C4直接设计法及纯滞后控制技术(阅读)课件

4.2数字控制器的离散化设计技术由于控制任务的需要，当所选择的采样周期比较大或对控制质量要求比较高时，必须从被控对象的特性出发，直接根据计算机控制理论(采样控制理论)来设计数字控制器，这类方法称为离散化设计方法。离散化设计技术比连续化设计技术更具有一般意义，它完全是根据采样控制系统的特点进行分析和综合，并导出相应的控制规律和算法。

4.2.1数字控制器的离散化设计步骤4.2.2最少拍控制器的设计4.2.3

最少拍有纹波控制器的设计4.2.4

最少拍无纹波控制器的设计连续化设计技术的弊端：要求相当短的采样周期！因此只能实现较简单的控制算法。4.2数字控制器的离散化设计技术由于控制任务的需14.2.1数字控制器的离散化设计步骤1.根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确定所需的闭环脉冲传递函数Ф(z)2.求广义对象的脉冲传递函数G(z)。3.求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)。4.根据D(z)求取控制算法的递推计算公式4.2.1数字控制器的离散化设计步骤1.根据控制系统的性2由数字控制器D(z)的一般形式：则：数字控制器的输出U(z)为因此，数字控制器D(z)的计算机控制算法为按照上式，就可编写出控制算法程序。由数字控制器D(z)的一般形式：34.2.2最少拍控制器的设计最少拍控制的定义：所谓最少拍控制，就是要求闭环系统对于某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且闭环脉冲传递函数具有以下形式工程应用背景：随动系统，伺服系统，运动控制，…式中N是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的脉冲响应在N个采样周期后变为零，输出保持不变，从而意味着系统在N拍之内达到稳态。4.2.2最少拍控制器的设计最少拍控制的定义：工程应用背4最少拍系统的设计原则是：若系统广义被控对象G(z)无延迟且在z平面单位圆上及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传递函数Ф(z)，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。最少拍系统的设计原则是：若系统广义被控对象G(z)无延迟且在51.闭环脉冲传递函数Ф(z)的确定

由上图可知，误差E(z)的脉冲传递函数为

1.闭环脉冲传递函数Ф(z)的确定由上图可知，误差E(z6典型输入函数

对应的z变换

B(z)是不包含(1-z-1)因子的关于z-1的多项式。典型输入类型对应的z变换q=1单位阶跃函数

q=2单位速度函数q=3单位加速度函数典型输入函数对应的z变换B(z)是不包含(1-z-1)7根据z变换的终值定理，系统的稳态误差为

由于B(z)没有(1-z-1)因子，因此要使稳态误差e(∞)为零，必须有Фe(z)=1-Ф(z)=(1-z-1)qF(z)→Ф(z)=1-Фe(z)=1-(1-z-1)qF(z)这里F(z)是关于z-1的待定系数多项式。为了使Ф(z)能够实现，F(z)中的首项应取为1，即F(z)=1+f１z-1+f2z-2+…+fpz-p根据z变换的终值定理，系统的稳态误差为由于B8可以看出，Ф(z)具有z-1的最高幂次为N=p+q，这表明系统闭环响应在采样点的值经N拍可达到稳态。特别当P=0时，即F(z)=1时，系统在采样点的输出可在最少拍(Nmin=q拍)内达到稳态，即为最少拍控制。因此最少拍控制器设计时选择Ф(z)为Ф(z)=1-(1-z-1)q

最少拍控制器D(z)为可以看出，Ф(z)具有z-1的最高幂次为N=p+q，92.典型输入下的最少拍控制系统分析(1)单位阶跃输入(q=1)输入函数r(t)=1(t),其z变换为由最少拍控制器设计时选择的Ф(z)=1-(1-z-1)q=z-1

可以得到进一步求得

以上两式说明，只需一拍(一个采样周期)输出就能跟踪输入，误差为零，过渡过程结束。

2.典型输入下的最少拍控制系统分析(1)单位阶10(2)单位速度输入(q=2)输入函数r(t)=t的z变换为

由最少拍控制器设计时选择的Ф(z)=1-(1-z-1)q=1-(1-z-1)2=2z-1-z-2

可以得到进一步求得

以上两式说明，只需两拍(两个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态，过渡过程结束。

(2)单位速度输入(q=2)由最少拍控制器设计时11(3)单位加速度输入(q=3)单位加速度输入r(t)=（1/2）t２的Z变换为由最少拍控制器设计时选择的Ф(z)=1-(1-z-1)3=3z-1-3z-2+z-3

可以得到上式说明，只需三拍(三个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态。(3)单位加速度输入(q=3)由最少拍控制器设123.最少拍控制器的局限性(1)最少拍控制器对典型输入的适应性差

(2)最少拍控制器的可实现性问题

(3)最少拍控制的稳定性问题最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最少拍，但对于其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大的超调和静差。

主要介绍下面三个内容：3.最少拍控制器的局限性(1)最少拍控制器对典型输入的适应13对某一典型输入的响应为最少拍的控制器，对于其它典型输入不一定为最少拍！例如，当Ф(z)是按等速输入设计时，有Ф(z)=2z-1-z-2，则三种不同输入时对应的输出如下：阶跃输入时r(t)=1(t)；R(z)=1/（1-z-1）(1)最少拍控制器对典型输入的适应性差等速输入时r(t)=t

等加速输入时r(t)=（1/2）t２

对某一典型输入的响应为最少拍的控制器，对于其它典型输14画出三种输入下的输出图形，与输入进行比较从图形可以看出，对于阶跃输入，直到2拍后，输出才达到稳定，而在上面单独设计控制器，只需要一拍；这样，过渡时间延长了，而且存在很大的超调量，在1拍处！对于加速度输入，输出永远都不会与输入曲线重合，也就是说按等速输入设计的控制器用于加速度输入会产生误差。画出三种输入下的输出图形，与输入进行比较从图15一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)设计，得到系统的闭环脉冲传递函数Ф(z)，用于次数较低的输入函数R(z)时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增，但在采样时刻的误差为零。反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数Ф(z)只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。结论：一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)设计，得到16(2)最少拍控制器的可实现性问题设数字控制器D(z)为

