普通物理专题研究课件

普通物理专题研究力学部分普通物理专题研究力学部分

参考书目：1、《大学物理》杂志有关文章2、《大学物理力学教学研究》北大蔡伯濂3、《电磁学专题研究》陈秉乾，高教4、《普通物理选论》杨庆裕，南京师大5、《电磁学讨论》封小川，四川教育参考书目：一、功和能1.作功和质点的动能定理在牛顿力学范围内，作功与质点的动能增量之间的关系可由牛顿第二定律直接导出。对选定的惯性系，牛顿第二定律可写成：一、功和能1.作功和质点的动能定理

左边表示作用在质点上的合力的功，作功是用作用在质点上的力与质点位移的标积定义的。因为牛顿第二定律中的是质点的速度，点乘的位移必须是质点的位移，才可以积分。所以功的定义中关于位移的说法，应该是质点的位移，详细例证见下面的讨论。左边表示作用在质点上的合力的功，作功是用作用在质点上的力与

2.关于功的定义的讨论长期以来，不同教材对作功有不同定义，主要区别在于对作功中的位移这个量有不同的说法。①质点位移；②物体位移；③力的作用点位移。如果讨论的对象是质点，三种说法用于处理具体问题得到的结果是一致的；如果讨论质点组，差别就表现出来了。2.关于功的定义的讨论

例：关于人走路一种观点：人能够走动是靠地面的摩擦力作用。这种观点认为，从功和能的角度看，人由静止到移动，具有一定的动能，一定是什么力对人作了功。地面对人有摩擦力，人有位移，力乘以位移就是功，即摩擦力对人作功，获得动能。另一种观点：从普遍的能量转化和守恒定律去分析：人走动时动能的增量是从人的机体内部生物化学能转化而来，人不吃饭则没有能量补充是走不动路的。再说人如果抬腿走路，位移是向上的，而摩擦力是切向的，摩擦力不作功。例：关于人走路

两种观点反映出对功的定义的不同理解。第一种观点是用人体位移来定义功，也就是用“物体位移”来定义功。对于一个内部有相对运动的质点组，各个质点没有共同的位移，所谓物体的位移是指质心的位移。据质心定理：两种观点反映出对功的定义的不同理解。

由质心的位移计算的“功”与质心动能变化关系没有反应出机械能与其他形式能量的转化，说明按此计算功，不能全面和本质反映功能关系，这种定义不足取，还是用质点位移定义功为好。由质心的位移计算的“功”与质心动能变化关系没有反应出机械

在分析人走路时，认为地面摩擦力不作功是正确的。这种观点是按质点位移计算功。地面静摩擦力是作用在人脚上，脚没有提起也就没有位移，脚一旦提起，静摩擦力消失，因此也不作功。据功能原理W非保=E-E0人走动时获得的机械能增量是成对内部非保守力做功的结果。而这些功正是生物化学能转化而来。至于人走动时必须依靠地面的静摩擦力，仅仅是地面的静摩擦力为人的走动提供了条件（地面如果没有静摩擦力，人走动要消耗体内更多能量，若有滑动摩擦力，则需克服滑动摩擦力作功）。在分析人走路时，认为地面摩擦力不作功是正确的。这种观点是按

关于用“力的作用点位移”来计算功也是一个不确切的概念。例：关于用“力的作用点位移”来计算功也是一个不确切的概念。

3.功与参照系的关系功的定义是作用在质点上的力与质点位移的标量积。根据功的定义，并没有提出有关参照系的选择的限制，我们可以在任何一个参照系中去计算功，而不论是否是惯性系，只不过在不同参照系中计算功有不同的结果而已。但由质点动能定理：力对质点所作的功却必须是在惯性系中进行。3.功与参照系的关系

这是因为，在推导动能定理中用到牛顿第二定律，而牛顿第二定律在惯性系中成立。在应用动能定理讨论问题时，必须对同一惯性系去计算功及动能增量。在非惯性系中，作为出发点的牛顿第二定律还要加上惯性力，这时若在非惯性系中运用动能定理求功，需计算惯性力的功。这是因为，在推导动能定理中用到牛顿第二定律，而牛顿第二定律

讨论：不同参照系计算摩擦力作功的争议。当一个物体在地面上滑动时，地面上的观察者认为，摩擦力对物体作了负功。而相对物体静止的车上的观察者认为，物体虽受地面摩擦力的作用，但物体没有位移，摩擦力不作功。两个不同的观察者（参照系）对摩擦力对物体作功得出不同结论，从他们不同的参照系看自然是正确的。但是，当我们从“摩擦生热”这个角度去分析这个例子时，发现出现了矛盾。讨论：不同参照系计算摩擦力作功的争议。

摩擦生热，物体温度上升这个结果对任何观察者（参照系）都是一样。但按上例中，车上观察者讲，由于摩擦力对物体不作功，物体温度不变。功的定义规定了功在不同的参照系中有不同的结果，即功的计算依赖于参照系的选择。而“摩擦生热”现象告诉我们摩擦力作功不应该依赖于参照系的选择，如何将两者统一起来？当参照系变换到车上以后，摩擦力对物体虽不作功，而作用在地面上的摩擦力的反作用力却由于地面相对于车有位移，对地面作功。这个反作用力的功往往容易被忽略。摩擦生热，物体温度上升这个结果对任何观察者（参照系）都是一

问题关键：在讨论摩擦生热现象时，必须同时考虑摩擦力作功和摩擦力的反作用力作功之和，以这一对作用力与反作用力功之和去量度有多少机械能转化为热运动能量。可以证明，一对滑动摩擦力作功之和是不随参照系变换而变换的（不论变换到惯性系还是非惯性系）。从物理角度看，正是普遍的能量转化和守恒定律的一种表现：机械能和热运动能量之间的转化与守恒是不依赖参照系的选择的。问题关键：在讨论摩擦生热现象时，必须同时考虑摩擦力作功和摩

结论：凡遵从牛顿第三定律的作用力与反作用力作功之和均与参照系的选择无关。不论选取的参照系是惯性系还是非惯性系，也不论讨论的是摩擦力还是其他性质的力，这个结论都是正确的。详见后面的证明。结论：

4.作用力与反作用力的功证明不论参照系怎样变换，作用力与反作用力作功之和与参照系的选择无关。4.作用力与反作用力的功

5.物体系的势能在一般的教科书中讲授势能时，都强调了势能属于物体系的概念，但很少进行深入的讨论。下面以重力势能为例加以讨论：质量为m的质点沿任意路径移动，重力对质点作功为

W=-(mgh2-mgh1)重力是保守力，引出势能的概念，保守力作功等于势能增量的负值：

W保=-(EP2-EP1)5.物体系的势能

并强调重力势能属于地球和质点组成的系统所共有。由此产生疑问：①mg是作用在质点m上的重力，这里并没有分析地球的受力和运动，怎么把地球作为研究对象？②质点和地球处在不同地位，又有什么根据把作为参考系的地球作为研究对象呢？③如果用重力作功的负值定义重力势能增量,重力对质点作功是随参考系的不同选取而变化。例如，以地面为参考系，重力对质点作功为-(mgh2-mgh1)，重力势能增量为mgh2-mgh1，如果选取相对于m为静止的参考系，重力对质点不作功，岂不是得出重力势能增量为零的结论？这个结论显然不合理。并强调重力势能属于地球和质点组成的系统所共有。由此产生疑问

如何解释上述疑问？上述疑问是合理的，问题出在势能建立过程是有漏洞的。在引入保守力这一概念时，不应当说一个力作功与路径无关，而应当说一对作用力与反作用力作功之和与路径无关，只决定于初态和终态的相对位置，具有这种性质的力才是保守力。谈论保守力时，有意义的是保守力作的功，而保守力的功总是指一对作用力和反作用力作功之和,这个功之和的负值等于势能的增量。所以相互作用物体都是我们的研究对象。如何解释上述疑问？

