2020年中考数学专题突破一：鸡爪型问题

专鸡爪型问题【导例引入】导例:如関「将AX•绕点匕顺曰针陆转T『得到△血•.若点T,V:占在冋一杀直线二，A0^2T，贝>］厶也7的度数圣-.'.A.55'B.605C.疔D.705【方法抬引】題白=Pil到公共踹点的三从冒时，旋转是它为豆星，逋过旋轻把分散的条件（线层或弟）整合在一个三甬形氏解決.说转更明确炭转中心和旌转角.因此，当我门再遇到类他问题时,首先考虑茂转来解決.冋题:皴解策略:共顶点引麦的三条（多）条线屋-1、帝助圆的左:；主三".壬■=>三".壬■=>2-旋铐的方法兰三圣线段不等时云题目隐含等边吋，進參少虞施轻另少虔，构造手应手模型C全等或相似>来解决问题.I1UL4||jQi}I1UL4||jQi}导例答里：C【例题精讲】类型一：辅助圆类何「以△眩的边丄E为底件等搜三角形。址，且Z0=2ZC.AC与0E交于点D：若0E=i30^i7则AD-DC-.【分析】ffiZ0=2ZC,且都对应了边AE,考虑到同弧所对国周角为园心角的一半，因此构造一个以0以圆心，0B为半径的一个圆，从而来解决问题.类型二:族铐全等类三爪團（由边导角，由角导边进行构造〉例2•在等边三角形ABC中，E杲三吊形內韶一动点.<1）若ZBE01530>求AE>BE,CE三边的数臺关系丿<2）若等边三角形的边长为2,且AE-BE-tCE-,则E的运动踣径是什么？并求其长度.【分折】（1）将BE绕点A顺时针脳专60。到瓯，，可得心时为等边三角形，/.AaBE^Acbe7•从而可得&E,BE,CE三边的数虽关系<2）结合<1>中所得的结论，由AE:=BE:+CE^可得ZCEE，=90°〉.-.ZBEC=150°・・••点E在圆周角为150°的圆弧上运动,且圆弧所在圆的半径2,圆心角2为6（T；从而弧BC的长为亍儿【真题精炼】1•如虱点P为定角ZA0E的平分线上的一个定轧且ZHFW与ZADB互补，若ZMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与0A.0E相交于恥N两乳则以下结论：（1）FM=PN恒成立；（2）OMON的值不变；（3）四边形PMOH的面积不变；（4）MM的长不变•茸中正确的个数为（）・如虱矩那愈9中，AB=2艮46,尸为矩形內一晁连接时冋PC,则PA^PC的最小值是（）.C・A・朋十3E・2^C・如图，在等边△磁中，AC=1,点P在△遊内部，且厶心90°〉ABPC=12^〉4•如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE,BE,DE,若AE二2,BE二何,ZAED=135°＞则DE的长为多少？正方形ABD的面积为多少？5•如图，矩形AECD中，僚屁C,点P为矩形ABCD内一点，已知PA:PC二农：\＞求厶PB的废数？6・如图，AABC100的內接三角形，AC=BC,D为①0中弧上一点，延长DA至点冇使CE=CD・（（1）求证：AE=BD;（2）若AC丄玄'求证：AD曲dMcD7•等.腰厶AEC中，AB=AC,ZBAC=120°，点P为平面內一点.3P（1）如囱1,当点P在［力RC上时，且満定ZAPC=120°,求CP的值；（2）如團2,当点P在△欣的外部，且满足ZAPC+ZBF>90°,求证：BzAp；（3〉如圉S点P满足ZAP0600,连接EP,若AP=1,PC=3,直接写出BP的长度.PP&如图JL,Z3C中，CA=C8,ZAC8=a,U为內一点，将△C4D绕点C按逆时针方向能钙角a得到ZkCBF,点A,D的对应点分別为点B,F,目A,D,£三点在同一直线上.<1>填空：ZCDE=_（用含“的代数式表示八（2）如團2,若a=60°,请补全團形，再过点CfECF丄A£.