1994年全国统一高考数学试卷(文科)

1994年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分，11-45每小题5分，满分65分）1．（4分）设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则（∁IA）∪（∁IB）等于．A{0}．B．{0，1}C．{0，1，4}D．3，4}{0，1，2，2．（4分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）0+∞）A（，．B（0，2）．1+∞）C（，．D（0，1）．3．（4分）（2012•北京模拟）点（0，5）到直线y=2x的距离为（）ABCD．．．．4．（4分）θ为第二象限的角，则必有（）ABCD．＞．＜．＞．＜5．（4分）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A．511个B．512个C．1023个D．1024个6．（4分）在下列函数中，以为周期的函数是（）Ay=sin2x+cos4By=sin2xcos4xCy=sin2x+cos2Dy=sin2xcos2x．x．x．．7．（4分）已知正六棱台的上，下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）A．B．C．D．322824208．（4分）设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（）A1BC2D．．．．9．（4分）如果复数Z满足|Z+i|+|Z﹣i|=2，那么|Z+i+1|最小值是（）A1BC2D．．．．10．（4分）某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有（）A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种11．（5分）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（）A．n∥βm⊥n，m∥α，B，Cm∥n，n⊥β，Dm∥n，m⊥α，m⊥nα∩β=m，n⊂α．m⊂α．n⊥β．12．（5分）设函数f（x）=1﹣（﹣1≤x≤0），则函数y=f﹣1（x）的图象是（）ABCD．．．．13．（5分）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）ABC4πD．．．．14．（5分）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=（）ABC1D﹣1．．．．15．（5分）定义在（﹣∞，+∞）上的任意函数f（x）都可表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）之和．如果f（x）=lg（10x+1），x∈（﹣∞，+∞），那么（）Ag（x）=x，hB．（x）=lg．g（x）=[lg（10x+1）+x]h（x）=[lg（10x+1）﹣x]（10x+10x+2）CD．g（x）=，h．g（x）=﹣，h（x）=lg（10x+1）+（x）=lg（10x+1）﹣二、填空题（共5小题，共6空格，每空4分，满分24分）16．（4分）在（3﹣x）7的展开式中，x5的系数是_________（用数字作答）．17．（8分）抛物线y2=8﹣4x的准线方程是_________，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是_________．18．（4分）已知，则tanα=_________．19．（4分）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥项点到直线AB的距离为，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_________．20．（4分）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…，an，共n个数据．我们规定所测量的“量佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a1，a2，…，an推出的a=_________．三、解答题（共5小题，满分58分）21．（11分）求函数的最小值．22．（12分）以知函数f（x）=logax（a＞0且a≠1，x∈R+），若x1，x2∈R+，判断与的大小，并加以证明．23．（12分）如图，已知A1B1C1﹣ABC是正三棱柱，D是AC中点．（1）证明AB1∥平面DBC1；（2）假设AB1⊥BC1，BC=2，求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长．24．（12分）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0）．求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．25．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有，证明{an}是等差数列．1994年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分，11-45每小题5分，满分65分）1．（4分）设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则（∁IA）∪（∁IB）等于．A{0}．B．{0，1}C．{0，1，4}D．3，4}{0，1，2，考点：分析：交、并、补集的混合运算．根据集合补集的含义先求CIA、CIB，再根据并集的意义求（CIA）∪（CIB）．解答：解：CIA={4}，CIB={0，1}，（CIA）∪（CIB）={0，1，4}，故选C点评：本题考查集合的基本运算，较简单．2．（4分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A（，0+∞）B（0，2）．1+∞）C（，．D（0，1）．．