)2—4,解得d=±胭为数列是递增数列，所以d>0,故d=2.所以an=1+2(n-1)=2n-1.TOC\o"1-5"\h\z4,设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若a1=-11,a3+a7=—6,则当Sn取最小值时，n等于( )A.9 B.8C.7 D.6解析：选D设等差数列｛an｝的公差为d.因为a3+a7=-6,所以a5=-3,d=2,则Sn=n2-12n,故当n等于6时Sn取得最小值.5.已知等差数列｛an｝中，anW0,若n>2且an-1+an+1—a2=0,S2n1=38,则n等于 .解析：.｛an｝是等差数列，.二2an=an-1+an+1,又an-〔+an+1—an=0,••2an—an=0,即an(2—an)=0.•'anw0, an=2.S2n1=(2n—1)an=2(2n-1)=38,解得n=10.答案：10[练常考题点一一检验高考能力]一、选择题TOC\o"1-5"\h\z(2017金华模拟)在等差数列｛an｝中，如果a〔+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=( )A.95 B.100C.135 D.80解析：选B由等差数列的性质可知， a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8构成新的等差数列，于是 a7+a8=(a〔+a2)+(4—1)[(a3+a4)—(a[+a2)]=40+3x20=100.(2017临安中学高三月考)已知数列｛an｝的首项为3,｛bn｝为等差数列，且bn=an+1—an(nCN*),若b3=—2,b2=12,则a8=( )A.0 B.-109C.-181 D.121解析：选B设等差数列｛bn｝的公差为d,则d=b3—b2=—14,因为an+1—an=bn,所以a8—a〔=b1, 7b1+b7 7 一 一+b2+…+b7=2 =2[(b2-d)+(b2+5d)]=-112,又a1=3,则a8=-109.

3.在等差数列｛an｝中，a3+a5+aii+ai7=4,且其前n项和为Sn,则87为( )20 B.17D.84C.42D.8417ai+ai7斛析：选B由a3+a5+aii+ai7=4,得2(a4+ai4)=4,即a4+ai4=2,则ai+ai7=2,故Si7= 2 =17.4,设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且ai>0, a3+aio>0, a6a7<0,则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )7i2 D.i3解析：选C-■ai>0,a6a7<0,，a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零. 又「a3+aio=ai+ai2>0,ai+ai3=2a7<0, Si2>0,Si3V0,，满足Sn>0的最大自然数n的值为i2.5.设数列｛an｝的前n项和为Sn,若;1n为常数，则称数列｛an｝为“吉祥数列”.已知等差数列 ｛bn｝的首S2n项为i,公差不为0,若数列｛bn｝为“吉祥数列”，则数列｛bn｝的通项公式为( )A.bn=n—i B.bn=2n-iC.bn=n+i D.bn=2n+i解析：选B设等差数列｛bn｝的公差为d(dw0),S"=k,因为bi=i,则n+\n(n—i)d=S2n 2iD.i2i解析:,3ai3d,化简可得nn—iod=2ai=2,所以an=i+(n-i)X2=2n-i,Sn=n+-2-*2=ni2*D.i2i解析:,3ai3d,化简可得nn—iod=2ai=2,所以an=i+(n-i)X2=2n-i,Sn=n+-2-*2=ni2*汇I、1Sn+i0,所以~ann+i02_2n-i2一n+i02_2n—i—i 2i 〜221+22=ii+产：2Wi2i.即叼的最大值为i2i.2n-i4**** 2— an二、填空题7.(20i7金华十校联考)等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若ai=i,S2=a3,则a2=；Sn=解析：设公差为d,则由ai=i,S2=a3,可得2+d=i+2d,所以d=i.所以a2=i+i=2；Sn=n+_n_n2-^答案：2.若等差数列｛an｝的前17项和S17=51,则a5—a7+a9—a〔1+答案：2.若等差数列｛an｝的前17项和S17=51,则a5—a7+a9—a〔1+a〔3等于一一「， a1+a17解析：因为S17=—X17=17a9=