要使D(z)物理上是可实现的，则必须要求degP(z)≥degQ(z)最少拍系统设计的物理可实现性指将来时刻的误差值，是还未得到的值，不能用来计算现在时刻的控制量。要求数字控制器的脉冲传递函数中，不能有z的正幂项，即不能含有超前环节。为使D(z)物理上可实现，Ф(z)应满足的条件是：若广义脉冲传递函数G(z)的分母比分子高N阶，则确定Ф(z)时必须至少分母比分子高N阶。(2)最少拍控制器的可实现性问题设数字控制器D(z17若被控对象有滞后特性（假设给定连续被控对象有d个采样周期的纯滞后）需要对闭环脉冲传递函数Ф(z)分子多项式要进行处理。则所设计的闭环脉冲传递函数Ф(z)中必须含有纯滞后，且滞后时间至少要等于被控对象的滞后时间。否则系统的响应超前于被控对象的输入。若被控对象有滞后特性（假设给定连续被控对象有d个采样18(3)最少拍控制的稳定性问题只有当G(z)是稳定的(即在z平面单位圆上和圆外没有极点)，且不含有纯滞后环节时，式Ф(z)=1-(1-z-1)q才成立。如果G(z)不满足稳定条件，则需对设计原则作相应的限制。原因：在Ф(z)中，D(z)和G(z)总是成对出现的，但却不允许它们的零点、极点互相对消。这是因为，简单地利用D(z)的零点去对消G(z)中的不稳定极点，虽然从理论上可以得到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。当系统的参数产生漂移，或辩识的参数有误差时，这种零极点对消不可能准确实现，从而将引起闭环系统不稳定。

解决方法：在选择Ф(z)时必须加一个约束条件，这个约束条件称为稳定性条件。

(3)最少拍控制的稳定性问题只有当G(z)是稳定的(194.2.3

最少拍有纹波控制器的设计1.考虑广义脉冲传递函数的稳定性考虑被控对象含有滞后的情况：Gc(s)=G'c(s)e-τs，G'c(s)是不含滞后部分的传递函数，τ为纯滞后时间。令d=τ/T对上式进行z变换并设G(z)有u个零点b1、b2、…、buv个极点a1、a2、…、av；在z平面的单位圆上或圆外。当连续被控对象Gc(s)中不含纯滞后时，d=0;当G(s)中含有纯滞后时，d≥1,即d个采样周期的纯滞后。

4.2.3

最少拍有纹波控制器的设计1.考虑广义脉冲传递函20则，重新表示G（z）有：G'(z)是G(z)中不含单位圆上或圆外的零极点部分

可以看出，为了避免使G(z)在单位圆外或圆上的零点、极点与D(z)的零点、极点对消，同时又能实现对系统的补偿，选择系统的闭环脉冲传递函数时必须满足一定的约束条件！

由式则，重新表示G（z）有：G'(z)是G(z)中不含单位圆上或212.Фe(z)的零点的选择由式上式中，F1(z)是关于z-1的多项式，且不含G(z)中的不稳定极点ai。为了使Фe(z)能够实现，F1(z)应具有以下形式F1(z)=1+f11z-1+f12z-2+…+f1mz-m

Фe(z)的零点中，必须包含G(z)在z平面单位圆外或圆上的所有极点，即有（因为：Фe(z)，Ф(z)的分母相同，化简后，只剩下各自的零点部分，而G(z)的零极点位置对换）2.Фe(z)的零点的选择由式上式中，F1(z)是关22若G(z)有j个极点在单位圆上，即z=1处，则由终值定理可知，Фe(z)的选择方法应对上式进行修改。可按以下方法确定Фe(z):若j≤q，则

若j＞q，则

若G(z)有j个极点在单位圆上，即z=1处，则由终值233.Ф(z)的零点的选择由式F2(z)是关于z-1的多项式，且不含G(z)中的不稳定零点bi。为了使Ф(z)能够实现，F2(z)应具有以下形式：F2(z)=f21z-1+f22z-2+…+f2nz-n

知，Ф(z)的零点中，必须包含G(z)在z平面单位圆外或圆上的所有零点,以及纯滞后部分，即有3.Ф(z)的零点的选择由式F2(z)是关于z-244.F1(z)和F2(z)阶数的选取方法可按以下进行

(1)若G(z)中有j个极点在单位圆上，当j≤q时，有

(2)若G(z)中有j个极点在单位圆上，当j＞q时，有4.F1(z)和F2(z)阶数的选取方法可按以下进行(125根据以上给出了确定Ф(z)时必须满足的约束条件，可求得最少拍控制器为根据上述约束条件设计的最少拍控制系统，只保证了在最少的几个采样周期后系统的响应在采样点时是稳态误差为零，而不能保证任意两个采样点之间的稳态误差为零。这种控制系统输出信号y(t)有纹波存在，故称为最少拍有纹波控制系统，上式的控制器为最少拍有纹波控制器。

y(t)的纹波在采样点上观测不到，要用修正z变换方能计算得出两个采样点之间的输出值，这种纹波称为隐蔽振荡(hiddenoscillations)。根据以上给出了确定Ф(z)时必须满足的约束条件，可求264.2.4

最少拍无纹波控制器的设计1.前言2.设计最少拍无纹波控制器的必要条件3.最少拍无纹波系统确定Ф(z)的约束条件4.最少拍无纹波控制器确定Ф(z)的方法5.无纹波系统的调整时间

