上海市沪教版高二上册期中试卷含答案3套选择填空有解析

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第一套：2019年上海市嘉定二中等六校联考高二（上）

期中数学试卷第二套：2017-2018学年上海市闵行区高二（上）期

中数学试卷第三套：2018-2019学年上海市华师大一附中高二（上）

期中数学试卷2019年上海市嘉定二中等六校联考高二(上)期中数学试卷一、填空题2.关于x,y的方程组的增广矩阵是 .(x+ay+3-u 11-11.方程I12*4*1=0的解为-10-20.已知M(2,5),N(3,-2),点P在直线诬上，且满足而二3而.则点P的坐标为..已知数列｛1弥(4-1)｝(n£N*)为等差数列，且为=3,a2=5,贝I」lim|； 7 + +,•'+ T )二 .n-8a2ala3a2an+lan .已知无穷等比数列｛4｝的所有项的和为3,则须的取值范围为..直线过(-1,3)且在x,y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为..在4ABC中，A(2,4),B(1,-3),C(-2,1),则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为..设m£R,过定点A的动直线x+my=O和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y).则|PA|・|PB|的最大值是.1°.已知 (1+cosCL,sinCl),b=(1-cosP,sinP),c=(1>0)，0*(0,ji),3e(ji,2ji),与「的夹角为0i,h与，的夹ac dc角为。2，且%-82=4'求sin9j=.二、选择题如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（ ）A.求三个数中最大的数B.求三个数中最小的数C.按从小到大排列 D.按从大到小排列下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.TOC\o"1-5"\h\z正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4二、选择题（3分）设a£R,则“a=l”是“直线7＞：ax+2y-1=0与直线A：x+（a+1）尹4=0平行”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（3分）已知|彳|=3,|b|=4,（a-b）（a-3b）=81,则;与E的夹角为（ ）A.2LB.2LC. D.12L6 3 3 6（3分）二元一次方程组［5x+biy=Ci存在唯一解的必要非充a?x+b2yzzc2分条件是（A.系数行列式后0B.比例式卫声M3nbnc.向量ai,bl不平行la2)lb2)D.直线ax+6尸a,&x+Z%y=C2不平行(3分)如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，4,4,A,…4则不;•不，(i,j€El,2.3,“⑹：的值组成的集合为()4:4 4 4{-2,-1,0,1,2){-2,-1,卷,0, 1,2}{厅bI'0,可1，7)D.{-2,得,-1,+0,f,1,4.2)三、解答题.已知直线方程7i：mx+尸冰L12：x+my=2m,问"为何值时，71,右相父，平行，重合？.已知|二=1,|E|=2,：与E的夹角为120°,当在为何值时.(1)德+E与；-谑直；取得最小值？并求出最小值..设〃为△/a'的边/£上一点，〃为内一点，且满足而=」»标，而=疝+4」前，X>0.求：入2+2 入+1（1）记F（入）=也也，求F（入）关于人的表达式；SABC（2）求出F（入）的最大值并求出相应的人值..在直角坐标系沙中，过点〃（4,2）作直线,交x轴于4点、交y轴于8点，且P位于两点之间.（1）若屈=3而，求直线/的方程；（2）求当瓦•而取得最小值时直线/的方程；（3）当夕随面积最小值时的直线方程..已知直线：（2加1）广（勿-1）y-5%-1=0,且与坐标轴形成的三角形面积为S.求：（1）求证：不论勿为何实数，直线/过定点只（2）分别求S=3和S=5时，所对应的直线条数；（3）针对S的不同取值，讨论集合⑺直线经过〃且与坐标轴围成的三角形面积为。中的元素个数.2019年上海市嘉定二中等六校联考高二(±)期中数学试卷

参考答案与试题解析一、填空题1.计算：lim3：2+4,2=J.TOC\o"1-5"\h\zn+8(2n+l)2 -4一【考点】极限及其运算.【专题】计算题.【分析】先分子分母同除以南，再利用极限的运算性质可求.2_ 3+^T【解答】解：由题意，lim用笔故答案为本L8(2n+l)'L84+至十上4 4nn2【点评】本题主要考查极限的运算及性质，属于基础题.2.关于x,y的方程组产+：：；=°的增广矩阵是广：2.【考点】矩阵的应用.【专题】计算题；规律型；矩阵和变换.【分析】先把方程组方程组fax+2；：=°改写为再由增x+ay+3=0 |x+ay=-3广矩阵的概念进行求解.【解答】解：二元一次方程组产女丁，即「与尸；,・•・二元一次方程组的增广矩阵是I：2x+ay=_3 \la故答案为：Via【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念.11-113.方程|12*《X|=0的解为xl2,X2=logz5.10-20【考点】三阶矩阵.【专题】计算题.【分析】可以用三阶矩阵的化简方法把方程左边化简，得到一个关于2*的一元二次方程，解出x即可11-11【解答】解：由12X4X=0,化简得：10-20方程-20X2X+4X+11X2x+20=0则方程同解于(2X)2-9X2x+20=0得2X=4或2=5,Xj—2,X2—log25故方程的解为Xi=2,x2=log25.故答案为：x尸2,x2=log25【点评】考查学生转化三阶矩阵的方法，掌握三阶矩阵的计算方法..已知M(2,5),N(3,-2),点P在直线而上，且满足而=3瓦则点P的坐标为 (今，_地.【考点】线段的定比分点.【专题】计算题.【分析】由题意可得点P分诬成的比为人=维3,由定比分点坐PN标公式求出点P的坐标.【解答】解：由题意可得点P分而成的比为人=星=3,由定比分PN点坐标公式可得x二篙争尸="小，故点P的坐标为号，-»故答案为：(甘，-[).【点评】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义,线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题..已知数列｛1困(％-1)｝(n£N*)为等差数列，且a】=3,a2=5,则liin(2++…+ 71)—1.n->8 ^2~ala3-a2an+l-an >【考点】数列的极限；等差数列的通项公式.【专题】综合题；方程思想.【分析】由题意，可先由数列｛log2(an-l)｝(n£N*)为等差数列，且ai=3,a2=5得出数列｛log?(an-1)｝的首项为1,公差为1,由此解出log2(an-l)=l+(n-1)Xl=n,从而求出an=l+2n,再研究an+1-an=2n+1+l-2n-1=2。即可得出lim(z+ z+…+ 72 )=lim ,结合等n—8 -ala3-a2an+l-ann-8 2呼2 〜比数列的求和公式计算出所求的极限即可【解答】解：数列{log解a-1)}(n£N*)为等差数列，且a=3,&2-5数列的公差为log24-log22=l,故log2(an-1)=1+(n-1)Xl=n,即an-1=2",an=l+2n,.\an+1-an=2n+1+l-2n-l=2n/.lim( z + z +…+ 7： )=n-8 82-ala3-a2an+l-anlim …+3)-lim( 广 )-lim(1--)=1n—8N2 2 n—8 J-A n-82n2故答案为1【点评】本题考查数列与极限的综合，考查了等差数列的性质，通项公式,对数的运算，等比数列的求和等，涉及到的知识点多，综合性强，解题的关键是由题设条件求出%=1+2。，难度较高.已知无穷等比数列{a}的所有项的和为3,则&的取值范围为{x|0VxV6,且x#3}.【考点】等比数列的通项公式.【专题】分类讨论；数学模型法；等差数列与等比数列.【分析】由题意可得：71k=3,0<|q|<l,解出即可得出.1-q【解答】解：由题意可得：力=3,0<|q|<l,1-q，a尸3（1-q）e（0,6）,且aH3.的取值范围为{x|0VxV6,且xW3}.故答案为：{x|0<x<6,且xW3}.【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式性质、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7.直线过（-1,3）且在x,y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为3x+y=0、x-y+4=0,或x+y-2=0.【考点】直线的截距式方程.【专题】方程思想；综合法；直线与圆.【分析】当直线经过原点时，斜率为-3,可得要求的直线方程.当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k,再把点（-1,3）代入求得k的值，可得要求的直线方程，综合可得结论.【解答】解：当直线经过原点时，斜率为专生=-3,要求的直线方程为y=-3x,即3x+y=0.当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k,再把点（-1,3）代入可得-1-3=k,或-l+3-k,求得k=-4,或k=2,故要求的直线方程为x-y+4=0,或x+y-2=0.综上可得，要求的直线方程为3x+y=0、x-y+4=0,或x+y-2=0,故答案为:3x+y=0>x-y+4=0,或x+y-2=0.【点评】本题主要考查求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.8.在4ABC中，A(2,4),B(1,-3),C(-2,1),则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为**±二.【考点】直线的点斜式方程.【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆.【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式.【解答】解：BC边上的高所在直线过点A(2,4),斜率为J二kbc1 - C-由点斜式写出BC边上的高所在直线方程为y-4=1x-2-iq q-2),即y=*+,故答案为：y--^x+-^.【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法.9.设m£R,过定点A的动直线x+my=O和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y).则IPAHPB|的最大值是5.【考点】点到直线的距离公式.【专题】直线与圆.【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B,注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA_LPB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|・|PB|的最大值.【解答】解：有题意可知，动直线x+my=O经过定点A(0,0),动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,经过点定点B(l,3),注意到动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA_LPB,A|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.故|pa|・|pb|《Ipa|2；|pb|2=5(当且仅当|pa|=|pb|==时取)故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有IPA12+1PB12是个定值，再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合,不容易想到，是个灵活的好题.1°.已知&=(1+cosCL,sina),b=(1~cosP,sinB),c=(1，0)'aG(0,Ji),3G(Ji,2Ji),八与。的夹角为9i，人与八aC DC的夹角为。2，且-e2=-^-,求sin°J=-].【考点】平面向量数量积的运算.【专题】转化思想；向量法；三角函数的求值；平面向量及应用.

