( 详细版)高中数学学业水平考试知识点

2018年高中数学学业水平测试知识点【必修一】一、集合与函数概念并集：由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作：AUB交集：由集合A和集合B的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作:AAB补集：就是作差。1、集合(a,a，…,a｝的子集个数共有2个；真子集有2-1个；非空子集有2n-1个；非空的真子有2-2个.12n2、求y=f(X)的反函数：解出x=f-1(y),x,y互换，写出y=ft(x)的定义域；函数图象关于y=x对称。3、(1)函数定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数>0；③指数的真数属于R、对数的真数〉0.4、函数的单调性：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量xi，x2,当xi<x2时，都有f(xi)<(>)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增(减)函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。5、奇函数：是f(-x)f(x)，函数图象关于原点对称(若x=0在其定义域内，则f(0)=0);偶函数：是f(—x)=f(x)，函数图象关于y轴对称。6、指数幂的含义及其运算性质：函数y=ax(a〉0且a丰1)叫做指数函数。指数函数y=ax(a>0,a丰1)当0<a<1为减函数，当a>1为增函数；①ar-as=ar+s；@(ar)s=ars:③(ab)r=arbr(a〉0,b〉0,r,sgQ)o3)指数函数的图象和性质a〉10<a<1图象JL110性质(1)定义域：R(2)值域：(0，+b)(3)过定点(0,1)，即x=0时，y=1(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数(5)x〉0,ax〉1;x<0,0<ax<1(5)x〉0,0<ax<1；x<0,ax〉17、对数函数的含义及其运算性质：函数y=logx(a>0,a丰1)叫对数函数。a对数函数y=logx(a>0,a丰1)当0<a<1为减函数，当a〉1为增函数；a①负数和零没有对数；②1的对数等于0：log1=0‘③底真相同的对数等于1：loga=1，aaM>0,N>0，M>0,N>0，那么：①logMN=logM+logN；aaa②log=logM一logN；③logMn①logMN=logM+logN；aaaaNaaaalogb(4)换底公式：logb=c—(a〉0且a丰1,c〉0且c丰1,b〉0)alogac(5)对数函数的图象和性质a>10<a<1图象11ii\0i1l10K.性质(1)定义域：(0，+8)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x=1时，y=0(4)在(0,+8)上是增函数(4)在(0,+8)上是减函数(5)x>1,logx>0；a0<x<1,logx<0a(5)x>1,logx<0；a0<x<1,logx>0a8、幕函数：函数y二x«叫做幕函数(只考虑a=1,2,3,—1,£的图象)。9、方程的根与函数的零点：如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)・f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在ce(a,b)，使得f(c)=0这个c就是方程f(x)=0的根。【必修二】一、直线平面简单的几何体_1、长方体的对角线长l2二a2+b2+c2；正方体的对角线长l=J3a42、球的体积公式：v二兀R3；球的表面积公式：S二4兀R23、柱体、锥体、台体的体积公式：匕=Sh(S为底面积，h为柱体高)；V=—Sh(S为底面积，h为柱体高)柱体锥体3V=F(S'+*S'S+S)h(S',S分别为上、下底面积，h为台体高)台体34、点、线、面的位置关系及相关公理及定理：四公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.空间线线，线面，面面的位置关系：空间两条直线的位置关系：相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同一平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。空间直线和平面的位置关系：直线在平面内(无数个公共点)；直线和平面相交(有且只有一个公共点)；直线和平面平行(没有公共点)它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为aua,aPa=A，a//a。空间平面和平面的位置关系：两个平面平行——没有公共点；两个平面相交——有一条公共直线。