4.2.4

最少拍无纹波控制器的设计1.前言271.前言（1）在最少拍控制中，我们主要研究三种类型的设计方法：

最少拍无差控制器的设计；简单，但是本身缺陷多最少拍有纹波控制器的设计；考虑了系统稳定性，但输出不稳定最少拍无纹波控制器的设计；这节课我们来学习（2）纹波产生的原因，引起的后果原因：控制量u(t)波动不稳定后果：输出有波动，造成机械机构的摩擦（3）最少拍无纹波设计的要求要求在典型输入信号的作用下，经过有限拍，系统达到稳定，输出误差为零,并且在采样点之间没有振荡，也就是不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入，在采样时刻之间也没有纹波。1.前言（1）在最少拍控制中，我们主要研究三种类型的设计方法282.设计最少拍无纹波控制器的必要条件无纹波系统要求系统的输出信号在采样点之间不出现纹波，必须满足：(1)对阶跃输入，当t≥NT时，有y(t)=常数；(2)对速度输入，当t≥NT时，有=常数；(3)对加速度输入，当t≥NT时，有=常数。这样，被控对象Gc(s)必须有能力给出与系统输入r(t)相同的且平滑的输出y(t)。设计最少拍无纹波控制器时，Gc(s)中必须含有足够的积分环节，以保证u(t)为常数时，Gc(s)的稳态输出完全跟踪输入，且无纹波。如果针对速度输入函数进行设计，为了跟踪输入，稳态过程中Gc(s)的输出也必须是速度函数，为了产生这样的速度输出函数，Gc(s)中必须至少有一个积分环节，使得控制信号u(k)为常值(包括零)时，Gc(s)的稳态输出是所要求的速度函数。同理，若针对加速度输入函数设计的无纹波控制器，则Gc(s)中必须至少有两个积分环节。2.设计最少拍无纹波控制器的必要条件无纹波系统要求系293.最少拍无纹波系统确定Ф(z)的约束条件要使系统的稳态输出无纹波，就要求稳态时的控制信号u(k)为常数或零。控制信号u(k)的z变换为

如果系统经过个采样周期到达稳态，无纹波系统要求u(l)=u(l+1)=u(l+2)=…=常数或零。要使控制信号u(k)在稳态过程中为常数或零，那么只能U(z)是关于z-1的有限多项式。3.最少拍无纹波系统确定Ф(z)的约束条件要使系统30ω为G(z)的所有零点数；b1、b2、…b为G(z)的所有零点。

因此，Ф(z)必须包含G(z)的分子多项式B(z)，即Ф(z)必须包含G(z)的所有零点。这样，原来最少拍无纹波系统设计时确定Ф(z)的公式应修改为ω为G(z)的所有零点数；因此，Ф(z)必须包含G314.最少拍无纹波控制器确定Ф(z)的方法确定Ф(z)必须满足下列要求：(1)被控对象Gc(s)中含有足够的积分环节，以满足无纹波系统设计的必要条件。并求出G（z），写成因子形式。(2)选择Ф(z)。包含G（z）所有的零点。(3)选择Фe(z)。包含G（z）在单位圆外、圆上的极点。(4)选择F1(z)和F2(z)阶数m和n，形式。①若G(z)中有j个极点在单位圆上，当j≤q时，有

②若G(z)中有j个极点在单位圆上，当j＞q时，有

4.最少拍无纹波控制器确定Ф(z)的方法确定Ф(z)325.无纹波系统的调整时间无纹波系统的调整时间要增加若干拍，增加的拍数等于G(z)在单位圆内的零点数。分析：要得到最少拍无纹波系统设计，其闭环脉冲传递函数必须包含被控对象的所有零点。这样，设计的控制器终消除所有引起纹波的极点，采样点之间的纹波就消失了，但是，这样设计的系统，闭环脉冲传递函数中的z-1的幂次增高，系统的调整时间就增长了。5.无纹波系统的调整时间无纹波系统的调整时间要增加若33最少拍无纹波系统的控制量和输出量最少拍无纹波系统的控制量和输出量344.3纯滞后控制技术4.3.1史密斯(Smith)预估控制4.3.2达林(Dahlin)算法在工业过程(如热工、化工)控制中，由于物料或能量的传输延迟，许多被控制对象具有纯滞后性质。对象的这种纯滞后性质常引起系统产生超调或者振荡。纯滞后：由于物料或能量的传输延迟引起的滞后现象；容量滞后：由于惯性引起的滞后。比如发酵过程，不是纯滞后。4.3纯滞后控制技术4.3.1史密斯(Sm354.3.1史密斯(Smith)预估控制1．施密斯预估控制原理2．具有纯滞后补偿的数字控制器4.3.1史密斯(Smith)预估控制1．施密斯预估控制361．施密斯预估控制原理（1）原理分析：对于一个单回路系统若没有纯滞后，G（s）=GP（s）若有纯滞后，，其中τ为纯滞后时间则，闭环传递函数的结构是1．施密斯预估控制原理（1）原理分析：对于一个单回路37那么，我们可以得到闭环传递函数的特征方程由于的存在，使得系统的闭环极点很难分析得到，而且容易造成超调和振荡。那么，如何消除分母上的？那么，我们可以得到闭环传递函数的特征方程由于38（2）施密斯预估控制原理是：与D(s)并接一补偿环节，用来补偿被控制对象中的纯滞后部分。这个补偿环节称为预估器，其传递函数为，τ为纯滞后时间。由施密斯预估器和调节器D(s)组成的补偿回路称为纯滞后补偿器，其传递函数为（2）施密斯预估控制原理是：与D(s)并接一补偿环节，39经补偿后的系统闭环传递函数为经补偿后，消除了纯滞后部分对控制系统的影响，因为式中的在闭环控制回路之外，不影响系统的稳定性，拉氏变换的位移定理说明:仅将控制作用在时间坐标上推移了一个时间τ，控制系统的过渡过程及其它性能指标都与对象特性为Gp(s)时完全相同。经补偿后的系统闭环传递函数为经补偿后，消除402．具有纯滞后补偿的数字控制器我们来分析一种具有纯滞后补偿的数字控制器，该数字控制器由两部分组成：一部分是数字PID控制器(由D(s)离散化得到)；一部分是施密斯预估器。2．具有纯滞后补偿的数字控制器我们来分析一种具有纯41(1)施密斯预估器滞后环节使信号延迟，为此，在内存中专门设定N个单元作为存放信号m(k)的历史数据，存贮单元的个数N由下式决定。N=τ/T；式中：τ—纯滞后时间；T—采样周期；

