选择性必修第一册人教B版-第二章-单元测试卷-143713

第二章平面解析几何一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是()A.1 B.-1 C.-2或-1 D.-2或12.已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),则直线AB与PQ的位置关系为()A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直3.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,则直线l的方程为()A.x-y+1=0 B.x-y=0 C.x+y+1=0 D.x+y=04.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则该直线被抛物线截得的弦长为()A.8 B.16 C.32 D.645.已知圆C:(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)与直线y=2x相交于P,Q两点,则当△CPQ的面积为12时,实数a的值为 (A.52 B.102 C.54 6.“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器,该名称源于屈原长诗《天问》,寓意探求科学真理征途漫漫,追求科技创新永无止境.图1(1)是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图,火星的球心是椭圆的一个焦点.过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线PM,PN,则∠MPN就是“天问一号”在点P时对火星的观测角.图1(2)所示的Q,R,S,T四个点处,对火星的观测角最大的是 ()图1A.Q B.R C.S D.T7.已知圆O的方程为x2+y2=9,若抛物线C过点A(-1,0),B(1,0),且以圆O的切线为准线,则抛物线C的焦点F的轨迹方程为 ()A.x29-y28=1(x≠0) B.x29+C.x29-y28=1(y≠0) D.x29+8.已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点为A,B,点P是双曲线上异于A,B的点,且点P与原点O的连线交椭圆C2:x2a2+y2b2=1于点Q,则直线PA,QAA.2b2a2 B.-2b2a2 C.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.截距相等的直线都可以用方程xa+ya=B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tanθ(x-1)D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=010.已知双曲线C:x2a2-y2=1(a>0),若圆(x-2)2+y2=1与双曲线C的渐近线相切,则(A.双曲线C的实轴长为6B.双曲线C的离心率e=2C.点P为双曲线C上任意一点,若点P到C的两条渐近线的距离分别为d1,d2,则d1d2=3D.若直线y=k1x+m(m≠0)与双曲线C交于A,B两点,点D为弦AB的中点,直线OD(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1k2=111.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足|PA||PB|=12,设点P的轨迹为曲线CA.曲线C的方程为(x+4)2+y2=9B.在曲线C上存在点D,使得D到点(1,1)的距离为3C.在曲线C上存在点M,使得|MO|=2|MA|D.在曲线C上存在点N,使得|NO|2+|NA|2=4三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线l:x-my-2=0的距离,当θ,m变化时,d的最大值为.

13.设F1,F2分别为椭圆x29+y25=1的左、右焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则14.P是双曲线x24-y25=1右支在第一象限内的一点,F1,F2分别为其左、右焦点,A为右顶点,圆C是△PF1F2的内切圆,设圆与PF1,PF2分别切于点D,E,当圆C的面积为4π时,直线PF四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点M(m,4)到焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)若过点M的双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)

16.(15分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且OP·PQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

17.(15分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.

18.(15分)在①点M为椭圆C的上顶点时,△MF1F2面积为42,②椭圆C过点(3,3),③离心率e=63这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线处,并解决下面两个问题设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(1)求椭圆C的方程;(2)求m的值和△PAB的面积.

19.(17分)如图2,已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点,且|MF|=2.(1)求抛物线的方程;(2)设过点F的直线交抛物线于A,B两点,若斜率为2的直线l与直线MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N,且满足|RN|2=|PN|·|QN|,求直线l在x轴上截距的取值范围.图2