于点F,然后探究线段CF,AE,肛之间的数重关系，并证明你的结论；〈3〉若a=90°,AC=S#>且点G满足ZAGB=SO°,BG=6,直接写出点C到AG的距离■9.如圖△/眩与△/遊都为竽腰直角三角形，Z朋C/遊=90°,连接加，EG且F为比的中点.<1）如图L,若6爪（7三点在同一直线上时，请判必•与歹的关系，并说明理由；<2）如團2,将园1中的△磁终点M逆时针旋诗炒。（0<z<90），请判断（1）中的结论罡否仍然成立？并证明你的判断；（3〉在〈2）T7,若△妬与乂沪的面积之和于△/疥的面枳，请直接写出刃的值.例題答案：CDDB例1•如下图构.楚辅助圆，由同弧所对圆周角相等…••△CDEsAc'加・・・・丽二甌712_.'.AD・DC=CyD・DB=4a・4a=16a：.例2•⑴将EE绕点A顺时针旋转60°至恤，可得仙时为等边三角形,/.aabh^acbe7・/.Ze7EE=60°,E，E=EE,EzC=AE,*//EB>150c,・\ZCEEy=900>・".Ae7EC为直角三角形'・・・E，C:=EyE:+CE:・(2)由AE2=BE：4CE:,可得ZCEE7=90°；.\ZBEC=150°…••点E在以BC为弦，EC长为半径,圆周甬为130°的圆弧上运动'・・・BO2,厶问为等边三角形，・・・CD=2,ZBDOOO0，2・••弧BC的长为§兀.D【真题精炼】B.将厶BPC裁、C逆时针旋转60°,得到△彩，连接/AE、则的长即为所求・E由旅转的性质可知：△阴7是等边三角形,:.PC=PF・\'PB=EF,:.FA+PB*PC=PA+PE+EF・二当兀巴F,E共线旳，必+怨的值最小.AB掘I四边形必力是矩形…・.ZA咒=90°・：.^nZA€B=BC=3..-.zid05=30°〉AC=2AB=^.•:么5=迫°〉.\Z^05^90°■4■&=2何.故选氏3•将△/朋绕点力按逆时针方向旋转60°,得到亠戸"・•・△/加是等边三角形.:厶卩2^=360°-90°-120°=150°〉・••胪-AP>S'严乙AFP'=00°・・•厶F‘（7二90°,"兀=30°・:.PP=2pc,即AP=2PC.TZ朋U9Q°…••胪+兀=应厂即（2兀）：+j^=7:.1・・.恋二2“・・•.月RW・・•』△.讥=%P・PC=7*$故答案为AA・4.1190°脳专90°，将AE绕点A逆时针谿专90°,可得△EAE，是等腰直角三角形./.Aabe22Aade'・・•-Ze7ee^Zaed-Zaee7=90°・在RtzAE7ED中,E，E=7/E=20>E‘D=BE=V^,.-.ED=3<7..-.Sn：力形宓d=26・、、D5•将小比逆时针旋转90°,并按1：e放缩，得到BA,则APBCCOAP7BA（相似比1：占），由題意可设PA=2Q,PC=1,PA=^PC=2W・显然在RtATB"中，PzBYPB=\E,PP7=2,ZpzPB=60c,由P'P2+AP2=P7A2,可得ZAPP7=90°,ZAPB=150°・(1)•・・AOB?‘・-.ZCAB=ZCBA.•.-ZCBA=ZCDE,・\ZACB=ZECD・.-.Zacb一ZACD=ZECD-ZACD・・・・Zace二/BCD・CE=CD、MCE="CD，在△ACE和△R7D中，AC=BC，/.AACE^AKD..\AE=BD・(.2)AD-«D=\2CD,证明：作CF丄CD,交DA的延长线于F・•/AClB：.AC二BC,・・・0在AE上,ZCAB=ZCBA=45°・/.ZCDA=ZCEA=450・・\ZF=18DO一/PCD-ZCDA=45°二ZCDA.・・.CF=CD・•.■ZrcD=ZACB=93o〉.\ZFCA=ZBD・4C=BC>ZBCD=eACF，在△虻F和△KD中」CF=CD>JAACF^ABZ>・.'