(解答)学期工科高数

(解答)学期工科高数(解答)学期工科高数(解答)学期工科高数华南农业大学期末考试一试卷〔A〕卷2005学年第2学期高等数学〔工科〕考试时间：120分钟一.填空题〔每题3分，共24分〕1.函数zxyx2y20f(x,y)x2y2x2y2，在点(0,0)处对00x的一阶导数fx(0,0)_____解答：fx(0,0)f(x,0)f(0,0)lim00limx0xx0x02.设D:x2y24x，那么f(x,y)dxdy在极坐标系下的二次积分D为_____解答：积分地区就是2,04cos，所以224cosf(x,y)dxdydf(cos,sin)dD023.设f(x)是周期为2的周期函数，它在[,)上的表达式为f(x)2x010x，那么f(x)的傅立叶级数在x0时收敛于_____解答：函数f(x)在x0处中断，且f(00)2,f(00)1，进而傅立叶级数在x0处收敛于1(21)122sin(xy2)lim_____4.x0xy21/7limsin(xy2)limsin(xy2)limy24limsint解答：24(x,y)(0,2)x(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)t0t5.函数zexsin(x2y)在点(0,)处的全微分为_____4解答：zexsin(x2y)excos(x2y)，zxx

1(0,)4z2excos(x2y)，zyy

0(0,)4进而函数在该点处的全微分为dx1假定级数n1np3发散，那么p_____解答：p31p27.设由方程2x2y2z22z0确立隐函数zf(x,y)，那么z_____x解答1：两边对x求偏导得4x2zz2z0，进而z2xxxx1z解答2：两边微分得4xdx2ydy2zdz2dz0整理得(1z)dz2xdxydy，即dz2xdxydy1z1z于是z2x,zyx1zy1z8.微分方程y//2y/5y0的通解为_____解答：特色方程为r22r50解得r1,212i所以原方程的通解为yex(cos2xC2sin2x)C1二.选择题〔每题2分，共16分〕2/71.微分方程xy/y3的特解是〔〕yx101B.3(1x)A.31x1D.1xC.1xdydx解答：分别变量得3yx两边积分得y31cx代入初始条件得1y331c，进而特解为x313x选A2.设点(0,0)是函数f(x,y)的驻点，那么函数f(x,y)在(0,0)处〔〕A.必有极大值B.可能有极值，也可能无极值C.必有极小值D.必无极值解答：选B3.二重积分(x2y2)d〔〕，此中地区D:x2y22所D围成的闭地区A.B.2C.4D.8解答：用极坐标系计算22(x2y2)dd2d2D00选B4.假定在点M处可微，那么在点M处沿任何方向的方导游数〔〕3/7A.必然存在B.必然不存在C.可能存在也可能不存在D.仅在x轴y轴方向存在，其余方向不存在解答：选A5.假定L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为极点的三角形的界限，那么(xy)ds〔〕LA.12B.22C.12D.2211解答：OA段的参数方程为y0,0x1，所以(xy)dsx10dx2OA01ABy1x,0x1(x)ds1112段的参数方程为，所以AB011OB段的参数方程为x0,0y1，所以(xy)dsy10dy2OB0进而(xy)ds(xy)ds12LOAABOB选C设地区G为开地区，函数P(x,y),Q(x,y)在G内拥有一阶连续偏导数，那么曲线积分P(x,y)dxQ(x,y)dy在G内与路径没关的L充分必需条件是〔〕A.QP((x,y)G)xyB.任取地区G内一条闭合曲线C，有P(x,y)dxQ(x,y)dy0CC.存在一个二元函数uu(x,y)，使得duP(x,y)dxQ(x,y)dyD.以上答案都正确4/7解答：选D7.设表示平面xyz1上被三个坐标面截下的局部，那么(xyz)dS为〔〕B.32C.3D.23解答：曲面的方程为z1xy，在xOy面上的投影D为x轴、y轴、xy1所围区域，所以(xyz)dS1111dxdy33dxdyDD2选B8.设uf(xy,x2y2z2)，那么u〔〕zA.f12zf2B.yf12zf2C.xf12zf2D.2zf2解答：选D

uf1z(xy)f2(x2y2z2)2zf2zz三.〔本题13分〕计算三重积分zdV，此中是由曲面z2x2y2及zx2y2所围成的闭地区解答1：由立体的形状及积分函数的特色，选先算二重积分再算一重积分的方法，把z放在最外层积分。在z轴上的投影为0z2，当0z1时，用垂直于z轴的平面截立体所得截面Dz1为x2y2z；当1z2时，用垂直于z轴的平面截立体所得截面Dz2为x2y22z2，进而文档来自于网络搜寻12127zdvdzzdxdydzzdxdyz2dz(2zz3)dz0Dz1Dz201121解答2：用柱面坐标系计算5/7在xOy面上的投影D为02,01，又2z221221217zdvddzdzd235d00220012

2，所以四.〔本题13分〕计算曲线积分(exsiny2y1)dx(excosy2x)dy，此中L为下半圆周L(x1)2y24,y0，沿顺时针方向解答：直接计算特别麻烦，用格林公式就很简单，注意到QP，所以可以用积分与路xy径没关设L1为y0，x从3到-1，因为(excosy2x)excosy2(exsiny2y1)，xy所以积分与路径没关。而L与L1的起点终点同样，进而(exsiny2y1)dx(excosy2x)dy(exsiny2y1)dx(excosy2x)dyLL111dx432n1x2n2五.〔本题13分〕求级数n12n的收敛地区以及和函数解答：该幂级数不可以直接用定理求收敛半径，要用定理的推导思路去求2(n1)1x2(n1)22lim2n1lim2n1x2xn2n1x2n2n2(2n1)22n22x2x，即x2时，级由比值审敛法，当1，即x时，级数绝对收敛，当122数发散而当x2时，级数成为2n1，一般项不趋于0，明显发散；当x2时，级数n12成为2n1，发散n126/7进而原级数的收敛域为(2,2)令s(x)2n1x2n2，两边积分得n12nxx2n11x2nxs(x)dxn12nxn122x20两边求导得s(x)2x2(2x2)22n12n12x22,x[2,2]即2nx(2x2)n1六.〔本题10分〕设曲面:x2y2z29,cos,cos,cos是的外法线方向余弦，求I(xcosycoszcos)dS解答：由高斯公式得Ixdydzydzdxzdxdy3dxdydz34331083七.〔本题11分〕试证曲面xyza(a0)上随意一点处的切平面与各坐标轴上的截距之和等于a解答：设M(x0,y0,z0)为曲面上随意一点，那么该点处的法