利用平方差公式分解因式课件

公式法(1)公式法(1)1一、问题引入问题：你能将a2–b2分解因式吗？要将a2–b2进行因式分解，却找不到它的公因式，怎么办？能不能添个中间过渡的量？解：a2–b2这里运用了“加零减零”的方法解：a2–b2

=

a2–ab+ab–b2解：a2–b2

=

a2–ab+ab–b2

=

(a2–ab)+(ab–b2)

=

a(a–b)+

b(a–b)

看到这个解题的过程，你熟悉吗？

=

(a+b)(a–b)一、问题引入问题：你能将a2–b2分解因式吗？要将a2–b22对比因式分解

a2–b2

=

a2–ab+ab–b2

=

(a2–ab)+(ab–b2)

=

a(a–b)+

b(a–b)

=(a+b)(a–b)PK乘法公式

(a+b)(a–b)

=

a(a–b)+

b(a–b)

=

(a2–ab)+(ab–b2)

=

a2–ab+ab–b2

=a2–b2你看出什么了吗？对比因式分解a2–b2PK乘法公式(a+b)(a–b3运用公式法

(a+b)(a–b)=a2–b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a–b)2=a2–2ab+b2

a2–b2=(a+b)(a–b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2–2ab+b2=(a–b)2

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。今天我们就来学习利用平方差公式分解因式。

乘法公式因式分解反过来二、导入新课运用公式法(a+b)(a–b)=a2–b24二、导入新课(a+b)(a–b)=a2–b2a2–b2=(a+b)(a–b)

两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。整式乘法因式分解a2–b2=

(a+b)(a–b)这就是用平方差公式进行因式分解。二、导入新课(a+b)(a–b)=a2–b2a2–b25探索：什么样的多项式能用平方差公式来因式分解？平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)三、新课讲解探索：什么样的多项式能用平方差公式来因式分解？平方差公式:a6下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？①x2–y2

②

x2+y2

③–4x2–y29+(–y)2

x4y2–4平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)辩一辩如果一个多项式可以转化为a2–b2的形式，那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式。

×××√√公式左边的特点：①有两项组成．②两项的符号相反．③两项都可写成数（或式）的平方的形式．下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？①x2–y27探索：平方差公式中的a和b如何确定？平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)探索：平方差公式中的a和b如何确定？平方差公式:a2–b28例１分解因式：4x2–9分析：在本题中，4x2=(2x)2，9=32，

4x2–9=(2x)2–

32

=(

+

)(

–

)解：4x2–9=(2x)2–32

=(2x+3)(2x–3)a2

–

b2=(a+b)(a–b)2x2x33平方差公式:a2–b2=(a+b)(a-b)例１分解因式：4x2–9分析：在本题中，4x29练习分解因式:a2

–

b2;(2)9a2–4b2;(3)–1+x2;(4)–a2+16.解：a2

–

b2

=(a+b)(a-b)解：9a2–4b2=(3a+2b)(3a-2b)解：–1+x2

＝x2–1＝(x+1)(x-1)解：–a2+16＝–（a2–16)

＝–(a+4)(a–4)平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)运用平方差公式分解因式，当第一项系数是负数的时候，应该先提“—”号或者利用加法交换率交换位置，然后再分解因式练习解：a2–b2解：9a2–4b2解：–110解：(x+p)2–(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)–(x+q)]把(x+p)和(x+q)各看成一个整体,设x+p=a，x+p=b，则原式化为a2–b2.这里可用到了整体思想喽！把（x+p)和(x+q)看着了一个整体，分别相当于公式中的a和b。=(2x+p+q)(p–q).平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)例2分解因式:(x+p)2–(x+q)2.

公式中a、b可以是单独的数或字母，也可以是单项式或多项式。

解：(x+p)2–(x+q)2把(x+p)和(x+q11探索：分解复杂的多项式，我们应该注意些什么？平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)探索：分解复杂的多项式，我们应该注意些什么？平方差公式:a212例3

分解因式:(1)x4–y4;(2)a3b–ab.分析:(1)x4–y4可以写成(x2)2–(y2)2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.(2)a3b–ab有公因式ab,应先提出公因式,再进一步分解.解:(1)x4–y4

=(x2+y2)(x2–y2)(2)a3b–ab=ab(a2–1)分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.=(x2+y2)(x+y)(x–y)=ab(a+1)(a–1).平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)例3分解因式:分析:(1)x4–y4可以写成(x2)2–(13练习分解因式:(1)x2y–4y;(2)–a4+16.解：x2y–4y=y(x2y–4)=y(x+2)(x-2)解：–a4+16=16–a4

