(完整版)小学奥数平面几何五大定律

第第页共27页【解析】连接AE•由于AD与BC【解析】连接AE•由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S=SAOCDAOAE根据蝴蝶定理，SXS=SXS=2X8=16AOCDAOAEAOCEAOAD，故SAOCD2=16，所以SAOCD=4（平方厘米）．另解：在平行四边形ABED中，S=-S=-x（16+8）=12（平方厘米）,AADE2口ABED2所以S=S-S=12-8=4（平方厘米），AAOEAADEAAOD根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8X2十4=4（平方厘米）.【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.【解析】连接DE、CF.四边形EDCF为梯形，所以S=，又根据蝴蝶定理，S-S=S-S,AEODFOCAEODAFOCAEOFACOD所以S-S=S-S=2X8=16，所以S=4（平方厘米），S=4+8=12（平方厘米）挪AEODAFOCAEOFACODAEODAECD么长方形ABCD的面积为12x2=24平方厘米，四边形OFBC的面积为24-5-2-8=9（平方厘米）.【例20】如图，AABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48，AK:KB=1:3，则ABKD的面积是多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形•在梯形ADBC中，ABDK和AACK的面积是相等的.而AK:KB=1:3,所以AACK的面积是AABC面积的丄=1，那么ABDK的1+34面积也是AABC面积的丄.4由于AABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM=DE，可见AABM和AACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以AABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48.那么ABDK的面积为48x1=12.4

【例21】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m，那么，(m+n)的值等n于.解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG•设AG与DE的交点为M.左图中AEGD为长方形，可知AAMD的面积为长方形AEGD面积的1，所以三角形AMD的面积为412x1x1=1•又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为1-1x4=1.24882如上图所示，在右图中连接AC、EF•设AF、EC的交点为N.可知EFIIAC且AC=2EF•那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1，所以三角形BEF的面4积为12x1x1=1，梯形AEFC的面积为1-1=3.TOC\o"1-5"\h\z248288在梯形AEFC中,由于EF:AC二1:2,根据梯形蝴蝶定理,其四部分的面积比为：12：1x2:1x2:22=1:2:2:4,所以三角形EFN的面积为3x1=丄，那么四边形BENF的面积81+2+2+424为1+丄=1•而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为1-1x4=1.824663那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为丄：1=3:2，即m=3,23n2那么m+n=3+2=5.【例22】如图，AABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB，:S:S四边形DEGF:S四边形FGCB【解析】设S=1份，根据面积比等于相似比的平方，△ADE【解析】设S=1份，根据面积比等于相似比的平方，△ADE所以S:S=AD2:AF2=1：4，S:S=AD2:AB2=1:9ADE△AFG因此S=4份，S=9份，AFG△ABC进而有S=3份，S四边形DEGF四边形FGCB△ADE△ABC=5份，所以S:S:S△ADE四边形DEGF四边形FGCB=1:3:5【巩固】如图，DE平行BC，且AD=2,AB=5,AE=4，求AC的长.【解析】由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:5，所以AC=4十2x5=10【巩固】如图，AABC中，DE，FG，MN【巩固】如图，AABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行,AD=DF=FM=MP=PB，贝»S△ADE解析】设S:S:S四边形DEGF:S:S四边形FGNM四边形MNQP四边形PQCB'=1份△ADES=4△AFGS四边形FGNM所以有S:S=AD2:AF2=1:4，因此△ADE△AFG进而有S二3份，同理有四边形DEGF二5份S=7份S=9份四边形MNQP四边形PQCB份，=1:3:5:7:9S:S△ADE四边形DEGF:=1:3:5:7:9S:S△ADE四边形DEGF四边形FGNM四边形MNQP四边形PQCB【例23】如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC=1:3，AF与BE相交于点G与BE相交于点G,求SM【解析】方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有AB:CM=BF:FC=1:1，因此CM=4，根据题意有CE=3，再根据另一个沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7，所以TOC\o"1-5"\h\z4432S=S=x(4x4十2)=•△ABG△ABE1111

方法二：连接AE,EF，分别求S=4x2-2=4△ABF，S—4x4-4x1方法二：连接AE,EF，分别求S=4x2-2=4△ABF4432据蝴蝶定理S:S—BG:GE—4:7，所以S—S—x(4x4一2)—.△ABF△AEF△ABG4+7△ABE1111【例24】如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1,E、F是AB、AD的中点,的面积．【例24】如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1,E、F是AB、AD的中点,的面积．EB:CD—BG:GD—1:2所以CH:CF—GH:EF—2:3，并得G、H是BD的三等分点，所以BG—GH，所以S—1S