在引入重力势能时，已经考虑了地球对质点作用力的功和质点对地球反作用力的功，仅仅因为这对相互作用力的功之和与参考系选择无关，我们在计算这一对相互作用力的功之和时，选用了最方便的办法，选取地球为参考系，这对相互作用力的功之和也表现为重力对质点作功了。即使我们不以地球为参考系，而以任何其他物体为参考系，计算这一对相互作用力的功之和，其结果都是相同的。在引入重力势能时，已经考虑了地球对质点作用力的功和质点对地

因此W保=-(mgh2-mgh1)及

W保=-(EP2-EP1)两式中的保守力作功都应该理解为一对作用力与反作用力作功之和，而h1、h2也应理解为质点与地球之间的相对初态和终态位置。当参考系变时，重力对质点作功随之而变，但一对作用力和反作用力作功之和仍然不变，重力势能的增量仍然由相对位置h2和h1决定，即EP2-EP1=mgh2-mgh1对所有参考系都相同。因此W保=-(mgh2-mgh1)及

质点动力学研究运动状态变化的原因牛顿定律——状态瞬时变化的原因；动量定理——经历一段时间状态变化（原因：力对时间的积累效果）；动能定理——经历一个过程状态变化（原因：力对空间的积累效果）刚体动力学研究转动状态变化的原因转动定律——状态瞬时变化的原因；角动量定理——经历一段时间转动状态变化（原因：力矩对时间的积累效果）转动动能定理——经历一个过程转动状态变化（原因：力矩对空间的积累效果）质点动力学研究运动状态变化的原因

二、动量守恒、角动量守恒和机械能守恒成立的条件及其应用矢量力学的核心是牛顿的三个运动定律，三个运动定理（动量、角动量、功能）及其在特殊条件下的三个守恒定律以及应用它们分析处理各种力学问题的基本方法。如果力学问题满足三个守恒定律成立的条件，则应用守恒定律处理问题最简单。三个守恒定律无论宏观领域还是微观领域，低速运动还是高速运动都成立。牢牢掌握三个守恒定律很重要，有必要对它们的守恒条件进行深入讨论。二、动量守恒、角动量守恒和机械能守恒成立的条件及其应用

1.动量守恒定律成立的条件●某一力学系统在某一过程中不受外力作用或所受合外力为零，则该力学系统在该过程中动量守恒。●内力不改变系统总动量，内力使系统内各部分之间进行动量传递，但总动量保持不变。如原子核自裂变、炮弹自爆、太阳聚变反应、用自己的手拉自己的头发等等，系统内各部分动量都发生了变化，但总动量保持不变。●在应用动量守恒定律时，首先要确定力学系统在什么过程中所受合外力为零。所取系统不同，合外力计算结果不同。力学系统在运动过程中往往改变空间的物质分布，在某过程中合外力为零，动量守恒，在这过程之后，合外力不一定为零，动量不一定守恒。1.动量守恒定律成立的条件

●力和动量都是矢量，力学系统动量守恒时，三个独立方向上分力之和分别为零，三个独立方向上动量分量保持不变。※取相互作用前、后两个“极限”状态列方程；※注意守恒定率中各质点相对运动同时性。●力和动量都是矢量，力学系统动量守恒时，三个独立方向上分力

●某力学系统合外力不为零，该系统动量不守恒，若在某一方向上外力的分力之和为零，则该力学系统在该方向上动量守恒。●内力>>外力，系统动量近似守恒。例如：人跳高或跳远或跳水，起跳后到落地前忽略空气阻力不计，所受合外力只有重力，竖直向下，动量不守恒，但水平方向外力分量之和始终为零，所以水平方向动量守恒。人在空中挺胸、收腹、曲腿、伸脚等都是在内力作用下，不改变人体的总动量。重力的持续作用改变人的总动量。●某力学系统合外力不为零，该系统动量不守恒，若在某一方向上

2.角动量守恒定律成立的条件某一力学系统在某过程中不受外力矩作用或所受和外力矩为零，该力学系统在该过程中转动状态不变，即角动量守恒。角动量是描述力学系统转动状态的物理量。保持转动状态不变是物体的固有属性，叫做物体的转动惯性。低速运动情况下，用转动惯量描述。2.角动量守恒定律成立的条件

转动状态与外力矩无关，力矩是改变物体转动状态的（物理量）原因。没有外力矩作用，物体转动状态不变。同理，内力矩不改变力学系统的总角动量。原子核自裂变、炮弹自爆、太阳聚变反应、人拉自己的头发均不改变各力学系统自身的总角动量。力矩和角动量都是轴矢量。同一力对不同定点力矩不同，质元的同一动量对不同的定点角动量也不同。因此力矩和角动量只有相对某一定点或轴才有确切的物理意义。转动状态与外力矩无关，力矩是改变物体转动状态的（物理量）原

力学系统相对某一定点角动量守恒时，则相对该定点的外力矩在三个独立方向分量之和分别为零，相对该定点的角动量在上述三个方向分量之和分别为常矢量。在定轴转动的情况下，通常叫定轴角动量守恒，相对定轴合力矩为零，则该力学系统相对该轴角动量守恒。角动量守恒需指明哪个力学系统在什么过程对哪一点或对某一轴的角动量守恒，力学系统取的不同，过程不同,相对的点和轴取的不同，合外力矩计算结果就不同。力学系统相对某一定点角动量守恒时，则相对该定点的外力矩在三

合外力矩不为零，则力学系统的角动量不守恒。例如：人跳高、跳远、跳水起跳后到落地前对定点的合力矩都不为零（有重力矩）。因此人对定点的角动量都不守恒。但是，忽略空气阻力不计，人对其质心的角动量守恒（重力矩为零）。要改变人自转的角速度，在不受外力矩作用下，必须改变人对其质心的转动惯量。对质心，转动惯量减小（人卷缩，各部分靠近质心），则自转角速度增大。宇宙飞船在空间飞行时，要使飞船获得某方向上的角动量，可使喷出的气体具有等量反向的角动量。若使飞船停止，也可产生相反方向的角动量。（例如《物理学》上册，p152,4-21,p154,4-32）合外力矩不为零，则力学系统的角动量不守恒。例如：人跳高、跳

3.机械能守恒定律成立的条件某力学系统在某过程中，外力作功和内耗散力的功的总和等于零，则该力学系统的机械能守恒。中等物理学关于机械能守恒定律有以下三中表述：①力学系统只有动能和势能之间相互转化,机械能守恒。②没有摩擦力和介质阻力存在（或作功），力学系统只有动能和势能之间相互转化，机械能守恒。③只有重力和弹力作功，力学系统只有动能和势能之间相互转化，机械能守恒。以上三种表述是否科学？中学物理不讲授保守力和耗散力，机械能守恒定律如何表述才比较科学？（讨论）3.机械能守恒定律成立的条件

三种表述的共同点：强调没有耗散力存在或没有耗散力作功，除动能和势能以外没有其它形式的能量转化。这些都不是机械能守恒的必备条件。较为科学的表述应该是：“外力的功与内耗散力功的总和为零，系统的机械能守恒。”内力虽有耗散力，耗散内力也作功，只要外力的功与耗散力的功总和为零，即机械能的耗损被外力的功及时补偿，力学系统的机械能仍然守恒。例如：稳态的强迫简谐振动，阻尼力所耗散的机械能由周期性强迫力做功补偿，系统机械能不随时间变化，保持不变。三种表述的共同点：强调没有耗散力存在或没有耗散力作功，除动