第二章平面解析几何1.D显然a≠0,由题意得a+2=a+2a,解得a=-2或a=2.D直线AB的斜率kAB=23,直线PQ的斜率kPQ=-3由于kAB·kPQ=23×(-32)=-1,所以AB3.A由题意知直线l与直线PQ垂直,所以直线l的斜率k=-1kPQ=-14−21−3=1.又直线l经过线段PQ的中点(2,3),所以直线l的方程为y-3=x-2,4.B由题意得2p=8,∴p=4,则焦点坐标为(2,0),过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=x-2,由y=x-2,y2=8x,得x2-12x+4=0,则x1+x2=12(x1,x2为直线与抛物线两个交点的横坐标).从而直线被抛物线截得的弦长为x1+x5.B由题意得,圆C:(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)的圆心为C(a,a),半径r=1,所以圆心到直线y=2x的距离d=a5,所以弦长|PQ|=2r2-d2=21−a25,所以△CPQ的面积S=12|PQ|×d=1−a26.D设火星半径为R,椭圆左焦点为F1,连接PF1,NF1,MF1,则∠MPN=2∠MPF1,如图D1.图D1因为sin∠MPF1=RPF1,所以PF1越小,sin∠MPF1越大,∠MPF1越大,∠MPN越大,观察可知,当点P位于条件中点T处时7.D设抛物线的焦点为F(x,y),准线为l,过点A,B,O分别作AA'⊥l,BB'⊥l,OP⊥l,其中A',B',P为垂足.因为l为圆O的切线,所以P为切点,且易得|AA'|+|BB'|=2|OP|=6.因为抛物线过点A,B,所以|AA'|=|FA|,|BB'|=|FB|,所以|FA|+|FB|=|AA'|+|BB'|=6>|AB|=2,所以点F的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且点F不在x轴上,所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为x29+y28=1(8.D设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),直线PA,PB,QA和QB的斜率分别记为k1,k2,k3,k4.由O,P,Q三点共线,得x1y2=x2y1.因为A,B的坐标分别为(-a,0),(a,0),所以k1+k2=y1x1+a又点P在双曲线C1上,所以x12a2-y12b2=1,即x12-a2=a2同理可得,k3+k4=-2b故k1+k2+k3+k4=2b2x1a2y1-9.BD对于A,若直线过原点,横纵截距都为零,则不能用方程xa+ya=1表示,所以A不正确;对于B,当m=0时,方程为x=2,此方程表示的直线平行于y轴,所以B正确;对于C,若直线的倾斜角为90°,则该直线的斜率不存在,不能用y-1=tanθ(x-1)表示,所以C不正确;对于D,设点P(x,y)是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线上的任意一点,根据P1P2∥P1P可得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=10.BCD由题意知双曲线C的渐近线方程为x±ay=0,所以|2|1+a2=1,解得a=3,所以半焦距c=2,所以e=23=233,故A错误,B正确;设P(x0,y0),则d1d2=|x0-3y0|2·|x0+3y0|2=|x02-3y02|4=34,故C正确;11.BD设P(x,y),由A(-2,0),B(4,0),|PA||PB|=12可得(x-4)2+y2=2(x+2)2+y2,两边平方整理可得x2+y2+8x=0,即(x+4)2曲线C表示圆心为(-4,0),半径r=4的圆,点(1,1)到圆心的距离为(1+4)2+12=26,所以点(1,1)与圆上的点的距离的最小值为26-r=26-4,最大值为26+r=26+4,而3∈[26-4,26+设M(x,y),由|MO|=2|MA|,可得x2+y2=2(x+2)2+y2,两边平方整理可得x2+y2+163x+163=0,与x2+y2+8x=设N(x,y),由|NO|2+|NA|2=4,可得x2+y2+(x+2)2+y2=4,整理可得x2+y2+2x=0,与x2+y2+8x=0联立,解得x=0,y=0,故D正确.故选BD.12.3因为点P(cosθ,sinθ)的轨迹是圆心在原点,半径为1的圆,直线l:x-my-2=0过定点A(2,0),如图D2所示.图D2过O作OM⊥l,垂足为M,则|OM|≤|OA|=2,所以|OM|+1≤2+1=3,当点M与点A重合时取等号,此时m=0,dmax=3.故d的最大值为3.13.513因为线段PF1的中点在y轴上,所以PF2与x轴垂直,则P的坐标为(2,±53),所以|PF2|=则|PF1|=2a-|PF2|=133,所以|PF14.43设圆C与线段F1F2切于点G,则由题意可知|PD|=|PE|,|F1D|=|F1G|,|F2G|=|F2E|所以|PF1|-|PF2|=(|PD|+|DF1|)-(|PE|+|EF2|)=|DF1|-|EF2|=|GF1|-|GF2|=2a,设G(x0,0),则(x0+c)-(c-x0)=2a,即x0=a,所以点G即为右顶点A.设圆C的半径为r(r>0),因为圆C的面积为4π,则πr2=4π,则r=2,因为CA⊥F1F2,所以C(2,2),于是tan∠CF2A=|CA||A因为CF2是∠PF2F1的角平分线,所以tan∠PF2F1=tan(2∠CF2A)=2tan∠CF2所以tan∠PF2x=tan(π-∠PF2F1)=-tan∠PF2F=43,即直线PF2的斜率为415.(1)由抛物线的定义可得4+p2=5,解得p=故抛物线C的方程为x2=4y.(2)把M(m,4)代入x2=4y,得m=±4,即点M的坐标为(±4,4).又抛物线x2=4y的焦点为(0,1),则a=1,所以双曲线的方程为y2-x2b2=将M(±4,4)代入双曲线的方程,得b2=1615,即b=4故双曲线的渐近线方程为y=±15416.(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).由NP=2NM得x0=x,y0=22因为M(x0,y0)在C上,所以x22+y2因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OQ·PF=3+3m-tn,OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).由OP·PQ=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以OQ·PF=0,即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.17.(1)依题意得圆C:(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为C(-1,2),半径为2.①当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线方程为y=kx,由|-k-2|k2+1=2,解得k=2±6,则切线方程为y=②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线方程为x+y-a=0,由|-1+2-a|12+12=2,解得a=-1或a=3,所以切线方程为x+y+1=综上,切线方程为y=(2±6)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)由|PO|=|PM|,得x12+y12=(x1+1)2+(y1-2)2-2,即2x1-4y1+故点P在直线l:2x-4y+3=0上.|PM|取得最小值,即|OP|取得最小值,易知直线OP⊥l时|OP|取得最小值.所以此时直线OP的方程为2x+y=0.解方程组2x+故所求点P的坐标为(-310,3518.(1)由已知可得2b=4,解得b=2,故椭圆C的方程为x2a2+y若选择①,则12×2c×b=bc=2c=42,解得c=22,故a2=b2+c2=故椭圆C的方程为x212+y2若选择②,则(3)2a2+(3)故椭圆C的方程为x212+y2若选择③,则e=ca=a2-b2a=解得a2=12,故椭圆C的方程为x212+y2(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x+m,x2+3y2=12,可得4x2+6mx+由Δ=(