【分析】由a£（0,冗），可得，的范围.利用向量的夹角公式化简可得9尸今，同理可得02=4-3再利用。「02=2,z Zz 5即可得出sin/艮的值.【解答】解：a£（0,Ji）,.-.4e（0,-?）.1+cos^•a*c=]+COSa,|a|=yj(1+cosCL)2+sin2Cl:zV2+2cosCl9]1+cos^—cos-,•/0e(ji,2Ji), (y,ji)•b,c-l-COS3,IbI-V(l~cosP)2+sin2P-V2-2cosP,4）=2,化为9^匹-msin——-_=sin故答案为：-方.【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式,考查了推理能力和计算能力，属于中档题.二、选择题13.（3分）设a£R,则％=1”是“直线Z：ax+2y-1=0与直线72：x+（3+1）户4=0平行”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】运用两直线平行的充要条件得出L与4平行时&的值,而后运用充分必要条件的知识来解决即可.【解答】解：:当a=l时，直线九x+2y-1=0与直线4：x+2产4=0,两条直线的斜率都是-1,截距不相等，得到两条直线平行，2故前者是后者的充分条件，•・•当两条直线平行时，得到包，-六1a+1.4解得a=-2,a=l,・•・后者不能推出前者，・•・前者是后者的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题.14.（3分）已知11=3,|bl=4,（a-b）（a-3b）=81,则;与E的夹角为（ ）A.2LB.2LC. D.12L6 3 3 6【分析】由（--3E）=；2-4；月+3（=9-4X3X4XcosVg,^>+3X16=81,由此能求出二与E的夹角.【解答】解：・・・|；|=3,|bl=4,（a-b）（a-3b）=81,•・（a-b）（a-3b）=；2-4；.b+3fe2=9-4X3X4Xcos〈Z,^>+3X16=81,■COS<1,b>=-阻•・彳与E的夹角为”.3故选：C.【点评】本题考查向量的夹角的求法，考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.15.（3分）二元一次方程组［%x+biy二j存在唯一解的必要非充

a?x+b2yzzc2分条件是（ ）A.系数行列式历0B.比例式三声包_anbnc.向量ai,bl不平行ka2jlb2,D.直线axx+b\y=a,4才+%/=c2不平行【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0,即可得到4B,。为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况.【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a\x+bxy=Ci,a2x^bzy=。2不平行，二元一次方程组（a1x+bF=J存在唯一解a?x+b2y=c2当两直线异面，直线a/+Z?iy=Ci,a2x+Z%y=C2不平行，二次方程组.次方程组.、x+bi厂J无解,a?x+b2y=c2B.{-2,T,得，0,B.{-2,T,得，0,y,1,2}f3 1 1n1 1 31{3'-1,f，0,hy)D.{-2,得，-1,总，0, 1,y,2}故直线a^bYy=ci,金产。2y=G不平行是二元一次方程组aix+b]y=j存在唯一解的必要非充分条件.a?x+b?y-c2故选：D.【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二7L次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0,以及空间7L两直线的位置关系，属于基础题.16.（3分）如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，4,4,4,…4则不＞京，（i,j€El,2.3,“⑹：的值组成的集合为（）C.【分析】通过观察图形知道向量IT分成以下三个类型：①小J1三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下晒.不的值，从而求得答案.【解答】解：对向量r屋分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形444,它其它小三角形边上的向量相等；大三角形4A4边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：...・,•1••1AjA2*AjA2=l9A1A2。A2Ai=-l，A[A]庆4二29 A4Al二三，].—•..AjA2*A2A4=-y,A1A2。A4A2=q'AjA2*AjA3=2JAjA2*A3A1=-2,A|A2*A|Ag~l'AjAg*AgA|~-1'A]A?•A3A6--1，A〔A2•A6A3=1'TOC\o"1-5"\h\z■ .3 . . 3 • ■ 3 / ■3A1A2'A1A5=7,A1A2'A5A1=^2,AiA2・A3A4=巧'A1A2'A4A3=y»AjA2*A2A6=AjA2♦A6A2=0，•••不。彳；所有值组成的集合为｛1， -1，—,工，2,-2,—,—,0)•2 2 2 2故选：D.【点评】考查相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点.三、解答题17.已知直线方程71：mx+y=mH,72：x+my=2m,问"为何值时，71,右相交，平行，重合？【分析】工，，2相交时，巨大工；上,，2平行时，叫辽大皿；71,1m 1m2m心重合时，叫」』2.1in2m【解答】解：..,直线方程/：mx+y=mH,72：x+/y=2加，71,心相交时，四卉工即启:±1,1ID・••加W±1时，h,，2相交；7i,力平行时，叫」工包工，解得加=-1,