考点：专题：分析：解答：椭圆的定义．计算题．先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选D．点评：本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．3．（4分）（2012•北京模拟）点（0，5）到直线y=2x的距离为（）ABCD．．．．考点：分析：解答：点到直线的距离公式．直线化为一般式，直接应用点到直线的距离公式即可．解：a==．故选B．点评：本题考查点到直线的距离公式，是基础题．4．（4分）θ为第二象限的角，则必有（）ABCD．＞．＜．＞．＜考点：专题：分析：三角函数值的符号．数形结合．根据题意把每个象限平均分成两份，由θ为第二象限的角找出所在的象限，再由三角函数值的符号和终边的位置，选出答案．解答：解：∵θ为第二象限的角，∴角的终边在如图区域内∴＞，故选A．5．（4分）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A．511个B．512个C．1023个D．1024个考点：专题：分析：解答：有理数指数幂的化简求值．计算题．求出细菌分裂次数，利用有理数指数幂，求解即可．解：经过3个小时，总共分裂了九次，就是29=512个，故选B．点评：本题考查有理指数幂的化简求值，是基础题．6．（4分）在下列函数中，以为周期的函数是（）Ay=sin2x+cos4By=sin2xcos4xCy=sin2x+cos2Dy=sin2xcos2x．x．x．．考点：分析：解答：三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．根据周期函数的定义，即f（x+T）=f（x）对选项进行逐一验证即可．解：对于f（x）=sin2x+cos4x，f（x+）=sin2（x+）+cos4（x+）=sin（2x+π）+cos（4x+2π）=﹣sin2x+cos4x≠f（x）∴不是函数y=sin2x+cos4x的周期，故A排除对于y=sin2xcos4x，f（x+）=sin2（x+）cos4（x+）=sin（2x+π）cos（4x+2π）=﹣sin2xcos4x≠f（x）∴不是函数y=sin2xcos4x的周期，故B排除对于f（x）=sin2x+cos2x，f（x+）=sin2（x+）+cos2（x+）=sin（2x+π）+cos（2x+π）=﹣sin2x﹣cos2x≠f（x）∴不是函数y=sin2x+cos2x的周期，故C排除故选D．点评：本题主要考查周期函数的定义，即对函数定义域内的任意x满足f（x+T）=f（x），则函数f（x）为周期函数且T为函数f（x）的一个周期．7．（4分）已知正六棱台的上，下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）A．B．C．D．32282420考点：专题：分析：解答：棱柱、棱锥、棱台的体积．计算题．直接利用台体体积公式求解即可．解：由题意可知，下底面面积：6×上底面面积：6正六棱台的体积V=故选B．点评：本题考查棱台体积公式，是基础题．8．（4分）设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（）A1BC2D．．．．考点：专题：分析：双曲线的简单性质．计算题．设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得∴△F1PF2的面积解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）解答：根据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故选A点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系9．（4分）如果复数Z满足|Z+i|+|Z﹣i|=2，那么|Z+i+1|最小值是（）A1BC2D．．．．考点：分析：解答：复数的代数表示法及其几何意义．直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后利用点到直线的距离公式求解即可．解：∵|Z+i|+|Z﹣i|=2∴点Z到点A（0，﹣1）与到点B（0，1）的距离之和为2．∴点Z的轨迹为线段AB．而|Z+i+1|表示为点Z到点（﹣1，﹣1）的距离．数形结合，得最小距离为1故选A．点评：本题只要弄清楚复数模的几何意义，就能够得到解答．10．（4分）某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有（）A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种考点：专题：分析：组合及组合数公式．计算题．首先从10人中选派4人有C104种排法，再对选出的4人具体安排会议，由分步计数原理得不同的选派方法．对选出的四人安排会议是容易出错，注意与平均分组的区别．解答：解：∵从10人中选派4人有C104种，进而对选出的4人具体安排会议有C42C21种，∴由分步计数原理得不同的选派方法为C104C42C21=2520种．故选C．点评：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素，本题也可以这样解：据分步计数原理不同选法种数为C102•C81•C71=2520种．11．（5分）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（）A．n∥βm⊥n，m∥α，Bm⊥n，Cm∥n，n⊥β，Dm∥n，m⊥α，n⊥β．α∩β=m，n⊂α．m⊂α．考点：分析：空间中直线与平面之间的位置关系．根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．解答：解：对于A，”m⊥n，m∥α，n∥β”推不出α⊥β，故不正确对于B，“m⊥n，α∩β=m，n⊂α”推不出α⊥β，故不正确对于C，根据m∥n，n⊥β，m⊂α可⇒α⊥β，可知该命题正确对于D，“m∥n，m⊥α，n⊥β”→α∥β，故不正确．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）设函数f（x）=1﹣（﹣1≤x≤0），则函数y=f﹣1（x）的图象是（）ABCD．．．．