函数极限连续全程版-高等数学竞赛知识汇总

函数、极限、连续一、考试内容函数的概念及表示法、基本初等函数的性质及其图形、复合函数、反函数、初等函数、分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数、函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性、函数关系的建立；数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限和右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算、极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限；函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。（一）函数1、函数(Function)的定义设D是一个非空实数集合，若对应关系，对于，按照，对应唯一确定的，称是定义在D上的函数,习惯上也称是的函数，记为.notes：1.两个常用的数学符号：“任意”或“任意一个”，它是英文单词Arbitrary“表示任意的”打头字母A的倒写；“存在，它是英文单词Existence“表示存在”打头字母E的倒写.2、基本初等函数为以下五类函数(1)幂函数，是常数．图Ⅰ—1(2)指数函数(是常数且)，．图Ⅰ—2(3)对数函数(是常数且)，．对数（Logarithm）是由英国人纳皮尔创立的,是相对于真数的比率数.图Ⅰ—3(4)三角函数1.何谓正？何谓余？正就是正角。余就是余角，就是90度减去正角.2.何谓弦？何谓切？何谓割？弦就是弦线，切就是切线，割就是割线.圆上两点相连叫做"弦"；圆外与圆相切的线叫"切线"；圆外割入圆内的线叫"割线".其实一切都是从一个半径为1的单位圆来的.正弦函数，，．图Ⅰ—4余弦函数，，．图Ⅰ—5正切函数，，，．图Ⅰ—6余切函数，，，．图Ⅰ—7(5)反三角函数反正弦函数，，．图Ⅰ—8反余弦函数，，．图Ⅰ—9反正切函数，，．图Ⅰ—10反余切函数，，．图Ⅰ—113、初等函数：由基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所得到的、能用一个式子表达的函数，称为初等函数．高等数学的主要讨论对象是初等函数．（1）幂指函数：．4、分段函数：分段函数是没有严格定义的，任意函数都可以是分段函数．一般而言，把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内,函数的解析式不一样的，这样的函数称为分段函数.即便如此，有些分段函数也可称为初等函数．（1）符号函数：．图I－12（2）高斯函数：函数，称为高斯函数，又称取整函数.对任意实数是不超过的最大整数，称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数，是不减函数，即若则，其图像如图I－13；是以1为周期的周期函数，如图I－14.图I－14图I－13（图I－13中，空心点与实心点应反调）（3）极值函数：，．对数一、三而言，在概率论中有极值分布．5、隐函数：若方程能确定与的对应关系，那么称这个方程确定了隐函数，但其未必能显化．函数都是方程，但方程却不一定是函数．6、参数方程所确定的函数：若参数方程能确定与的对应关系，那么称这个方程确定了隐函数，但其未必能显化．有时消参后，原参数方程仅能转化为．7、函数的奇偶性．（二）极限1、函数自变量变化过程的方式自变量取正整数且无限增大的过程；自变量取正数且无限增大的过程自变量取负数且其绝对值无限增大的过程自变量绝对值无限增大的过程自变量从自变量从的右侧向的左侧向无限趋近的过程无限趋近的过程自变量向无限趋近的过程，也指，为正小数．2、无穷小量与无穷大量：若，则称为某自变量变化过程时的无穷小量，零为无穷小量；若，则称为某自变量变化过程时的无穷大量．在同一自变量变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量．无穷小量与有界变量的乘积依然是无穷小量，无穷大量为无界变量的充分不必要条件．3、基本函数的极限;;，;;，，;;;．4、记忆以下几个关于极限的充要条件①②；；③④；．5、无穷小的比较：在同一极限过程中，设，均为无穷小，则①如果②如果特别当③如果，称是比高阶的无穷小；记作；或称是比低阶的无穷小；，称与为同阶无穷小；时，即称与为等价无穷小，记作，称是的阶无穷小．；6、无穷小的等价代换定理：设，，，是同一极限过程中的无穷小，且满足，，及存在或为无穷大，则：时，下列的等价关系：.记住当，．7、极限存在准则（1）夹逼准则：在同一极限过程中，函数，，满足①②，，则存在，且．（2）单调有界准则：单调增（减）、上（下）有界的数列必有极限（收敛）．收敛数列必有界．8、极限逆问题中两个常用的结论：（1）（2）存在，．（三）连续1、连续的定义:若，称在处连续，否则，为的间断点．若，称在左连续，若称在右连续．若对，使得连续，称在内连续，即对，求证在.进一步，若，称上连续．2、间断点及其类型1）第一类间断点:左,右极限均存在的间断点．可去间断点:左极限=右极限的间断点．跳跃间断点:左极限右极限的间断点．2）第二类间断点:左,右极限中至少有一个不存在的间断点．3、连续函数的性质1）连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续；2）初等函数在其定义区间内处处连续，初等函数在其定义点处的极限为其定义点处的函数值；3）闭区间上连续函数的性质（1）最值（有界）、介值性：若在上连续,则在上上必有最大值和最小值（当然有界），且在上也可取到介于它在上最小值与最大值之间的一切值.,则必(2）零点定理:若在连续,且，使．