1m2m，勿=-1时，71，心平行；11,4重合时，ZL^L-JEtL,解得力=1,1m2m**•m=1时，h,，2重合.【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线相交、平行、重合的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.18.已知|二=1,|E|=2,二与曲勺夹角为120°,当A为何值时.(1)德+E与；-诵直；IK-2EI取得最小值？并求出最小值.【分析】(1)根据条件先求出。最-I，kQE与ZV垂直时，(kl+b)-(l-b)=0,进行数量积的运算即可求出队(2)先得出(ka-2b)2=k2+4k+16»配方即可求出〃+4A+16的最小值，进而得出忘-2后的最小值.【解答】解：(1)I-b=-l;:ka+b与a-b垂直;। 12 —♦.・2•(ka+b)•(a-b)=ka+(l-k)a・b-b二k-(l-k)-4=0；••k专(2)(ka-2b)2=k2+4k+16=(k+2)2+12;:.k=-2时，|ka-2bI取得最小值2a/3.【点评】考查向量数量积的计算公式及数量积的运算，向量垂直的充要条件，配方求二次函数最值的方法.19.设〃为△/a'的边/£上一点，〃为内一点，且满足而=」»标，而=通+4」应，X>0.求：入2+2 入+1（1）记F（入）=也也，求F（入）关于人的表达式；SABC（2）求出F（入）的最大值并求出相应的人值.【分析】（1）先推出：DP=_2l_BC，DP//BC,再根据面积公式x+l可求得r（x）；（2）利用基本不等式求最值.【解答】解：（1）•••薪=而+而=而+3底，x+l.*•DP/7BC,（入）=SaAPD：AD•DP=,入+1•入=X,入>o；

SAABC即BCX2+2入+1X2+2（2）F（入）_•=返，当且仅当人=正时，f（入）取得最大值返.4【点评】本题考查了平面向量基本定理、基本不等式.属中档题.20.在直角坐标系0中，过点〃（4,2）作直线/交x轴于Z点、交y轴于8点，且P位于两点之间.（1）若赤=3而，求直线/的方程；（2）求当繇•而取得最小值时直线/的方程;(3)当品,面积最小值时的直线方程.【分析】设直线7：y=k(%-4)+2,可求出J(4-2,。),kB(0,2-4A).结合〃位于/、8之间，建立不关于A的不等式，可得左V0.(1)由力、B、〃的坐标，得出向量而和神坐标，从而将而=3而化为关于左的方程，解出左值即得直线/的方程;(2)由向量数量积的坐标运算公式，得出而•拜关于4的表达式，再用基本不等式得到屈•瓦取得最小值时/的斜率A,从而得到直线/的方程.(3)服产(4+x(2-4k)=8-(1_+8k)三8+2J(令.(一8k)=8+8=16,当彳=-8a时，即仁W时，取等号'由此能求出当S.面积最小值时的直线方程.【解答】解：由题意知，直线/的斜率A存在且设7：y=k(x-4)+2,得令y=Q,得x=4-2,所以A(4k-2,0),k再令x=0,得y=2-4h所以8(0,2-4制，•・•点尸(4,2)位于/、£两点之间，.\4-2且2-44>2,解k得4V0./.AP—(2,2),而=(-4,-4A)…2分k(1)•・•却=3瓦.23X(T),解得左=-Lk 6・•.直线/的方程为y=-1(x-4)+2,整理得x+6y-16=0.6VA<0,ap*pb=8[(-A)+(-D]216,k