考点：专题：分析：反函数；函数的图象与图象变化．数形结合．先判定函数f（x）=1﹣（﹣1≤x≤0）的图象过特殊点，以及单调性的特征，再确定函数y=f﹣1（x）的图象过的点和单调性的特征，即可得到选项．解答：点评：解：函数f（x）=1﹣所以函数y=f﹣1（x）的图象过（1，﹣1）（0，0），也是减函数，选项中只有B正确，故选B．（﹣1≤x≤0）图象过（﹣1，1）（0，0），并且是减函数，本题考查反函数，函数的图象的变化，考查逻辑思维能力，是基础题．13．（5分）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）ABC4πD．．．．考点：专题：分析：球的体积和表面积．计算题．由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．解答：解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．14．（5分）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=（）ABC1D﹣1．．．．考点：专题：分析：解答：正弦函数的对称性；三角函数中的恒等变换应用．压轴题．先将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，然后根据正弦函数在对称轴上取最值可得答案．解：由题意知y=sin2x+acos2x=sin（2x+φ）当x=时函数y=sin2x+acos2x取到最值±将x=代入可得：sin（2×）+acos（2×）=故选C．=±解得a=115．（5分）定义在（﹣∞，+∞）上的任意函数f（x）都可表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）之和．如果f（x）=lg（10x+1），x∈（﹣∞，+∞），那么（）Ag（x）=x，hB．（x）=lg．g（x）=[lg（10x+1）+x]h（x）=[lg（10x+1）﹣x]（10x+10x+2）CD．g（x）=，h．g（x）=﹣，h（x）=lg（10x+1）+（x）=lg（10x+1）﹣考点：函数奇偶性的性质．专题：分析：压轴题．可用排除法．根据题目中的条件：任意函数f（x）都可表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）之和，知选项中的g（x）和h（x）一定分别为奇函数和偶函数，且f（x）=g（x）+h（x），对选项进行逐一排除．解答：点评：解：A中h（x）不是偶函数，故不对．B中g（x）不是奇函数，故不对．D中h（x）不是偶函数，故不对．故选C．本题主要考查奇偶函数的定义与性质．二、填空题（共5小题，共6空格，每空4分，满分24分）16．（4分）在（3﹣x）7的展开式中，x5的系数是﹣189（用数字作答）．考点：专题：分析：二项式系数的性质．计算题．利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，令x的指数等于5求出展开式中x5的系数．解答：解：（3﹣x）7的展开式的通项为Tr+1=（﹣1）r37﹣rC7rxr令r=5得x5的系数是﹣32C75=﹣189故答案为﹣189点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．17．（8分）抛物线y2=8﹣4x的准线方程是x=3，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是（x﹣2）2+y2=1．考点：专题：分析：抛物线的标准方程．综合题．（1）先将方程转化为标准形式y2=﹣4（x﹣2），然后可以看成是y2=﹣4x向右平移了两个单位的来的，根据y2=﹣4x的准线和定点可以得到平移后的准线和定点．（2）根据（1）可以确定圆心和半径进而根据圆的标准形式得到答案．解答：点评：解：（1）∵y2=8﹣4x∴y2=﹣4（x﹣2），该抛物线可以看成是y2=﹣4x向右平移了两个单位，所以相应的准线，焦点都要向右平移两个单位，又y2=﹣4x其中的p=2，准线为x=1相应的向右平移两个单位可知所求抛物线的准线为x=1+2=3，顶点坐标为（2，0）（2）所以所求圆的圆心为（1，0），半径为r=1所以所求方程为（x﹣2）2+y2=1故答案为：x=3；（x﹣2）2+y2=1．本题主要考查抛物线的准线和定点的求法、圆的标准方程．属基础题．18．（4分）已知，则tanα=﹣．考点：专题：分析：同角三角函数基本关系的运用．计算题．把已知的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系求出2sinαcosα的值，配方得到（sinα﹣cosα）2的值，，由α的范围，得到sinα﹣cosα＞0，开方得到sinα﹣cosα的值，与已知的等式联立求出sinα和cosα的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切可求出tanα的值．解答：解：由①，两边平方得：（sinα+cosα）2=，即sin2α+2sinαcosα+cos2α=，∴2sinαcosα=﹣，∴1﹣2sinαcosα=，即（sinα﹣cosα）2=，又0＜α＜π，开方得：sinα﹣cosα=②，①+②得：sinα=，把sinα=代入①得：cosα=﹣，则tanα=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，学生做题时注意完全平方公式的灵活运用，同时注意角度的范围．19．（4分）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥项点到直线AB的距离为，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；三垂线定理；组合几何体的面积、体积问题；点、线、面间的距离计算．专题：分析：计算题；作图题；综合题；压轴题．由题意先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求出圆锥的体积．