a符号表示：bua>na符号表示：bua>na//a。图形表示:a//b6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。bup符号表示:aClb二p|=P//a。a//a符号表示:b//a7、7、・直线与平面平行的性质定理:这条直线平行。a//a符号表示：auP>na//b。aClP二b8、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。符号表示：a//p,a丫=a,pY=bna//b9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。符号表示：aua,bua,a「|b=P,l丄a,l丄bnl丄a10、・两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号表示：l』a,lupna丄卩11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。符号表示：>na//bob丄a12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号表示：lua,aP=m,l丄mnl丄P.13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。直线与平面所成角：直线和它在平面内]的射影所成的角。(如右图)值范围是10°,90°].二面角的取值范围是10°,180°)；]值范围是10°,90°].二面角的取值范围是10°,180°)；]两个向量所成角的取值范围是b°,180°]y―y―y21x一x211、斜率：k=tana，ke(—a,+8)；直线上两点P(x,y),P(x,y)，则斜率为1112222、直线的五种方程:点斜式y—y=k(x—x)(直线l过点P(x,y)，且斜率为k).11111斜截式y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距).y—yx—x两点式a=卄((P(x,y)、P(x,y)；(x丰x)、(y丰y)).y—yx—x11122212122121xy截距式+~T=1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b丰0)ab—般式Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0).3、两条直线的平行、重合和垂直：若l:y=kx+b，l:y=kx+b111222l||lok=k且b工b;121212l与l重合时ok=k且b=b；12122l丄lokk=—1.1212若l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0，且A、A、B、B都不为零,111122221212ABC①l||lo—=-1主-1‘②l丄loAA+BB=012ABC121212222

4、两点P](xi，yi)>P2(x2，y2)的距离公式丨P^l二-片)2+0?—y/25、两点P(x,y)、P(x,y)的中点坐标公式M(Xi+X2,yi+y2)111222226、点P(X。，y0)到直线(直线方程必须化为一般式)Ax+By+C=0的距离公式d=^^^=Lo=L^-A2+B2C—CI7、平行直线Ax+By+C=0、Ax+By+C=0的距离公式d=,2121A2+B28、圆的方程：标准方程(x—a)2+(y—b》二r2，圆心°,b),半径为厂；一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,(配方：(x+—)2+(y+—)2=D2+E2-4F)224—2+—2—4F>0时，表示一个以(——,——)为圆心，半径为:D2+E2—4F的圆;2229、点与圆的位置关系：点P(x,y)与圆(x—a)2+(y—b)2二r2的位置关系有三种：00若d=J(a—x)2+(b—y)2,贝y00d>r0点P在圆外；d二r0点P在圆上；d<ro点P在圆内.10、直线与圆的位置关系：直线Ax+By+C=0与圆(x一a)2+(y一b)2二r2的位置关系有三种：d>r0相离oA<0；d=ro相切oA=0；d<ro相交oA>0.其中dd<ro相交oA>0.其中dIAa+Bb+C|I\：A2+B211、弦长公式：若直线y=kx+b与二次曲线(圆、椭圆、S二次曲线方程_一y=kx+m则知直线与二次曲线相交所截得弦长为:双曲线、抛物线)相交于A(X],y1),B(x2，y2)两点，则由ax2+bx+c=0(aZ0)lABZ(x2一x1)2+(y2一y1)2="+k2Ix+x)2—4xx1212=(1+k(211J--]b2—4ac=J+y-y=(1+)Ty+y)2-4yy二丫1+k2k2^12k21212-]图形符号名称功能图形符号名称功能/1J终端框(起止框)表示一个算法的起始和结束/7输入、输出框表示一个算法输入输出的信息处理框(执行框)赋值、计算(语句、结果的传送)【必修三】算法初步与统计：以下是几个基本的程序框流程和它们的功能13、空间直角坐标系，两点之间的距离公式：⑴xoy平面上的点的坐标的特征A(x,y,0)：竖坐标z=0xoz平面上的点的坐标的特征B(x,0,z)：纵坐标y=0yoz平面上的点的坐标的特征C(0,y,z)：横坐标x=0x轴上的点的坐标的特征D(x,0,0)：纵、竖坐标y=z=0y轴上的点的坐标的特征E(0,y,0)：横、竖坐标x=z=0z轴上的点的坐标的特征E(0,0,z)：横、纵坐标x=y=0(2)|PPl=(x-x)2+(y-y)2+(z-z)212212121