ABFD2AABD1211——x—x———•35430BG:EF=BM:MF=2:3，所以BM=5BF，‘又因为BG=1BD，所以SxS3ABMG35ABFD解法二：延长CE交DA于I，如右图，可得，AI:BC=AE:EB=1:1，从而可以确定M的点的位置，21，BM二—BF，BG二-BD(鸟头定理)，53_211_1——x—x—S—-534°abcd30BM:MF=BC:IF=2:3可得SABMG=2X1SBDF【例25】如图，ABCD为正方形，AM—NB—DE—FC—1cm且MN—2cm，请问四边形PQRS的面积为多少?MQ—QC—*MC，所以PQ—gMC-1MC—1MC，所以SSpQ^SAMC^6所以S—一x1x(1+1+2)—一(cm2)．SPQR63(法2)如图，连结AE，则S—一x4x4—8(cm2),AABE2

而RBERABEF，所以竺=兰而RBERABEF，所以竺=兰=2,S=-S=-x8=16(cm2)EFEFaabr3山be33而S=SAMBQAANS=-x3x4x1=3

22（cm-），因为MN_MPDC~PC所以MP_1MC，则Samnp_2x2x4x1_3（cm2），阴影部分面积等于S-S-S+S_16-3-3+-_-(cm2).AABRAANSAMBQAMNP333【例26】如右图，三角形【例26】如右图，三角形ABC中,BD:DC_4:9，CE:EA_4:3，求AF:FB．【解析】根据燕尾定理得S:S_BD:CD_4:9_12:27AOB△AOCS:S_AE:CE_3:4_12:16AOB△BOC（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S:S_27:16_AF:FB△AOC△BOC【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC_3:4,AE:CE_5:6，求AF:FB.【解析】根据燕尾定理得S:S_BD:CD_3:4_15:20AOB△AOCS:S_AE:CE_5:6_15:18AOB△BOC(都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数)所以S:S_20:18_10:9_AF:FB△AOC△BOC【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC_2:3,EA:CE_5:4，求AF:FB.【解析】根据燕尾定理得S:S_BD:CD_2:3_10:15△AOB△AOCS:S_AE:CE_5:4_10:8△AOB△BOC(都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数)所以S:S_15:8_AF:FB△AOC△BOC

【点评】本题关键是把AAOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！的面积为【例27】如右图，三角形ABC中,AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形ABC的面积是1,则三角形ABE，三角形AGE的面积为，三角形GHI的面积为.的面积为C【分析】连接AH、C【分析】连接AH、BI、C'=-SAABE5AABC5由于CE:AE二'=-SAABE5AABC55根据燕尾定理，S:S根据燕尾定理，S:S=CD:BD=2:3，S:S=CE:EA=3:2，所以AABGABCGAACG4S:S:S=4:6:9，则S=,S=AACGAABGABCGAACG19ABCG19AABG9那么S=-S=—x=；AAGE5AAGC51995同样分析可得S同样分析可得S'=,贝0EG:EH=S:S=4:9,EG:EB=S:S=4:19,所以AACH19AACGAACHAACGAACBEG:GH:HB=4:5:10，同样分析可得AG:GI:ID=10:5:4,所以S=S=x—=-，S=S=x—=—ABIE10ABAE1055AGHI19ABIE19519【巩固】如右图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．CC:S=BD:DC=3:2=9:6△ABG△AGCS6【解析】连接CC:S=BD:DC=3:2=9:6△ABG△AGCS6【解析】连接BG,S=6份△AGC