中学物理不讲保守力和耗散力，可表述为：“力做功的总效果使力学系统只有净动能和势能之间相互转化，系统的机械能守恒”（《大学物理》88年7期）强调力作功是必要的，因机械能守恒是功能原理特殊条件下的结果。功能原理是动能定理的另一种表述形式，即中学物理不讲保守力和耗散力，可表述为：“力做功的总效果使力

系统增加的动能是由势能转化而来的，因势能减少了（增加的净动能=减少的净势能）。“净”能量代数和，并不排除机械能与其他形式能量的转化。机械能守恒不允许有其他形式能量参与转化。系统增加的动能是由势能转化而来的，因势能减少了（增加的净动

由功能原理可知机械能守恒条件大致有以下几种说法：①∑Wi外+∑Wi内耗=0，则∑Eki+∑Epi=恒量，系统的一切外力和非保守内力作功之和为零，则系统机械能守恒。②Wi外=0，Wi内耗=0，则∑Eki+∑Epi=恒量，系统只有保守力作功，外力和非保守内力不作功，系统的机械能守恒。第一种说法不严格：对于某一过程，如果∑Wi外+∑Wi内耗=0，只能说明系统在过程的始末两个状态机械能相等，而不能确定在过程的每一时刻的机械能是守恒的。第二种说法条件是过于苛刻，它只能是充分条件，而非必要条件。由功能原理可知机械能守恒条件大致有以下几种说法：

科学严格的表述应该是第一种说法加上限制条件：即，在任一微小的过程中∑Wi外+∑Wi内耗=0，或：只有当∑Wi外+∑Wi内耗=0对于过程的每一时刻均成立，系统的机械能守恒。机械能守恒的充分条件应写成微分形式：dW外+dW内耗=0，（W外=∑Wi外）由功能原理求微分可得：科学严格的表述应该是第一种说法加上限制条件：

即系统的机械能守恒的充要条件是：在研究的整个过程中，外力和非保守内力的功率代数和为零。（每个时刻的功）上述守恒条件在理论上式严格的，正确的，但实际中很难找到这一过程，自始至终每一微小过程外力作功与非保守力作功之和恰巧为零。正是由于这种考虑，大多数教材将条件表述得苛刻一些,只有保守力作功这样更符合实际。再看W外+W耗=0，虽然在整个过程中不一定每个时刻系统的机械能守恒，但始末两个状态机械能相等，说成守恒也未必不可以。即系统的机械能守恒的充要条件是：

常说用能量观点处理力学问题方便之处就在于不考虑过程的中间状态。如果一个力学系统发生一个复杂的力学过程而很难用牛顿定律求解，若知过程中满足W外+W耗=0条件，则可以不管系统中间状态多么复杂（如弹性碰撞、稳定的强迫振动），其过程始末两状态的机械能必守恒，这正是用机械能守恒处理问题的简捷之处。常说用能量观点处理力学问题方便之处就在于不考虑过程的中间状

4.三个守恒定律的综合应用应用三个守恒定律处理力学问题最简便，关键在于选择适当的力学系统，使其满足守恒定律成立的条件，按三个守恒定律建立方程组求解。例题1：质量为2m、长为L的均匀细杆静止放在光滑的水平面上，质量为m，水平初速为v0的小球垂直于细杆对其一端进行完全弹性碰撞。如图，求：碰撞后小球的速度，细杆转动角速度及质心的速度。4.三个守恒定律的综合应用

解：取细杆与球组成一力学系统。该系统在水平方向无外力，竖直方向受重力和支持力大小相等方向相反，合外力为零，合外力矩为零，系统在水平方向运动，无外力作功，内力无耗散力。所以该系统动量守恒、角动量守恒、机械能守恒。设碰撞后球速度v′，杆质心平动速度vc，杆绕质心轴转动角速度ω解：取细杆与球组成一力学系统。

球与杆的质心平动动量守恒：（杆随质心平动）系统相对通过杆质心且垂直水平面轴角动量守恒：系统机械能守恒（杆作平面运动，随质心平动和绕通过质心轴转动）球与杆的质心平动动量守恒：（杆随质心平动）

由(1)(2)(3)解得碰撞后讨论上述结果：碰撞后小球的速度与细杆的质心速度相等，细杆同时还要绕质心轴转动，必与小球进行第二次完全弹性碰撞。由(1)(2)(3)解得碰撞后普通物理专题研究课件

例题2：质量为M,长为L的细杆，在光滑水平面上，质点质量为m，以v0初速度与杆发生完全非弹性碰撞，求碰后杆的运动。例题2：

解：在如图所示坐标下，碰撞系统质心位置碰撞前后系统动量守恒所以杆质心平动速度系统对质心轴转动角动量守恒：杆绕质心轴角速度解：在如图所示坐标下，碰撞系统质心位置

例题3如图所示：在光滑水平面上有一轻弹簧，劲度系数为k，它的一端固定，另一端系一质量为m′的滑块，最初滑块静止时，弹簧呈自然长度l0，今有一质量为m的子弹以速度v0沿水平方向垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至l时，求滑块的速度大小及方向（速度和弹簧线之间的夹角θ）例题3

分析：将整个运动分两段考虑：①子弹和滑块碰撞过程。因滑块所系的是轻弹簧，又处在自然长状态，因此子弹与滑块碰撞可视为质点系的完全非弹性碰撞过程。沿子弹运动方向外力为零，碰撞过程动量守恒。②子弹与滑块碰后以共同速度运动时，由于弹簧不断伸长，滑块在受指向固定点的弹力的作用下作弧线运动，该力属于有心力不产生力矩，因而滑块在运动过程中满足角动量守恒；与此同时，对滑块、弹簧所组成的系统没有外力和内耗散力作功，机械能守恒，有：分析：将整个运动分两段考虑：

解得解得

例题4质量为M的物块焊接上一个进度系数为k的水平带钩的轻弹簧，置于光滑水平面上，质量为m的小球以水平初速度v0接近静止的弹簧并与弹簧碰撞后钩连在一起。设碰撞是完全弹性碰撞，求弹簧最大压缩量及小球与弹簧和物块组成系统相对振动的频率。例题4

解：当小球与弹簧碰撞并钩连在一起，将压缩弹簧，弹簧内有弹性力，物块加速运动，小球减速运动，由于开始小球速度大于物块速度，弹簧继续被压缩，弹力增大，加速度增大，M速度增大，m速度减小，且要vm>vM，弹簧被压缩直到二者速度相等，弹簧被压缩到最大量。此过程系统在水平方向无外力作用，动量守恒，又因为无内耗散力作用，机械能守恒。解：当小球与弹簧碰撞并钩连在一起，将压缩弹簧，弹簧内有弹性

分析系统的运动过程：球碰弹簧后压缩弹簧直到最大量xm，二者此时有共同速度，由于继续运动，弹簧开始伸长，M加速，m减速；经自然长度时，受力为零，二者以原速度继续运动，由M速度大，m速度小，继续伸长弹簧，这时的弹力作用反向，使M减速，m加速，当二者速度不等时，弹簧继续伸长，直到二者等速，伸长到最大量，再运动；由于m加速，M减速，弹簧被压缩，直到压缩到最大。振动振幅为最大压缩量或伸长量xm分析系统的运动过程：

图图

练习题1光滑桌面上，一根劲度系数为

k

的轻弹簧两端联结质量为m的滑块A和B。如果滑块被水平飞来的质量为m/4,速度为v0的子弹射中，并停留其中。试求运动方程中弹簧的最大压缩量。练习题1

解：（1）子弹射入滑块过程：动量守恒，机械能不守恒（2）弹簧被压缩过程：A、B速度相等，压缩量最大，动量守恒，机械能守恒※可对全过程应用动量守恒，但能量守恒只能对第二过程。解：