解答：解：由题意可知：圆锥的底面半径是圆锥的高是：则该圆锥的体积为：故答案为：20．（4分）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…，an，共n个数据．我们规定所测量的“量佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a1，a2，…，an推出的a=．考点：专题：分析：众数、中位数、平均数．计算题；压轴题．由题意知所测量的“量佳近似值”a是与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．根据均值不等式求平方和的最小值知这些数的底数要尽可能的接近，知a是所有数字的平均数．解：∵所测量的“量佳近似值”a是与其他近似值比较，解答：a与各数据的差的平方和最小．根据均值不等式求平方和的最小值知这些数的底数要尽可能的接近，∴a是所有数字的平均数，∴a=，故答案为：点评：本题考查一组数据的方差，考查一组数据的平均数，考查平均数的平方和最小时要满足的条件，是一个基础题，没有运算，只有理论说明．三、解答题（共5小题，满分58分）21．（11分）求函数的最小值．考点：专题：分析：同角三角函数基本关系的运用；三角函数的最值．计算题．先由积化和差公式入手，再利用倍角公式、同角正余弦关系式进行整理，最后把原函数转化为y=Asin（ωx+φ）的基本形式，则最值解决．解答：解：sin3xsin3x+cos3xcos3x=（sin3xsinx）sin2x+（cos3xcosx）cos2x=[（cos2x﹣cos4x）sin2x+（cos2x+cos4x）cos2x]=[（sin2x+cos2x）cos2x+（cos2x﹣sin2x）cos4x]=（cos2x+cos2xcos4x）=cos2x（1+cos4x）=cos32x所以=cos2x+sin2x=sin（2x+）．所以当sin（2x+）=﹣1时，y取最小值﹣．22．（12分）以知函数f（x）=logax（a＞0且a≠1，x∈R+），若x1，x2∈R+，判断与的大小，并加以证明．考点：专题：分析：基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．证明题．把f（x）的解析式代入f（x1）+f（x2）中，进而根据x1x2≤，根据对数函数的性质，当a＞1时判断出[f（x1）+f（x2）]≤f，当0＜a＜1（logax1+logax2）≥loga，综合可得答案．解答：解：f（x1）+f（x2）=logax1+logax2=loga（x1x2）∵x1，x2∈R+，∴x1x2≤（当且仅当x1=x2时取“=”号）．当a＞1时，有loga（x1x2）≤loga∴loga（x1x2）≤loga即[f（x1）+f（x2）]≤f（x1x2）≥loga，（logax1+logax2）≤loga，（当且仅当x1=x2时取“=”号）当0＜a＜1时，有loga，∴（logax1+logax2）≥loga，即[f（x1）+f（x2）]≥f（当且仅当x1=x2时取“=”号）．点评：本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力．23．（12分）如图，已知A1B1C1﹣ABC是正三棱柱，D是AC中点．（1）证明AB1∥平面DBC1；（2）假设AB1⊥BC1，BC=2，求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长．考点：专题：分析：向量的投影；直线与平面平行的判定．计算题；证明题．（1）由A1B1C1﹣ABC是正三棱柱，可知四边形B1BCC1是矩形，连接B1C，交BC1于E，则B1E=EC．连接DE，由三角形中位线定理得到DE∥AB1，再由线面平行的判定定理得到结论．（2）先作AF⊥BC，垂足为F．由面ABC⊥面B1BCC1，可知AF⊥B1BCC1平面B1F，由身影定义，可得B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影．然后在矩形B1BCC1中，由△B1BF∽△BCC1求解．解答：（1）证明：∵A1B1C1﹣ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．连接B1C，交BC1于E，则B1E=EC．连接DE．在△AB1C中，∵AD=DC，∴DE∥AB1，又AB1⊄平面DBC1．DE⊂平面DBC1∴AB1∥DBC1．（2）解：作AF⊥BC，垂足为F．因为面ABC⊥面B1BCC1，所以AF⊥B1BCC1平面B1F．连接B1F，则B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影．∵BC1⊥AB1，∴BC1⊥B1F．∵四边形B1BCC1是矩形，∴∠B1BF=∠BCC1=90°；∠FB1B=∠C1BC，∴△B1BF∽△BCC1．∴又F为正三角形ABC的BC边中点，因而B1B2=BF•BC=1×2=2，于是B1F2=B1B2+BF2=3，∴B1F=．即线段AB1在平面B1BCC1内射影长为点评：本小题考查空间线面关系，正棱柱的性质，空间想象能力和逻辑推理能力．属中档题．24．（12分）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0）．求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．考点：专题：分析：轨迹方程．计算题；压轴题．设点M的坐标为（x，y），欲求动点M的轨迹方程，即寻找x，y间的关系式，结合题中条件列式化简即可得；最后对参数λ分类讨论看方程表示什么曲线即可．解：如图，设MN切圆于N，则动点M组成的集合是解答：P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常数λ＞0．因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2﹣|ON|2=|MO|2﹣1．设点M的坐标为（x，y），则整理得（λ2﹣1）（x2+y2）﹣4λ2x+（1+4λ2）=0．经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P．故这个方程为所求的轨迹方