每采样一次，把m(k)记入0单元，同时把0单元原来存放数据移到1单元，1单元原来存放数据移到2单元…，依此类推。从单元N输出的信号，就是滞后N个采样周期的m(k-N)信号。u(k)是PID数字控器的输出，yτ(k)是施密斯预估器的输出。从图中可知，必须先计算传递函数Gp(s)的输出m(k)后，才能计算预估器的输出：yτ(k)=m(k)-m(k-N)。施密斯预估器的输出可按下图的顺序计算。(1)施密斯预估器u(k)是PID数字控器的输出，y42许多工业对象可近似用一阶惯性环节和纯滞后环节的串联来表示：式中Kf——被控对象的放大系数；Tf——被控对象的时间常数；τ—纯滞后时间。预估器的传递函数为式中Kf——被控对象的放大系数；预估器的传递函数43(2)纯滞后补偿控制算法步骤①计算反馈回路的偏差e1(k):e1(k)=r(k)-y(k)②计算纯滞后补偿器的输出yτ(k)③计算偏差e2(k)e2(k)=e1(k)-yτ(k)④计算控制器的输出u(k)(2)纯滞后补偿控制算法步骤①计算反馈回路的偏差e1(k444.3.2达林(Dahlin)算法达林算法的设计目标是使整个闭环系统所期望的传递函数Ф(s)相当于一个延迟环节和一个惯性环节相串联，即整个闭环系统的纯滞后时间和被控对象Gc(s)的纯滞后时间τ相同。闭环系统的时间常数为，纯滞后时间τ与采样周期T有整数倍关系，τ=NT。

对于具有纯滞后的控制系统，比如热工或化工过程，由于滞后的存在，容易引起系统超调和持续震荡。对这些系统的调节，快速性是次要的，而对稳定性、不产生超调的要求却是主要的。本节介绍能满足这些性能指标的一种直接设计数字控制器的方法—达林算法。4.3.2达林(Dahlin)算法达林算法的设45用脉冲传递函数近似法（Z变换法）中的阶跃响应不变法求得与Ф(s)对应的闭环脉冲传递函数Ф(z)用脉冲传递函数近似法（Z变换法）中的阶跃响应不变法求461．数字控制器D(z)的形式针对不同的被控对象，即Gc(s)是带有纯滞后的一阶惯性环节或二阶惯性纯滞后环节τ——纯滞后时间；T1、T2——时间常数；K为放大系数。我们可以容易的得到相应的数字控制器D(z)的形式

1．数字控制器D(z)的形式针对不同的被控对象，即472．振铃现象及其消除所谓振铃(Ringing)现象，是指数字控制器的输出以二分之一采样频率大幅度衰减振荡的现象。

下面，我们通过一个例子，看看振铃到底是个什么样子？例：含有纯滞后为1.46s，时间常数为3.34s的连续一阶滞后对象，经过T=1s的采样保持后，其广义对象的脉冲传递函数为选取Φ（z），时间常数为Tτ=2s,纯滞后时间为1s。则：2．振铃现象及其消除所谓振铃(Ringing)现象48利用这一算法，当输入为单位阶跃时，则输出为：控制量为：从图中，系统输出的采样值可按期望指数形式变化，但控制量有大幅度的振荡，而且是衰减的振荡。利用这一算法，当输入为单位阶跃时，则输出为：控49(1)振铃现象的分析系统的输出Y(z)和数字控制器的输出U(z)间有下列关系：Y(z)=U(z)G(z)系统的输出Y(z)和输入函数的R(z)之间有下列关系：Y(z)=Ф(z)R(z)由上面两式得到数字控制器的输出U(z)与输入函数的R(z)之间的关系：表达了数字控制器的输出与输入函数在闭环时的关系，是分析振铃现象的基础。(1)振铃现象的分析系统的输出Y(z)和数字控制器的输出U50对于单位阶跃输入函数R(z)=1/(1-z-1)，含有极点z=1，当极点在负实轴上，且与z=-1点相近，那么那么数字控制器的输出序列u(k)中将含有这两种幅值相近的瞬态项，而且瞬态项的符号在不同时刻是不相同的。当两瞬态项符号相同时，数字控制器的输出控制作用加强，符号相反时，控制作用减弱，从而造成数字控制器的输出序列大幅度波动。①带纯滞后的一阶惯性环节

②带纯滞后的二阶惯性环节

对于单位阶跃输入函数R(z)=1/(1-z-1)，含51①带纯滞后的一阶惯性环节

被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节时

求得极点

显然z永远是大于零的。故得出结论：在带纯滞后的一阶惯性环节组成的系统中，数字控制器输出对输入的脉冲传递函数不存在负实轴上的极点，这种系统不存在振铃现象。①带纯滞后的一阶惯性环节被控对象为带纯滞后的一阶惯性52②带纯滞后的二阶惯性环节

