2022-2023学年福建省莆田市榜头中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年福建省莆田市榜头中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若向量实数满足则的最小值为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D2.等比数列的前项和为，若，则公比（

）A．－1

B．1

C．－2

D．2参考答案：A3.集合，集合Q=，则P与Q的关系是（）P=Q

B．PQ

C．

D．参考答案：C4.设集合T=则“”是“”的 （）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略5.若（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A．若a⊥b，a⊥α，则b∥αB．若a∥α，α⊥β，则a⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β参考答案：D7.函数的图象是（

）参考答案：D8.设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合N={x|}，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}参考答案：A【考点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法．【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．9.下列四个图中，函数y=的图象可能是(

)参考答案：C略10.已知函数且，为其反函数，若，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等边△ABC的边长为2，D,E分别为BC,CA的中点，则=

.

参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．解析：由于D，E分别为边BC，CA的中点，则=（+），=（+），则?=（+）?（+）=（﹣﹣﹣+）=×（﹣4﹣2×﹣2×2×+2×2×）=．故答案为：．【思路点拨】运用中点的向量表示形式，结合向量的数量积的定义和性质，计算即可得到所求值．12.若数列的通项公式，记，试计算

，推测

.参考答案：13.已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线对称，当时，，则

.参考答案：214.直线与曲线的交点个数是

．参考答案：2略15.由直线,,与曲线所围成的封闭图形的面积为

.参考答案：16.直线与圆相交于A，B两点，若,则a=

．参考答案：17.已知∫（sinx+3x2）dx=16，则实数a的值为_________．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=?sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a?b?sinC=×3×3×=．19.某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11．（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；（Ⅱ）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望与方差．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3，由已知求出，由此能求出n．（Ⅱ）一个报考学生的体重超过60公斤的概率为：p=，由题意知X服从二项分布，即：X～B（3，），能求出EX和DX．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3，则，解得，，，…由于，故n=55．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为：p=，由题意知X服从二项分布，即：X～B（3，），…∴P（X=k）=，k=0，1，2，3，∴EX==，DX==．…【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．20.已知函数(为自然对数的底数，).(1)求的单调区间和极值；(2)求证：当，且时，.参考答案：(1)解：由，知，，令，得，于是当变化时，，的变化情况如下表：-0+↘↗故的单调递减区间是，单调递增区间是，在处取得极小值，极小值为.(2)证明：待证不等式等价于，设，，于是，，由(1)及知：的最小值为，于是对任意，都有，所以在内单调递增，于是当时，对任意，都有，而，从而对任意，，即，故.21.如图所示，在中，M是AC的中点，．(1)若，求AB；(2)若的面积S．参考答案：（1）,在中，由正弦定理得.(6分)（2）在中，由余弦定理得,,解得（负值舍去）,，是的