根据燕尾定理，S:S△AGC△BGC=AF:FB=3:2=6:4,S得S=4（份），S=9（份）,△BGC△ABG同理连接AI、CH得^△abhS△ABC19则S=19（份），因此fee△ABCS△ABC6所以S19-6-6-61△BIC=/所以AGHIS19S△ABC△ABC1919一19三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19倍.倍.【巩固】如图，AABC中BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么AABC的面积是阴影三角形面积的.【分析】如图，连接AI•根据燕尾定理，S:S=BD:AD=2：1,S:S=CF:AF=1:2,ABCIAACIABCIAABI所以，S:S:S=1:2:4，那么，S=2S=-S-AACIABCIAABIABCI1+2+4AABC7AABC同理可知AACG和AABH的面积也都等于AABC面积的2，所以阴影三角形的面积等于AABC面积的7211-2x3=丄，所以AABC的面积是阴影三角形面积的7倍.77巩固】如图在△ABC中，DC=EA=FB=1求△巩固】如图在△ABC中，DB~FA~2'水△ABC的面积CC【解析】连接BG,设S=1份，根据燕尾定理S:S=AF:FB=2:1，S:S=BD:DC=2:1，得△BGC△AGC△BGC△ABG△AGCS=2（份）,S=4（份力则S=7（份），因此=2伺理连接AI、CH得TOC\o"1-5"\h\z△AGC△ABG△ABCS7△ABCS2S2丘所以S7—2—2—21S7S7S77△ABC△ABC△ABC点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例28】如图，三角形ABC的面积是1,BD=DE=EC,CF=FG=GA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?【解析】设BG与AD交于点P,BG与AE交于点Q,BF与AD交于点M,BF与AE交于点N.连接CP,CQ,CM，CN．同理可得，S=-/S=—而S=1—/所以S21_3，S121△ABQ7△ABN2△ABG3△APQ一7一5△AQG一3~7~21同理，S_3S=丄，所以S1239:/△BPM一35△BDM21四边形PQMN2一7一35—701395。1151。1115S=——=,S=—=—'S=二—四边形MNED3357042四边形NFCE321426四边形GFNQ321642根据燕尾定理，S:S=AG:GC=1:2,S:S=BD:CD=1：2，设S=1（份）,则△ABP△CBP△ABP△ACP△ABPS=1+2+2=5（份），所以S=-△ABC△ABP5E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形【巩固】如图，AABC的面积为1,点D、JKIH的面积是多少？【解析】连接CK、CI、根据燕尾定理，所以S:SAACKAABK类似分析可得SCDFEGCJ．S:S=CD:BD=1:2AACKAABK:SACBK=上2；4，那么SAACKAAGI15AABK1:SACBK1=AG:CG=1:2,，S=-SAAGK3AACK21又S:S=AF:CF=2:1AABJACBJ1117那么，SCGKJ42184根据对称性,可知四边形CEHJ的面积也为□,那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为84SCGKJ'2+hl+J二护+3二70，所以四边形的面积为,S:S,S:S=BD:CD=2:1，可得SAABJAACJAACJ4【例29】右图，5ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知AABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则AABC的面积是多少平方厘米？△ABM:S△ABM:S=AG:GC=1:1△CBMS:S=BD:CD=1:3，所以S=1S△ABM△ACM△ABM5△ABC【解析】连接CM、CN•根据燕尾定理，S再根据燕尾定理，S:S再根据燕尾定理，S:S=AG:GC=1:1，所以S△ABN△CBNAN:NF=4:3，那么△ANG—X—/所以SS-4+37FCGN△AFC根据题意，有1S-—S—7.2，可得S—336（平方厘米）5△ABC28△ABC△ABC=4:3，所以':S=S:S△ABN△FBN△CBN△FBN<2、5151--S=-x-S=—S74△ABC28△ABC△AFC【例30】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AMBN、CP⑴求S:在△ABC中根据燕尾定理，s:S—AI:CI—1:2S:S—AD:BD—1:2四边形ADMI△ABM△CBM△ACM△CBM设s-1（份），则s—2（份）,s—1（份）/s—4（份）,△ABM△CBM△ACM△ABC所以s—s--s，所以s--s-丄s,s-丄s/△ABM△ACM4△ABC△ADM3△ABM12△ABC△AIM12△ABC所以s—（-L+丄）s-1s/四边形ADMI1212△ABC6△ABC同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是AABC面积的16⑵求S:在△ABC中根据燕尾定理s:S—BF:CF—1:2S:S—AD:BD—1:2/五边形DNPQE△ABN△ACN△ACN△BCN所以s—1S—1X1S——S，同理S——S△ADN3△ABN37△ABC21△ABC△BEQ21△ABCCF—1:2,s:s—AI:CI—1:2△ABP△CBPs-s—[111]11s———s△ADN△BEP:-2121丿△ABC105△ABC，所以s—1-1—X3-11x3-13阴影610570G、H、I分别是AB、BC、CAG、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求中心六边形△ABP△ACP所以S-1S，所以S-S—△ABP-△ABC五边形DNPQE△ABP同理另外两个五边形面积是△ABC面积的丄105【例31】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、面积.DHDH【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N、RP、S、M、Q,连接CR