当_k=_L,即左=-1时，等号成立.k・•・当屈•瓦取得最小值时直线/的方程为尸-(x-4)+2,化为一般式：x+y-6=0.VJ(4-1,0),B(0,2-44),k<0,kS^OAH=A-x(4-7)X(2-4k)~8■(春+8k)N8+2 (-8k)=8+8ZK K=16,当-2=-84时，即4=-工时，取等号，k 2・•.当以面积最小值时的直线方程为y=-[(x-4)+2,即2x+2y-8=0.【点评】本题以向量的坐标运算为载体，求直线/的方程，着重考查了直线的方程和向量在几何中的应用等知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.21.已知直线：(2加1)广(勿-1)y-5%-1=0,且与坐标轴形成的三角形面积为£求：(1)求证：不论勿为何实数，直线/过定点只(2)分别求S=3和S=5时，所对应的直线条数；(3)针对S的不同取值，讨论集合⑺直线经过〃且与坐标轴围成的三角形面积为。中的元素个数.【分析】(1)直线方程化为m(2^+y-5)+(x-y-1)=0,令[2x+y-5=0求得直线/所过的定点；(x-y-l=0(2)由题意知直线的斜率存在且不为0,设出直线方程，求出直线与x、y轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数；(3)由题意得(2A-1)2=2S\k\,讨论A>0和AVO时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合⑺直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S中元素的个数.【解答】解：(1)直线(2M1)x+(勿-1)y-5/-1=0可化为m(2A+y-5)+(x-y-1)=0,令［2x+y-5=0,1x-y-l=0解得卜那，Iv=l・•・不论勿为何实数，直线/过定点〃(2,1)；(2)由题意知，直线的斜率左存在，且20,设直线方程为y-l=k(x-2),则直线与x轴的交点为A(2-A.,0),k与y轴的交点为8(0,1-24)；，△力仍的面积为S=L・|如H的=工义|2-1|X|1-2k\=2 2k(2k-l)2.21kl'令S=3,得(24-1)2=6|用，4>0时，方程化为4A2-104+1=0,解得A="主/瓯，有两个正根，即有两条直线；8★V0时，方程化为4A?+24+1=0,△=-12V0,方程无实数根，即无直线；综上知，S=3时有两条直线；令S=5,得(2A-1)2=10|用，A>0时，方程化为4A2-14—1=0,解得主口豆，有两个正根，即有两条直线；8AV0时，方程化为4乃+64+1=0,解得旧=二6土叵,有两个负8根，即有两条直线；综上知，S=5时有四条直线；(3)由题意得，(2A-1)2=2S|用，k>0时，方程化为44-(254-4)4+1=0,解得左=(S+2)±V?石,有两个正根，即有两条直线；AV0时，方程化为4乃-(4-2S)〃+1=0,△=4S(S-4),0VSV4时，△<0,方程无实数根，此时无直线；S=4时，△=(),方程有一负根4=-工，此时有一条直线；25>4时，△>(),解得4="生叵鱼,方程有两负根，即4有两条直线；综上知，0<5<$时有两条直线；S=4时有三条直线，5>4时有4条直线；即0VSV4时，集合⑺直线经过〃且与坐标轴围成的三角形面积为◎中的元素有2个；S=4时，集合｛/直线经过户且与坐标轴围成的三角形面积为S中的元素有3个；s>4时，集合⑺直线经过户且与坐标轴围成的三角形面积为S｝中的元素有4个.【点评】本题考查了直线恒过定点的应用问题，也考查了三角形的面积应用问题和方程解的个数判断问题，是难题.2017-2018学年上海市闵行区高二（上）期中数学试卷一.填空题（每小题4分，共56分）（3分）过点（1,0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程（3分）方程组卜+2y-5=0的增广矩阵为.（3分）直线x+如y-1=0的倾斜角是.（3分）已知标=3族，设而=人五，则实数入=.42k（3分）行列式-354中第2行第1列元素的代数余子式的值-11-2为-10,则k=.（3分）已知六、”是夹角为％的两个单位向量，向量4=7；elc2 2 1-2弓，若W〃总则实数左的值为.101（3分）以行列式x21的形式表示的直线方程的一个法向量Wy11（3分）直线（研2）x+（2-〃）p-2羽=0在x轴上的截距等于y轴上的截距的2倍，则〃的值为（3分）已知直线（a-2）y=（3a-1）x-1,为使这条直线不经过第二象限，则实数a的范围是.（3分）已知点（-的，3）和（2,0）在直线7：ax-尹2=0（aWO）的同侧，则直线/倾斜角的取值范围是（3分）已知点力（-1,0）,B（1,0）,C（0,1）,直线y=ax+b（a>0）将△加T分割成面积相等的两部分，贝IJ8的取值范围是.（3分）定义：对于实数力和两定点〃N,在某图形上恰有n（z?eN*）个不同的点Pi,使得晤•踣=m（i=l,2,…，n），称该图形满足“〃度契合”.若边长为4的正方形48切中，菽=2丽，而=3萩，且该正方形满足“4度契合”，则实数力的取值范围是.已知函数f（x）二皆与g（x）—mx+1-m的图象相交于点A,B两点，若动点P满足|而+而1=2,则P的轨迹方程是—.2 2.记椭圆♦+抖围成的区域（含边界）为QRn=l,2,3…），44n+l当点（x,y）分别在。2,…上时,x+y的最大值分别是此，M2，…，则」以日产.二.选择题（每小题5分，共20分）

TOC\o"1-5"\h\z.对任意平面向量；、b,下列关系式中不恒成立的是( )A.Ia*bKIaIIbIB.|a-bICIIal-lb11C.(l+b)2=|a+bI2D.(a+b)(l-b)=a2-b2.直线11；x+ay+2=0和直线12：(a-2)x+3y+6a=0,贝I」“a=3”是 的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件.已知点(a,b)是圆x?+y2=r2外的一点，则直线ax+by=Y与圆的位置关系( )A.相离B.相切C.相交且不过圆心D.相交且过圆心.已知0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P动点P满足加=标+人扁+启)，入"，+8),则动点P的轨迹一定通过4ABC的( )A.重心B.垂心C.外心D.内心三.解答题(12分+14分+14分+16分+18分，共74分).已知aABC的顶点A(1,3),AB边上的中线所在直线的方程是y=l,AC边上的高所在直线的方程是x-2y+l=0.求(1)AC边所在直线的方程；(2)AB边所在直线的方程..已知直线1过点(0,-1)且被两条平行直线1.：2x+y-6=0和］_2：4x+2y-5=0截得的线段长为日,求直线1的方程..若京E是两个不共线的非零向量，(1)若W与E起点相同，则实数t为何值时，W、tb>|(;+b)H个向量的终点A,B,C在一直线上？(2)若|；|=国1，且;与E夹角为60°,则实数t为何值时，|；_口I的值最小？.已知点A(0,2),B(4,4),OM=t1OA+t2AB；(1)若点M在第二或第三象限，且3=2,求t2取值范围；(2)若t1=4cos0,t2=sin0,0£R,求55在标方向上投影的取值范围；(3)若ti=a:求当赢J_屈，且aABM的面积为12时，a和的值..已知椭圆C：=1(a>b>0)的左焦点为F,短轴的ab两个端点分别为A、B,且|AB|=2,4ABF为等边三角形.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点0的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H,直线NH与椭圆C交于另一点J,若而•而二2，试求以线段NJ为直径的圆的方程；(3)已知L、b是过点A的两条互相垂直的直线，直线L与圆0：x?+y2=4相交于P、Q两点，直线b与椭圆C交于另一点R；求△PQR面积取最大值时，直线L的方程.2017-2018学年上海市闵行区高二（±）期中数学试卷

参考答案与试题解析一.填空题（每小题4分，共56分）（3分）过点（1,0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程」2y-l=0.【分析】设过点（1,0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程为x-26^二。，把（1,0）代入能求出结果.【解答】解：设过点（1,0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程为x-2y+c=0,把（1,0）代入，得：l-2X0+c=0,解得c=-1,•・过点（1,0）且与直线2户y=5垂直的直线的方程为x-2y1=0.故答案为：x-2y-1=0.【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.（3分）方程组付2y-5=0的增广矩阵为F125'.13xp=8 -3-18-【分析】根据增广矩阵的定义即可求出.【解答】解：方程组付2丫-5=0的增广矩阵为「1251l3x-y=8 3-18故答案为：［12513-18【点评】本题考查了增广矩阵的定义，属于基础题（3分）直线x+舟-1=0的倾斜角是_冗【分析】利用直线方程求出斜率，然后求出直线的倾斜角.【解答】解：因为直线x+V5yT=o的斜率为：-返，_ 3所以tana=-返，3所以直线的倾斜角为：互冗.6故答案为：互冗.6【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的倾斜角的求法,考查计算能力.（3分）已知屈=3至，设而=人包，则实数4=2.【分析】可知而帝与，这样带入屈=3方便可得到而=2笆=入苏，从而便可得出入的值.【解答】解：根据条件，BP=AP-AB=AP-3AP=-2AP=2PA=XPA；入=2.故答案为：2.【点评】考查向量减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量相等的概念.42k（3分）行列式-354中第2行第1列元素的代数余子式的值-11-2为-10,则k=-14.【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号—为物,求出其表达式列出关于4的方程解之即可.