（介值定理与零点定理将结合微积分中值定理进行应用）二、典型例题题型一复合函数例1、设,，试求.解：.例2、.例3、已知的定义域为，求的定义域.，故解：则，于是.例4、设(A)和互为反函数，则的反函数为(B)(D)(B)(C)解：，则，即，于是，即故的反函数为.题型二函数性态例1、定义于上的下列函数为奇函数的是(C)(A)(B)(C)(D)例2、当时，变量是(D)（注意函数的局部性质）(A)无穷小(B)无穷大(C)有界量(D)无界量例3、设(A)存在,当(C)若，下列结论成立的是(C)时，(B)存在,当时，,则存在,当时，(D)若当时,,那么.注1：若界）.，则对，存在,当时，总有（局部有注2：若，当时,,那么（局部保号）.例4、在下列区间中有界的是(A)(A)(B)(C)(D)注：若在内连续，且,则在内有界.题型三未定式计算（限于，，例1、求极限：，，另三种，以后讲）（1）；（2）；（6）；（3）；（7）；（4）；（5）解（1）：原式解（2）：原式..解（3）：原式=.原式（是错的）注：等价无穷小代换可在中对较复杂的“0”进行等价代换，一般只能用在乘、除关系，因局部等价能保证整体也等价，而不能直接用于加、减关系，一种处理为和差化积，一种处理为各分项同除最低次等价项后看能否拆开解（4）：原式.注：当时，.解（5）：原式解（6）：原式..解（7）：原式.注：.题型四极限存在题型例1、判断下列极限存在吗？（1）（5）；（2）；（3）；（4）；（6）（7）提示：（6）因，则原式（7）注1：时，，，，的极限不存在，先研究时，，的极限不存在，只需注意其为有界量，，也可考虑有界量性质注2：一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散，对函数有类似结论注3：注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理注4：当有限和难以表达时，对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则注5：极限函数的求法，要注意对取值范围的讨论，如等.例2、求其中。提示：令，则，则原式=（本题的结论是一个常用结论）.（C）例3、设，且(A)存在且等于零(B)存在但不一定等于零(C)不一定存在(D)一定不存在提示：若，由夹逼定理可得，故不选A与D.取，则，且，但不存在，B选项不正确．例4、设，则数列有界是数列收敛的（C）(A)充分必要条件(B)充分非必要条件例5、设（C）必要非充分条件（D）即非充分地非必要条件.，证明：数列极限存在并求此极限.证：由，知，，从而有，则而上有界，=，则单调增，知或者由递增由单调有界准则，知存在，不妨设将两端取极限得，由此解得或（舍去），则.注：对数列，若有递推表达式，则一般使用单调有界准则证明数列的收敛性.题型五极限应用题型（先讲无穷小比较、渐近线确定、间断点类型，以后再研究可导性判断）例1、当（A）时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（D）（B）（C）（D）解：对于（D）可找出反例，如当时，但．例2、已知当时,与是等价无穷小,求的值.解：,则,显然.例3、求曲线的渐近线方程.解：为其铅直渐近线又为其斜渐近线.注：记忆各类渐近线的确定方法：①若，，称为一条水平渐近线，一个函数至多有两条不同的水平渐近线；②若，，称为的一条铅直渐近线；③若，称，为的一条斜渐近线.例4、试确定的间断点，并判断其类型.解：其间断点为（），因（，则为其可去间断点；又而，此时，）为其第二类间断点为其跳跃间断点.例5、试确定该函数的渐近线，并判断其间断点类型。解：为其铅直渐近线，且为其第二类间断点；为其水平渐近线；又为其水平渐近线；而，故为其第一类中的跳跃间断点.例6、求证：设在间断，在连续，则在间断.并举例说明在可能连续.提示：设，，则在间断，在连续，在连续；若设，在间断，但在均连续.注：“在点连续”是“在点连续”的充分不必要条件.三、课后练习1（A）、，，则．2（A）、当时，．3（B）、．4（A）、与相同的函数为(B)(A)(B)(C)(D)5（A）、已知则．6（A）、设7（A）、设，，则．，又，则的定义域为．8（A）、设有（D），，均为非负数列，且，，，则必(A)对任意成立(B)对任意成立(C)不存在(D)不存在9（B）、设(A)(提示：)(A)都收敛于(B)都收敛，但不一定收敛于(C)可能收敛，也可能发散(D)都发散10（A）、当是(D)(A)无穷小(B)无穷大(C)有界但非无穷小(D)无界但非无穷大时，11（B）、设数列与满足，则下列断言正确的是（D）(A)若(C)若发散，则有界，则必发散(B)若无界，则必有界必为无穷小(D)若为无穷小，则必为无穷小12（A）、在下列哪个区间内有界（A）(A)(B)(C)(D)13（A）、当数等于(B)时，，而，则正整(A)1(B)2(C)3(D)414（A）、对函数，点是（B）(A)可去间断点(B)跳跃间断点15（A）、(C)第二类间断点(D)连续点1．16（B）、函数的可去间断点的个数为（C）（D）3（A）0（B）1（C）217（A）、设象具有（B），则该函数图(A)一条水平渐近线，一个可去间断点(B)一条水平渐近线，一个跳跃间断点(C)一条铅直渐近线，一个可去间断点(D)一条铅直渐近线，一个跳跃间断点18（A）曲线渐近线的条数为2．渐近线的条数为3．19（B）、曲线20（B）、设在内连续，且，则（D）(A)(B)(C)(D)21（B）、设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（B）(A)若(C)若收敛，则收敛(B)若单调，则收敛收敛收敛，则收敛(D)若单调，则提示：由于（B）单调有界，则当单调时，数列单调有界，从而收敛，故选22（A）、求下列极限或判断极限的存在性：（1）；（2）；（3）；