练习2质量为m，长为L的匀质细杆竖直立于光滑的水平面上，无初速倾倒在光滑的水平面上，求：(1)杆在倾倒过程中的角速度和质心速度的大小;(2)杆和水平面接触点的速度大小；(3)杆落地时，上述各量的大小。练习2

解：设杆为刚体，刚体上各质元之间的距离不变，刚体内力作功为零，只有重力作功，细杆倾倒过程机械能守恒。设任一时刻细杆与竖直线的夹角为θ，初始时刻势能为零，则（细杆作平面运动）细杆在水平方向无外力作用，水平方向动量守恒，细杆质心在初始时刻水平速度分量为零，在运动过程中始终为零（质心速度竖直向下，质心轨迹为竖直向下直线），细杆触地点A速度水平向左，由质心速度和端点A绕质心转动的速度（垂直杆）合成：解：

练习3如图，两个物块通过一根绳子跨过固定的滑轮联结在一起，忽略滑轮和绳子的质量，即不考虑滑轮的转动。已知：M>m,M静止在桌面上，抬高m使其自由下落h距离后，绳才被拉紧，求此时两物体的速度及M所能上升的最大高度。练习3

解：m下落：机械能守恒mgh=1/2mv20绳子拉紧瞬间：系统动量守恒：mv0=(m+M)vM与m以共同速度v运动至M上升最高点：系统机械能守恒：1/2(m+M)v2+mgh1=MgH+mgh2,(h1-h2=H)解：

练习4

如图所示，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m1和m2。问在A板上需加多大的压力，方可在力停止作用后，恰能使A在跳起来时B稍被提起。（设弹簧的劲度系数为k）练习4

分析:

运用守恒定律求解是解决力学问题最简捷的途径之一,因为它与过程的细节无关，也常常与特定力的细节无关。“守恒”则意味着在条件满足的前提下，过程中任何时刻守恒量不变．在具体应用时，必须恰当地选取研究对象（系统），注意守恒定律成立的条件．该题可用机械能守恒定律来解决．选取两块板、弹簧和地球为系统，该系统在外界所施压力撤除后（取作状态1），直到B板刚被提起（取作状态2），在这一过程中，系统不受外力作用，而内力中又只有保守力（重力和弹力）作功，支持力不作功，因此，满足机械能守恒的条件．只需取状态1和状态2，运用机械能守恒定律列出方程，并结合这两状态下受力的平衡，便可将所需压力求出．分析:

解：选取如图所示坐标，取原点O处为重力势能和弹性势能零点。作各状态下物体的受力图，对A板而言，当施以外力F时，根据受力平衡有

F1=P1+F------（1）当外力撤除后，按分析中所选的系统，由机械能守恒定律可得式中y1、y2为M、N两点对原点O的位移．因为F1=ky1，F2=ky2及P1=m1g，上式可写为解：

由式（1）、（2）可得F=P1+F2-------(3)

当A板跳到N点时，B板刚被提起，此时弹性力F2′=P2，且F2=F2′

．由式（3）可得

F=P1+P2=(m1+m2)g应注意，势能的零点位置是可以任意选取的．为计算方便起见，通常取弹簧原长时的弹性势能为零点，也同时为重力势能的零点.

练习5如图所示，有一空心圆环可绕竖直轴OO′自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始的角速度为ω0，今有一质量为m的小球静止在环内A点，由于微小扰动使小球向下滑动．问小球到达B、C点时，环的角速度与小球相对于环的速度各为多少？（假设环内壁光滑）练习5

分析虽然小球在环中作圆周运动，但由于环的转动，使球的运动规律复杂化了．由于应用守恒定律是解决力学问题最直接而又简便的方法，故以环和小球组成的转动系统来分析．在小球下滑的过程中，重力是系统仅有的外力，由于它与转轴平行，不产生外力矩，因此，该系统对轴的角动量守恒，若以小球位于点A、B处为初、末两状态，由角动量守恒定律可解得小球在点B时环的角速度ωB．分析

在进一步求解小球在点B处相对环的速度vB时，如果仍取上述系统，则因重力（属外力）对系统要作功而使系统的机械能不守恒；若改取小球与地球为系统，也因环对小球的作用力在转动过程中作功，而使系统的机械能守恒仍不能成立；只有取环、小球与地球为系统时，系统才不受外力作用，而重力为保守内力，环与球的相互作用．力虽不属保守内力，但这一对力所作功的总和为零，因此系统的机械能守恒，根据两守恒定律可解所需的结果。但必须注意：在计算系统的动能时，既有环的转动动能，又有小球对地的动能（它可视为小球随环一起转动的转动动能与小球相对于环运动的动能在进一步求解小球在点B处相对环的速度vB时，如果仍取上述系

解：以环和小球为转动系统，由系统的角动量守恒有取环、小球与地球为系统时，由系统的机械能守恒可得由式（1）、（2）可解得小球在B点时，环的角速度与小球相对于环的线速度分别为小球在C点时，由于总的转动惯量不变，用同样的方法可得环的角速度和小球相对于环的速度分别为解：以环和小球为转动系统，由系统的角动量守恒有矢量投影教学中的概念训练

牛顿力学被称为矢量力学，它的运动学以及动量、角动量规律都是以矢量形式出现的，具有普遍、简洁的特色。但是，在求解矢量问题时，直接采用矢量代数、矢量积或矢量积分的方法往往不便。另外，在简单的一维运动中，如直线运动，刚体定轴转动，物理量及相应的规律却常常以标量形式出现，它们和矢量性质又是什么关系？这两个问题涉及到力学教学中一种重要的基本训练——将有关的矢量向选定的正交坐标系各轴投影，将矢量形式的方程变为一组标量方程。而其中关键的概念是这些标量的双向特性，即它们是代数量（在某些情况下也可能退化为算数量）。教学实践证明，很多学生不能很好地掌握这一概念，以至于有人在学完力学去解电磁学习题时还出现随意增抹符号的概念错误。矢量投影教学中的概念训练牛顿力学被称为矢量力学

一、运动学1、矢量在直角坐标系中投影按照右手螺旋定则选取直角坐标系的各坐标正向，确定单位矢量i、j、k方向。由矢量投影得到一组分矢量，各单位矢量前面的系数，即为具有双向性质的代数量。分矢量的方向由各单位矢量及标量正负确定，如i代表x方向，i的系数>0，正向，<0，负向。一、运动学

ax、ay、az的正负不能说明作加速还是减速度运动，可以说明沿坐标轴的正、负方向。

若加速度与速度符号相同，质点作加速运动；若加速度与速度符号相反，质点作减速运动。如：ax<0，vx<0，质点在x轴负方向作加速运动，ax>0，vx<0，质点在x轴负方向作减速运动。电磁学中电场、磁场矢量投影，电流、电动势标量都存在双重性问题。ax、ay、az的正负不能说明作加速还是减

例题：湖中有一小船，人在高为H的岸上用绳子跨过一定滑轮以恒定速率v0收绳拉船靠岸，求船运动的速度和加速度。解：以船为研究对象，其运动方程沿x轴反方向，v0为收绳速度，即绳速是绳上各点沿绳运动的快慢，绳速和船速是两个不同的概念，不能认为船的运动速度是绳速的分量。定量描述船的运动和规律，必须建立确定的坐标系，写出船在坐标系中的运动方程r=r(t)，根据速度和加速度定义即可求解。在如图所示的直角坐标系中，船运动方程为：例题：湖中有一小船，人在高为H的岸上用绳子跨过一定滑轮以恒