被控制对象为带纯滞后的二阶惯性环节时，

有两个极点，第一个极点在

不会引起振铃现象

第二个极点在

在T→0时，有

说明可能出现左半平面与z=-1相近的极点，这一极点将引起振铃现象。

②带纯滞后的二阶惯性环节被控制对象为带纯滞后的二阶惯性环节53(2)振铃幅度RA振铃幅度RA用来衡量振铃强烈的程度。为了描述振铃强烈的程度，应找出数字控制器输出量的最大值umax。由于这一最大值与系统参数的关系难于用解析的式子描述出来，所以常用单位阶跃作用下数字控制器第0次输出量与第一次输出量的差值来衡量振铃现象强烈的程度。对于带纯滞后的二阶惯性环节组成的系统，其振铃幅度(2)振铃幅度RA对于带纯滞后的二阶惯性环节组成的系统，其54(3)振铃现象的消除:有两种方法可用来消除振铃现象。第一种方法是先找出D(z)中引起振铃现象的因子(z=-1附近的极点)，然后令其中的z=1，根据终值定理，这样处理不影响输出量的稳态值。下面具体说明这种处理方法。其极点将引起振铃现象，令极点因子(C1+C2z-1)中的z=1，就可消除这个振铃极点。消除振铃极点z=-C2/C1后，有这种消除振铃现象的方法虽然不影响输出稳态值，但却改变了数字控制器的动态特性，将影响闭环系统的瞬态性能。(3)振铃现象的消除:有两种方法可用来消除振铃现象。其极点55第二种方法是从保证闭环系统的特性出发，选择合适的采样周期T及系统闭环时间常数Tτ，使得数字控制器的输出避免产生强烈的振铃现象。从中可以看出，带纯滞后的二阶惯性环节组成的系统中，振铃幅度与被控对象的参数T1、T2有关，与闭环系统期望的时间常数Tτ以及采样周期T有关。通过适当选择T和Tτ，可以把振铃幅度抑制在最低限度以内。有的情况下，系统闭环时间常数Tτ作为控制系统的性能指标被首先确定了，但仍可通过选择采样周期T来抑制振铃现象。第二种方法是从保证闭环系统的特性出发，选择合适的采样563．达林算法的设计步骤一般步骤：(1)根据系统的性能，确定闭环系统的参数Tτ，给出振铃幅度RA的指标；(2)由所确定的振铃幅度RA与采样周期T的关系，解出给定振铃幅度下对应的采样周期，如果T有多解，则选择较大的采样周期(3)确定纯滞后时间τ与采样周期T之比(τ/T)的最大整数N；(4)求广义对象的脉冲传递函数G(z)及闭环系统的脉冲传递函数Ф(z)；(5)求数字控制器的脉冲传递函数D(z)。具有纯滞后系统中直接设计数字控制器所考虑的主要性能是控制系统不允许产生超调并要求系统稳定。系统设计中一个值得注意的问题是振铃现象。3．达林算法的设计步骤一般步骤：具有纯滞后574.2数字控制器的离散化设计技术由于控制任务的需要，当所选择的采样周期比较大或对控制质量要求比较高时，必须从被控对象的特性出发，直接根据计算机控制理论(采样控制理论)来设计数字控制器，这类方法称为离散化设计方法。离散化设计技术比连续化设计技术更具有一般意义，它完全是根据采样控制系统的特点进行分析和综合，并导出相应的控制规律和算法。

4.2.1数字控制器的离散化设计步骤4.2.2最少拍控制器的设计4.2.3

最少拍有纹波控制器的设计4.2.4

最少拍无纹波控制器的设计连续化设计技术的弊端：要求相当短的采样周期！因此只能实现较简单的控制算法。4.2数字控制器的离散化设计技术由于控制任务的需584.2.1数字控制器的离散化设计步骤1.根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确定所需的闭环脉冲传递函数Ф(z)2.求广义对象的脉冲传递函数G(z)。3.求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)。4.根据D(z)求取控制算法的递推计算公式4.2.1数字控制器的离散化设计步骤1.根据控制系统的性59由数字控制器D(z)的一般形式：则：数字控制器的输出U(z)为因此，数字控制器D(z)的计算机控制算法为按照上式，就可编写出控制算法程序。由数字控制器D(z)的一般形式：604.2.2最少拍控制器的设计最少拍控制的定义：所谓最少拍控制，就是要求闭环系统对于某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且闭环脉冲传递函数具有以下形式工程应用背景：随动系统，伺服系统，运动控制，…式中N是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的脉冲响应在N个采样周期后变为零，输出保持不变，从而意味着系统在N拍之内达到稳态。4.2.2最少拍控制器的设计最少拍控制的定义：工程应用背61最少拍系统的设计原则是：若系统广义被控对象G(z)无延迟且在z平面单位圆上及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传递函数Ф(z)，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。最少拍系统的设计原则是：若系统广义被控对象G(z)无延迟且在621.闭环脉冲传递函数Ф(z)的确定

由上图可知，误差E(z)的脉冲传递函数为

1.闭环脉冲传递函数Ф(z)的确定由上图可知，误差E(z63典型输入函数

对应的z变换

B(z)是不包含(1-z-1)因子的关于z-1的多项式。典型输入类型对应的z变换q=1单位阶跃函数

q=2单位速度函数q=3单位加速度函数典型输入函数对应的z变换B(z)是不包含(1-z-1)64根据z变换的终值定理，系统的稳态误差为

由于B(z)没有(1-z-1)因子，因此要使稳态误差e(∞)为零，必须有Фe(z)=1-Ф(z)=(1-z-1)qF(z)→Ф(z)=1-Фe(z)=1-(1-z-1)qF(z)这里F(z)是关于z-1的待定系数多项式。为了使Ф(z)能够实现，F(z)中的首项应取为1，即F(z)=1+f１z-1+f2z-2+…+fpz-p根据z变换的终值定理，系统的稳态误差为由于B65可以看出，Ф(z)具有z-1的最高幂次为N=p+q，这表明系统闭环响应在采样点的值经N拍可达到稳态。特别当P=0时，即F(z)=1时，系统在采样点的输出可在最少拍(Nmin=q拍)内达到稳态，即为最少拍控制。因此最少拍控制器设计时选择Ф(z)为Ф(z)=1-(1-z-1)q