【解答】解：由题意得场=【解答】解：由题意得场=（-1）32k1-2=2X2+1X4=-10解得:k=-14.故答案为：-14.【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题.（3分）已知三、U是夹角为二的两个单位向量，向量C1c2 2 1-2-r，b=k-r+2-r,若彳〃E,则实数4的值为-1・【分析】根据W城即可得出，存在实数入，使得最小，从而得出ke]+2e2=入(得出ke]+2e2=入(e।-2e2)，并且同，弓不共线，从而得出k=X2=-2X这样即可求出A的值.【解答】解：・•・存在实数入，使最入；;Ie2);••ke]+2e2=入Ie2);又可，弓不共线；/k=x;I2=-2入：.k=-1.故答案为：-1.【点评】考查单位向量的概念，共线向量和平面向量基本定理,向量的数乘运算.7.（37.（3分）以行列式的形式表示的直线方程的一个法向量，(1,-2)101【分析】X21=2+x-2y-l=x-2尸'1=0.由此能求出结果.y1101【解答】解：•••x21=2+x-2y-l=x-2yH=0.y11101・••以行列式x21的形式表示的直线方程的一个法向量；=（1,y11-2）.故答案为：（1,-2）.【点评】本题考查直线的法向量的求法，考查行列式的展开法则、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.（3分）直线（研2）x+（2-/77）y-2勿=0在x轴上的截距等于y轴上的截距的2倍，则力的值为-2或0【分析】讨论勿=0时直线化为x+y=0,满足题意；%?0时，直线化为过1,求出在x轴和y轴上的截2m2m距，列方程求出力的值.【解答】解：直线（研2）广（2-/77）y-2m=3当勿=0时，直线化为x+y=0,在x轴上的截距与在y轴上的截距都为0,满足题意；当"W0时，直线化为空2m2m在X轴上的截距是及，在y轴上的截距是及，/2 2-in2m=2* 解得力=-2；irri-2 2-in 3综上，勿的值为-2或0.3故答案为：-2或0.3【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是基础题.（3分）已知直线（a-2）y=（3a-1）x-1,为使这条直线不经过第二象限，则实数a的范围是［2,+8）.【分析】由已知中直线（a-2）尸（3a-l）x-l不经过第二象限，我们分别讨论a-2=0（斜率不存在），a-2W0（斜率存在）两种情况，讨论满足条件的实数a的取值，进而综合讨论结果，得到答案.【解答】解：若a-2=0,即a=2时，直线方程可化为x=L5此时直线不经过第二象限，满足条件；若a-2W0,直线方程可化为J_,此时若直线不a-2 a-2经过第二象限，则220,」_20a-2 a-2解得a>2综上满足条件的实数a的范围是［2,+8）故答案为：［2,+8）【点评】本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当420且力W0时，直线不过第二象限得到关于a的不等式组，是解答本题的关键，但解答时,易忽略对2=0（斜率不存在）时的讨论，而错解为（2,+OO)（3分）已知点（-6，3）和（2,0）在直线7：ax-尹2=0（a/0）的同侧，则直线）倾斜角的取值范围是（”，4-5-）【分析】点（-V5，3）和（2,0）在直线7：ax-尹2=0（aW0）的同侧，推导出（-Ma-3+2）（2a+2）>0,由此能求出直线的倾斜角的范围.【解答】解：•・•点（-灰，3）和（2,0）在直线7：ax-尹2=0（aWO）的同侧，（-加a-3+2）（2时2）>0,解得-Ka<-返，3设直线的倾斜角为。£[0,弘），-l<tan。<-返，312L<e<^2L.TOC\o"1-5"\h\z4 6・•・直线/倾斜角的取值范围是（”，旦L）.4 6故答案为：（"，旦L）.4 6【点评】要求直线/倾斜角的取值范围的范围，关键是要根据题意建立关于a的不等式的范围，而根据不等式表示平面区域的知识可得在直线同一侧的点的坐标代入直线方程的左侧的值的符合一致，两侧的值的符合相反.，考查运算求解能力，是基础题.11.（3分）已知点4（-1,0）,B（1,0）,C（0,1）,直线y=ax+b（a>0）将△/以分割成面积相等的两部分，则6的取值范围是—（1平，1）_.【分析】先求得直线y=ax+8（a>0）与x轴的交点为"（上，a0）,由上W0可得点〃在射线如上.求出直线和的交点Na的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点〃和点/重合，求得8=L②3若点"在点。和点力之间，求得^<1;③若点〃在点力的左2侧，求得b>\-返，综合起来可得结论.2【解答】解：由题意可得，三角形48。的面积为S=L*AB*OC2=1,由于直线y=ax+6（a>0）与x轴的交点为〃（四，0）,由上a awo可得点〃在射线力上.设直线和员的交点为N,则由［尸ax+b,可得点N的坐标为（巡），a+1①若点〃和点/重合，则点N为线段8。的中点，则上=-baTOC\o"1-5"\h\z且也k=L解得a=6=La+1 2 3②若点"在点。和点力之间，则点N在点8和点。之间，由题意可得三角形械的面积等于L即4奶・小工，2 2 2即工・（l+k）•边=L解得后二>0,故2aa+1 2 l-2b 2③若点〃在点/的左侧，则2V-l,b>a,设直线尸司广5和力。的交点为R则由(尸ax+b求得点尸的坐标为(上也，空之)，ly=x+l a-la-l此时，NP=J_l~b)21(a+ba-b)2二Va+1a-l7 a+1a-l，lr-2(l~b)-i2,r2a(b-l)-.2VL(a+l)(a-l)J+L(a+1)(a-l)J=〃(1+a')(1-b)2= 2|l-b| /2,V(a+l)2(a-l)2 ।(a+1)(a-1)I二+a此时，点C(0,1)到直线y=ax+b的距离等于卑M,"2由题意可得，三角形。式的面积等于L即4“2叱bl G2 2I(a+1)(a-l)IVi+a•10~l+b|—lJl+a22化简可得2(1-Z?)2=|a-1|.由于此时OVZrCaVL.*.2(1-Z?)2=\a-\\=\-a.两边开方可得正(i-则1-方V君,即b>1平,综合以上可得，8=A■可以，且6VL且即6的取3 2 2值范围是(132,1),' 2 22【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间