此题也可求出船沿x方向运动方程的代数式：此题也可求出船沿x方向运动方程的代数式：

2、矢量在极坐标系投影质点在极坐标下的运动方程为：r=r(t)(矢径)，θ=θ(t)（幅角）2、矢量在极坐标系投影

利用平面极坐标系分析上例拉小船的问题：利用平面极坐标系分析上例拉小船的问题：

3、矢量在自然坐标系中投影自然坐标系的两个正方向为切向和法向，相应的单位矢量为切向单位矢量和法向单位矢量3、矢量在自然坐标系中投影

比较在三种坐标系中的矢量投影：①直角坐标系中的各分量（x,vx,ax）都是代数量；②极坐标系中的速度分量(vr,vθ)都是代数量；③自然坐标系中的速度、加速度投影后，若切向单位矢量选为速度方向，则：切向速度分量vt=v退化为算数量，法向速度分量为零；切向加速度分量at=dv/dt为代数量，法向加速度分量an=v2/ρ

为算数量。

矢量投影教学的概念还贯穿于力学教学的其他章节如牛顿第二定律的应用、功的计算等。比较在三种坐标系中的矢量投影：

二、关于牛顿第二定律应用的关键是：分量方程的代数量正负问题。在直线运动中：将牛顿第二定律F=ma在直角坐标系中投影（二维）：

Fx=maxFy=mayFx、Fy、ax、ay都是代数量取定坐标正向后，作用在质点上的各个力及加速度若沿坐标正向取正，反之取负，求出每个力或加速度，若大于零，沿坐标正向，小于零，沿坐标反向。技巧：取加速度方向为正向。在曲线运动中，同法处理。二、关于牛顿第二定律应用的关键是：

三、在功的计算中例如：一质点m在重力作用下从a点移到b点，点a和点b距地面高度为ya、yb，重力作功Wab=?三、在功的计算中

例如:水平放置的弹簧振子,求弹性力作的功(质点由a→b)例如:水平放置的弹簧振子,求弹性力作的功(质点由a→b)

如果将上题中初、终位置颠倒，重新计算此功。无论振子在原点的哪一方，也无论朝哪一个方向运动，元功都应是-kxdx四、在动量定理、动量守恒定律中因为动量具有矢量性、瞬时性、相对性所以定理、定律也一样，求解时一般采取两个方法：①分量法（建立坐标，代数量正负）②矢量叠加法（画矢量图，几何关系）如果将上题中初、终位置颠倒，重新计算此功。

练习题1：练习题1：

练习题2：在光滑水平桌面上，平放固定半圆形屏障，俯视图如右，质量为m的滑块以v0沿切线从一侧进入，滑块与屏障间摩擦系数为μ，求从另一侧滑出的速度大小。解：建立自然坐标系，设速度方向为et正向，切向加速度取为坐标正向。根据牛顿第二定律列切向和法向方程滑块受屏障摩擦力f=μN，支持力N练习题2：在光滑水平桌面上，平放固定半圆形屏障，俯视图如右非惯性参照系中机械能转换和守恒定律

在物理学中如何选择适当的参照系是一个重要问题，力学中通常选用惯性参照系，但有时也选用非惯性参照系。要在非惯性参照系中沿用牛顿定律解力学问题，必须附加惯性力。在非惯性参照系中机械能转换和守恒定律是否可沿用？从一个实例出发进行讨论。如图所示：质量分别为m1、m2的两个自由质点在万有引力的吸引下，从静止状态（其间距为r0）开始运动，当运动到间距为r0/2时，求m2相对m1的速度。非惯性参照系中机械能转换和守恒定律在物理学中如何选择

下面讨论，在非惯性系如何沿用机械能转换与守恒定律。下面讨论，在非惯性系如何沿用机械能转换与守恒定律。

在非惯性系中，即使外力F=0,还必须考虑惯性力作功，机械能守恒定律不能直接用。在非惯性系中，即使外力F=0,还必须考虑惯性力作功，机械能

下面进一步讨论前面解法二在解法二中，m1看作静止，也就是把m1选为参照系，是一个非惯性系，质点m2除受m1引力F′作用，还受惯性力f作用,两力分别为：下面进一步讨论前面解法二

综上所述，在非惯性系里沿用机械能转换和守恒定律必须增加等效引力场势能这一项，功能原理中要增加惯性力作功这一项。例题：以匀加速a上升的升降机内，有一质量为m的小球，从离开升降机底面高为h的台面以初速v0′水平抛出，求小球落到升降机底面时，相对于升降机的速度。解：选取升降机为非惯性参照系，取升降机底面为势能零点：根据机械能守恒定律：综上所述，在非惯性系里沿用机械能转换和守恒定

选取以地面为惯性系进行验证。选取以地面为惯性系进行验证。经典变质量问题的教学处理

有些教材把火箭发射这类例子称为“变质量”问题。其实在牛顿力学范围内，质量变不变是一个研究对象的选取问题。以火箭发射为例，研究对象可以有不同的选取。考虑在t到t+△t一段时间间隔，

如果把在△t时间要喷射的物质不作为我们的研究对象，对于除了喷射物质的火箭主体，在△t时间内它的质量不变，并且可当作质点应用质点力学规律；

如果把喷射物质作为研究对象，在喷射过程中质量不变，也不存在变质量问题；

如果把火箭主体连同喷射物质一起作为研究对象，同样也不存在变质量问题，只不过这时火箭主体与喷射物质在时刻t有共同运动，在时刻t+△t各自有不同的运动，这样的对象不能看作是质点，只能看作质点组应用质点组动量定理或质心定理。以上三种研究对象都不存在变质量问题。经典变质量问题的教学处理有些教材把火箭发射这类例子称为

那么，什么样一种情形才有“变质量”问题呢？例如：在t时刻把火箭主体连同未喷射物质作为研究对象，在t+△t时刻只把火箭主体作为研究对象。研究对象变了，质量当然也变了，但是作用力的含义也不同了。在没有必要的场合下，把研究对象前后作这种变动容易引起混乱。另外，把某些力学问题，如有质量流进或流出的开放系统冠以“变质量”的名称，使人觉得似乎这些力学问题遵从“变质量”的力学规律，这是一种误解。在牛顿力学中，我们的研究对象或者是质点，它遵从牛顿定律、质点动能定理、动量定理等质点动力学规律；或者是质点组，它遵从质点组功能原理、动量定理等质点组动力学规律。不存在“变质量”的动力学规律。处理这类问题的关键：选择一个确定的研究对象，应用动量定理求解。那么，什么样一种情形才有“变质量”问题呢？

例1.火箭发射（1）以火箭主体为研究对象设火箭+燃料系统总质量为M（主体），△t时间内有△M喷出。喷出的燃料不作为研究对象。火箭主体t时刻的质量M+△M（△M为负值），对地面速度为v，t+△t时，质量仍为M+△M，速度为v+△v。火箭主体所受外力有：喷射物对它的反冲力f反冲，其他外力f1(含重力、阻力)根据质点动量定理（在一条直线上）(f1+f反冲)△t=(M+△M)(v+△v)-(M+△M)v=(M+△M)△v

f1、f反冲力的方向都设为向上，具体考虑每个力时，再确定其方向，如-mg例1.火箭发射

两边除以△t取极限：（2）以喷射物质为研究对象t时刻，喷射物质的质量为-△M(△M为负)，对地速度为v（随火箭一起运动）t+△t时刻，喷射物质质量仍为-△M，相对火箭主体反向运动，速度为u，对地速度为v+△v-u受力为：火箭对其作用力其它外力f2（重力、阻力）两边除以△t取极限：

据质点动量定理：据质点动量定理：

（3）以火箭主体连同喷射物质一起作为研究对象（大多数教材采取的办法）t时刻：质点组质量M，对地速度v;t+△t时刻：火箭主体与喷射物质有不同的运动。火箭主体：质量为(M+△M),对地速度为(v+△v)喷射物质：质量-△M,对地面速度(v+△v-u)质点组受力：重力（-Mg）和阻力，用f表示根据质点组动量定理：（3）以火箭主体连同喷射物质一起作为研究对象