最少拍控制器D(z)为可以看出，Ф(z)具有z-1的最高幂次为N=p+q，662.典型输入下的最少拍控制系统分析(1)单位阶跃输入(q=1)输入函数r(t)=1(t),其z变换为由最少拍控制器设计时选择的Ф(z)=1-(1-z-1)q=z-1

可以得到进一步求得

以上两式说明，只需一拍(一个采样周期)输出就能跟踪输入，误差为零，过渡过程结束。

2.典型输入下的最少拍控制系统分析(1)单位阶67(2)单位速度输入(q=2)输入函数r(t)=t的z变换为

由最少拍控制器设计时选择的Ф(z)=1-(1-z-1)q=1-(1-z-1)2=2z-1-z-2

可以得到进一步求得

以上两式说明，只需两拍(两个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态，过渡过程结束。

(2)单位速度输入(q=2)由最少拍控制器设计时68(3)单位加速度输入(q=3)单位加速度输入r(t)=（1/2）t２的Z变换为由最少拍控制器设计时选择的Ф(z)=1-(1-z-1)3=3z-1-3z-2+z-3

可以得到上式说明，只需三拍(三个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态。(3)单位加速度输入(q=3)由最少拍控制器设693.最少拍控制器的局限性(1)最少拍控制器对典型输入的适应性差

(2)最少拍控制器的可实现性问题

(3)最少拍控制的稳定性问题最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最少拍，但对于其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大的超调和静差。

主要介绍下面三个内容：3.最少拍控制器的局限性(1)最少拍控制器对典型输入的适应70对某一典型输入的响应为最少拍的控制器，对于其它典型输入不一定为最少拍！例如，当Ф(z)是按等速输入设计时，有Ф(z)=2z-1-z-2，则三种不同输入时对应的输出如下：阶跃输入时r(t)=1(t)；R(z)=1/（1-z-1）(1)最少拍控制器对典型输入的适应性差等速输入时r(t)=t

等加速输入时r(t)=（1/2）t２

对某一典型输入的响应为最少拍的控制器，对于其它典型输71画出三种输入下的输出图形，与输入进行比较从图形可以看出，对于阶跃输入，直到2拍后，输出才达到稳定，而在上面单独设计控制器，只需要一拍；这样，过渡时间延长了，而且存在很大的超调量，在1拍处！对于加速度输入，输出永远都不会与输入曲线重合，也就是说按等速输入设计的控制器用于加速度输入会产生误差。画出三种输入下的输出图形，与输入进行比较从图72一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)设计，得到系统的闭环脉冲传递函数Ф(z)，用于次数较低的输入函数R(z)时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增，但在采样时刻的误差为零。反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数Ф(z)只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。结论：一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)设计，得到73(2)最少拍控制器的可实现性问题设数字控制器D(z)为

要使D(z)物理上是可实现的，则必须要求degP(z)≥degQ(z)最少拍系统设计的物理可实现性指将来时刻的误差值，是还未得到的值，不能用来计算现在时刻的控制量。要求数字控制器的脉冲传递函数中，不能有z的正幂项，即不能含有超前环节。为使D(z)物理上可实现，Ф(z)应满足的条件是：若广义脉冲传递函数G(z)的分母比分子高N阶，则确定Ф(z)时必须至少分母比分子高N阶。(2)最少拍控制器的可实现性问题设数字控制器D(z74若被控对象有滞后特性（假设给定连续被控对象有d个采样周期的纯滞后）需要对闭环脉冲传递函数Ф(z)分子多项式要进行处理。则所设计的闭环脉冲传递函数Ф(z)中必须含有纯滞后，且滞后时间至少要等于被控对象的滞后时间。否则系统的响应超前于被控对象的输入。若被控对象有滞后特性（假设给定连续被控对象有d个采样75(3)最少拍控制的稳定性问题只有当G(z)是稳定的(即在z平面单位圆上和圆外没有极点)，且不含有纯滞后环节时，式Ф(z)=1-(1-z-1)q才成立。如果G(z)不满足稳定条件，则需对设计原则作相应的限制。原因：在Ф(z)中，D(z)和G(z)总是成对出现的，但却不允许它们的零点、极点互相对消。这是因为，简单地利用D(z)的零点去对消G(z)中的不稳定极点，虽然从理论上可以得到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。当系统的参数产生漂移，或辩识的参数有误差时，这种零极点对消不可能准确实现，从而将引起闭环系统不稳定。

解决方法：在选择Ф(z)时必须加一个约束条件，这个约束条件称为稳定性条件。

(3)最少拍控制的稳定性问题只有当G(z)是稳定的(764.2.3

最少拍有纹波控制器的设计1.考虑广义脉冲传递函数的稳定性考虑被控对象含有滞后的情况：Gc(s)=G'c(s)e-τs，G'c(s)是不含滞后部分的传递函数，τ为纯滞后时间。令d=τ/T对上式进行z变换并设G(z)有u个零点b1、b2、…、buv个极点a1、a2、…、av；在z平面的单位圆上或圆外。当连续被控对象Gc(s)中不含纯滞后时，d=0;当G(s)中含有纯滞后时，d≥1,即d个采样周期的纯滞后。