判断框判断某一条件是否成立时，在出口处标明“是”或“Y”不成立时标明“否”或“N”1;流程线连接程序框（流程进行的方向）O连接点连接程序框图的两部分注释框帮助注解流程图<ZD>循环框程序做重复运算、算法的三种基本结构：（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构二、算法基本语句：1、输入语句:输入语句的格式：INPUT“提示内容”变量。2、输出语句:输出语句的一般格式:PRINT“提示内容”表达式。3、赋值语句:赋值语句的一般格式：变量=表达式。4、条件语句（1）“IF—THEN—ELSE”语句。5、循环语句:直到型循环结构“DO—LOOPUNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEND”。三．三种常用抽样方法：1、简单随机抽样；2．系统抽样；3．分层抽样。4．统计图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。四、频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5））画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正方形的面秣组距X频率。2、频率分布直方图：频率=小矩形面积（注意：不是小矩形的咼度）计算公式：频率=、频数样本容量频数计算公式：频率=、频数样本容量频数=样本容量x频率频率频率=小矩形面积=组距x—组距各组频数之和=样本容量，各组频率之和=13、茎叶图：茎表示咼位，叶表示低位。折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差，极准差，方差。1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程度越咼。3）计算公式：标准差方差：s=[(x标准差方差：s=[(x_X)2+(x_X)2+•••+(x_x)2]n]12_"_s2二[(x—x)2+(x—x)2+

n12直线回归方程的斜率为b，截距为a，即回归方程为y=bx+a+(x—x)2]n(此直线必过点(x,y))。6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方长方形的咼与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。五、随机事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C…表示.随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。由定义可知0WP（A）W1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0。1、事件间的关系：（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；（4）对立一定互斥，互斥不一定对立。2、概率的加法公式：（1）当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）（2）若事件A与B为对立事件，贝yAUB为必然事件，所以P（AUB）=P（A）+P（B）=1,于是有P（A）=1—P（B）.

3、古典概型：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=事件A包含的基本事件个数=m实验中基本事件的总数n4、几何概型：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相（3）几何概型的概率公式：P（A）=事件A构成的区域的长度（面积或体积）实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）【必修四】、三角函数1801、弧度制：（1）、180。=兀弧度，1弧度=（——）°-57。18'；1801、弧度制：（1）、180。=兀弧度，1弧度=（——）°-57。18'；兀弧长公式：l=1«Ir（l为a所对的弧长,r为半径，1）、定义：sina=—xcosa=—tana=—cotarrx正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负）。2、三角函数：r=Qx2+y2a的角度0。30。45。60。90。120。135。150。180。270。360。冗冗冗冗23兀5兀3兀a的弧度0~6可込3T6兀22兀sina011也近10-10222222cosa1J3迈10-1V'3-101222222tana0朽1筋-灯''3-17'30033y3、特殊角的三角函数值:sina4、同角三角函数基本关系式：sin2a+cos2a=1tana=tanacota=1cosa5、诱导公式：（众变横不变，符号看象限）正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正。