的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题.12.（3分）定义：对于实数力和两定点眩N,在某图形上恰有n（〃£N*）个不同的点Pi,使得q市/2,…，n），称该图形满足“〃度契合”.若边长为4的正方形/四中，前=2度，祈=3瓦，且该正方形满足“4度契合”，则实数力的取值范围是卯=-工或2Vx6.【分析】利用数量积的定义和M,N两点的位置可得点Q的运动轨迹是以（2,1）为圆心，半径二=椁二的圆，只需该圆与正方形有4个交点即可.即可求得力的取值范围.【解答】解，如图建立平面直角坐标系，可得"（0,1）,#（4,2),设R(x,y),由1星卡2,…，nA可得(x-2)+(y即点月的运动轨迹是以（2,会为圆心,半径即点月的运动轨迹是以（2,会为圆心,半径只需该圆与正方形有4个交点即可.如图：当r=2,即勿=-工时（图中从内往外第一个圆），有44个交占.I 八、、，当动圆在图中第二个与第三个之间（从内往外第一个圆）时有4个交点，此时:y<r<-J(0-2)2+(4-1)2=年'.•.答案为：勿=-1或2〈/V6.【点评】本题考查学生对文字的处理能力和数量积的定义.动点轨迹问题，属于中档题.13.已知函数f(x)=等与g(x)=mx+1-m的图象相交于点A,B两点，若动点P满足|而+而|=2,则P的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=4.【考点】轨迹方程.【分析】联立直线方程和双曲线方程，求得A,B的坐标，写出向量的坐标，求出两向量的坐标和，由向量的模等于2化简整理得到P的轨迹方程.【解答】解：联立函数f(x)=言与g(x)=mx+1-m得x=l土旧•当x=l-5^时，y=l-m当x=l+JW时,y=l+mj^,设动点P(x,y),则律(1~~x,1- -y),

奇(1+旧-X，1+m旧-y),则笆+而=(2-2x,2-2y),由值+而1=2,得(2-2x)2+(2-2y)2=4,即(x-1)2+(y-1)2=4,.*.P的轨迹方程是(x-1)'+(y-1)口，故答案为(x-1)2+(y-1)2=4.2 2一14・记椭圆（备刁围成的区域（含边界）为Q"L2,3…）,当点（x,y）分别在以，/，…上时，x+y的最大值分别是此,此，…，则”以Mn=2y【考点】椭圆的简单性质.【分析】将椭圆的标准方程转化成参数方程，x+y=2cos0sin（=,22+4,sin（9+6）,根据正弦函数的性质可知：（x+y）皿=5+4小扇.已以乂广2以扇=2衣.2 2【解答】解：把椭圆十+给=1得,椭圆的参数方程为:x+y=2cos9sin(0椭圆的参数方程为:x+y=2cos9sin(0+6),.（9为参数）,InD由正弦函数的性质可知：当sin（。+6）=1时，x+y取最大值,••・已飘=曲扇=2加,故答案为：2&.二.选择题(每小题5分，共20分)15.对任意平面向量；、b,下列关系式中不恒成立的是( )A.Ia*bKIaIIbIB.Ia-bl《IIaITb11C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2【考点】向量的模.【分析】根据平面向量数量积的定义与运算性质，对每个选项判断即可.【解答】解:对于A,V|a-bl=|；|x|b|x|cos＜；,b＞L又IcosV；,%＞区1,国恒成立,A正确；对于B,由三角形的三边关系和向量的几何意义得，|a-bl^ll口-国I，，B错误;对于c,由向量数量积的定义得G+E)2=lW+E|2,c正确；对于D,由向量数量积的运算得G+E)-G-E)=7-芭.・.D正确.故选：B.16.直线11；x+ay+2=0和直线12：(a-2)x+3y+6a=0,贝I」“a=3”是“L〃b”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可.【解答】解:若a=3,则两直线方程分别为x+3y+2=0和x+3y+18=0,满足两直线平行，即充分性成立，若当a=0时，两直线分别为x+2=0和-2x+3y=0,此时两直线不平行，不满足条件.当a#0时，若两直线平行则平上大第1 3Z由得a2-2a=3,即a"-2a-3=0,解得a-3或-1,1a当a=-l时，?2二号，不满足条件.1az则aW-1,即a=3,故“a=3”是“L〃b”的充要条件，故选：C17.已知点(a,b)是圆(+丫2=行外的一点,则直线ax+by=r'与圆的位置关系( )A.相离B.相切C.相交且不过圆心D.相交且过圆心【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由点(a,b)是圆x2+y2=d外的一点,知a2+b2＜一,由此得到圆心(0,0)到直线ax+by=r?的距离d£(0,r),由此

能判断直线ax+by=y与圆的位置关系.【解答】解：•・•点（a,b）是圆答+丫2=/外的一点,/.a2+b2<r2,二圆心（0,0）到直线ax+by二6的距离：d=feid=fei<r且d>0,•••直线ax+by=r?与圆相交且不过圆心.故选：C..已知0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足加动点P满足加=禾+入_AB।_AC)IABIcosBIACIcosC入G(0,+8),则动点P的轨迹一定通过4ABC的（ ）A.重心B.垂心C.外心D.内心【考点】向量在几何中的应用.【分析】可先根据数量积为零得出前与人（AB।【分析】可先根据数量积为零得出前与人（AB।AC)IABIcosBIACIcosC垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论.【解答】解：由加=标+入(AB।AC\IABIcosBIACIcosC=>OP-0A=X/ABj_AC、_tIABIcosBIACIcosCAB।AC)IABIcosBIACIcosCAB,ACAB,AC、一_। '। )■BC—IABIcosBIACIcosCbcI+IbcI=o,.*.apibc/.点P在BC的高线上，即P的轨迹过4ABC的垂心故选B.三.解答题（12分+14分+14分+16分+18分，共74分）.已知aABC的顶点A（1,3）,AB边上的中线所在直线的方程是y=l,AC边上的高所在直线的方程是x-2y+l=0.求（1）AC边所在直线的方程；AB边所在直线的方程.【考点】直线的一般式方程.【分析】（1）根据AC边的高所在的直线方程，设出AC所在的直线方程，再代入点A的坐标，求参数即可（2）由中点坐标公式表示出点B的坐标，再根据点B在AC的高线上，可求出中点坐标，从而可确定直线AB的斜率，又由点A的坐标，即可表示出直线的方程【解答】解：（1）由题意，直线x-2y+l=0的一个法向量（1,-2）是AC边所在直线的一个方向向量・•・可设AC所在的直线方程为：2x+y+c=0又点A的坐标为（1,3），2Xl+3+c=0c=-5AAC所在直线方程为2x+y-5=0.（2）y=l是AB中线所在直线方程设AB中点P（xP,1）,B（xB,yB）• 1+Xg 3+y5••xp=-2-*yp^-，点B坐标为(2xp-1,-1),且点B满足方程x-2y+l=0(2xp-1)-2*(-1)+1—0得Xp--1,AP(-1,1)二.AB所在的直线的斜率为：k=；+：=lAAB边所在直线方程为y-3=l(x-1),即x-y+2=0.已知直线1过点（0,-1）且被两条平行直线1,：2x+y-6=0和b：4x+2y-5=0截得的线段长为泉求直线1的方程.【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.【分析】利用点到直线的距离公式可得L与卜之间的距离d,设直线1与两平行直线的夹角为a，则sina=l.对直线1的斜率2分类讨论即可得出.5【解答】解：L与k之间的距离d上空13，5+12«设直线1与两平行直线的夹角为a,7则sina*手也—耒~2 ~2①当直线1斜率存在时，设Ly+l=kx,即1：kx-y-1=0,~ |2k-l| 27一3则一破二诉rtT-。即直线1的方程为：3x+4y+4=0.