4.2.3

最少拍有纹波控制器的设计1.考虑广义脉冲传递函77则，重新表示G（z）有：G'(z)是G(z)中不含单位圆上或圆外的零极点部分

可以看出，为了避免使G(z)在单位圆外或圆上的零点、极点与D(z)的零点、极点对消，同时又能实现对系统的补偿，选择系统的闭环脉冲传递函数时必须满足一定的约束条件！

由式则，重新表示G（z）有：G'(z)是G(z)中不含单位圆上或782.Фe(z)的零点的选择由式上式中，F1(z)是关于z-1的多项式，且不含G(z)中的不稳定极点ai。为了使Фe(z)能够实现，F1(z)应具有以下形式F1(z)=1+f11z-1+f12z-2+…+f1mz-m

Фe(z)的零点中，必须包含G(z)在z平面单位圆外或圆上的所有极点，即有（因为：Фe(z)，Ф(z)的分母相同，化简后，只剩下各自的零点部分，而G(z)的零极点位置对换）2.Фe(z)的零点的选择由式上式中，F1(z)是关79若G(z)有j个极点在单位圆上，即z=1处，则由终值定理可知，Фe(z)的选择方法应对上式进行修改。可按以下方法确定Фe(z):若j≤q，则

若j＞q，则

若G(z)有j个极点在单位圆上，即z=1处，则由终值803.Ф(z)的零点的选择由式F2(z)是关于z-1的多项式，且不含G(z)中的不稳定零点bi。为了使Ф(z)能够实现，F2(z)应具有以下形式：F2(z)=f21z-1+f22z-2+…+f2nz-n

知，Ф(z)的零点中，必须包含G(z)在z平面单位圆外或圆上的所有零点,以及纯滞后部分，即有3.Ф(z)的零点的选择由式F2(z)是关于z-814.F1(z)和F2(z)阶数的选取方法可按以下进行

(1)若G(z)中有j个极点在单位圆上，当j≤q时，有

(2)若G(z)中有j个极点在单位圆上，当j＞q时，有4.F1(z)和F2(z)阶数的选取方法可按以下进行(182根据以上给出了确定Ф(z)时必须满足的约束条件，可求得最少拍控制器为根据上述约束条件设计的最少拍控制系统，只保证了在最少的几个采样周期后系统的响应在采样点时是稳态误差为零，而不能保证任意两个采样点之间的稳态误差为零。这种控制系统输出信号y(t)有纹波存在，故称为最少拍有纹波控制系统，上式的控制器为最少拍有纹波控制器。

y(t)的纹波在采样点上观测不到，要用修正z变换方能计算得出两个采样点之间的输出值，这种纹波称为隐蔽振荡(hiddenoscillations)。根据以上给出了确定Ф(z)时必须满足的约束条件，可求834.2.4

最少拍无纹波控制器的设计1.前言2.设计最少拍无纹波控制器的必要条件3.最少拍无纹波系统确定Ф(z)的约束条件4.最少拍无纹波控制器确定Ф(z)的方法5.无纹波系统的调整时间

4.2.4

最少拍无纹波控制器的设计1.前言841.前言（1）在最少拍控制中，我们主要研究三种类型的设计方法：

最少拍无差控制器的设计；简单，但是本身缺陷多最少拍有纹波控制器的设计；考虑了系统稳定性，但输出不稳定最少拍无纹波控制器的设计；这节课我们来学习（2）纹波产生的原因，引起的后果原因：控制量u(t)波动不稳定后果：输出有波动，造成机械机构的摩擦（3）最少拍无纹波设计的要求要求在典型输入信号的作用下，经过有限拍，系统达到稳定，输出误差为零,并且在采样点之间没有振荡，也就是不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入，在采样时刻之间也没有纹波。1.前言（1）在最少拍控制中，我们主要研究三种类型的设计方法852.设计最少拍无纹波控制器的必要条件无纹波系统要求系统的输出信号在采样点之间不出现纹波，必须满足：(1)对阶跃输入，当t≥NT时，有y(t)=常数；(2)对速度输入，当t≥NT时，有=常数；(3)对加速度输入，当t≥NT时，有=常数。这样，被控对象Gc(s)必须有能力给出与系统输入r(t)相同的且平滑的输出y(t)。设计最少拍无纹波控制器时，Gc(s)中必须含有足够的积分环节，以保证u(t)为常数时，Gc(s)的稳态输出完全跟踪输入，且无纹波。如果针对速度输入函数进行设计，为了跟踪输入，稳态过程中Gc(s)的输出也必须是速度函数，为了产生这样的速度输出函数，Gc(s)中必须至少有一个积分环节，使得控制信号u(k)为常值(包括零)时，Gc(s)的稳态输出是所要求的速度函数。同理，若针对加速度输入函数设计的无纹波控制器，则Gc(s)中必须至少有两个积分环节。2.设计最少拍无纹波控制器的必要条件无纹波系统要求系863.最少拍无纹波系统确定Ф(z)的约束条件要使系统的稳态输出无纹波，就要求稳态时的控制信号u(k)为常数或零。控制信号u(k)的z变换为

如果系统经过个采样周期到达稳态，无纹波系统要求u(l)=u(l+1)=u(l+2)=…=常数或零。要使控制信号u(k)在稳态过程中为常数或零，那么只能U(z)是关于z-1的有限多项式。3.最少拍无纹波系统确定Ф(z)的约束条件要使系统87ω为G(z)的所有零点数；b1、b2、…b为G(z)的所有零点。

因此，Ф(z)必须包含G(z)的分子多项式B(z)，即Ф(z)必须包含G(z)的所有零点。这样，原来最少拍无纹波系统设计时确定Ф(z)的公式应修改为ω为G(z)的所有零点数；因此，Ф(z)必须包含G884.最少拍无纹波控制器确定Ф(z)的方法确定Ф(z)必须满足下列要求：(1)被控对象Gc(s)中含有足够的积分环节，以满足无纹波系统设计的必要条件。并求出G（z），写成因子形式。(2)选择Ф(z)。包含G（z）所有的零点。(3)选择Фe(z)。包含G（z）在单位圆外、圆上的极点。(4)选择F1(z)和F2(z)阶数m和n，形式。①若G(z)中有j个极点在单位圆上，当j≤q时，有