1、诱导公式一：2、诱导公式二：sin(a+2k兀)=sina,sin(7i+a)=-sina,cosCx+2k兀)=cosa,cos6+a)=-cosa,tan(a+2k兀)=tana.tanG+a)=tana.5、诱导公式五:3、诱导公式三:sinCa)=-sina,cosCa)=cosa,tan(-a)=-tana.4、诱导公式四:sin6-a)=sina,cos6-a)=-cosa,tan6-a)=-tana.sin—a=cosa,sin—+a丿<2丿'兀、气cos——a=sina.cos+a<2丿12丿6、诱导公式六:=cosa,=-sina.6、两角和与差的正弦、余弦、正切：S:sin(a6、两角和与差的正弦、余弦、正切：S:sin(a+P)=sinacosP+cosasinP(a+P)C:cos(a+P)=cosacosP-sinasinP(a+P)Ttana+tanPT+P):tan(a+P)=-(a+P)1-tanatanPtana+tanP=tan(a+P)(1-tanatanP)(7、辅助角公式：asinx+bcosx=Pa2+b2S：sin(a-P)=sinacosP-cosasinP(a-P)C：cos(a-P)=cosacosP+sinasinP(a-P)tana-tanPT:tan(a—P)=(a-P)1+tanatanPtana-tanP=tan(a-P)(1+tanatanP)•,b)sinx+.==cosxZa2+b2v'a2+b2丿=v'a2+b2(sinx•cosQ+cosx•sinQ)=a2+b2•sin(x+Q)8、二倍角公式:2a=2sinacosa2a2tanaT:tan2a=一2a1一tan2a(2)、降次公式：(多用于研究性质).1.宀.1一cos2asinacosa=—sin2asin2a==22C2X:cos2a=cos2a-sin2“1-2sin2“2COS2a-1_11+cos2aC2X:cos2a=cos2a-sin2“1-2sin2“2COS2a-1_11+cos2a1_1一一cos2a+cos2a==—cos2a+—222210、在三角函数中求最值(最大值、最小值)；求最小正周期；求单调性(单调第增区间、单调第减区间)求对称轴;求对称中心点都要将原函数化成标准型；如：〕yAsin@x+Q)+bAcos@x+Q)+b)人再求解。A如：〕yAsin@x+Q)+bAcos@x+Q)+b)人再求解。Atan@x+Q)+bAcot(®x+Q)+b函数y=sinxy二cosxy=tanx图象j.1_d1ULIPI丿L弋…mn丁進/on1■■■■■■■■■■■■■■■■定义域RR—{x1x丰k—+—,keZ}2值域[-1,1][—1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性2兀2——单调性在[2k冗—,2k冗+—](keZ)增兀3兀在[2k兀+—,2k兀+](keZ)减^2^2在[2k—-—,2k—](keZ)增在[2k—,2k—+—](keZ)减在(keZ)增最值当x=—+2k兀,keZ时’y=12max当x=——+2k—,keZ时,y・=一12min当x=2k—,keZ时，y=1max当x=(2k+1)—,keZ时，y.=—1min无对称性对称中心(k—,0),keZ对称轴：x=k—+—(keZ),、2对称中心(k—+2,0)，keZ对称轴：x=k—(keZ)对称中心(k—,0)，keZ对称轴：无12.函数y=Asin\wx+Q丿的图象：(1)用“图象变换法”作图ly11、三角函数的图象与性质:sin(x+q)——纵坐标变为原来的——A倍■—>y二Asin(wx+Q)横坐标不变y二sinx——向左(Q〉0)或向右(Q<0)>平移|Q|个单位y二sinx——向左(Q〉0)或向右(Q<0)>平移|Q|个单位sin(xsin(x+q)横坐标变为原来的丄倍./、w——>y=sm(wx+Q)，纵坐标不变y二sinx横坐标变为原来的十倍纵坐标不变二sinttx——向左⑷>o)或向右⑷vo)>y二singx+甲)Qy二sinx横坐标变为原来的十倍纵坐标不变平移供个单位

——纵坐标变为原来的a倍_>y=Asin（①x+申）横坐标不变当函数y=ASin（^X+申）（A>0,①>0,XE[0，+^））表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡F2兀位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T二，它叫做振动的周期；单位时12兀间内往复振动的次数f二二，它叫做振动的频率；°X+申叫做相位，申叫做初相（即当x=0时的相位）。T①二、平面向量1、平面向量的概念：（1）在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量.（2）向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.（3）向量AB的大小称为向量的模（或长度），记作|AB.（4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量.