例2：链条下落

一质量为M，长为L的柔软链条自静止下落，求下落到离地面高为y处，地面对上端链条的作用力及链条对地面的压力。解：这是一个质点组，可取不同的研究对象考虑。选取向上为y正向，链条自静止下落了L-y时，地面上端链条的速度v为：（上端链条上每点速度都是此值，因下落同高）取紧靠地面的一个小质元dm，与地面碰撞前动量vdm，碰撞后静止，动量为零。dm受力：地面作用力f，重力dmg。对dm应用质点动量定理：

(f-dmg)dt=0dm-(-vdm)=vdm例2：链条下落

略去重力dmg，则地面对dm（也是对地面上方的绳子）作用力：注：不可以取整个链条，不遵从质点牛顿定律。略去重力dmg，则地面对dm（也是对地面上方的绳子）作用力

练习题：链条上提一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度λ，将其卷成一堆放在地面上，若手握链条的一端，以匀速v将其上提。当链条一端被提离地面高度为y时，求手提力。解：以整个链条为研究对象。取地为惯性系，向上为y正向，t时，链条一端距地面高度为y，其速度为v，地面部分静止不动；t+△t时，链条一端距地面高为y+△y，速度仍为v，地面部分(l-y-△y)静止。整个系统受外力：提起部分重力λyg，地面部分重力λ(l-y)，手提力F(向上)；地面对λ(l-y)部分的支持力与其重力大小相等方向相反，抵消(△y

部分重力计入在提起部分也可以，但可忽略不计，不影响最后结果)练习题：链条上提

应用质点系动量定理：（向上为正）解法二：取提起的y为研究对象。链条匀速运动（不考虑地面链条对提起部分作用力）取t时提起的y，在此后△t时间内又提起△y为研究对象。t时系统总动量为λyv+λ△y﹒0t+△t时系统总动量为λ(y+△y)v(y+△y)链条受外力：提力F，重力λ(y+△y)g,(地面链条（处于水平状态）对提起部分实际在竖直方向没有作用)应用质点系动量定理：（向上为正）

根据系统动量定理：根据系统动量定理：

例题3：

有质量流入的车子。当车子以速度v在光滑的水平面上匀速前进时，砂子从固定的漏斗里，以dm/dt=k的速度落进车中，要使车子保持匀速前进所需的水平拉力F。

解法一：以车子和车子中的砂子及dt时间内落进车中的砂子为研究对象，设：

t时刻车及砂子质量为M，t时：系统动量：Mv+dm0

t+△t时：系统动量:(M+dm)v

该系统水平方向外力只有拉力F，据系统动量定理：

Fdt=(M+dm)v-MvF=vdm/dt=kv例题3：

解法二：取dt时间落入车内的砂子为研究对象：车保持匀速前进的条件是合外力=0，拉力与阻力大小相等，方向相反，砂子对车的阻力只是在刚落到车内直到获得共同速度这段时间内才有，即dm速度由0→v，所对应的时间dt：

t时：dm动量为零

t+△t时，动量为dmv

据质点动量定理：

fdt=dmv-0,F-f=0f=vdm/dt=kv

故F=f=kv解法二：取dt时间落入车内的砂子为研究对象：

讨论：此题能否用F=dp/dt牛顿第二定律来求解？结论：①F=dp/dt是对一个确定研究对象，即一个封闭系统，而车中的砂子是不确定的。②牛顿第二定律是质点力学规律，对质点系应用质心运动定理，各质点速度不同，mv没有意义。③牛顿力学范围内，m=常量，通常讲普遍的F=d(mv)/dt是指在狭义相对论中而言。讨论：此题能否用F=dp/dt牛顿第二定律来求解？

练习题：车内装有砂子，车中有一小孔，每秒从小孔漏出的砂子为dm/dt=k，若车子受到不变的水平拉力作用，不计摩擦，求车子运动方程。解：设t时刻车与其内部砂子总质量为M，速度为v，经△t时间流出△m砂子在t+△t时刻，车及剩下的砂子质量为M-△m,车速度为v+△v,取M为研究对象t时：动量Px(t)=Mvt+△t时：Px(T+△t)≈(M-△m)(v+△v)+△m(v+△v)△m的速度介于v—v+△v之间练习题：

据动量定理：此题也可以取M-△m为研究对象,仿火箭（1）据动量定理：

例题4：下落的雨滴雨滴在下落过程中，受到重力和风力的作用，同时吸收其周围的水汽而逐渐长大。设水汽在碰到水滴之前的速度为u,试求雨滴下落过程中的运动方程。例题4：下落的雨滴

解决变质量问题关键：确定研究对象，应用质点或质点系动量定理。力的作用时间△t或dt，用平均力，取极限后变为瞬时力。若dt时间内，力可认为不变。解决变质量问题关键：在非惯性系中巧取瞬时惯性系，

解相对运动中的力学问题

当所选的非惯性系在某一位置（瞬时）加速度为零，此时当作惯性系—瞬时惯性系，采用牛顿第二定律，不需引入惯性力（实际此时惯性力f＊=-ma=0）例题1：质量为M，内壁半径为R的光滑半球面容器静止在光滑的水平面上。求质量为m的小球由静止开始沿半球面从最高点滑到最低点A对容器的作用力的大小。解：设质点相对地速度v，质点相对凹槽的速度v′，凹槽相对地速度V（质点滑到最低时）以地面为参照系，选质点、凹槽、地球为一系统，从最高点→最低点，系统机械能守恒：在非惯性系中巧取瞬时惯性系，

解相对运动中的力学问题

选质点、凹槽为系统,水平方向动量守恒：

mv+MV=0由两方程解得：选质点、凹槽为系统,水平方向动量守恒：

以凹槽为参照系（非惯性系）当质点运动到最低点，质点对凹槽的压力水平分力为零，此时凹槽加速度为零，瞬时为惯性系，应用牛顿第二定律：以凹槽为参照系（非惯性系）

例题2：半径为R，质量为M，表面光滑的半球放在光滑的水平面上，在其正上方置一质量为m的小滑块。当小滑块从顶端无初速度地下滑后，在图示θ的角位置处开始脱离半球。已知cosθ=0.7，求M/m当滑块开始运动时，滑块对半球压力竖直分量与重力及支持力平衡，水平分量使半球在水平方向获得加速度。所以，半球是非惯性系。当滑块将要脱离半球时二者间接触力为零，即滑块对半球压力为零，半球水平加速度为零，此时半球视为惯性系。设此时滑块相对半球作圆周运动的速度为v，半球相对地水平速度为V。例题2：半径为R，质量为M，表面光滑的半球放在光滑的水平面

据牛顿第二定律（以半球为参照系（惯性））据牛顿第二定律（以半球为参照系（惯性））

由于由于牛顿力学的原始体系及其中的主要错误

本讲主要讨论牛顿力学的原始体系和牛顿第二定律原始表述中的错误，牛顿错误的绝对时空观，惯性系如何定义？质量定义的科学性。1、牛顿力学的原始体系牛顿力学的核心可以概括为四个基本定义和三个运动定律（公理）(1)四个基本定义牛顿在《自然哲学的数学原理》和其它论著中有许多定义，其中四个是基本定义。牛顿力学的原始体系及其中的主要错误本讲主要讨论牛顿力