②若G(z)中有j个极点在单位圆上，当j＞q时，有

4.最少拍无纹波控制器确定Ф(z)的方法确定Ф(z)895.无纹波系统的调整时间无纹波系统的调整时间要增加若干拍，增加的拍数等于G(z)在单位圆内的零点数。分析：要得到最少拍无纹波系统设计，其闭环脉冲传递函数必须包含被控对象的所有零点。这样，设计的控制器终消除所有引起纹波的极点，采样点之间的纹波就消失了，但是，这样设计的系统，闭环脉冲传递函数中的z-1的幂次增高，系统的调整时间就增长了。5.无纹波系统的调整时间无纹波系统的调整时间要增加若90最少拍无纹波系统的控制量和输出量最少拍无纹波系统的控制量和输出量914.3纯滞后控制技术4.3.1史密斯(Smith)预估控制4.3.2达林(Dahlin)算法在工业过程(如热工、化工)控制中，由于物料或能量的传输延迟，许多被控制对象具有纯滞后性质。对象的这种纯滞后性质常引起系统产生超调或者振荡。纯滞后：由于物料或能量的传输延迟引起的滞后现象；容量滞后：由于惯性引起的滞后。比如发酵过程，不是纯滞后。4.3纯滞后控制技术4.3.1史密斯(Sm924.3.1史密斯(Smith)预估控制1．施密斯预估控制原理2．具有纯滞后补偿的数字控制器4.3.1史密斯(Smith)预估控制1．施密斯预估控制931．施密斯预估控制原理（1）原理分析：对于一个单回路系统若没有纯滞后，G（s）=GP（s）若有纯滞后，，其中τ为纯滞后时间则，闭环传递函数的结构是1．施密斯预估控制原理（1）原理分析：对于一个单回路94那么，我们可以得到闭环传递函数的特征方程由于的存在，使得系统的闭环极点很难分析得到，而且容易造成超调和振荡。那么，如何消除分母上的？那么，我们可以得到闭环传递函数的特征方程由于95（2）施密斯预估控制原理是：与D(s)并接一补偿环节，用来补偿被控制对象中的纯滞后部分。这个补偿环节称为预估器，其传递函数为，τ为纯滞后时间。由施密斯预估器和调节器D(s)组成的补偿回路称为纯滞后补偿器，其传递函数为（2）施密斯预估控制原理是：与D(s)并接一补偿环节，96经补偿后的系统闭环传递函数为经补偿后，消除了纯滞后部分对控制系统的影响，因为式中的在闭环控制回路之外，不影响系统的稳定性，拉氏变换的位移定理说明:仅将控制作用在时间坐标上推移了一个时间τ，控制系统的过渡过程及其它性能指标都与对象特性为Gp(s)时完全相同。经补偿后的系统闭环传递函数为经补偿后，消除972．具有纯滞后补偿的数字控制器我们来分析一种具有纯滞后补偿的数字控制器，该数字控制器由两部分组成：一部分是数字PID控制器(由D(s)离散化得到)；一部分是施密斯预估器。2．具有纯滞后补偿的数字控制器我们来分析一种具有纯98(1)施密斯预估器滞后环节使信号延迟，为此，在内存中专门设定N个单元作为存放信号m(k)的历史数据，存贮单元的个数N由下式决定。N=τ/T；式中：τ—纯滞后时间；T—采样周期；

每采样一次，把m(k)记入0单元，同时把0单元原来存放数据移到1单元，1单元原来存放数据移到2单元…，依此类推。从单元N输出的信号，就是滞后N个采样周期的m(k-N)信号。u(k)是PID数字控器的输出，yτ(k)是施密斯预估器的输出。从图中可知，必须先计算传递函数Gp(s)的输出m(k)后，才能计算预估器的输出：yτ(k)=m(k)-m(k-N)。施密斯预估器的输出可按下图的顺序计算。(1)施密斯预估器u(k)是PID数字控器的输出，y99许多工业对象可近似用一阶惯性环节和纯滞后环节的串联来表示：式中Kf——被控对象的放大系数；Tf——被控对象的时间常数；τ—纯滞后时间。预估器的传递函数为式中Kf——被控对象的放大系数；预估器的传递函数100(2)纯滞后补偿控制算法步骤①计算反馈回路的偏差e1(k):e1(k)=r(k)-y(k)②计算纯滞后补偿器的输出yτ(k)③计算偏差e2(k)e2(k)=e1(k)-yτ(k)④计算控制器的输出u(k)(2)纯滞后补偿控制算法步骤①计算反馈回路的偏差e1(k1014.3.2达林(Dahlin)算法达林算法的设计目标是使整个闭环系统所期望的传递函数Ф(s)相当于一个延迟环节和一个惯性环节相串联，即整个闭环系统的纯滞后时间和被控对象Gc(s)的纯滞后时间τ相同。闭环系统的时间常数为，纯滞后时间τ与采样周期T有整数倍关系，τ=NT。

对于具有纯滞后的控制系统，比如热工或化工过程，由于滞后的存在，容易引起系统超调和持续震荡。对这些系统的调节，快速性是次要的，而对稳定性、不产生超调的要求却是主要的。本节介绍能满足这些性能指标的一种直接设计数字控制器的方法—达林算法。4.3.2达林(Dahlin)算法达林算法的设102用脉冲传递函数近似法（Z变换法）中的阶跃响应不变法求得与Ф(s)对应的闭环脉冲传递函数Ф(z)