数学建模培训椅子问题2市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

1.3数学建模示例1.3.1椅子能在不平地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续改变，可视为数学上连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置最少三只脚同时着地。模型组成用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)对称性xBADCOD´C´B´A´用(对角线与x轴夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()最少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.证实：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型组成地面为连续曲面椅子在任意位置最少三只脚着地模型求解给出一个简单、粗糙证实方法将椅子旋转900，对角线AC和BD交换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g连续性知

h为连续函数,据连续函数基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思索建模关键~假设条件本质与非本质考查四脚呈长方形椅子和f(),g()确定1.3.2商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河任一岸,一旦随从人数比商人多,就杀人越货.不过乘船渡河方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决议过程决议~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上人员要求~在安全前提下(两岸随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)模型组成xk~第k次渡河前此岸商人数yk~第k次渡河前此岸随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~过程状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上商人数vk~第k次渡船上随从数dk=(uk,vk)~决议D={(u

,v)u+v=1,2}~允许决议集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k~状态转移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由s1=(3,3)抵达sn+1=(0,0).多步决议问题模型求解xy3322110穷举法~编程上机图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决议~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案评注和思索规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从情况d1d11允许状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增加概况中国人口增加概况年1908193319531964198219901995人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口改变规律控制人口过快增加1.3.3怎样预报人口增加指数增加模型——马尔萨斯提出(1798)惯用计算公式x(t)~时刻t人口基本假设

:人口(相对)增加率r是常数今年人口x0,年增加率rk年后人口伴随时间增加，人口按指数规律无限增加指数增加模型应用及不足与19世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合适合用于19世纪后迁往加拿大欧洲移民后代可用于短期人口增加预测不符合19世纪后多数地域人口增加规律不能预测较长久人口增加过程19世纪后人口数据人口增加率r不是常数(逐步下降)阻滞增加模型(Logistic模型)人口增加到一定数量后，增加率下降原因：资源、环境等原因对人口增加阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增加率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳最大数量）r是x减函数dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增加模型(Logistic模型)参数预计用指数增加模型或阻滞增加模型作人口预报，必须先预计模型参数r或r,xm利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4教授预计阻滞增加模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.