(a)质量的定义“物质的量是物质的度量，可由密度和体积共同求出。”“所谓密度相同者系指惯性与其体积成比例者。”即现在所说的质量是物质的量或物体惯性的度量，质量是标量。在这个定义中，包含了牛顿原子论的观点。在解释这个定义时，他实际上认为“密度”是由单位体积中的粒子数来确定的。这个定义指出了质量同物质概念的紧密联系。在牛顿看来，原子是永恒的，不可毁坏的，所以物质的质量是不变的，即质量守恒，物质守恒。但牛顿质量的定义具有原则性缺陷，他所断言的质量是不变的，与运动状态及能量变化无关。随着物理学的发展，对这一定义做出相应修正。(a)质量的定义

(b)动量的定义“运动的量是这运动的度量，可由速度和物质的量共同给出。”这里所说“运动的量”即物体的动量P(=mv)，并指出动量是可加量（矢量）(c)力的定义“外力是一种对物体的推动作用，使其改变静止或匀速直线运动状态。”即现在所说的力是物体之间的相互作用，力是改变物体运动状态的原因。(d)惯性系的定义牛顿在《原理》一书中写道：“以向心力的加速度度量向心力，它正比于向心力”，当时有人向牛顿提问：问：“加速度时相对哪个参考系而言的呢？”牛顿答：“是相对惯性系而言的。”问：“究竟什么是惯性系？”(b)动量的定义

牛顿答：“没有加速度，没有转动的参考系叫做惯性系”问：“没有加速度，没有转动是相对谁而言的？”牛顿答：“是相对绝对空间而言的”问：“什么是绝对空间？”牛顿答：“绝对空间按其本性与外在事物无关，处处均匀，永不移动。”由此可见，牛顿把相对绝对空间没有加速度，没有转动的参考系定义为惯性系。按近代物理学的观点，绝对空间是不存在的。牛顿答：“没有加速度，没有转动的参考系叫做惯性系”

（2）公理或定律定律Ⅰ每个物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非有外力作用于它，迫使它改变那个运动状态。定律Ⅱ运动量的改变正比于外力，改变的方向沿外力的直线方向。定律Ⅲ

每种作用都有一个相等的反作用或两个物体间的相互作用是相等的，而且指向相反。由上述的定义和定律，通过演绎法构成了矢量力学：其核心内容是三个运动定律、三个运动定理（动量、动能、角动量）及其在特殊情况下的（三个第一积分）三个守恒定律以及应用它们分析处理各种力学问题的基本方法。（2）公理或定律

三个运动定理和三个守恒定律都不是牛顿首创的。动量守恒定律的思想是由笛卡尔首先提出的，牛顿提出了“质心守恒定律”，后来经欧勒等加以整理和发展。开普勒的第二定律（面积定律）实质上就是角动量（动量矩）守恒定律，它被牛顿推广到有心力运动的一切场合，并且由伯克利、欧勒等人各自以不同方式提出。至于机械能守恒定律是在虚功原理基础上发展起来的。其中有科里奥利、伽利略、惠更斯、伯努利、欧勒、拉格朗日等都做了大量的工作。三个运动定理和三个守恒定律都不是牛顿首创的。

2、牛顿第二定律原始表述中的错误分析一下牛顿第二定律，不难发现其中的错误，牛顿说，运动的改变与外力成正比，按照爱因斯坦的思维方法，只要找到一个实验与某理论相矛盾，该理论必然错误，应该修正或用新理论取代它，使其与实验相符。下面举一个实际例子，与牛顿第二定律矛盾。一个质量为m的质点在光滑的水平面上作半径为R，角速度为ω的匀速率圆周运动，所受向心力大小为mRω2。2、牛顿第二定律原始表述中的错误

由此可见，同一质点在相等的时间内受方向随时间变化的合外力作用，合外力大的，动量增量（运动量改变）反而小，即运动量的变化不与外力成正比，而且动量增量也不沿合外力直线方向。（错误根源：非瞬时）由此可见，同一质点在相等的时间内受方向随时间变化的合外力作

显然，牛顿第二定律的原始表述只适用于低速宏观条件下的一种特殊情况，是错误的。1750年物理学家欧勒剖析牛顿第二定律原始表述中的错误，给出了正确的数学表述：显然，牛顿第二定律的原始表述只适用于低速宏观条件下的一种

大学普通物理教学应按牛顿力学的科学体系教学，让学生从中学到牛顿的科学思维方法。用现代物理学的语言表述牛顿力学的科学内容体系是：定义了质量、动量、力和惯性系。牛顿第一定律告诉人们：（1）每个物体都有保持静止或匀速直线运动状态不变的性质——平动惯性。在低速运动的情况下，平动惯性用质量m度量，世界上没有不运动的物质，也没有无物质的运动，运动是物质的固有属性。物体的运动状态与外力无关。（2）物体静止或匀速直线运动状态——平动状态用运动的量（动量P）表述。动量是描述物体平动状态的物理量，与运动过程无关，即动量是状态量而不是过程量。大学普通物理教学应按牛顿力学的科学体系教学，让学生从中学

（3）不受外力作用或所受合外力为零的物体都保持静止或匀速直线运动状态不变，即物体的动量守恒。所以，牛顿第一定律实质上就是动量守恒定律。如果把整个宇宙看成是一个大物体系统，它没有外界，不受外力作用，因此，整个宇宙动量守恒。孤立的物理系统的动量守恒普遍成立。（4）要改变物体的运动状态即改变物体的动量，必须有外力持续作用，内力不会改变物体的总动量。（3）不受外力作用或所受合外力为零的物体都保持静止或匀速直

修正了的牛顿第二定律告诉人们：当物体受外力持续作用后，物体的动量要改变，物体的动量对时间的变化率等于作用在物体上的合外力，数学表达式：物体动量的元增量对d(mv)平行于物体所受的合外力F，动量mv是状态量。修正了的牛顿第二定律告诉人们：

牛顿第三定律的内容是：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在同一条直线上，作用在两个物体上。牛顿第三定律告诉人们：自然界不存在没有反作用的作用。任何一个完整的物理系统与另一个完整的物理系统之间的相互作用遵循牛顿第三定律，但它们中的任一部分与另一部分的相互作用并不遵循牛顿第三定律。例如：两个闭合稳恒电流之间的相互作用服从第三定律，而任意两个稳恒电流元之间的相互作用不遵循牛顿第三定律。力学系统的任一对内力是一对作用力与反作用力，任一力学组内力的总和为零。牛顿第三定律的内容是：作用力与反作用力大小相等，方向相反

3、抛弃牛顿错误的绝对时空观，定义惯性系牛顿的绝对时空观，所谓绝对空间是指长度的亮度与参考系无关，绝对时间是指时间的量度和参考系无关，牛顿的绝对时空观数不对的，但他引入绝对空间，对于建立他的力学体系是必要的。爱因斯坦说：“对此，牛顿和他同时代最有批判眼光得人都是感到不安的，但是人们要想给力学以清晰的定义，在当时却没有别的办法。”所以不能把牛顿提出的绝对时空观概念仅仅看做是由于牛顿世界观方面的缺陷，从根本上说，这是由于绝对空间对经典力学是必不可少的。所以牛顿的绝对时空观能够统治物理学达二百年之久，直到迈克尔逊干涉仪研制成功。3、抛弃牛顿错误的绝对时空观，定义惯性系

迈克尔逊—莫雷实验否定了与牛顿时空观概念相联系的伽利略变换的普适性，建立了狭义相对论，洛伦兹变换是普适的，时间是相对的，长度也是相对的，伽利略变换是洛伦兹变换在低速极限情况下的近似。在低速情况下伽利略变换是有效的，但绝对时空观是错误的，应该抛弃。抛弃了绝对时空观，如何定义惯性系？物理学发展到今天，牛顿当年想办而办不到的，现在可以用近代物理学的科学方法计量质点所受其它物体的作用力并求得作用在质点上的合外力。相对所受合外力为零的质点保持静止或匀速直线运动的一切参考系都可以定义为惯性系。迈克尔逊—莫雷实验否定了与牛顿时空观概念相