在AABC中根据燕尾定理，s:S—BG:CG.—2:1,△ABR△ACR

S:S=AI:CI=1:2△ABR△CBR所以S=-S伺理S=-S/S=-S△ABR7△ABC△ACS7△ABC△CQB7△ABC所以s=1-2-2-2=1，同理S=1△RQS7777△MNP7根据容斥原理，和上题结果S=1+1-匕=丄六边形777010课后练习：练习1・已知ADEF的面积为7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF，求AABC的面积.【解析】S:S=(BDxBE):(BAxBC)=(1x1):(2x3)=1:6,△BDE△ABCS:S二(CExCF):(CBxCA)二(1x3):(2x4)二3:8△CEF△ABCS:S二(ADxAF):(ABxAC)二(2x1):(3x4)二1:6△ADF△ABC设S=24份，则S=4份，S=4份，S=9份，S=24-4-4-9=7份，恰好是7平△ABC△BDE△ADF△CEF△DEF方厘米，所以S=24平方厘米△ABC【解析】连接BD.由共角定理得s:S=(CDxF练习2・如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB,CB=BF,DC=CG【解析】连接BD.由共角定理得s:S=(CDxF△CDB△BCD△CGF△△CDB同理S:S=1:2，即S=2sABD△AHE△AHE△ABD所以S+S=2(S+S)=2SAHE△CGF△CBD△ADB四边形ABCD连接AC，同理可以得到S+S=2s△DHG△BEF四边形ABCDS=S+S+S+S+S=5S四边形EFGH△AHEACGF△HDG△BEF四边形ABCD四边形ABCD所以S=66十5=13.2平方米四边形ABCD练习3・正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米.

DCDC由题意可得到：EG:GC=EB:CD=1:2，所以可得：s=1SAEBG3ABCE将AB、DF延长交于M点，可得：BM:DC=MF:FD=BF:FC=1:1,12而EH:HC=EM:CD=(qAB+AB):CD=3:2，得CH=5CE而CF=1BC，所以S=1x-S=1S2ACHF25ABCE5ABCETOC\o"1-5"\h\zS=1x1ABxBC=1x120=30ABCE2241177S=S——S——S=S=x30=14.四边形BGHFAEBC3AEBC5AEBC15AEBC15本题也可以用蝴蝶定理来做，连接EF，确定H的位置(也就是FH:HD)，同样也能解出.练习4・如图，已知AB=AE=4cm,BC=DC,ZBAE=ZBCD=90。,AC=10cm，则S+S+SAABCAACEACDEcm2.A'A'【解析】将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形AEC'和A'DC，再连接A'C',显然AC丄AC',AC丄A'C,AC=A'C=AC'，所以ACA'C'是正方形.三角形AEC'和三角形A'DC【解析】将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90S=S；S=S；S=S.AAECAA'DC'AAEC'AA'DCACEDAC'DE所以S+S+S=S+S+S=1S口=1x10x10=50cm-.AABCAACEACDEAAEC'AACEACDE—ACA'C'2练习5・如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面

积是平方厘米.

【解析】连接BH，根据沙漏模型得BG:GD=1:2，设S【解析】连接BH，根据沙漏模型得BG:GD=1:2，设S

此S=(1+2+2)x2=10份，S正方形BFHG=1份，根据燕尾定理S=2份，S=2份，因练习6.△BHC△CHD△BHD1277=-+—=-，所以S=120一10x7=14（平方厘米）.236BFHG6如图，AABC中，点D是边AC的中点，点E、边形CDMF的面积是.F是边BC的三等分点，若AABC的面积为1,那么四【解析】由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积.连接CM、CN.根据燕尾定理，S:S=BF:CF=2:1,而S=2S，所以S=2S=4S，那么AABMAACMAACMAADMAABMAACMAADM4BM=4DM，即BM=5BD.那么SABMF那么SABMFBMBF4214xxS二一xx-=,SBDBCABCD5321521530另解：得出S=2S=4S后，可得S=1S=-x-=—AABMAACMAADMAADM5AABD52103飞一30'=S3飞一30四边形CDMFAACFAADM练习7.如右图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=4:3，且三角形ABC的面积是-4，求角形GHI练习7.CCCC【解析】连接BG,S=12份△AGC根据燕尾定理，S:S=AF:FB=根据燕尾定理，S:S=AF:FB=4:3二12:9,S:S=BD:DC=4:3=16:12△AGC△BGC△ABG△AGC得S=9（份），S=16（份），则S=9+12+16=37（份）,因此‘△agc=△BGC△ABG△ABCS△ABC37-12-12-1211237同理连接A/、CH得=S△ABC12S△BIC=^-，所以，AGHI=37S37S△ABC△ABC3737三角形ABC的面积是74，所以三角形GHI的面积是74x丄=237月测备选备选1】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm和4cm，乙三角形两条直角边分别为3cm和6cm，求图中阴影部分的面积.463乙