②当直线1斜率不存在时，1：x=0,cosa=/符合.所以直线1的方程为：3x+4y+4=0或x=0..若京E是两个不共线的非零向量，（1）若W与E起点相同，则实数t为何值时，［、tb＞某;+b）三个向量的终点A,B,C在一直线上？⑵若1；1=国，且;与E夹角为60°,则实数t为何值时，I的值最小？【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用.【分析】（1）由三点A,B,C共线，必存在一个常数t使得屈二入五，由此等式建立起关于入，t的方程求出t的值；（2）由题设条件，可以把|2-口1的平方表示成关于实数t的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的x的值.【解答】解：（1）正tb-a，AC=jbTavAB//AC，SPab=XAC••tb-a=^(yb-ya)，可得，••tb-a=^(yb-ya)，可得，-1=-f1t二—•2'故存在t弓时，A、B、C三点共线;=k2(t2-t+l)=k2(t-（2）设|；|=R|=k=k2(t2-t+l)=k2(t-时，足的值最小..已知点A(0,2),B(4,4),0M=tl0A+t2AB；(1)若点M在第二或第三象限，且3=2,求t2取值范围；(2)若ti=4cos0,t2=sin0,0GR,求诬在熊方向上投影的取值范围；(3)若ti=a,求当祈1标，且aABM的面积为12时，a和的值.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】(1)根据平面向量的坐标表示，结合题意，即可求出心的取值范围；(2)根据向量投影的定义，利用三角函数的性质求出诬在凝方向上投影的取值范围；(3)根据赢，标，其数量积为0,结合4ABM的面积列出方程组，求出a和t2的值.【解答】解：(1)点A(0,2),B(4,4),0M=11OA+12AB—(4tz，2ti+4t2);若点M在第二或第三象限，且匕二2,,f4t2<0则、’ ，2X2+4t2^0解得t2<0,且t2^-1;AB=(4,4),0M=(4t2,2t[+4t2),M在屈方向上投影为IOMlecos<0M^AB>-,-7.IABI_32t2+8tt472-=4V2t2_*-'/2ti=4遂(sin0+cos9)jr、=8sin(0+—)；工正在屈方向上投影的范围为［-8,8］；0«=(4t2，2t1+4t2),OM-AB=32t2+8tj=0,t2=^ai-»0M=(-aJ.a2)；...点M到直线AB：x-y+2=0的距离为:d=T,+2|二仞a2f；V2SAABc^-lABl-d^X4V2XV2la2-l1=12,解得a=±2,t2=-1.23.已知椭圆C：=1(a>b>0)的左焦点为F,短轴的ab两个端点分别为A、B,且|AB|=2,4ABF为等边三角形.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点。的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H,直线NH与椭圆C交于另一点J,若而•而=+，试求以线段NJ为直径的圆的方程；(3)已知L、k是过点A的两条互相垂直的直线，直线L与圆0：x?+y2=4相交于P、Q两点，直线b与椭圆C交于另一点R；求△PQR面积取最大值时，直线L的方程.【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程.【分析】(1)由椭圆左焦点为F,短轴的两个端点分别为A、B,且|AB|=2,4ABF为等边三角形，列出方程组，求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.(2)设M(xo,y。)，则由条件，知x°>0,y0>0,且N(-x。，-yo),H(xo,0 ).推导出M(小孚)，N(-Q*)，H(后0),进而求得直线NH的'x_4y_&=0方程：x-4y-巫=0.由，22求得J(4V^， 再求出线号+,=1 5 10段HJ的中点坐标，由此能求出以线段NJ为直径的圆的方程.(3)当直线L的斜率为0时，Sapqr=2a/3.当直线L的斜率存在且不为0时，设其方程为y=kx-1(k#0),利用点到直线距离公式、弦长公式、直线垂直、三角形面积公式，结合已知条件能求出结果.

2 2【解答】解：(1)..•椭圆C：^~2+^~2~1(a>b>0)的左焦点为

abF,短轴的两个端点分别为A、B,且|AB|=2,Z\ABF为等边三角形.a=2解得a=2解得<b=lc=V3.•・由题意，得：。;如bb2+c2=a2,•.椭圆C的方程为《+y2=i.(2)设(2)设M(x0,y0),则由条件,知x0>0,y0>0,且N(-x0,y0),H(xo,0).TOC\o"1-5"\h\z从而HM=(O,y0).HN=(-x0» -y0).于 是 由而•酢(0, y0)"(-x0. -y0)=-y02=-1->及y。>。，得yo=~2',2再由点M在椭圆C上，得手+丫。2=1,求得Xo=Vj.所以MGQ,)•N(-五, ,H(>/2. 0),进而求得直线NH的方程：x-4y-&=0.x-4y-V2=0由，x22_求得」(看''历’古我).(V+y=1进 而I町1={(舁必)+(吉白■1•&) 线段NJ的中点坐标为g、历，-1<2)・•・以线段NJ为直径的圆的方程为：代4)2+(吗物2瑙.

(3)当直线的斜率不存在时，直线12与椭圆C相切于点A,不合题意，当直线L的斜率为0时，由题意得S/qr=2«.当直线L的斜率存在且不为0时，设其方程为y=kx-1(kWO),则点o到直线L的距离为从而由几何意义，得TOC\o"1-5"\h\z, 2网1=2/彳=喟常，由题意得它与椭圆c由于12±1,,故直线b的方程为尸由题意得它与椭圆c2 .的交点R的坐标为(一f」，号与，k，4 k，4于是网曷短=于是网曷短=故SAPQR^2'I故SAPQR^2'IPQI'|AR|=842f