由于地球的自转的加速度很小，地表最大向心加速度R地ω2≈3.4×10-2m/s2(ω=2π/24×3600)，地球绕太阳公转的加速度更小，可忽略不计。在地球实验室内研究物体相对地球的运动，可选地球为惯性系（近似）。研究行星绕太阳运动，太阳相对行星的平均运动处于静止状态，可选太阳为近似的惯性系。太阳绕银河系公转加速度约为地表最大向心加速度的10-8倍，太阳与地球相比是更好的惯性系。由于地球的自转的加速度很小，地表最大向心加

4、关于质量定义的讨论牛顿将质量定义为物质的量，是惯性的量度，质量是守恒量。漆安慎力学中讲，“现在，物质的多少用摩尔数说明，物质多少和惯性质量目前已是不同的概念，不可混淆。”向义和编著大学物理学导论中讲，物质的量单位是mol，质量单位是kg，所以质量和物质的量是两个不同概念。那么质量定义究竟是什么？怎样更具科学性？有必要加以澄清。4、关于质量定义的讨论

在低速运动和物体质量为常量的情况下，有物体的质量等于物体产生每单位加速度所需要的合外力的大小，反映物体惯性大小。当物体作高速运动时，质量随速率变化，即高速运动物体的质量不再是惯性的量度。物体质量是速率函数，与速度方向无关。同一物体高速运动，速率相同，质量相同。在低速运动和物体质量为常量的情况下，有

但按照非相对论定义，高速运动物体的惯性随外力与速率夹角的大小变化。例如，荷电质点在匀强磁场中受洛伦兹力作用作匀速率圆周运动，则dv/dt=0，由前式可知，第二项为零，则有：按非相对论质量定义，静质量为m0的高速运动电荷横向质量mθ可作为荷电质点横向惯性的度量。但按照非相对论定义，高速运动物体的惯性随外力与速率夹角的大

若荷电质点在匀强电场中受电场力作用作匀加速直线运动，由牛顿第二定律得：按照非相对论质量定义，mr为质点的纵向质量，可作为质点纵向惯性的度量。但mr不是物质的量的度量。因为综上所述，高速运动物体的质量不再是物体平动惯性的量度。若荷电质点在匀强电场中受电场力作用作匀加速直线运动，由牛

但作为物质的量的度量仍然是科学的，合理的。因为这个定义满足物质不灭原理以及物质与运动不可分原理。所谓“物质不灭原理”，即物质不能创生，也不能自灭，只能从一种物质转化为另一种物质，整个宇宙物质的量是守恒的。所谓“物质不可分原理”即万物是运动的，没有不运动的物质，也没有无物质的运动，运动是物质存在的形式，物质的量（质量）与运动的量（动量）及能量应同步地增长，量与量之间的关系为但作为物质的量的度量仍然是科学的，合理的。因为这个定义满足

由此可见，把质量定义为物质的量仍然是科学的，既适用于实物，也适用于场；既适用于高速运动，也适用于低速运动；既适用于宏观物体也适用于微观粒子。把质量定义为物质的量与1971年国际度量大会通过的以摩尔为单位的物质的量是否相矛盾呢？众所周知，国际度量大会规定的摩尔质量是指6.0221367(36)×1023个分子热运动平均处于相对静止的参考系中所测得同种上述数量分子的总质量。当物体高速运动时，分子个数不变，每个分子的质量随自身速率增加而增加。因此，摩尔质量也随物体速率增加而增加。把质量定义为物质的量与摩尔为单位的物质的量是一致的。由此可见，把质量定义为物质的量仍然是科学的，二体问题的运动定理相对运动形式及其应用(选论)

质点问题很复杂，三体二维以上的运动没有精确解，研究两个物体组成的孤立系统的运动通常叫二体问题，如氢原子问题、双星运动问题等。二体问题有精确的解，孤立的二体运动动量守恒、角动量守恒、能量守恒。由于二体之间相互作用力（内力）与它们的相对位置有关（如：万有引力、库仑力），因此，研究二体中一个物体的运动常取另一个物体作为参考系——非惯性系。相对非惯性系的运动微分方程要计入惯性力。作适当的数学处理以后，可得形式上是相对非惯性系，实质上是相对惯性系的运动定理。二体问题的运动定理相对运动形式及其应用(选论)

1、二体问题的运动定理相对运动形式(v<<c)

我们已经熟悉矢量力学中三个运动定理（动量定理、动能定理、角动量定理）的非相对运动形式，可以用类比法导出三个运动定理的相对运动形式。（1）二体动量定理的相对运动形式动量定理非相对运动形式（微分式）上式的动量及速度都是相对惯性系的。当我们取二体质心为坐标原点（质心系ac=0）是惯性系，可得二体动量定理的相对运动形式与上式类似。证明如下：1、二体问题的运动定理相对运动形式(v<<c)

二体动量定理相对运动形式（质心系）：微分式积分式二体动量定理相对运动形式（质心系）：

（2）二体动能定理的相对运动形式用1相对2的元位移dr12点乘动量定理相对运动的微分式（2）二体动能定理的相对运动形式

任一对内力的元功之和与参考系无关，由此产生的相对质心总动能的元增量也与参考系无关。证明如下：任一对内力的元功之和与参考系无关，由此产生的

（3）二体角动量定理的相对运动形式用1相对2的位矢r12矢乘动量定理相对运动形式微分式，并考虑r12∥f12（3）二体角动量定理的相对运动形式

二体相对质心系的角动量为孤立的二体动量守恒、角动量守恒。一个物体相对另一个物体在所成平面内作圆周运动，角速度垂直于该平面。二体相对质心系的角动量为

2、二体运动定理相对运动形式的应用（1）碰撞问题应用二体运动定理相对运动形式处理对心碰撞和非对心碰撞问题都很方便。

对心碰撞两球的速度沿两球连心线所发生的碰撞叫做对心碰撞。设两球碰撞前速度为v1和v2，碰后两球的速度分别为v1′，v2′；设两球开始接触时刻为t0，两球压缩最大时刻t1，两球开始脱离时刻为t2。2、二体运动定理相对运动形式的应用

据牛顿建议：两球恢复冲量与压缩冲量之比为恢复系数e，由动量定理相对运动形式得：据牛顿建议：两球恢复冲量与压缩冲量之比为恢复系数e，由动量

当e=1，为完全弹性碰撞，碰撞前后，二体的相对速度大小相等，方向相反，碰撞过程动能和势能相互转化，机械能守恒，动量守恒。当e=0，为完全非弹性碰撞，碰后两球之间相对速度为零。即在完全非弹性碰撞中，二体相对运动动能完全损失掉，即当0≤e≤1，既不是完全弹性碰撞，也不是完全非弹性碰撞，叫非完全弹性碰撞。动能损失为将e代入得：处理二体对心碰撞的基本方程是：当e=1，为完全弹性碰撞，碰撞前后，二体的相对速度大小相等

非对心碰撞两球的速度方向偏离二体连心线所发生的碰撞叫做非对心碰撞或斜碰。设质量为m1和m2的两球的速度在碰撞前为v1和v2,碰后为v1′和v2′，两球接触时的连心线为x轴，v1和v2与x轴夹角分别为θ1和θ2。设两球在光滑水平面内，两球之间无摩擦，整个运动都在xoy面内。在碰撞过程中在垂直连心线方向由于没有内力作用，故两球各自动量分量不变，即非对心碰撞

在平行x轴方向按对心碰撞处理，故有：在平行x轴方向按对心碰撞处理，故有：

（2）非碰撞二体的接触相互作用及其运动例题1：质量为M，内壁半径为R的光滑半球面容器静止