（5）与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作-a.（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、实数与向量的积的运算律：设入、□为实数，那么—►—►（1）结合律：入（口a）=（入卩）a；（2）第一分配律：（入+□）a二入a+□a；（3）第二分配律：入（a+b）=入a+入b.3、向量的数量积的运算律：（i）a・b二b・a（交换律）；—►—►—►—►—►~~—►~（2）（九a）・b二九（a・b）二九a・b=a・（b九）；（3）（a+b）・c二a・c+b・c.4、平面向量基本定理：如果e、e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入、入，使得1212a二入e+入e.1122不共线的向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.125、坐标运算：（1）设a=（x,y）,b=（x,y），则~a土方=（x土x,y土y）1122121211数与向量的积：入方=九6,y）=（Xx,Xy），数量积：方•方二xx+yy111212y），（x，y），则AB=6—x,y—y）.（终点减起点）I2_22121二IABI=\AB-AB=、■''（x-x）2+（y-y）211（2）、设A、B两点的坐标分别为（X]，6、平面两点间的距离公式：（1）dA,B（2）向量a的模丨a|:11（2）、设A、B两点的坐标分别为（X]，6、平面两点间的距离公式：（1）dA,B（2）向量a的模丨a|:Ia|2=a-a=x2+y2；（3）、平面向量的数量积：a・a=-acos0，注意：0•a=0，0•a=0，a+（—a）=0xx+yy—1_212（4）、向量a=（x1,y1）,b二。?,y2）的夹角0，贝y，jx2+y27、重要结论：（1）、两个向量平行：a〃aOa=Xa（XeR），a〃bx22+yo22xy-xy=01221（2）、两个非零向量垂直~a丄方oxx+yy⑶、P分有向线段PP212的：设P（x，y）=012，P（x，y）111则定比分点坐标公式x+Xxx=121+Xy+Xyy=十21+X中点坐标公式，P（x，y）222x+xx二22<一.y+yy二22三、空间向量1、空间向量的概念：（空间向量与平面向量相似）（1）在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量．（2）向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.（3）向量AB的大小称为向量的模（或长度），记作|AB|.模(或长度)为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量.与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作-a.(6)方向相同且模相等的向量称为相等向量.2、实数九与空间向量a的乘积九a是一个向量，称为向量的数乘运算•当九〉0时，九a与a方向相同；当九＜0时,九a与a方向相反；当九二0时，九a为零向量，记为0.九a的长度是a的长度的|九|倍.3、设九，卩为实数，、a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律.分配律：九Q+b)=Xa+九b；结合律：九(pa)=(九卩)a.4、5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．向量共线的充要条件4、5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b丰0),a//b的充要条件是存在实数九，使a=xb.6、平行于同一个平面的向量称为共面向量.7、向量共面定理：空间一点p位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x，y，使AP=xAB+yAC；—►►►—►—►8、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点o,作oa=a，ob=b，则zaob称为向量a，b的夹角，记作〈a,b〉•两个向量夹角的取值范围是：〈a,b疋［0,兀］.兀9、对于两个非零向量a和b，若〈a,b〉=—，则向量a，b互相垂直，记作a丄b9、10、已知两个非零向量a和b，则|a|b|cos〈a,b〉称为a，b的数量积，记作a-b.即a-b=|a|”|cos〈a,b〉.零向量与任何向量的数量积为0.11、a-b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos〈a,b〉11、12、若a，b为非零向量，12、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有(1)e•a=a•e=|a|cos〈a，e〉；(2)a丄boa-b=0；a|bG与b同向)()_a•b(\a•a=a2，|a|二Ja•a；(4)cos〈a,b〉=―.-|a||b|Q与b反向丿||「|a|”|量数乘积的运算律：(1)a•b=b•a；(2)