4 °44 _32u_32/16r—令U斗诉〉行，则二I,印13,U当且仅当uRT^OF)，即k=士华时，上式取等号.•••颉>3，故当k=士等时，(S^Q/g啮而，此时直线L的方程为：尸士尊X-1.(也可写成士师x+2y+2=0.)2018-2019学年上海市华师大一附中高二(±)期中数学试卷一、填空题2 2一, 一.已知方程升+9=1表示椭圆，则k的取值范围为 .3+k2-k.已知向量3),b=(m,-1),若；1E，则m=..若直线1经过点P(l,2),方向向量为d=(3,-4),则直线1的点方向式方程是—•.若直线1过点A(2,3)且点B(-3,2)到直线1的距离最大，则1的方程为—..直线1过点P(2,3)与以A(3,2),B(-1,-3)为端点的线段AB有公共点，则直线1倾斜角的取值范围是—..已知直角坐标平面内的两个向量;=(1,2),t=(m-1,m+3),使得平面内的任意一个向量W都可以唯一分解成”人UR认则m的取值范围—..已知aABC是等腰直角三角形，AC=BC=2,则无•皮=.x,y>0.设x,y满足约束条件卜式>-1，则z=x-2y的取值范围为.x+y<3.平面上三条直线x-2y+l=0,x-1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为—..过点M(V5,y。)作圆0*+丫2=1的切线，切点为N,如果N0MN>j那么y()的取值范围是.2 2.已知椭圆粉+台」内有两点A(1,3),B(3,0),P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为 ..AABC是边长为2的等边三角形，已知向量&、匕满足五二菽=2W+E，则下列结论中正确的是—.(写出所有正确结论得序号)①a为单位向量；②匕为单位向量；③a'b；④E〃皮；⑤(47b)±BC..对于向量可(i=l,2,-n),把能够使得|西|+|福|+…+|可;取到最小值的点P称为'(i=l,2,…n)的“平衡点”.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点0,延长BC至E,使得BC-CE,联结AE,分别交BD、CD于F、G两点.下列结论中，正确的是()A、C的“平衡点”必为。D、C、E的“平衡点”为D、E的中点A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一A、B、E、D的“平衡点”必为F14.在平面直角坐标系中定义两点P(xi,y])，Q(x2,y2)之间的交通距离为d(P,Q)=|xi-x2|+|yi-y2|.若C(x,y)到点A(1,3),B(6,9)的交通距离相等，其中实数x,y满足OWxWlO,o«o,则所有满足条件的点c的轨迹的长之和为（）A.1B.572C.4D.5（b+1）三、解答题（共5题，满分44分）.用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：""尸二2的|Jmx一my=/nrtJ.已知命题P：1吧厂=0,其中c为常数，命题Q：把三阶行n—85 23列式X-C64中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（X）,1 8x且函数f（X）在（-8,点上单调递增.若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数C的取值范围.17.已矢口0VkV4,直线L：kx-2y-2k+8=0和直线l2s2x+k?y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值..M为4ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB,AC于点P,Q,设屈=x1B,AQ=yAC，记y=f(x).(1)求函数y=f(x)的表达式；(2)求守的取值范围.'△ABC.对于任意的n£N*,若数列｛aj同时满足下列两个条件，则称数列｛aj具有“性质m”：①ajan+2V.4-2—〈a4②存在实数M,使得成立.(1)数列｛aj、｛bj中，an=n(n£N*)、bn=l-p(neN*),判断｛4｝、｛bj是否具有“性质m”；(2)若各项为正数的等比数列｛cn｝的前n项和为Sn,且C3=j，S3=j,证明：数列｛SJ具有“性质m”，并指出M的取值范围；(3)若数列｛&｝的通项公式dn=t⑶2：-n)+1(n£N*).对于任意的n23(n£N*),数列｛dj具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值Mo=9,求整数t的值.2018-2019学年上海市华师大二附中高二(±)期中数学试卷

参考答案与试题解析一、填空题2 2.已知方程4+9=1表示椭圆，则k的取值范围为3+k2-k(-3,UL.2L—【考点】椭圆的标准方程.【分析】根据题意，方程4号?=1表示椭圆，则x?,y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案.【解答】解：.・•方程唾1:1表示椭圆，3+k2-k，3+k>0 "-3则<2-k>0今f,3+k*2-k k声总解得kG(-3,U(-y,2)故答案为：(-3,-1)U(-p2)-.已知向量;=(1,3),b=(m,-1),若Z1E，则m=3.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】直接利用向量的数量积运算法则求解即可.【解答】解：向量3),b=(m,T),若aj_b，贝I」l・m-3Xl=0解得m=3.故答案为：3..若直线1经过点P(l,2),方向向量为d=(3,-4),则直线1的点方向式方程是【考点】直线的点斜式方程.【分析】利用直线的点斜式方程求解.【解答】解：•••直线1经过点P(1,2),方向向量为d=(3,-4),•・.直线1的方程为：y-2=--^-(x-1),J转化为点方向式方程，得：马岩.故答案为：口。.4.若直线1过点A(2,3)且点B(-3,2)到直线1的距离最大，则1的方程为5x+y-13=0.【考点】点到直线的距离公式.【分析】直线1过点A(2,3)且点B(-3,2)到直线1的距离最大，可得1J_AB时满足条件.利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.【解答】解：k后第・•直线1过点A(2,3)且点B(-3,2)到直线1的距离最大,•・1_LAB时满足条件.Ak^-5.,・直线1的方程为：y-3=-5(x-2),化为：5x+y-13=0.故答案为：5x+y-13=0.5.直线1过点P(2,3)与以A(3,2),B(-1,-3)为端点的线段AB有公共点，则直线1倾斜角的取值范围是［arctan2, .4—【考点】直线的倾斜角.【分析】利用斜率计算公式、三角函数的单调性即可得出.【解答】解：设直线1倾斜角为9,0e［0,ji).•.•直线1过点P(2,3)与以A(3,2),B(-1,-3)为端点的线段AB有公共点,tan022或tan。W-1.则直线1倾斜角的取值范围是由ctan2,筌］.故答案为：［arctan2,誓］.6.已知直角坐标平面内的两个向量冷(1,2),E=(m-1,m+3),使得平面内的任意一个向量W都可以唯一分解成/入W+口E，则m的取值范围{m|m作5}.【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】根据已知条件便知Z,E不共线，从而m应满足m+3W2(m-1),从而解出m的范围即可.【解答】解：由题意知向量W，E不共线；m+37^2(m-1)；解得m/5；**.m的取值范围为{m|mW5}.故答案为：.已知aABC是等腰直角三角形，AC=BC=2,则蠢•谛-4.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由已知得AB=2次,<AB-BC>-135°,aB»BC-lAbIxIBC|cosl35°,代入计算即可得到所求值.【解答】解：:△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,AAB=2V2,<AB-BC>-135°,AB-BC-1ABIX|bc|cos135°=2&X2X(-卓)=-4故答案为：-4x,y〉0.设x,y满足约束条件,则z=x-2y的取值范围为x+《3[-3,3]【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可.【解答】解：由z=x-2y得y="x《，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y=yx-|,由图象可知当直线ygx-f,过点A(3,0)时，直线y=[x)的截距最小,此时z最大为z=3-0=3,由图象可知当直线y-yx-^-,过点B时，直线y=：x《的截距最大，此时z最小，由「二：，解得；I；，即B(1,2),Ix+y=3I7=2代入目标函数z=x-2y,得z=l-2X2=1-4=-3,故―故答案为：[-3,3]..平面上三条直线x-2y+l=0,x-1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为{0,-1,-2)【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的性质；两条直线的交点坐标.［分析］如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，一是x+ky=O过另外两条直线的交点，做出交点坐标代入直线方程，得到k的值，二是这条直