.BD=AF..，.AD+BE^AD+AF=DLADCF中，由勾股定理得：DF二J"+C产=也加・7.(1)如團1中，WBAO120'.AB=AC,.\ZB=ZC=30°.•.■ZAPC=120o,.\ZPAC=ZC=30°，.'.PC=PA,ZPA8=90°・.\PB=2PA・・・・F8=2PC・・・工卩=2;(2)如團2,将线段AP纟盏点A顺时针旋转120。得到线段AF…连接P匚EF,BF交PC于点H・•.■ZBAC=ZPAF=120o..\ZFAC=ZBAF・・・・AB=AC>AF二AP,.\AAB?^A/1CP（sas）・.-.Zapc=Zafe・设ZAPOC1,贝'JZAFB='l.ZPFB=33°+C1,ZBPC二90°-。・-/Zphe=Zhrt+Zpfh=（30°-a）+（30&+a）=60°,/.ZPBE=180°-（90°-a-60°）=30/+a..-.ZPBF=ZPFE・・\PB=PF・在△PAF中,易知PfVpA・・\PB=^PA・<3）①如團3-1中〉当点P在厶眩外部时〉将线段AF绕点A顺时针旋?专120°得到线段AF,连接FF,BF・\'ZAF^30o，•:ZBFP=9D°・\-PA=AF=l,ZPAF=120°,/.PF=a^・.\PB=J3：+=2护.②如图3-2中，当点P在△AK內却时，将纟锻AP绕点A逆吋针旋转120。得到AH,连接PH,HC.作HM丄FCTM.则厶BAP^ACAII（SAS）》・・・FB=CH・•.■ZPAfi+ZAFC=120o-*60°=180'〉・\AHVFC・・\ZAHP-ZliFM=30°・1卩33/.HM=2ph=T・・・・巳2亦・'/PO3,.\CM=PM=^・THM丄FC,.\HC=PH=^・・・・P&=e.综上所述，满足条件的PB的值为2忑或护・8.（1）'.■将仅人。绫点C按逆时针方向旋转角a得到△C8E180-a180-a・\Z^CD^AbCE；Z.DCE=u・・・・CD=CE・・••匕CDE=2・故答案为25（2）AE=BE^CFr理由如下：如图,•・•将厶少。绕点C按逆时针方冋旋转角60°得到△CBE/.A^CD^ASCF・:.AD=BEfCD=CEfZdCE=60^・£「•△CDE足等边三角形,且CF丄D£・:.DF=EF=3CF・•.•AE=A»DF+EF,:.ae=be^cf；<3)如亂当点G在朋上方时，过点C作CE丄AG于点G・・・厶(78=90°〉AC=BC=5卫，・\AB=ZaBC=45^〉A3=10・\'ZACB=ZAG8=90°…••点C，点G,点叭点人四点共圆・:.ZAGC=/Z»BC=45Q〉且C£丄AG・:.^AGC=ZECG=45P・:.CE=GE・AB-10,GB=5,Z»G8=90',:.AG=y/^^^-8.\'ACi=AE2i-CE2,〈50)2=(8-Cf)坤Ch・:.CE=7〈不合题慧舍去〉或CE=L-若点G在朋的下方，过点CF1AG,同理可得CF=7・••・点C到AG的距离为1或7・9.<1)如團1中，结论:DF=BF>DFLBF・理由；在RtZEC中，TZ馭=90°，EF=FC>:.BF=^5C.在Rt△磁中，・.・ZS%=90。，EF=FC、：・DF=2EC・：・DF二BF,•:乙FCB=乙比6乙颅。=ZFDE〉:.乙BF&zLDF5=（180°_2上应〉+（180°-2/:磁）=360°-2。乙FCB+乙FED）=360°-2（45°十厶眈十上住）=360°-270°=90。■••厶FB=*O°,即龙1加.（2）结论成立.理由：如图2中，如图作M%交DF肋延长线于的适长DA交紘的延长线于“环交应于0・•・3"购:•乙陀O=乙代叙•：3代二厶代》BF=CF>：・4DF醛心代.:.D片嘲、DB二Qf=AD・VZSJ^Z^I