=(4+a2)(4–a2)=(4+a2)(2+a)(2–a)平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)练习解：x2y–4y解：–a4+16平方差公式:a2–14课堂聚焦1.先提取公因式2.再应用平方差公式分解3.每个因式要化简，并且要分解彻底。对于分解复杂的多项式，我们应该怎么做？平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)课堂聚焦1.先提取公因式2.再应用平方差公式分解3.每个因式15四、小结1、利用平方差公式分解因式时，应看清楚是否符合条件。必须是两个数或式的平方差的形式。2、分解因式时，有公因式时应先提取公因式，再看能否用公式法进行因式分解。3、因式分解应分解到每一个因式都不能分解为止。平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)这节课中你有什么收获？四、小结1、利用平方差公式分解因式时，应看清楚是否符合条件。16五、课后思考：如何因式分解：多项式a2+2ab+b2与a2–2ab+b2？六、课堂作业：习题3.3：（课本P66）第1题（1）、（3）、（7）平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)五、课后思考：如何因式分解：六、课堂作业：习题3.3：（课本17谢谢！谢谢！18公式法(1)公式法(1)19一、问题引入问题：你能将a2–b2分解因式吗？要将a2–b2进行因式分解，却找不到它的公因式，怎么办？能不能添个中间过渡的量？解：a2–b2这里运用了“加零减零”的方法解：a2–b2

=

a2–ab+ab–b2解：a2–b2

=

a2–ab+ab–b2

=

(a2–ab)+(ab–b2)

=

a(a–b)+

b(a–b)

看到这个解题的过程，你熟悉吗？

=

(a+b)(a–b)一、问题引入问题：你能将a2–b2分解因式吗？要将a2–b220对比因式分解

a2–b2

=

a2–ab+ab–b2

=

(a2–ab)+(ab–b2)

=

a(a–b)+

b(a–b)

=(a+b)(a–b)PK乘法公式

(a+b)(a–b)

=

a(a–b)+

b(a–b)

=

(a2–ab)+(ab–b2)

=

a2–ab+ab–b2

=a2–b2你看出什么了吗？对比因式分解a2–b2PK乘法公式(a+b)(a–b21运用公式法

(a+b)(a–b)=a2–b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a–b)2=a2–2ab+b2

a2–b2=(a+b)(a–b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2–2ab+b2=(a–b)2

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。今天我们就来学习利用平方差公式分解因式。

乘法公式因式分解反过来二、导入新课运用公式法(a+b)(a–b)=a2–b222二、导入新课(a+b)(a–b)=a2–b2a2–b2=(a+b)(a–b)

两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。整式乘法因式分解a2–b2=

(a+b)(a–b)这就是用平方差公式进行因式分解。二、导入新课(a+b)(a–b)=a2–b2a2–b223探索：什么样的多项式能用平方差公式来因式分解？平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)三、新课讲解探索：什么样的多项式能用平方差公式来因式分解？平方差公式:a24下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？①x2–y2

②

x2+y2

③–4x2–y29+(–y)2

x4y2–4平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)辩一辩如果一个多项式可以转化为a2–b2的形式，那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式。

×××√√公式左边的特点：①有两项组成．②两项的符号相反．③两项都可写成数（或式）的平方的形式．下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？①x2–y225探索：平方差公式中的a和b如何确定？平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)探索：平方差公式中的a和b如何确定？平方差公式:a2–b226例１分解因式：4x2–9分析：在本题中，4x2=(2x)2，9=32，

4x2–9=(2x)2–

32

=(

+

)(

–

)解：4x2–9=(2x)2–32

=(2x+3)(2x–3)a2

–

b2=(a+b)(a–b)2x2x33平方差公式:a2–b2=(a+b)(a-b)例１分解因式：4x2–9分析：在本题中，4x227练习分解因式:a2

–

b2;(2)9a2–4b2;(3)–1+x2;(4)–a2+16.解：a2

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b2

=(a+b)(a-b)解：9a2–4b2=(3a+2b)(3a-2b)解：–1+x2

＝x2–1＝(x+1)(x-1)解：–a2+16＝–（a2–16)

＝–(a+4)(a–4)平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)运用平方差公式分解因式，当第一项系数是负数的时候，应该先提“—”号或者利用加法交换率交换位置，然后再分解因式练习解：a2–b2解：9a2–4b2解：–128解：(x+p)2–(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)–(x+q)]把(x+p)和(x+q)各看成一个整体,设x+p=a，x+p=b，则原式化为a2–b2.这里可用到了整体思想喽！把（x+p)和(x+q)看着了一个整体，分别相当于公式中的a和b。=(2x+p+q)(p–q).平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)例2分解因式:(x+p)2–(x+q)2.

公式中a、b可以是单独的数或字母，也可以是单项式或多项式。

解：(x+p)2–(x+q)2把(x+p)和(x+q29探索：分解复杂的多项式，我们应该注意些什么？平方差公式:a2–b2=(a+b)(a–b)探索：分解复杂的多项式，我们应该注意些什么？平方差公式:a230例3

分解因式:(1)x4–y4;(2)a3b–ab.分析:(1)x4–y4可以写成(x2)2–(y2)2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.(2)a3b–ab有公因式ab,应先提出公因式,再进一步分解.解:(1)x4–y4

=(x2+y2)(x2–y2)(2)a3b–ab=ab(a2–1)分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.=(x2+y2)(x+y)(x–y)=ab(a+1)(a–1).平方差公式:a2–b2